极值 积分 微分
13.1 绘图
说到绘图，只要计算函数在某一区间的值，并且画出结果向量，这样就得到了函数的图形。在大多数情况下，这就足够了。然而，有时一个函数在某一区间是平坦的并且无激励，而在其它区间却失控。在这种情况下，运用传统的绘图方法会导致图形与函数真正的特性相去甚远。MATLAB提供了一个称为fplot的巧妙的绘图函数。该函数细致地计算要绘图的函数，并且确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。该函数的输入需要知道以字符串表示的被画函数的名称以及2元素数组表示的绘图区间。例如：
>>fplot(‘ humps ‘ , [0 2])
>>title(‘ FPLOT OF HUMPS ‘)
在0和2之间计算函数humps，并显示该函数的图形。（见图13.1)。
13.2 极小化
作图除了提供视觉信息外，还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多应用中，特别感兴趣的是确定函数的极值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。数学上，可通过确定函数导数（斜率）为零的点，解析上求出这些极值点。检验humps的图形在峰值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然，如果定义的函数简单，则这种方法常常奏效。然而，即使很多容易求导的函数，也常常很难找到导数为零的点。在这种情况下，以及很难或不可能解析上求得导数的情况下，必须数值上寻找函数的极值点。MATLAB提供了两个
完成此功能的函数fmin和fmins。这两个函数分别寻找一维或n维函数的最小值。这里仅讨论fmin。有关fmins的详细信息，参阅《MATLAB参考指南》。因为f(x)的最大值等于-f(x)的最小值，所以，上述fmin和fmins可用来求最大值和最小值。如果还不清楚，把上述图形倒过来看，在这个状态下，峰值变成了谷值，而谷值则变成了峰值。
为了解释求解一维函数的最小值和最大值，再考虑上述例子。从图13.2可知，在xmax=0.7附近有一个最大值，并且在xmin=4附近有一个最小值。而这些点的解析值为：和。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本M文件，并用fmin寻出数值上极值点，给出函数主体如下：
% ex_fmin.m
fn=‘ 2*exp(-x)*sin(x) ‘; % define function for min
xmin=fmin(fn , 2 , 5) % search over range 2 emin=5*pi / 4-xmin % find error x=xmin; % need x since fn has x as its variable ymin=eval(fn) % evaluate at xmin fx=‘ -2*exp(-x)*sin(x) ‘; % define for max:note minus sign xmax=fmin(fx , 0 , 3) % search over range 0 emax=pi / 4-xmax % find error x=xmax; % need x since fn has x as its variable ymax=eval(fn) % evaluate at xmax 下面是M文件的运行结果： >>ex-fmin xmin = 3.9270 emin = 1.4523e-006 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 emax = -1.3781e-005 ymax = 0.6448 这些结果与上述图形非常吻合。注意，fmin的工作方式很像fplot。要计算的函数可用一个函数M文件表达，或者只给出一个x为自变量的字符串。上述例子就是使用后一种方法。这个例子也使用了函数eval，它获取一个字符串，并解释它，如同在MATLAB提示符下输入该字符串。由于要计算的函数以x为自变量的字符串形式给出，那么设置x等于xmin和xmax，允许eval计算该函数，找到ymin和ymax。最后，特别注意，求数值上的最小值包含一个搜索过程，fmin不断计算函数值，寻求其最小值。如果计算的函数需要很大的计算量，或者该函数在搜索区间不止一个最小值，则该搜索过程所花的时间比较长。在有些情况下，搜索过程根本找不到结果。当fmin找不到最小值时，它会停止运行并提供解释。 与函数fmin一样，函数fmins搜索最小值。不过，fmins搜索向量的标量函数的最小值。即fmins寻找 这里x是函数f(.)的向量参数，函数f(.)返回标量值。函数fmins利用单纯形法求最小值，它不需要精确的梯度计算。任何一种优化工具箱中具有更多扩展的优化算法 13.3 求零点 正如人们对寻找函数的极点感兴趣一样，有时寻找函数过零或等于其它常数的点也非常重要。一般试图用解析的方法寻找这类点非常困难，而且很多时候是不可能的。在上述函数humps的图中(如图13.3所示)，该函数在x=1.2附近过零。 图13.3 humps函数的图形 MATLAB再一次提供了该问题的数值解法。函数fzero寻找一维函数的零点。为了说明该函数的使用，让我们再运用humps例子。 >>xzero=fzero(‘ humps ‘ , 1.2) % look for a zero near 1.2 xzero= 1.2995 >>yzero=humps(xzero , 1.2) % evaluate at xzero yzero= 3.5527e-15 所以，humps的零点接近于1.3。如前所述，寻找零点的过程可能失败。如果fzero没有找到零点，它将停止运行并提供解释。 当调用函数fzero时，必须给出该函数的名称。但由于某种原因，它不能接受以x为自变量的字符串来描述的函数。这样，即使在fplot 和fmin中都具有的这个特性，fzero将不工作。 fzero不仅能寻找零点，它还可以寻找函数等于任何常数值的点。仅仅要求一个简单的再定义。例如，为了寻找f(x)=c的点，定义函数g(x)=f(x)-c，然后，在fzero中使用g(x)，就会找出g(x)为零的x值，它发生在f(x)=c时。 13.4 积分 一个函数的积分或面积也是它的另一个有用的属性。MATLAT提供了在有限区间内，数值计算某函数下的面积的三种函数：trap2 , quad 和quad8。函数trapz通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积分，这些梯形如图13.4所示，是通过使用函数humps的数据点形成。图13.4 粗略的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准确。例如，在图13.4中，如果我们大致增加一倍数目的梯形，我们得到如下页（如图13.5）所示的更好的近似结果。 图13.5 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1 >>x=-1 : 0.17 : 2; % rough approximation >>y=humps(x); >>area=trapz(x , y) % call trapz just like the plot command area = 25.9174 >>x=-1 : 0.07 : 2; % better approximation >>y=humps(x); >>area=trapz(x , y) area = 26.6243 自然地，上述两个结果不同。基于对图形的观察，粗略近似可能低估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效果更好。很明显，如果人们能够以某种方式改变单个梯形的宽度，以适应函数的特性，即当函数变化快时，使得梯形的宽度变窄，这样就能够得到更精确的结果。 MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来计算函数的面积，这些积分函数的操作方式一样。为获得更准确的结果，两个函数在所需的区间都要计算被积函数。此外，与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相同，即 >>area=quad(‘ humps ‘ , -1 , 2) % find area between -1 and 2 area = 26.3450 >>area=quad8(‘ humps ‘ , -1 , 2) area = 26.3450 注意，这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在两个trapz面积的估计值之间。有关MATLAB的积分函数的其它信息，参阅《MATLAB参考指南》或在线帮助。 13.5 微分 与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质。因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感。一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。 由于微分这个固有的困难，所以尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找如第11章所讨论的样条微分。例如，再次考虑第11章曲线拟合的例子。 >>x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1] >>y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; % data >>n=2; % order of fit >>p=polyfit(x , y , n) % find polynomial coefficients p = -9.8108 20.1293 -0.0317 >>xi=linspace(0 , 1 , 100); >>z=polyval(p , xi); % evaluate polynomial >>plot(x , y , ‘ o ' , x , y , xi , z , ' : ') >>xlabel(‘ x ‘) , ylabel(‘ y=f(x) ‘) , title(‘ Second Order Curve Fitting ‘) 在这种情况下，运用多项式微分函数polyder求得微分。 >>pd=polyder(p) pd = -19.6217 20.1293 图13.6 二次曲线拟合 的微分是dy/dx=-19.6217x+20.1293。由于一个多项式的微分是另一个低一阶的多项式，所以还可以计算并画出该函数的微分。>>z=polyval(pd , xi); % evaluate derivative >>plot(xi , z) >>xlabel(‘ x ‘) , ylabel(‘ dy/dx‘) , title(‘ Derivative of a curve Fit Polynimial ‘) (微分曲线如图13.7所示） 图13.7 曲线拟合多项式微分 在这种情况下，拟合的多项式为二阶，使其微分为一阶多项式。这样，微分为一条直线，它意味该微分与x成线性变化。 给定一些描述某函数的数据，MATLAB提供了一个计算其非常粗略的微分的函数。这个函数命名为diff，它计算数组中元素间的差分。因为微分定义为： 则y=f(x)的微分可近似为： 这里h>0 它是y的有限差分除以x的有限差分。因为diff计算数组元素间的差分，所以在MATLAB中，可近似求得函数的微分。继续前一个例子：>>dy=diff(y) ./ diff(x); % compute differences and use array division >>xd=x(1 : length(x)-1); % create new x axis since dy is shorter than y >>plot(xd , dy); >>title(‘ Approximate Derivative Using DIFF ‘) >>ylabel(‘ dy/dx ‘) , xlabel(‘ x ‘) 图13.8 用diff得到的近似微分 由于diff计算数组元素间的差分，所以，其所得输出比原数组少了一个元素。这样，画微分曲线时，必须舍弃x数组中的一个元素。当舍 弃x的第一个元素时，上述过程给出向后差分近似，而舍弃x的最后一个元素，则给出向前差分近似。比较上述两条曲线，显而易见，用有限差分近似微分会导致很差的结果，特别是被噪声污染了的数据。 13.6 微分方程 一般微分方程式描述系统内部变量的变化率如何受系统内部变量和外部激励，如输入，的影响。当常微分方程式能够解析求解时，可用MATLAB的符号工具箱中的功能找到精确解。在本书的后面将介绍该工具箱的一些特点。 在微分方程难以获得解析解的情况下，可以方便地在数值上求解。为了说明起见，考虑描述振荡器的经典的范得波（Var der Pol）微分方程。 与所有的数值求解微分方程组的方法一样，高阶微分方程式必须等价地变换成一阶微分方程组。对于上述微分方程，通过重新定义两个新的变量，来实现这种变换。 令y1=x 且y2=dy/dx 则dy1/dt=y2 根据这个微分方程组，可用MATLAB的函数ode23和ode45求出系统随时间变化的运动情况。调用这些函数时，需要编写一个函数M 文件，给定当前时间及y1和y2的当前值，该函数返回上述导数值。 MATLAB中，这些导数由一个列向量给出。在本例中，这个列向量为yprime。同样，y1和y2合并写成列向量y。所得函数M文件是：function yprime=vdpol(t , y); % VDPOL(t , y) returns derivatives of the Van der Pol equation: % % x ‘‘-mu *(1-x ^2)*x ‘+x=0 (‘ = d/dx , ‘‘ = d^2/dx^2) % % let y(1)=x and y(2)=x‘ % % then y(1) ‘ = y(2) % y(2) ‘ = MU*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1) global MU % choose 0 yprime=[y(2) MU*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; % output must be a column 给定这个完整地描述微分方程的函数，计算结果如下： >>global MU % define MU as a global variable in the Command Workspace >>MU=2; % set global parameter to desired value >>[t , y]=ode23(‘ vdpol ‘ , 0 , 30 , [1 ; 0]); % to=0 , tf=30 , yo=[1 ; 0] >>y1=y( : , 1); % first column is y(1) versus time points in t >>y2=y( : , 2); % second column is y(2) >>plot(t , y1 , t , y2 , ‘ -- ‘) >>xlabel(‘ Time , Second ‘) , ylabel(‘ Y(1) and Y(2) ‘) >>title(‘ Van der Pol Solution for mu=2 ‘) 所得的图见图13.9。 图13.9当mu=2时的范得波方程的运动曲线 在图13.9中，y2（虚线）是y1（实线）的导数。传递给ode23的参数由ode23(f_name , to , tf , yo , to1)描述。这里f_name是计算导数的M文件函数的字符串名，to是初始时间，tf是终止时间，yo是初始条件向量。可选择的参数to1（缺省值to1=1e-3）是所需的相对精度。在上例中，起始时间是第0秒，终止时间是第30秒，初始条件为 y=[1;0]。两个输出参数是列向量t和矩阵y，其中向量t包含了估计响应的时间点，而矩阵y的列数等于微分方程组的个数（本例为2），且其行数与t相同。t中的时间点不是等间隔的，因为为了保持所需的相对精度，积分算法改变了步长。 函数ode45的使用与ode23完全一样。两个函数的差别在于必须与所用的内部算法相关。两个函数都运用了基本的龙格-库塔(Runge-Kutta)数值积分法的变形。ode23运用一个组合得2/3阶龙格-库塔-芬尔格(Runge-Kutta-Fehlerg)算法，而ode45运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬 尔格算法。一般地，ode45可取较多的时间步。所以，要保持与ode23相同误差时，在to和tf之间可取较少的时间步。然而，在同一时间，ode23每时间步至少调用f_name 3次，而ode45每时间步至少调用f_name 6次。 正如使用高阶多项式内插常常得不到最好的结果一样，ode45也不总是比ode23好。如果ode45产生的结果，对作图间隔太大，则必须在更细的时间区间，对数据进行内插，比如用函数interp1。这个附加时间点会使ode23更有效。作为一条普遍规则，在所计算的导数中，如有重复的不连续点，为保持精度致使高阶算法减少时间步长，这时低阶算法更有效。正是由于这个原因，电子电路分析按缺省，就用一阶算法编程，并且最多提供二阶算法来解决暂态时间响应问题。此外，通过对tol设置更小的值，要达到更高的精度，没有必要使绝对误差更小。tol设置每时间步的相对精度，不一定引起绝对误差减少。 总之，不要盲目使用数值方法。对于给定的问题，在决定最好的方法之前，要试一试各种可能的方法。有关微分方程数值解法的更进一步信息，请参考数值分析方面的书籍。有些参考书还提供了一些关于算法选择和如何处理那些时间常数变化范围大的病态方程的非 M文件举例: 这里所介绍的《精通MATLAB工具箱》中的M文件可近似求解由采样值给出的函数的积分和微分。这里假定这些函数本身不存在，且独 立变量也许不是线性间隔。例如，已装载到MATLAB中要分析的数据来源于实验测试。 对于所包含的数据缺乏函数描述，有许多种积分和微分的方法。如前所述，人们可以用最小二乘多项式拟合数据，然后在多项式的描述上进行操作。另一种方法是寻找数据的三次样条表示，然后运用《精通MATLAB工具箱》中的函数spintgrl和spderiv来分别寻找积分和微分的样条表示。这里所介绍的方法提供了另一种更简单的方法。积分用梯形规则计算。用加权中心差分计算微分。此外，将函数设计成在矩阵形式下工作，矩阵的列代表各与自变量有关的因变量。 正如这章前面所述，MATLAB函数trapz计算在某有限区间的梯形积分。这里我们寻找的积分是自变量为x的函数。即如果y=f(x)，我们寻找： 式中的x1是向量x的第一个元素。用梯形规则，这个积分近似为：且S(x1)=0 这样，第k个数据点的积分是上述梯形面积的累加和。函数mmintgrl 实现的这个算法如下： function z=mmintgrl(x , y) % MMINTgrl Compute Integral using Trapezoidal Rule. % MMINTGRL(X , Y) computes the integral of the function y=f(x) given the % data in X and Y. X must be a vector , but Y may be a column oriented % data matrix. The length of X must equal the length of Y if Y is a % vector , or it must equal the number of rows in Y if Y is a matrix. % % X need not be equally spaced. The trapezoidal algorithm is used. % % See also mmderiv % Copyrigth (c) 1996 by Prentice-Hall , Inc. flag=0; % falg is True if y is a row x=x( : ); nx=length(x); % make x a column [ry , cy]=size(y); if ry==1&cy==nx , y=y .' ; ry=cy ; cy=1 ; flag=1 ; end if nx~=ry , error(' X and Y not the right size ') , end dx=x(2 : nx)-x(1 : nx-1); % width of each trapezoid dx=dx( : , ones(1 , cy)); % duplicate for each column in y yave=(y(2 : ry , : )+y(1 : ry-1 , :))/2; % average of heights z=[zeros(1 , cy); cumsum(dx .* yave)]; % Use cumsum to find area if flag , z=z'; end % if y was a row , return a row 在介绍上述函数的使用之前，考虑微分。在这种情况下，人们感兴趣的就是刚给定数据点的近似斜率。这里介绍一种下述的中心差分 图13.10 加权中心差分方法 从图13.11可知，在第k个点的近似微分是： 式中， 并且Mk是连接yk-1到yk的直线的斜率。这样，第k点的微分是相邻两点间斜率的加权平均，离该点越近的点权越重。在第一个和最后一个数据点上，不能简单按照上述方法进行处理，因为这两个点都没有伴随的直线段。对于这些数据点，需要用另外的方法。这里所采取的方法是用二次多项式拟合前3个点（或最后3个点），并且计算这个多项式第一个（或最后一个）点的微分。函数mmderiv实现的这个算法如下： function z=mmderiv(x , y) % MMDERIV Compute Derivative Using Weighted Central Differences. % MMDERIV(X , Y) computes the derivative of the function y=f(x) given the % data in X and Y. X must be a vector , but Y may be a column oriented % data matrix. The length of X must equal the length of Y if Y is a % vector , or it must equal the number of rows in Y if Y is a matrix. % % X need not be equally spaced.Weighted central difference are used. % Quadratic approximation is used at the endpoints. % % See also mmintgrl % Copyrigth (c) 1996 by Prentice-Hall , Inc. flag=0; % flag is True if y is a row x=x( : ); nx=length(x); % make x a column [ry , cy]=size(y); if ry==1&cy==nx , y=y .'; ry=cy; cy=1; flag=1; end if nx~=ry , error(' X and Y not the right size ') , end if nx<3 , error(' X and Y must have st least three elements ') , end dx=x(2 : nx)-x(1 : nx-1); % first difference in x dx=dx+(dx==0)*eps; % make infinite slopes finite dxx=x(3 : nx)-x(1 : nx-2); % second difference in x dxx=dxx+(dxx==0)*eps; % make infinite slopes finite alpha=dx(1 : nx-2) ./ dxx % central difference weight alpha=alpha( : , ones(1 , cy)); % duplicate for each column in y dy=y(2 : ry , :)-y(1 : ry-1 , : ); % first difference in y dx=dx( : , ones(1 , cy)); % duplicate dx for each column in y % now apply weighting to dy z=alpha .* dy(2:ry-1 , :) ./ dx(2 : nx-1 , : )+(1-alpha) .* dy(1 : ry-2 , : ) ./ dx(1 : nx-2 , : ); z1=zeros(1 , cy)>=z1; for i=1 : cy % fit quadratic at endpoints of each column p1=polyfit(x(1 : 3) , y(1 : 3 , i) , 2); % quadratic at first point z1(i)=2*p1(1)*x(1)+p1(2); % evalute poly derivative pn=polyfit(x(nx-2 : nx) , y(ry-2 : ry , i) , 2); % quadratic at last point zn(i)=2*pn(1)*x(nx)+pn(2); % evaluate poly derivative end z=[z1; z; zn]; if flag , z=z'; end % if y was a row , return a row 最后，给出一个例子： >>x=linspace(0 , 2*pi , 30) >>y=sin(x); % create data >>yi=mmintgrl(x , y); % find integral >>yd=mmderiv(x , y); % find derivative >>plot(x , y , x , yi , ‘ - ‘ , x , yd , ‘ : ‘) % plot results 注意这个积分定性地证明了等式： 而微分定性地证明了等式： 图13.11 y=sin(x)极其积分、微分曲线 13.8 小结 表13.1总结了本章所讨论的函数。 表13.1 求极值的若干方法 1 序言 一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义 定义1) 136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点 0()P U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点． 2 求解一元函数无条件极值的常用方法 2.1 导数法 定理１ ) 142](2[P 设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)o U x δ内可导． (i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值． (ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值． 由此我们可以推出当0(;)o x U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值． 定理２ ) 142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导， 在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠． (i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值． 对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１． 例1 求函数2 ()(1)f x x x =-的极值． 尽管不同类型的控制器，其结构、原理各不相同，但是基本控制规律只有三个：比例（P）控制、积分（I）控制和微分（D）控制。这几种控制规律可以单独使用，但是更多场合是组合使用。如比例（P）控制、比例-积分（PI）控制、比例-积分-微分（PID）控制等。 比例（P）控制 单独的比例控制也称“有差控制”，输出的变化与输入控制器的偏差成比例关系，偏差越大输出越大。实际应用中，比例度的大小应视具体情况而定，比例度太小，控制作用太弱，不利于系统克服扰动，余差太大，控制质量差，也没有什么控制作用；比例度太大，控制作用太强，容易导致系统的稳定性变差，引发振荡。 对于反应灵敏、放大能力强的被控对象，为提高系统的稳定性，应当使比例度稍小些；而对于反应迟钝，放大能力又较弱的被控对象，比例度可选大一些，以提高整个系统的灵敏度，也可以相应减小余差。 单纯的比例控制适用于扰动不大，滞后较小，负荷变化小，要求不高，允许有一定余差存在的场合。工业生产中比例控制规律使用较为普遍。 比例积分（PI）控制 比例控制规律是基本控制规律中最基本的、应用最普遍的一种，其最大优点就是控制及时、迅速。只要有偏差产生，控制器立即产生控制作用。但是，不能最终消除余差的缺点限制了它的单独使用。克服余差的办法是在比例控制的基础上加上积分控制作用。 积分控制器的输出与输入偏差对时间的积分成正比。这里的“积分”指的是“积累”的意思。积分控制器的输出不仅与输入偏差的大小有关，而且还与偏差存在的时间有关。只要偏差存在，输出就会不断累积（输出值越来越大或越来越小），一直到偏差为零，累积才会停止。所以，积分控制可以消除余差。积分控制规律又称无差控制规律。 积分时间的大小表征了积分控制作用的强弱。积分时间越小，控制作用越强；反之，控制作用越弱。 积分控制虽然能消除余差，但它存在着控制不及时的缺点。因为积分输出的累积是渐进的，其产生的控制作用总是落后于偏差的变化，不能及时有效地克服干扰的影响，难以使控制系统稳定下来。所以，实用中一般不单独使用积分控制，而是和比例控制作用结合起来，构成比例积分控制。这样取二者之长，互相弥补，既有比例控制作用的迅速及时，又有积分控制作用消除余差的能力。因此，比例积分控制可以实现较为理想的过程控制。 比例积分控制器是目前应用最为广泛的一种控制器，多用于工业生产中液位、压力、流量等控制系统。由于引入积分作用能消除余差，弥补了纯比例控制的缺陷，获得较好的控制质量。但是积分作用的引入，会使系统稳定性变差。对于有较大惯性滞后的控制系统，要尽量避免使用。 比例微分（PD）控制 函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是： PID－比例积分微分控制方法：原理浅释及相关资料搜集 2010-05-13 21:39:22| 分类：软件技术编程开| 标签：|字号大中小订阅 PID原理和调节（转贴） 目前工业自动化水平已成为衡量各行各业现代化水平的一个重要标志。同时，控制理论的发展也经历了古典控制理论、现代控制理论和智能控制理论三个阶段。智能控制的典型实例是模糊全自动洗衣机等。自动控制系统可分为开环控制系统和闭环控制系统。 一个控制系统包括控制器﹑传感器、变送器、执行机构、输入输出接口。控制器的输出经过输出接口、执行机构，加到被控系统上；控制系统的被控量，经过传感器，变送器，通过输入接口送到控制器。 不同的控制系统，其传感器、变送器、执行机构是不一样的。比如压力控制系统要采用压力传感器。电加热控制系统的传感器是温度传感器。 目前，PID控制及其控制器或智能PID控制器（仪表）已经很多，产品已在工程实际中得到了广泛的应用，有各种各样的PID控制器产品，各大公司均开发了具有PID参数自整定功能的智能调节器（intelligent regulator），其中PID控制器参数的自动调整是通过智能化调整或自校正、自适应算法来实现。有利用PID控制实现的压力、温度、流量、液位控制器，能实现PI D控制功能的可编程控制器（PLC），还有可实现PID控制的PC系统等等。 可编程控制器（PLC）是利用其闭环控制模块来实现PID控制，而可编程控制器（PLC）可以直接与ControlNet相连，如Rockwell的PLC-5等。还有可以实现PID控制功能的控制器，如Rockwell 的Logix产品系列，它可以直接与ControlNet相连，利用网络来实现其远程控制功能。 1、开环控制系统 开环控制系统（open-loop control system）是指被控对象的输出（被控制量）对控制器（cont roller）的输出没有影响。在这种控制系统中，不依赖将被控量反送回来以形成任何闭环回路。 2、闭环控制系统 闭环控制系统（closed-loop control system）的特点是系统被控对象的输出（被控制量）会反送回来影响控制器的输出，形成一个或多个闭环。闭环控制系统有正反馈和负反馈，若反馈信号与系统给定值信号相反，则称为负反馈（Negative Feedback），若极性相同，则称为正反馈，一般闭环控制系统均采用负反馈，又称负反馈控制系统。闭环控制系统的例子很多。比如人就是一个具有负反馈的闭环控制系统，眼睛便是传感器，充当反馈，人体系统能通过不断的修正最后作出各种正确的动作。如果没有眼睛，就没有了反馈回路，也就成了一个开环控制系统。另例，当一台真正的全自动洗衣机具有能连续检查衣物是否洗净，并在洗净之后能自动切断电源，它就是一个闭环控制系统。 3、阶跃响应 阶跃响应是指将一个阶跃输入（step function）加到系统上时，系统的输出。稳态误差是指系统的响应进入稳态后﹐系统的期望输出与实际输出之差。控制系统的性能可以用稳、准、快三个字来描述。稳是指系统的稳定性（stability），一个系统要能正常工作，首先必须是稳定的，从阶跃响应上看应该是收敛的﹔准是指控制系统的准确性、控制精度，通常用稳态误差来（Steady-state error）描述，它表示系统输出稳态值与期望值之差﹔快是指控制系统响应的快速性，通常 微分积分公式全集 The pony was revised in January 2021 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??++ +? =?? ? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） 四、导数的四则运算法则 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ? +?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- 目标函数极值求解的几种方法 题目：()() 2 22 1 122min -+-x x ，取初始点()() T x 3,11 =，分别用最速下降法， 牛顿法，共轭梯度法编程实现。 一维搜索法： 迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。 一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程： ⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值 ()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。令 k=1。 ⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当 ()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。 ⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值 ()1+k f μ,转⑸。 ⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。 ⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。 1. 最速下降法 实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目 （一） 在自动控制系统中，P、I、D调节是比例调节，积分调节和微分调节作用。调节控制质量的好坏取决于控制规律的合理选取和参数的整定。在控制系统中总是希望被控参数稳定在工艺要求的范围内。但在实际中被控参数总是与设定值有一定的差别。调节规律的选取原则为：调节规律有效，能迅速克服干扰。 比例、积分、微分之间的联系与相匹配使用效果 比例调节简单，控制及时，参数整定方便，控制结果有余差。因此，比例控制规律适应于对象容量大负荷变化不大纯滞后小，允许有余差存在的系统，一般可用于液位、次要压力的控制。 比例积分控制作用为比例及时加上积分可以消除偏差。积分会使控制速度变慢，系统稳定性变差。比例积分适应于对象滞后大，负荷变化较大，但变化速度缓慢并要求控制结果没有余差。广泛使用于流量，压力，液位和那些没有大的时间滞后的具体对象。 比例微分控制作用：响应快、偏差小，能增加系统稳定性，有超前控制作用，可以克服对象的惯性，控制结果有余差。适应于对象滞后大，负荷变化不大，被控对象变化不频繁，结果允许有余差的系统。 在自动调节系统中，E=SP-PV。其中，E为偏差，SP为给定值，PV为测量值。当SP 大于PV时为正偏差，反之为负偏差。 比例调节作用的动作与偏差的大小成正比；当比例度为100时，比例作用的输出与偏差按各自量程范围的1：1动作。当比例度为10时，按lO：l动作。即比例度越小。比例作用越强。比例作用太强会引起振荡。太弱会造成比例欠调，造成系统收敛过程的波动周期太多，衰减比太小。其作用是稳定被调参数。 积分调节作用的动作与偏差对时间的积分成正比。即偏差存在积分作用就会有输出。它起着消除余差的作用。积分作用太强也会引起振荡，太弱会使系统存在余差。 微分调节作用的动作与偏差的变化速度成正比。其效果是阻止被调参数的一切变化，有超前调节的作用。对滞后大的对象有很好的效果。但不能克服纯滞后。适用于温度调节。使用微分调节可使系统收敛周期的时间缩短。微分时间太长也会引起振荡。 参数设定的方法一般是，先比例次积分后微分的顺序进行。看曲线调参数，从调节品质的曲线逐步找到最佳参数． 在随动系统中，采用数字PI控制可以达到控制精度高、无超调、响应快、曲线拟合精度高等优点，并简化了控制电路。传统的位置式PI算法一般是可以达到基本控制要求，但必须有一个前提：控制周期要足够小。如果控制周期过长，曲线拟合差，要达到15％的曲线拟合误差有点困难，甚至可能会造成系统失控，并造成对机械设备的损伤。因此，针对本文所提到的控制系统，不能简单的采用位置式PI算法，而应该对其进行改进，以适应该控制系统的要求。 比例系数K是和每次采样的偏差值有直接关系，因此提高Kp能使系统响应较快；同时积分系数Ⅸ尾和前面所有的采样偏差值有关，由于采样周期长，每次采样的 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? 求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。 判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)( PID中比例积分微分的经验调节 PID调节经验 Kp: 比例系数 ----- 比例带（比例度）P：输入偏差信号变化的相对值与输出信号变化的相对值之比的百分数表示（比例系数的倒数） T：采样时间 Ti: 积分时间 Td: 微分时间 温度T: P=20~60%,Ti=180~600s,Td=3-180s 压力P: P=30~70%,Ti=24~180s, 液位L: P=20~80%,Ti=60~300s, 流量L: P=40~100%,Ti=6~60s。 （1）一般来说，在整定中，观察到曲线震荡很频繁，需把比例带增大以减少震荡；当曲线最大偏差大且趋于非周期过程时，需把比例带减少 （2）当曲线波动较大时，应增大积分时间；曲线偏离给定值后，长时间回不来，则需减小积分时间，以加快消除余差。 （3）如果曲线震荡的厉害，需把微分作用减到最小，或暂时不加微分；曲线最大偏差大而衰减慢，需把微分时间加长而加大作用 （4）比例带过小，积分时间过小或微分时间过大，都会产生周期性的激烈震荡。积分时间过小，震荡周期较长；比例带过小，震荡周期较短；微分时间过大，震荡周期最短 （5）比例带过大或积分时间过长，都会使过渡过程变化缓慢。比例带过大，曲线如不规则的波浪较大的偏离给定值。积分时间过长，曲线会通过非周期的不正常途径，慢慢回复到给定值。 注意：当积分时间过长或微分时间过大，超出允许的范围时，不管如果改变比例带，都是无法补救的 1. PID调试步骤 没有一种控制算法比PID调节规律更有效、更方便的了。现在一些时髦点的调节器基本源自PID。甚至可以这样说：PID调节器是其它控制调节算法的吗。 为什么PID应用如此广泛、又长久不衰？ 因为PID解决了自动控制理论所要解决的最基本问题，既系统的稳定性、快速性和准确性。调节PID的参数，可实现在系统稳定的前提下，兼顾系统的带载能力和抗扰能力，同时，在PID调节器中引入积分项，系统增加了一个零积点，使之成为一阶或一阶以上的系统，这样系统阶跃响应的稳态误差就为零。 由于自动控制系统被控对象的千差万别，PID的参数也必须随之变化，以满足系统的性能要求。这就给使用者带来相当的麻烦，特别是对初学者。下面简单介绍一下调试PID参数的一般步骤： 1．负反馈 自动控制理论也被称为负反馈控制理论。首先检查系统接线，确定系统的反馈为负反馈。例如电机调速系统，输入信号为正，要求电机正转时，反馈信号也为正（PID算法时，误差=输入-反馈），同时电机转速越高，反馈信号越大。其余系统同此方法。 2．PID调试一般原则 a.在输出不振荡时，增大比例增益P。 b.在输出不振荡时，减小积分时间常数Ti。 c.在输出不振荡时，增大微分时间常数Td。 高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= 高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、 1 01 1 01 lim0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m - - →∞ ? = ? ? +++? =< ? +++? ∞> ? ?? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1 ） sin lim1 x x x → =（2）( )1 lim1x x x e → +=（3）)1 n a o >= （4）1 n =（5）limarctan 2 x x π →∞ =（6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot0 x x →∞ =（8）lim arccot x xπ →-∞ =（9）lim0 x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞（11） lim1 x x x + → = 三、下列常用等价无穷小关系（0 x→） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x2 1 1cos 2 x x - () ln1x x +1 x e x -1ln x a x a -() 11 x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 () u v u v ''' ±=±()uv u v uv ''' =+ 2 u u v uv v v ''' - ?? = ? ?? 五、基本导数公式 ⑴()0 c'=⑵1 x x μμ μ- =⑶() sin cos x x '= ⑷() cos sin x x '=-⑸()2 tan sec x x '=⑹()2 cot csc x x '=- ⑺() sec sec tan x x x '=?⑻() csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾() 1 ln x x '= 求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y = 如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p PID控制——简而优秀 当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量关心的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响应。 这个理论和应用自动控制的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统。 PID（比例-积分-微分）控制器作为最早实用化的控制器已有50多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。 PID控制器由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入e (t)与输出u (t)的关系为 因此它的传递函数为： 它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp，Ki和Kd）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。 首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过对其简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可控制了。 其次，PID参数较易整定。也就是，PID参数Kp，Ki和Kd可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。 第三，PID控制器在实践中也不断的得到改进，下面两个改进的例子。 在工厂，总是能看到许多回路都处于手动状态，原因是很难让过程在“自动”模式下平稳工作。由于这些不足，采用PID的工业控制系统总是受产品质量、安全、产量和能源浪费等问题的困扰。PID参数自整定就是为了处理PID参数整定这个问题而产生的。现在，自动整定或自身整定的PID控制器已是商业单回路控制器和分散控制系统的一个标准。 在一些情况下针对特定的系统设计的PID控制器控制得很好，但它们仍存在一些问题需要解决： 如果自整定要以模型为基础，为了PID参数的重新整定在线寻找和保持好过程模型是较难的。闭环工作时，要求在过程中插入一个测试信号。这个方法会引起扰动，所以基于模型的PID参数自整定在工业应用不是太好。 如果自整定是基于控制律的，经常难以把由负载干扰引起的影响和过程动态特性变化引起的影响区分开来，因此受到干扰的影响控制器会产生超调，产生一个不必要的自适应转换。另外，由于基于控制律的系统没有成熟的稳定性分析方法，参数整定可靠与否存在很多问题。 因此，许多自身整定参数的PID控制器经常工作在自动整定模式而不是连续的自身整定模式。自动整定通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算PID 参数。 但仍不可否认PID也有其固有的缺点： PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，工作地不是太好。最重要的是，如果PID控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。 虽然有这些缺点，PID控制器是最简单的有时却是最好的控制器。 中学物理力学求极值的常用方法 一、知识要点 1．极值问题：指极小值和极大值。 注：极值不一定是最值。 2．求极值问题的两个途径： 物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。 （1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。 （2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。 二、应试策略 1．用二次函数求极值的方法求极值 一元二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0），当x=-a b 2时，y 有极小值y 极=a b ac 442-，用a>0时y 有极小值， a<0时y 有极大值。 例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车旁边匀建驶过 (1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？ 解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V 0t ，212 1at s = 得22 36t t s - =? (1)当s s a b t 2362==-=时，△S 极=m a b ac 6460442 32 2=?--=-或m t t s 62362=-=? (2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t’=4s 。v t =at’=12m/s 答案：(1)2S ，6m ；(2)12m/s 。---可以利用配方法求解 点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。 2．利用一元二次方程根的判别式求极值 将二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2－4aC≥0，x 有 实数解，若y≥A ，则y min ＝A ；若y≤A ，则y max ＝A 。Δ≤0，方程无实数解。 例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m 的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m > 3 2 M 时，圆环能升起。 证明：取小球为研究对象，受力如图（a ），由牛顿第二定律，得mg cosθ＋N =R v m 2 由动能定理得 mgR （1－cosθ）＝2 1 mv 2 由此二式得 N =2mg －3mg cosθ 上式中，N >0，即 cosθ< 3 2 就是一种控制方式，通常叫做PID，在网上一搜一大堆， 比例（P）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error）。 积分（I）控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-state Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。 但积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，为了使系统在进入稳态后无稳态误差，通常采用比例+积分(PI)控制器，微分（D）控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。 形象点：比例跟偏差成正比，决定响应速度；积分的作用是使系统稳定后没有静差（如：你要得到输出是10，积分就能使最后结果是10，静差为0也即没有静差）；微分的作用使输出快速的跟定输入，也就是说你输入偏差变大，我“立刻”变化是你变小，抑制你。 在控制领域，PID是一种经典的调节方法。在实际的过程控制与运动控制系统中，PID 家族占有相当的地位，据统计，工业控制的控制器中PID类控制器占有90%以上（K J ?str?m and T. H?gglund. PID Controllers: Theory,Design and Tuning. Instrument Society of America, 1995）。PID控制器是最早出现的控制器类型，因为其结构简单，各个控制器参数有着明显的物理意义，调整方便，所以这类控制器很受工程技术人员的喜爱。 更专业的只是你就要查看自动化的专业课：自动控制原理，过程控制原理等。 在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=求极值的若干方法
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