线性代数习题集 第五章

1．设三维线性空间V内的一个线性变换σ在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为

A=a b c

a1b1c1

a2b2c2

，则σ在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为（）

（1）

a2b2c2

a1b1c1

a b c

（2）

c2b2a2

c1b1a1

c b a

（3）

a b c

a1b1c1

a2b2c2

（4）

a b c

a1b1c1

a2b2c2

2．设a,b,c是线性空间R3中的任意向量，下列对应法则哪一个是R3中的线性变换（）

（1）σa,b,c=(a2,0,0)（2）τa,b,c=a,b

（3）υa,b,c=0,0,a b（3）φa,b,c=0,b,0

3.线性空间R3的两个线性变换σ,τ为σx1,x2,x3=x1?x2,x2,x3?x1;

τx1,x2,x3=x1,0,0，并且α=1,0,1∈R3

则σ+τα为（）

（1）2,0,0（2）2,0,1（3）1,0,0（4）1,0,1

4.R2的两个线性变换σ,τ为

σx1,x2=x1,x230

0?1

；

τx1,x2=x1,?x2，则σ?τx1,x2为（）

（1）2x1,0（2）3x1,0（3）x1+x2，0（4）x1+x2，x2

5.R3的两个线性变换σ,τ为

σx1,x2,x3=0,x1,x2;

τx1,x2,x3=x1,0,x2;

则στ?L x1,x2,x3为（）

（1）1,1,x22（2）?x1,x1?x2,?x3

（3） ?1，x1?x2,?1（4）?x1,?x2,x1?x3

6.已知R2的线性变换σx1,x2=x1+x2,2x1+x2，则σ2x1,x2为（）

（1）（x1+x2）2

,（2x1+x2）2（2）x12+x22，4x12+x22

（3）x1+x2，2x1+x2（4）3x1+2x2，4x1+3x2 7.“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。

（1）充分（2）必要（3）充分必要（4）既不充分也不必要

8.在线性空间R3中，线性变换σx,y,z=z,x,y,则σ在基ε1=1,0,0,ε2= 0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵为

（1）010

001

100

（2）

001

010

100

（3） 100

010001

（4） 001100010 9.矩阵 2202

的特征值为（） （1）λ1=λ2=2 （2）λ1=λ2=4 （3）λ1=2,λ2=4 （4）λ1=0,λ2=1

10.令 a b c d

,则f A (x)的表达式为（） （1）x 2?T r A x + A （2）x 2+T r A x + A

（3）x 2?T r A x ? A （4）x 2?T r A x

11.对f A x = x ?2 2(x +3)时矩阵A 的特征值为（）

（1）λ1=2 （2）λ1=?3,λ2=2（二重根）

（3）λ1=3 （4）λ1=3,λ2=-2

12.以线性空间V 的任何非零向量作为特征值的线性变换只能是（）

（1）变换 （2）位似（数乘）变换 （3）单位变换 （4）零变换

13.n 维线性空间V 的线性变换σ可逆的充分必要条件是（）

（1）σ的特征多项式的常数项不等于零（2）σ的特征多项式不等于零

（3）σ有n 个互异的特征值 （4）σ有n 个线性无关的特征向量

14.设λ是矩阵A 的特征值，且A 2=A ，则λ只能是（）

（1）0 （2）1 （3）正实数 （4）0或1

15.实对称矩阵的特征值为（）

（1）都是实数 （2）都不是实数

（3）都是非负的实数 （4）有实数也有非实数

16.设线性空间V 的线性变换σ在基ε1,ε2,…,ε3下的矩阵是A ，在基

ξ1,ξ2,…,ξn 下的矩阵是B ，并且从ε1,ε2,…,εn 到基ξ1,ξ2,…,ξn 的过度矩阵T ，则A,B,T 之间的关系是（）

（1）T=AB （2）TB=AT （3）TA=BT （4）B=T ’AT

17.设数域K 上的n 维线性空间V 的线性变换σ关于V 的一个基的矩阵是A=（a ij ），σ的特征多项式f(x)=x n +a 1x n?1+?+a n?1x +a n ,则a n 等于

（1） A （2）（?1）n

A （3） a ij n i =1 （4） a ij n i=1 18.设B=T ?1AT ，λ是A ，

B 的一个特征值，ξ是A 的关于λ的特征向量，则B 的关于λ的特征向量是（）

（1）ξ （2）T ξ （3）T ?1ξ （4）T ’ ξ

19.矩阵A=? a 11?a 1n ???a n 1?a nn

的迹T r A 为（） （1） a i 1n i=1 （2）（?1）n a 1j （3）? a i 1n i=1 （4） （?1）n

a 1i n i=1 20.设σ是一线性变换，若Ker （σ）={0}，则下面说法正确的是（）

（1）σ无特征值零 （2）σ有特征值零 （3）σ有特征值1 （4）σ有特征值-1

21.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵（1/3A2）?1

的特征值等于（）

（1）4/3 （2）3/4 （3）1/2 （4）1/4

22.设A为N阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A?的特征值等于（）

（1）λ?1A n（2）λA n（3）λA（4）λ?1A

23.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（）

（1）充分必要条件（2）必要非充分条件

（3）充分非必要条件（4）非充分非必要条件

24.二维平面上的旋转变换σ，（）非平凡的不变子空间

（1）有（2）有一个（3）有无限多个（4）没有

25.对于数域K上的线性空间V的数乘变换来说，（）不变子空间

（1）每个子空间都是（2）有一个（3）有两个（4）不存在

26.线性变换σ的多项式f(σ)的像与核都是σ的不变子空间，因为（）

（1）f(σ)仍是一个线性变换（2）σ是一个线性变换

（3）σ的不变子空间也是f(σ)的（4）f(σ)与σ可交换

II．填空题

1.设σ是线性空间V的线性变换，若满足；

则称σ是可逆变换，并且σ的逆变换是。

2.对线性空间V的任意线性变换σ，都有σ0= ；

σ（?α）=。

3.σ是n维线性空间V的一个位子、似变换；σ（ζ）=kζ，那么σ关于V的基的矩

阵是k E。

4.在K3中线性变换σx1,x2,x3=2x1?x2,x2+x3,x1，那么σ关于基

ε1=1,0,0,ε2=0,1,0，ε3=0,0,1的矩阵是。

5.设σ1，σ2分别是线性空间R2中绕原点逆时针旋转θ1，θ2角的线性变换，那么σ2σ1关于基σ1=（1,0），σ2=（0,1）的矩阵是。

6.设V是数域K上的n维线性空间，由V的全体线性变换组成的线性空间是维的。

7.可逆矩阵A的特征值λ，且为A?1的特征值。

8.矩阵A的不同特征值对应的特征向量必线性。

9.设λ1，λ2是线性变换σ的两个不同的特征值，ε1，ε2是分别属于λ1，λ2的特征向量，则ε1+ε2σ的特征向量。

10.如果ζ1，ζ2是线性变换σ的属于λ的两个特征向量，则当时，ζ1+ζ2也是σ的属于特征向量。

11.对一个n阶方阵A=（a ij），令f(λ)=λE?A=,则称f(λ)为矩阵A的

；f(λ)在数域K内的根称为矩阵A的。

12.设ε1=1,0,0,ε2=0,1,0，ε3=0,0,1是R3的一组基，σ是R3的一个线性变换，并且σ（ε1）=（1.3,5），σ（ε2）=（2,4,6），σ（ε3）=（0,5,8），则σ在基ε1,ε2，ε3下的矩阵A=。

13.设σ是数域K上n维线性空间V的一个线性变换，σ可以对角化的充分必要条件是（1）；（2）。

14.设A∈M N(K)，如果A的特征多项式在K内有，那么A可以对角化。

15.设σ是数域K上n维线性空间V的一个线性变换，λ是σ的一个特征值，则dim Vλλ

的重数。

16.已知三阶矩阵A的特征值为1，-1,2，则矩阵B=2A+E（E为三阶单位矩阵）的特征值为。

17.设A~B，则对于正整数k，有

（1）A k B k；因为。

（2）若A k=0，则B k=；因为。

（3）若A k=A，则B k=；因为。

（4）若A k=E，则B k=；因为。

18.设矩阵A的特征值为λ，则，A k的特征值。

19.设λ为n阶可逆矩阵A的特征值，则为A?1的特征值；为A k的特征值。

20.设V和M是数域K上的线性空间，而σ：V→M是一个线性映射，那么σ是单射的充分必要条件是；σ是满射的充分必要条件是。

21.已知数域K上三元列空间K3，取A=111

012

222

，对任意α∈K3，令αα=Aα，

则线性变换σ的核及像的维数分别是。

22.线性空间M n(K)的零变换θ的像及核的维数分别是。

23.线性变换σ在基ε1,ε2,…,ε3下的矩阵是A，向量ζ在此基下的坐标是（x1,x2,…xn）,那么σ（ζ）在此基下的坐标是。

24.线性变换σ在基{ε1,ε2,…,εn}与{ξ1,ξ2,…,ξn}下的矩阵分别是A与B，并且有（ξ1,ξ2,…,ξn）=（ε1,ε2,…,ε3）T，则A=。

25.设σ是线性空间V的可逆线性变换，则σ的特征值。

III．判断题

1.在线性空间K3中，σx1,x2,x3=2x1?x2,x2+x3,x1，则σ是一个线性变

换。

2.在线性空间R3中，σx1,x2,x3=2x1,x2,x2?x3,则σ是R3的一个线性变换。

3.在线性空间R n[x]中，σ（f(x)）=f2(x)，则σ是R n[x]的一个线性变换。

4.取定A∈M n(K)，对任意n阶矩阵X∈M n(K)，定义σ（x）=AX-XA，则σ是M n(K)的

一个线性变换。

5.设σ是线性空间V的，向量组a1,a2,…an，线性相关，那么σ（a1），σ（a2），…，

σ（an）也线性相关。

6.在R n[x]中，求微商σ（f(x)）=f’ (x)是一个线性变换。

7.在线性空间M n(K)中，令变换σ（x）=BXC，其中B，C为M n(K)中的两个固定

矩阵，则σ是线性变换。

8.在线性空间K[x]中，令变换σ（f(x)）=f(x)f’ (x)，则σ是线性变换。

9.设V是复数域，K为复数域，V是K上的线性空间，令变换σ（x）=x ，则σ是

线性变换。

10.在线性空间K[x]中，定义变换σ（f(x)）=f(x)+f’ (x)，则σ是线性变换。

11.设V是K上的线性空间，σ为V的一个线性变换，σ（α）=0，且α≠0，则σ=0。

12.设V是K上的线性空间，σ为V的一个线性变换，则σ（θ）=0。

13.A是单位方阵的充分必要条件是A的特征值为1。

14.A是零矩阵的充分必要条件是A的特征值为0。

15.设V是数域K上的n维线性空间，σ为V的一个线性变换，σ可对角化的充分

必要条件是σ有n个线性无关的特征向量。

16. 设A ∈M n (R )，x ∈R 3，λ∈R ，如果Ax=λx ，则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的属于λ的特征向量。

17. 设A ∈M 2(K)，ξ1,ξ2,…,ξn 是A 的属于特征值λ的特征向量，则ξ1,ξ2,…,ξn 的任意线性组合也是属于λ的特征向量。

18. 设线性变换σ在基ε1,ε2,…,εn 和基ξ1,ξ2,…,ξn 下的矩阵分别为A 和B ，而由基ε1,ε2,…,εn 到ξ1,ξ2,…,ξn 的过渡矩阵为T ，则B=T ’AT 。

19. 设V 是K 上的线性空间，σ为V 的一个线性变换，a1,a2,…an ∈V 且线性无关，则σ（a1），σ（a2），…，σ（an ）也线性无关。

20. 在K [x]3中，求微商变换D=d dx ，在基1，x ，x 2下的矩阵是 010200000

。

21. 设V 是数域K 上的n 维线性空间，σ为V 的一个线性变换，设λ1≠λ2为σ的特征值，ζ1，ζ2是属于λ1的特征向量，ζ3是属于λ2的特征向量，则ζ1，ζ2，ζ3一定线性相关。

22. 设矩阵A 可逆，则A 的特征值λ≠0，且λ?1是A ?1的特征值。

23. 设M n (K )为一个线性空间，A ∈M n (K )，设λ0是A 的特征值，则(λ0E ?A )X=0的解向量都是A 的属于λ0的特征向量。

24. 设M n (K )为数域K 上的全体n 阶方阵所成的线性空间，C ∈M n (K )，令σ是M n (K )的如下的变换，σ（A ）=CA-AC ，则σ是M n (K )的一个线性变换。

25. 对线性空间V 的任意线性变换σ，有线性变换τ，使στ=L （L 是单位变换）。

26. 在线性空间R 3中，已知线性变换σ（x1,x2,x3）=(x1+x2,x2+x3,-x3)，

τ（x1,x2,x3）=（x1,0,x3）,则（σ?2τ）（x1,x2,x3）=（x2-x1,x2+x3,-x3）。

27. 在线性空间R 2，的两个线性变换σ，τ为σ=（x1,x2）=（x1,x2-x1）, τ（x1,x2）=（x1-x2,x2），则（στ?σ2）（x1,x2）=（-x2,x1+x2）。

28. 设a1,a2,…an 是线性空间V 的一个基，如果线性变换σ与τ在这个基上的作用相同，即σ（a i ）=τ（a i ），i=1,2,…,n,那么σ=τ。

29. 在数域K 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 的全体线性变换和K 上全体n 阶矩阵之间就建立了一个一一对应。

30. 在取定基后，V 的每个可逆线性变换对应与可逆矩阵，但逆变换未必对应逆矩阵。

31. 相似矩阵不一定是同意线性变换在不同基下的矩阵。

32. 因为 2002 与 2202

有相同的特征值，所以这两个矩阵相似。 33. 设V 是数域K 上的n 维线性空间，σ∈L(V)，σ的不同特征值是λ1,λ2,…, λn ,则σ可以对角化的充要条件是 dimV

λI n i=1=n 。 IV.简答题

1. 下列所定义的各变换σ是否为线性变换？并说明理由：

（1） 在线性空间中，对任意ζ∈V ，定义σ（ζ）=α，α是V 中一固定向量；

（2） 把复数域看成复数域上的线性空间，对任意复数α，定义σ（α）=α

（3） 把复数域看成实数域上的线性空间，对任意复数α，定义σ（α）=α

2. 在线性空间K[x]中，下列定义的变换是否为线性变换？并说明理由：

（1） σ（f(x)）=f(x+1),f(x) ∈K[x];

（2） σ（f(x)）=f(x0),f(x) ∈K[x],x0是K 中固定的数。

3．在K n (x )中，下列变换是否为线性变换？并说明理由：

（1）σ（f(x)）=a0,f(x)∈K n(x)，a0是f(x)的常数项；

（2）σ（f(x)）=a m x m,f(x)∈K n(x)，a m x m f(x)的最高次项；

（3）σ（f(x)）=xf(x),f(x)∈K n(x)。

4．下列变换σ是否是K3中的线性变换？

σ（x1,x2,x3）=(0,x1+x2+x3,0)

5．线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组？

6.设σ,τ是线性空间V的线性变换，若στ=0，σ=0或τ=0不成立，试举一反例。

7.设V中的线性变换σ在基a1,a2下的矩阵为A=a11a12

a21a22，求σ在基a1,a2下的

矩阵。

8.在线性空间K3[x]中，求微分运算D=d

dx

在基1，x，x2下的矩阵。

9.在K3[x]中，取基a1=x3,a2=x2,a3=x,a4=1,求微分运算D的矩阵。

10.在K3中，令σ（x1,x2,x3）=(2x1-x2,x2+x3,x1)，求σ在基ε1=1,0,0,ε2=0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵。

11.在线性空间M2(K)中，定义线性变换σ如下：

σX=X a b

c d ,求σ在基：E11=10

00

,E12=01

00

,E21=00

10

,E22=00

01

下

的矩阵。

12.在线性空间K4[x]中，σ（f(x)）=f’ (x)，σ为K4[x]的一个线性变换，求σ在基1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3下的矩阵。

13.设A=a b

c d

，试把f(λ)=λE?A，写成λ的多项式，并检验f(A)=0.

14.设σ为n维线性空间V的一个线性变换，且σ2=L，σ的特征值只能是±1吗？15．已知可逆矩阵A的特征值λ所对应的特征向量为x，求伴随矩阵A?的特征值和特征向量。

16.设线性变换σ在基a1=(-1,1,1,),a2=(1,0,-1),a3=(0,1,1)下的矩阵是A=

101 110

?121

，

求在基ε1=1,0,0,ε2=0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵是B。

17.在K3中定义线性变换如下，σ（x1,x2,x3）=(x1+x2+2x3,2x2+x3,-x1+x2+3x3), 试求σ的特征值和特征向量。

18.设σ是K3的一个线性变换，已知σ1,0,0=(5,6,?3)，

σ0,1,0=(?1,0,1),σ1,0,0=(1,2,1),试求：σ的全部特征值和特征向量。

19.设σ是复数域C上线性空间的线性变换，若σ关于一个基的矩阵为A=

0a

?a0

，

a≠0，求σ的特征值和特征向量。

20.设矩阵A=

cosθsinθ

?sinθcosθ

,θ≠0,求A的特征值和特征向量。

21.令A是数域K上一个n阶矩阵，A可以对角化的充分必要条件是f A(x)在K内有n个单根，这种说法对吗？

22.试求方阵a?a

???

a?a

,a≠0的特征值。

23.设V是数域K上的线性空间，σ为V的一个线性变换，λ是的σ一个特征值，令Vλ{ζ∈V|σζ=λζ}，V是否为V的一个子空间？并说明理由。

24.求A=122

212

221

的特征值和特征子空间。

25.在C3中，设线性变换σ在基ε1=1,0,0,ε2=0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵

A=

310

?4?10

4?8?2

，求σ的全部特征值和对应于每个特征值和特征向量（用特征

子空间形式表出）。

26.设K的线性变换σ为：σ（x1,x2,x3,x4）=(x1+x2,x1-x2,x3+x4,x3-x4),

求σ关于基的矩阵ε1=1,0,0,0,ε2=0,1,0,0，ε3=0,0,1,0,ε4=0,0,0,1,，判断σ是否可逆，若可逆，求出σ?1。

27.设A=

310

?4?10

4?8?2

，试由A?1的特征多项式和特征值写出（A?1）?的伴随

矩阵（A）的特征多项式和特征值。

28.设三阶矩阵A=

460

?3?50

?3?61

，求A k。

29.设矩阵A和B相似，其中A=?200

2x2

311

，B=

?100

020

00y

。（1）求x和y的

值；（2）求可逆矩阵P，使得P?1AP=B。

30.设矩阵A=122

212

221

，1求A的特征值和特征向量；（2）求A2+3A+E的特征

值和特征向量。

31.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，对应的特征向量依次为ε1=1,1,1,ε2= 1,2,4，ε3=1,3,9，又向量β=(1,1,3)。

（1）将β用ε1,ε2，ε3线性表示；（2）求A nβ（n为自然数）。

32.已知向量α=(1,k,1)’是矩阵A=211

121

112

的逆矩阵A?1的特征向量，试求常数k

的值。

33.设A=12?1

000

000

，试求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵，并写出这个对

角矩阵。

34.设A=?122

2?1?2

2?2?1

，（1）试求矩阵A的特征值；（2）利用（1）的结果，

求矩阵E+A?1的特征值（E为三阶单位阵）

35.已知矩阵A=200

001

01x

与B=

200

0y0

00?1

相似，（1）求x,y;（2）求可逆矩阵

P，使得P?1AP=B。

36.设A=200

12?1

101

，求A5。

37.已知三阶矩阵A的特征值为1，-1,2.设矩阵B=A3?5A2，求B的特征值及相似对角阵。

38.设A=?4?100

1?60

361

。（1）求A的特征值和特征向量；（2）求A100

39.设是向量空间R2的线性变换，且σa1,a1?a2,σa2=a1+a2，其中

a1=ε1+2ε2,a2=ε1?ε2, {ε1,ε2}是的标准基。

（1）试说明：（a1,a2）是R2的基；

（2）写出σ关于基{ε1,ε2}的矩阵；

（3）设ζ=(3,5)，求出σ(ζ)关于基{ε1,ε2}的坐标。

40.设σ是线性空间V3的线性变换，且

σ0,0,1=2,3,5,σ0,1,1=1,0,0,σ1,1,1=(0,1,2)。求关于基

a1=(1,0,0),a2=(1,1,0),a3=(1,1,1)的矩阵。

V.证明题。

1.取定A∈M n(K)，对任意X∈M n(K)，规定σ（X）=AX-XA，证明：

（1）σ是的一个线性变换；（2）对任意X,Y M n(K)，σ（XY）=σ(X)+σ(Y)。

2.在线性空间K n定变换中，对任意向量α，规定变换σα=Aα，这里A为取定的一个n阶方阵。证明：σ是K n的一个线性变换。

3.在数域K上全体n阶对称矩阵所组成的线性空间V中，定义变换σ：σ(X)=TX’T，其中T为一个固定的n阶方阵，X为V中任一对称矩阵。证明：σ是V的一个线性变换。

4.设线性空间M n(K)中的四个方阵A,B,C,D。证明：σ(X)=AXB+CX+XD是M n(K)的一个线性变换。

5.证明：若某向量组在线性变换下的像线性无关，则该想向量组也线性无关。

6.对线性空间K n中的任意向量（x1,x2,…x n），定义σ（x1,x2,…x n）=

（0,x1,x2,…,x n?1）。证明：是K n的线性变换。

7.K[x]的两个线性变换为：对任意f(x)∈K[x],σ(f(x))=f’(x),τ(f(x))=xf(x),证明：στ-τσ=1。

8.设σ,τ,ρ是V(K)的线性变换，定义[σ,τ]=στ-τσ。证明：对任意σ,τ,ρ以下等式成立：[[σ,τ],ρ]+[[τ ,ρ],σ]+[[ρ,σ],τ]=0.

9.设σ是线性空间V的线性变换，V，并且σk(ζ)≠0，但是σk?1(ζ)=0。证明：ζ，σ(ζ)，…，σk?1(ζ)(k>0)线性无关。

10.设σ,τ是线性空间V的线性变换，并且στ?τσ=L。证明：σkτ-τσk=kσk?1（k>0）

11.令ξ=（x1,x2,x3）是R3中任意向量，是线性变换：σ(ξ)=(x1+x2,x2,x3-x2)。证明：σ可逆。

12.设A,B是数域K上的n阶矩阵，若A,B之一可逆，则AB与BA相似。

13.设σ为线性空间V上一个线性变换，且σ2=σ，证明：σ的特征值只能为1或0。

14.设λ1，λ2是线性变换σ的两个不同的特征值，ε1,ε2是分别属于λ1，λ2的特征

向量。证明：ε1+ε2不是σ的特征向量。

15.设B=C?1AC，x是A的属于λ的特征向量。证明：C?1x是B的属于λ的特征向

量。

16.设σ是线性空间V的一个可逆线性变换。证明：σ的特征值不为零。

17.在M2(K)中定义线性变换σ如下：σX=a b

c d

X，X∈M2(K)。

（1）证明：σ可逆的充分必要条件是a b

c d

≠0.

（2）当σ可逆时，求出σ?1.

18.设f(x)∈K x,f x=a0+a1+?+anx n，A，B是数域K上的n阶矩阵，且B=T?1AT，T是K上n阶可逆矩阵。证明：f(B)=T?1f(A)T。

19.试证明：若矩阵A与B相似，C与D相似，则矩阵A0

0C

与B0

0D

相似。

20.设可逆矩阵A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn，则A?1的全部特征值为

λ1?1,λ2?1,…,λn?1。

.若ζ为n阶方阵A的属于特征值λ0的特征向量。证明：λ0为(T?1AT)的特征值，并求(T?1A T)’的属于λ0的一个特征向量。

22.若ζ为n阶方阵A的属于特征值λ0的特征向量。证明：λ0也是(T?1AT)的特征值，并求矩阵(T?1A T)’属于λ0的一个特征向量。

23.设数域K上的矩阵A=b c a

c a b

a b c

，B=

c a b

a b c

b c a

,C=

a b c

b c a

c a b

。证明：A,B,C

彼此相似。

24.证明：对角矩阵A=a1

?

an

与B==

b1

?

bn

相似当且仅当

b1,b2,…bn是a1,a2,…an的一个排列。

25.设A是可逆矩阵且可对角化。证明：A?1也可对角化。

26.设λ1,λ2为n阶方阵A的特征值，且λ1≠λ2，而ζ1,ζ2分别为特征值λ1,λ2所对应的特征向量。证明：aζ1+bζ2不是A的特征向量(ab≠0)。

27.在实数域上的线性空间D0(a,b)中定义变换(f(x))=d2f(x)

dx +x df x

dx

+sinx?f(x)。

证明：σ是D0(a,b)的一个线性变换。

28.设α1,α2是二维线性空间V的一个基，σ,τ是V的线性变换，并且σα1=

β1,σα2=β2，如果τ(α1+α2)=β1+β2,τ(α1-α2)=β1?β2。证明：σ=τ。

29.设α1,α2,…αn是线性空间V的一个基，σ是V的一个线性变换。证明：σ可逆的充分必要条件是σα1,σα2,…σαn线性无关。

30.设σ2=σ，τ2=τ。证明：（1）σ与τ的像相同的充分必要条件是στ=τ,τσ=σ；（2）σ与τ的核相同的充分必要条件是στ=σ,τσ=τ。

线性代数第五章(答案)

第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

线性代数第五章 课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数第五章答案

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

线性代数详细答案

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数第五章课后习题

习题五 (A) 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量： (1) 123213336?? ?= ? ???A ； (2) ()121,2,33?? ?= ? ??? A ； (3) 310410482?? ?=-- ? ?--??A ； (4) 563101121-?? ?=- ? ??? A . 2. 已知0是矩阵10102010t ?? ?= ? ??? A 的特征值，求参数t 以及A 的特征值和特征向量. 3. 已知2103??= ? ?? A ，问T 130(,)=x ，T 212(,)=x 是否是矩阵A 的特征向量，并说明理由. 4. 设2 32-+=0A A E ，证明A 的特征值只能是1或2. 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为102,,-，求323-+A A E . 6. 证明n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 具有相同的特征值. 7. 设矩阵A 与Λ相似，其中 1241 242 1x --?? ?=-- ? ?--? ?A ，5 4y ?? ?= ? ?-? ? Λ. 求y x ,. 8. 设矩阵20131405x ?? ?= ? ??? A 可相似对角化，求x . 9. 设A 与B 都是n 阶矩阵，且0≠A ，证明矩阵AB 与矩阵BA 相似. 10. 试求一个可逆的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵： (1) 22225424 5-?? ?=- ? ?--? ?A ； (2) 2 202 1202 0-?? ? =-- ? ?-? ? A ； (3)3 242 0242 3?? ?= ? ??? A . (B) 1. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，1λ对应的特征向量为T 1)1,1,0(=x ，求矩阵A . 2. 已知T 1)1,1,1(-=x 是矩阵2125312a b -?? ?= ? ?--?? A 的一个特征向量. (1) 试确定参数b a ,及特征向量1x 所对应的特征值； (2) 问矩阵A 能否相似于对角阵？说明理由. 3. 设A 是n 阶方阵，n 2,,4,2 是矩阵A 的n 个特征值，E 是n 阶单位阵，计算行列式3-A E .

线性代数第五章习题答案

思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4．=0001001001001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 00 323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101111 0403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是 .