2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 数列的综合问题
第五节数列的综合问题
考点一数列与不等式问题(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a n＋1 (n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若正项等比数列{b n}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n；
(3)对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜1
2n＋1
(T n＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为2S n＝a n＋1，
所以4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0，
则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2，
所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2，
即(a n＋1－a n－2)(a n＋1＋a n)＝0，
因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0，
所以a n＋1－a n＝2，
所以{a n}是公差为2的等差数列，
又a1＝1，
所以a n＝2n－1.
(2)设数列{b n}的公比为q，
因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2，
由b2＝2，得b1＝1，故b n＝2n－1.
因为T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
所以2T n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，
两式相减得－T n＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，
故T n＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n ＋3.
(3)不等式λ(－1)n＜
1
2n＋1
(T n＋21)可化为(－1)nλ＜n－
3
2＋
6
2n－1
.
①当n为偶数时，λ＜n－3
2＋
6
2n－1
，
记g (n )＝n －32＋6
2n －1，则有λ＜g (n )min .
因为g (n ＋2)－g (n )＝2＋
62
n ＋1－6
2
n －1＝2－92
n ，
当n ＝2时，g (n ＋2)＜g (n )，当n ≥4时，g (n ＋2)＞g (n )， 即g (4)＜g (2)，当n ≥4时，g (n )单调递增，g (n )min ＝g (4)＝134，所以λ＜13
4
. ②当n 为奇数时，λ＞32－n －6
2n －1，
记h (n )＝32－n －6
2n －1，则有λ＞h (n )max .
因为h (n ＋2)－h (n )＝－2－
62
n ＋1＋6
2
n －1＝－2＋9
2
n ，
当n ＝1时，h (n ＋2)＞h (n )，当n ≥3时，h (n ＋2)＜h (n )，
即h (3)＞h (1)，当n ≥3时，h (n )单调递减，h (n )max ＝h (3)＝－3，所以λ＞－3. 综上所述，实数λ的取值范围为?
???－3，134. [由题悟法]
1．数列与不等式的综合问题考查类型 (1)判断数列中的一些不等关系问题；
(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 2．解决数列与不等式问题的两个注意点
(1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n 取正整数的限制条件． (2)利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果．
[即时应用]
已知数列{a n }满足a 1＝6，a 2＝20，且a n －1·a n ＋1＝a 2n －8a n ＋12(n ∈N *
，n ≥2)．
(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等差数列； (2)令c n ＝
(n ＋1)a n na n ＋1＋na n ＋1(n ＋1)a n
，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：2n ＜T n ＜2n ＋2
3.
证明：(1)当n ＝2时，a 1·a 3＝a 22－8a 2＋12， 所以a 3＝42.
当n ≥2时，由a n －1·a n ＋1＝a 2n －8a n ＋12， 得a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1－8a n ＋1＋12，
两式相减得a n a n ＋2－a n －1a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2
n －8a n ＋1＋8a n ， 所以a 2n ＋a n a n ＋2－8a n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1－8a n ＋1，
即a n (a n ＋a n ＋2－8)＝a n ＋1(a n ＋1＋a n －1－8)，
所以a n ＋a n ＋2－8a n ＋1＝a n ＋1＋a n －1－8a n ＝…＝a 3＋a 1－8a 2＝2.
所以a n ＋2＋a n －8＝2a n ＋1， 即a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝8， 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝8， 当n ＝1时，也满足此式． 又a 2－a 1＝14，
所以数列{a n ＋1－a n }是以14为首项，8为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝14＋8(n －1)＝8n ＋6.
由a 2－a 1＝8×1＋6，a 3－a 2＝8×2＋6，…，a n －a n －1＝8×(n －1)＋6，累加得a n －a 1
＝8×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋6(n －1)＝8×(n －1)(1＋n －1)
2
＋6(n －1)＝4n 2＋2n －6，所以
a n ＝4n 2＋2n .
所以c n ＝
(n ＋1)a n na n ＋1＋na n ＋1(n ＋1)a n ＝2n ＋12n ＋3＋2n ＋32n ＋1＝?
???1－22n ＋3＋????1＋22n ＋1＝2＋
2???
?12n ＋1－1
2n ＋3，
所以T n ＝2n ＋2????????13－15＋???
?15－17＋…＋????12n ＋1－12n ＋3＝2n ＋2???
?13－12n ＋3， 又13＞13－1
2n ＋3＝2n ＋3－33(2n ＋3)＝2n 3(2n ＋3)＞0， 所以2n ＜T n ＜2n ＋2
3
.
考点二 与数列有关的探索性问题 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)若k ＝1
2
，且S 2 018＝2 018a ，求a 的值；
(2)是否存在实数k ，使数列{a n }是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m ，a m ＋
1，a m ＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有
k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当k ＝12时，a n ＋1＝1
2(a n ＋a n ＋2)，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，
所以数列{a n }是等差数列，
此时首项a 1＝1，公差d ＝a 2－a 1＝a －1，
所以数列{a n }的前2 018项和S 2 018＝2 018＋1
2
×2 018×(2 018－1)(a －1)＝2 018a ，
解得a ＝1.
(2)设数列{a n }是等比数列，则它的公比q ＝a 2
a 1＝a (a ≠1)，
所以a m ＝a m －
1，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝a m ＋
1.
①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2， 即2a m ＝a m －
1＋a m ＋
1，解得a ＝1，不合题意；
②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2a m －
1＝a m ＋a m ＋
1，
化简得a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(a ＝1舍去)， 所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2
5； ③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2a m ＋
1＝a m ＋a m －
1，
化简得2a 2－a －1＝0，解得a ＝－1
2(a ＝1舍去)，
所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2
5. 综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，且k ＝－25
.
[由题悟法]
数列中存在性问题的求解策略
数列中的探索性问题的主要题型为存在型，解答的一般策略为：先假设所探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到否定的结论，即不存在．若推理不出现矛盾，能求得已知范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果．
[即时应用]
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(S n －1)2＝a n S n . (1)求a 1；
(2)求证：数列????
??
1S n －1为等差数列；
(3)是否存在正整数m ，k ，使1a k S k ＝1
a m
＋19成立？若存在，求出m ，k ；若不存在，说
明理由．
解：(1)当n ＝1时，(a 1－1)2＝a 21，∴a 1＝1
2. (2)证明：∵(S n －1)2＝a n S n ，
∴当n ≥2时，(S n －1)2＝(S n －S n －1)S n ，
∴－2S n ＋1＝－S n －1S n ， 即1－S n ＝S n (1－S n －1)， ∴1
S n －1－1＝S n S n －1
，
∴
1S n －1－1S n －1－1＝1
S n －1－S n S n －1＝1－S n S n －1
＝－1为定值， ∴????
??
1S n －1为等差数列． (3)∵1
a 1－1
＝－2， ∴
1
S n －1
＝－2＋(n －1)×(－1)＝－n －1， ∴S n ＝n n ＋1，∴a n ＝(S n －1)2S n ＝1
n (n ＋1).
假设存在正整数m ，k ，使1a k S k ＝1
a m ＋19成立，
则(k ＋1)2＝m (m ＋1)＋19， ∴4(k ＋1)2＝4m (m ＋1)＋76，
∴[(2k ＋2)＋(2m ＋1)][(2k ＋2)－(2m ＋1)]＝75，
∴(2k ＋2m ＋3)(2k －2m ＋1)＝75＝75×1＝25×3＝15×5，
∴?????
2k ＋2m ＋3＝75，2k －2m ＋1＝1或?????
2k ＋2m ＋3＝25，2k －2m ＋1＝3 或?????
2k ＋2m ＋3＝15，2k －2m ＋1＝5.
解得????? k ＝18，m ＝18或????? k ＝6，m ＝5或?
????
k ＝4，m ＝2.
考点三 新定义数列问题 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，a 2
n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，则称数列{a n }是“T 数列”．
(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2(n ∈N *)，求证：{a n }是“T 数列”； (2)设{a n }是各项均不为0的“T 数列”． ①若p ＜0，求证：{a n }不是等差数列；
②若p ＞0，求证：当a 1，a 2，a 3成等差数列时，{a n }是等差数列． 证明：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，符合上式，
所以a n ＝2n －1.
则{a n }是“T 数列”?存在非零常数p ，对任意正整数n ，(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ， 显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“T 数列”． (2)①假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，
则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)d ]·
[a 1＋(n ＋1)d ]＋p ， 解得p ＝d 2≥0，这与p ＜0矛盾，故假设不成立， 从而{a n }不是等差数列． ②因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ， 所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，
两式相减得，a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1.
因为{a n }的各项均不为0， 所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1
(n ≥2)，
故??
??
??
a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列， 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1
a 2＝2，
从而a n ＋1＋a n －1
a
n
＝2(n ≥2)， 即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以{a n }是等差数列．
[由题悟法]
(1)新情境和新定义下的新数列问题，一般命题形式是根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类数列的问题.
(2)数列试题的情境，除了常见的等差数列、等比数列和递推数列外，有时还会出现周期数列、分段数列、数表型数列以及子数列问题等新情境．
[即时应用]
对于数列{a n }，记Δ1a n ＝a n ＋1－a n ，Δk ＋
1a n ＝Δk a n ＋1－Δk a n ，k ，n ∈N *，则称数列{Δk a n }
为数列{a n }的“k 阶差数列”．
(1)已知Δ1a n ＝???
?－1
2n ， ①若{a n }为等比数列，求a 1的值；
②证明：当n ＞m ，n ，m ∈N *时，|a n －a m |＜2
3
.
(2)已知数列{b n }为数列{a n }的“2阶差数列”，若b n ＝3n －2，a 1＝1，且a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，求a 2的取值范围．
解：(1)①因为a 2＝a 1＋Δ1a 1＝a 1－12，a 3＝a 2＋Δ1a 2＝a 1－1
4，且{a n }为等比数列，
所以a 22＝a 1·a 3，即????a 1－122＝a 1????a 1－1
4， 解得a 1＝1
3
.
②证明：当n ＞m 时， 因为a n －a m ＝Δ1a n －1＋…＋Δ1a m
＝????－12m ????1－????－12n －m 1－???
?－12
＝23·????
???
?－12m －????－12n ， 所以|a n －a m |＝23·????????－12m －????－12n ≤23·????????12n ＋????12m ＜43·????12m
. 又43·???
?12m
单调递减， 所以43·????12m ≤43×12＝23
，
故当n ＞m ，n ，m ∈N *时，|a n －a m |＜23
.
(2)因为数列{b n }为数列{a n }的“2阶差数列”，且b n ＝3n －2，所以Δ2a n ＝3n －2， 所以Δ1a n ＝Δ2a n －1＋Δ2a n －2＋…＋Δ2a 1＋Δ1a 1 ＝3(1－3n －
1)1－3
－2(n －1)＋Δ1a 1
＝3n 2－2n ＋1
2＋Δ1a 1 ＝3n 2－2n ＋a 2－12
. 由Δ2a n ＝3n －2＞0知，{Δ1a n }单调递增， 所以要使a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，
当且仅当?
????
Δ1
a 2＝a 3－a 2≤0，
Δ1a 3＝a 4－a 3≥0，
即?????
a 2≤0，
a 2＋7≥0，
解得－7≤a 2≤0. 所以a 2的取值范围是[－7,0]．
1．已知各项都不小于1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝6S n ＋3n －2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋1，从数列{b n }中抽取部分项b 1，b 9，bn 3，bn 4，…，bn k ，…，按从小到大的顺序构成等比数列．
①求{n k }的通项公式；
②记c k ＝
???
???
?13k ，k ＝1，2，3k 9n k
－3
2k ，k ≥3，k ∈N
*
，
数列{c k }的前k 项和是T k ，求证：T k ＜25
36
.
解：(1)由a n ＝6S n ＋3n －2，
移项并平方得(a n ＋2)2＝a 2n ＋4a n ＋4＝6S n ＋3n ，
则a 2n －1＋4a n －1＋4＝6S n －1＋3(n －1)，n ≥2，
两式相减得，
a 2n －a 2n －1＋4a n －4a n －1＝6a n ＋3，n ≥2， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1＋4a n －1＋4，n ≥2，
即(a n －1)2＝(a n －1＋2)2，n ≥2.
又a n ≥1，所以a n －1＝a n －1＋2，n ≥2， 即a n －a n －1＝3，n ≥2，
又a 1＋2＝6a 1＋3，所以a 21－2a 1＋1＝0，解得a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 故a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)①由b n ＝3n －2＋1，
得b 1＝2，b 9＝6，故等比数列的首项为2，公比为3， 则bn k ＝2×3k －
1＝3n k －2＋1.
化简得n k ＝4×32k －
3－4×3k －
2＋1.
②证明：由题意可得T 1＝13＜2536，T 2＝13＋19＝49＜2536，
当k ≥3，k ∈N *时，
c k ＝3k
4×32k －
1－4×3k ＋9－32k ＝3k ＋
132k －12×3k ＋27
＝3k ＋
1(3k －3)(3k －9)＝92???
?13k －9－13k ＋1－9.
则T k ＝c 1＋c 2＋…＋c k ＝49＋92????1
33－9－134－9＋134－9－135－9＋…＋13k －9－13k ＋1－9＝
49＋92????133－9－13k ＋1－9＝2536－32×13k －3＜25
36
，
综上，T k ＜25
36
.
2．设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则称数列{a n }为“P (k )数列”．
(1)若数列{a n }为“P (1)数列”，求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n }的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若数列{a n }为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n
2n ，证明：T n ＜3.
解：(1)数列{a n }为“P (1)数列”，则S n ＝a n ＋1－1， 所以S n ＋1＝a n ＋2－1，两式相减得，a n ＋2＝2a n ＋1， 又n ＝1时，a 1＝a 2－1＝1，所以a 2＝2， 故a n ＋1＝2a n 对任意的n ∈N *恒成立，即a n ＋1
a n
＝2，
所以数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝2n －
1，n ∈N *.
(2)假设存在这样的数列{a n }，由{a n }是“P (k )数列”可得，S n ＝a n ＋k －k ， 故有S n ＋1＝a n ＋k ＋1－k ，
两式相减得，a n ＋1＝a n ＋k ＋1－a n ＋k ， 则有a n ＋3＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2.
同理，由{a n }是“P (k ＋2)数列”可得，a n ＋1＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2， 所以a n ＋1＝a n ＋3对任意的n ∈N *恒成立，
所以S n ＝a n ＋k －k ＝a n ＋k ＋2－k ＝S n ＋2，即S n ＝S n ＋2. ① 又S n ＝a n ＋k ＋2－k －2＝S n ＋2－2，即S n ＋2－S n ＝2. ②
①②两式矛盾，故不存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”． (3)证明：因为数列{a n }为“P (2)数列”，所以S n ＝a n ＋2－2， 所以S n ＋1＝a n ＋3－2，
两式相减得，a n ＋1＝a n ＋3－a n ＋2， 又n ＝1时，a 1＝a 3－2＝1，故a 3＝3， 又a 2＝2，满足a 3＝a 2＋a 1，
所以a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对任意的n ∈N *恒成立， 所以数列{a n }的前几项为1,2,3,5,8，
故T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝12＋222＋323＋524＋825＋…＋a n
2n ，③
当n ＝1时，T 1＝a 12＝12＜3，当n ＝2时，T 2＝a 12＋a 2
2
2＝1＜3，
当n ≥3时，12T n ＝122＋223＋324＋5
25＋…＋a n －12n ＋a n 2n ＋1，④
由③④得，12T n ＝12＋122＋123＋2
24＋…＋a n －a n －12n －a n 2n ＋1
＝12＋122＋123＋2
24＋…＋a n －22n －a n 2n ＋1 ＝34＋1
4T n －2－a n 2n ＋1， 显然T n －2＜T n ，a n 2
n ＋1＞0，故12T n ＜34＋1
4T n ，即T n ＜3. 综上，T n ＜3.
3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：(t －1)S n －ta n ＋t ＝0(t 为常数，且t ≠0，t ≠1，n ∈N *)．
(1)设b n ＝a n (a n ＋S n )，若数列{b n }为等比数列，求t 的值； (2)当t ＞1时，记c n ＝
a n (a n －1)(a n ＋1－1)，T n 是数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜1
(t －1)2
；
(3)当t ＝5时，是否存在整数对(m ，n )(其中m ∈Z ，n ∈N *)满足a 2n －(4＋m )a n ＋7m ＋15＝0？若存在，求出所有满足题意的整数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．
解：(1)当n ＝1时，(t －1)S 1－ta 1＋t ＝0，得a 1＝t . 当n ≥2时，由(1－t )S n ＝－ta n ＋t ，① 得(1－t )S n －1＝－ta n －1＋t ，② ①－②，得(1－t )a n ＝－ta n ＋ta n －1， 即a n ＝ta n －1，∴
a n
a n －1
＝t (n ≥2)， ∴数列{a n }是等比数列，且公比是t ，∴a n ＝t n . 由b n ＝a n (a n ＋S n )知，
b n ＝(t n )2
＋t (1－t n )1－t ·t n ＝t 2n ＋t n ＋
1－2t 2n ＋
1
1－t
.
若数列{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1·b 3， 而b 1＝2t 2，b 2＝t 3(2t ＋1)，b 3＝t 4(2t 2＋t ＋1)， 故[t 3(2t ＋1)]2＝2t 2·t 4(2t 2＋t ＋1)，
解得t ＝12，将t ＝1
2代入b n ，得b n ＝????12n ，满足{b n }为等比数列， ∴t ＝12
.
(2)证明：由(1)知，a n ＝t n ，
∴c n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)＝t n (t n －1)(t n ＋
1－1)＝1t －1???
?1t n －1－1t n ＋1－1，
则T n ＝1t －1????????1
t －1－1t 2－1＋
????1t 2－1－1t 3－1＋…＋????1t n －1－1t n ＋1－1 ＝
1t －1???
?1
t －1－1t n ＋1－1，
又t ＞1，∴T n ＜1
(t －1)2
.
(3)当t ＝5时，由(1)知a n ＝5n ，
由a 2n －(4＋m )a n ＋7m ＋15＝0，
得52n －(4＋m )5n ＋7m ＋15＝0，
故m ＝52n －4×5n ＋155n －7＝(5n －7)(5n ＋3)＋365n －7
＝5n ＋3＋36
5n －7
.
若存在整数对(m ，n )，则36
5n －7必须是整数．
当n ＝1时，m ＝－10； 当n ＝2时，m ＝30；
当n ≥3时，5n －7＞36，不符合．
综上，所有满足题意的整数对(m ，n )为(－10,1)，(30,2)．
4．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”．
(1)若数列{a n }为“D 数列”，且a 1＝a －3，a 2＝a ，a 3＝a 2－4，求实数a 的取值范围； (2)若首项为1的等差数列{a n }的每一项均为正整数，且数列{a n }为“D 数列”，其前n 项和S n 满足S n ＜n 2＋2n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式；
(3)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且数列{a n }为“D 数列”，a 2－a 1＜3，设b n
＝2×6n (n ＋1)·a n
(n ∈N *)，试判断数列{b n }是否为“D 数列”，并说明理由． 解：(1)由题意得a 2－a 1＝3＞2， a 3－a 2＝a 2－4－a ≥2，即a 2－a －6≥0， 解得a ≥3或a ≤－2.
所以实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． (2)设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≥2， 由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，
由题意得，n ＋
n (n －1)
2
d ＜n 2＋2n 对n ∈N *均成立． 当n ＝1时，上式成立．
当n≥2时，d＜2n＋2
n－1
＝2＋
4
n－1
.
又d∈N*，所以d≤2，所以d＝2，
所以等差数列{a n}的通项公式a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，
因为数列{a n}的每一项均为正整数，且a n＋1－a n＝a n q－a n＝a n(q－1)≥2＞0，所以q＞1，且q为整数，
则a n＋1－a n＝q(a n－a n－1)＞a n－a n－1，n≥2，n∈N*，
所以在数列{a n－a n－1}中，a2－a1为最小项．
由数列{a n}为“D数列”，可知只需a2－a1≥2，即a1(q－1)≥2，
又a2－a1＜3，即a1(q－1)＜3，
由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1(q－1)＝2，
所以a1＝1，q＝3或a1＝2，q＝2.
①当a1＝1，q＝3时，a n＝3n－1，则b n＝
2×6n
(n＋1)·3n－1
＝
3
n＋1
×2n＋1.
令c n＝b n＋1－b n(n∈N*)，则c n＝
3
n＋2
×2n＋2－
3
n＋1
×2n＋1＝3×2n＋1×????
2
n＋2
－
1
n＋1＝
3×2n＋1×
n
(n＋2)(n＋1)
，
所以c n＋1－c n＝3×2n＋2×
n＋1
(n＋3)(n＋2)
－3×2n＋1×
n
(n＋2)(n＋1)
＝3×2n＋1×n2＋n＋2
(n＋3)(n＋2)(n＋1)
＞0，
所以数列{c n}为递增数列，即c n＞c n－1＞c n－2＞…＞c1. 又c1＝b2－b1＝2，
所以对任意的n∈N*都有b n＋1－b n≥2，
所以数列{b n}是“D数列”．
②当a1＝2，q＝2时，a n＝2n，则b n＝
2×6n
(n＋1)·2n
＝
2
n＋1
×3n.
令d n＝b n＋1－b n(n∈N*)，
则d n＝
2
n＋2
×3n＋1－
2
n＋1
×3n＝2×3n×????
3
n＋2
－
1
n＋1＝2×3
n×
2n＋1
(n＋2)(n＋1)
，
所以d n＋1－d n＝2×3n＋1×
2n＋3
(n＋3)(n＋2)
－2×3n×
2n＋1
(n＋2)(n＋1)
＝2×3n×4n2＋8n＋6
(n＋3)(n＋2)(n＋1)
＞0，所以数列{d n}为递增数列，
即d n＞d n－1＞d n－2＞…＞d1.
又d1＝b2－b1＝3，
所以对任意的n∈N*都有b n＋1－b n≥2，
所以数列{b n}是“D数列”．
综上，数列{b n}是“D数列”．
命题点一数列的概念及表示
1.(2016·上海高考)无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和．若对任意n∈N*，S n∈{2,3}，则k的最大值为________．
解析：由S n∈{2,3}，得a1＝S1∈{2,3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：
①a1＝2，a2＝0，a3＝1，a4＝－1；
②a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1；
③a1＝2，a2＝1，a3＝－1，a4＝0；
④a1＝3，a2＝0，a3＝－1，a4＝1；
⑤a1＝3，a2＝－1，a3＝0，a4＝1；
⑥a1＝3，a2＝－1，a3＝1，a4＝0.
最多项均只能写到第4项，即k max＝4.
答案：4
2．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝
1
1－a n
，a8＝2，则a1＝________.
解析：将a8＝2代入a n＋1＝
1
1－a n
，可求得a7＝
1
2；再将a7＝
1
2代入a n＋1＝
1
1－a n
，可求得
a6＝－1；再将a6＝－1代入a n＋1＝
1
1－a n
，可求得a5＝2；由此可以推出数列{a n}是一个周期
数列，且周期为3，所以a1＝a7＝1 2.
答案：1 2
命题点二等差数列与等比数列
1．(2018·北京高考)设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{a n}的通项公式为________．
解析：法一：设数列{a n}的公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴a n＝6n－3.
法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 1
5＝
6，∴a n ＝6n －3.
答案：a n ＝6n －3
2．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63
4，
则a 8＝________.
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，
则????
?
S 3＝a 1(1－q 3)1－q
＝74，
S 6
＝a 1
(1－q 6
)1－q
＝63
4，解得????
?
q ＝2，a 1＝1
4
， 则a 8＝a 1q 7＝1
4×27＝32.
答案：32
3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.
当n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.
∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，
∴S 6＝1－26＝－63. 答案：－63
4．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．
解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×4
2
d ＝10，得a 1
＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 2
2＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，
所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5)
2
＝5a 3＝10，所以a 3＝2.
所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 2
2＋2a 2＋1＝0，所以
a 2＝－1.
公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 答案：20
5．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e 1a
＋e
2
a ＋…＋e
n
a .
解：(1)设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为e 1a
＝e ln 2＝2，e a n
e 1
n a -＝e
1
n n a a －－＝e ln 2＝2，
所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e 1
a ＋e
2
a ＋…＋e
n
a ＝2×(1－2n )1－2
＝2n ＋1－2.
6．(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋ a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n ＞k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．
(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；
(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明：(1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，
从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，
所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．
(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①
当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④
将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，
在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′，
所以数列{a n }是等差数列．
7．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .
由题设可得?????
a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2
)＝－6. 解得?
???
?
a 1＝－2，q ＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)
＝－23＋(－1)n 2n ＋
1
3
. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－4
3＋(－1)n
2n ＋3
－2n ＋
2
3
＝2????－2
3
＋(－1)n 2n ＋1
3＝2S n ，
故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
8．(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．
(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由． (3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k 使得a n 1，a n ＋
k 2，a n ＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列？并说
明理由．
解：(1)证明：因为2a n ＋12a n
＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，
2a 4依次构成等比数列．
(2)不存在，理由如下：
令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．
假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，
则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4. 令t ＝d
a ，则1＝(1－t )(1＋t )3， 且(1＋t )6＝(1＋2t )4????－1
2＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.
将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－1
4.
显然t ＝－1
4
不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 4
4依次构成等比数列．
(3)不存在，理由如下：
假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋
k 2，a n ＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列，
则a n 1(a 1＋2d )n
＋2k
＝(a 1＋d )2(n
＋k )
，
且(a 1＋d )n ＋
k (a 1＋3d )n ＋3k
＝(a 1＋2d )2(n
＋2k )
，
分别在两个等式的两边同除以a 2(n ＋k )
1
及a 2(n
＋2k )
1
，并令t ＝d
a 1?
???t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n
＋2k
＝(1＋t )2(n
＋k )
，
且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n
＋3k
＝(1＋2t )2(n
＋2k )．
将上述两个等式两边取对数，得 (n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，
且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )·ln(1＋2t )． 化简得
2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]． 再将这两式相除，化简得
ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t ) ＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )．(**)
令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝ 2[(1＋3t )2ln (1＋3t )－3(1＋2t )2ln (1＋2t )＋3(1＋t )2ln (1＋t )](1＋t )(1＋2t )(1＋3t ).
令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，
则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12
(1＋t )(1＋2t )(1＋3t )＞0.
由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ2′(t )＞0，
知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在???
?－1
3，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．
所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋
k 2，a n
＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列．
命题点三 数列求和
1.(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为________．
解析：所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25
前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×(1＋41)2＋2×(1－25)1－2＝
441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×(1＋43)2＋2×(1－25)
1－2＝484
＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27.
答案：27
2．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n
1
S k
＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
依题意有????? a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得?????
a 1＝1，d ＝1，
所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2
n (n ＋1)
＝2????1n －1n ＋1， 因此∑k ＝1n
1
S k ＝2????1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.
答案：2n
n ＋1
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －
1.
由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n
－1
或a n ＝2n －
1.
(2)若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝1－(－2)n
3
.
由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2
n －1
，则S n ＝1－2n 1－2
＝2n
－1.
由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
4．(2018·浙江高考)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5
的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .
(1)求q 的值；
(2)求数列{b n }的通项公式．
解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4，
所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28， 解得a 4＝8.
由a 3＋a 5＝20，得8????q ＋1
q ＝20， 解得q ＝2或q ＝1
2.
因为q ＞1，所以q ＝2.
(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .
由c n ＝????
?
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，
解得c n ＝4n －1.
由(1)可得a n ＝2n －
1，
所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×????12n －1
， 故b n －b n －1＝(4n －5)×????12n －2，n ≥2，
b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×????12n －2＋(4n －9)×????12n －3＋…＋7×12
＋3. 设T n ＝3＋7×12＋11×????122＋…＋(4n －5)×????12n －2，n ≥2， 则12T n ＝3×12＋7×????122＋…＋(4n －9)×????12n －2＋(4n －5)×????12n －1， 两式相减，得12T n ＝3＋4×12＋4×????122＋…＋4×????12n －2－(4n －5)×????12n －1， 所以T n ＝14－(4n ＋3)×????12n －2
，n ≥2. 又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×????12n －2. 命题点四 数列的综合应用
1.(2016·江苏高考)记U ＝{1,2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝?，
定义S T＝0；若T＝{t1，t2，…，t k}，定义S T＝at1＋at2＋…＋at k.例如：T＝{1,3,66}时，S T ＝a1＋a3＋a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2,4}时，S T＝30.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T?{1,2，…，k}，求证：S T＜a k＋1；
(3)设C?U，D?U，S C≥S D，求证：S C＋S C∩D≥2S D.
解：(1)由已知得a n＝a1·3n－1，n∈N*.
于是当T＝{2,4}时，S T＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又S T＝30，故30a1＝30，即a1＝1.
所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1，n∈N*.
(2)证明：因为T?{1,2，…，k}，a n＝3n－1＞0，n∈N*，
所以S T≤a1＋a2＋…＋a k＝1＋3＋…＋3k－1＝1
2(3
k－1)＜3k.
因此，S T＜a k＋1.
(3)证明：下面分三种情况证明．
①若D是C的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S D≥S D＋S D＝2S D.
②若C是D的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S C＝2S C≥2S D.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集．
令E＝C∩?U D，F＝D∩?U C，
则E≠?，F≠?，E∩F＝?.
于是S C＝S E＋S C∩D，S D＝S F＋S C∩D，进而由S C≥S D得S E≥S F.
设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.由(2)知，S E＜a k＋1. 于是3l－1＝a l≤S F≤S E＜a k＋1＝3k，
所以l－1＜k，即l≤k.
又k≠l，故l≤k－1.从而
S F≤a1＋a2＋…＋a l＝1＋3＋…＋3l－1＝3l－1
2≤
3k－1－1
2＝
a k－1
2≤
S E－1
2，
故S E≥2S F＋1，所以S C－S C∩D≥2(S D－S C∩D)＋1，
即S C＋S C∩D≥2S D＋1.
综合①②③得，S C＋S C∩D≥2S D.
2．(2018·天津高考)设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.
(1)求{a n}和{b n}的通项公式；
(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*)，
①求T n；
高考数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项 第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q)； (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解； (2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：①通项公式的变形；②等差(比)中项的变形；③前n项和公式的变形．比如：等差数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)”；等比数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(m，n，p，q∈N*)”. 1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( ) A.12×37－16 B ．310 C.318 D ．320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4＝a 23＝9.设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3＝3a 2＋a 4，即4a 3＝3a 3 q ＋a 3q ，整理得q 2－4q ＋3＝0，由公比 不为1，解得q ＝3.所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝(a 81q 16 )·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝a 83· q 12＝94×312＝320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5 ＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一：由S 9＝27?9(a 1＋a 9) 2＝27?a 1＋a 9＝6?2a 5＝6?2a 1＋8d ＝6 且a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0?2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2d ＝16. 解法二：同解法一得a 5＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0?3a 2＋a 8＝0?2a 2＋2a 5＝0?a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 2 3＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2 d ＝16. 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 麟子教育 一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个 数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。 2、等差中项 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或b a A +=2 推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥?=+ 3、等差数列通项公式 若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 推广：d m n a a m n )(-+=，从而m n a a d m n --= 。 4、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112 n n n S na d -=+． 5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系 11,1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 二、等差数列的性质 1、等差数列的增减性 若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。 2、通项的关系 当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=??? 三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法： （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )?{}n a 是等差数 列； （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++?=+≥?=+； 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以， 由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b = 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 一、 等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、 一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。 1.（2014 北京理 5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2014 大纲理 10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 3.（2014 福建理 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.（2014 辽宁理 8）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12 n a a 为递减数列，则（ ）. A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 5.（2014 重庆理 2）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.（2014 安徽理 12）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = . 2.（2014 北京理 12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 3.（2014 广东理 13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5 10119122e a a a a +=， 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ． 5.（2014 天津理 11）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 第 1 页 共 4 页 2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析 一、等差数列及其性质 1．（2019年全国Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．21 22n S n n =- 2．（2019年全国Ⅲ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 3．（2019年全国Ⅲ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S = ． 4．（2019年北京理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ． 5．（2019年江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ． 二、等比数列及其性质 1．（2019年全国Ⅲ文理）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33 4 S =，则4S = ． 3.（2019年上海秋）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______. 三、数列综合 1．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围． 2．（2019年全国Ⅱ理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． 3．（2019年全国Ⅱ文）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 4．（2019年北京文）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值． 5．（2019年天津文）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 数列 1. 学习重难点 学习目标：掌握等差数列求和、求第n项、求项数的方法，学会找双重数列的规律和运用。 重点知识： （1）等差数列求和、求第n项、求项数； 2. 寻找下列数列的规律。 （1）1，4，7，10，13，（），19.这个数列有什么规律？ （2）1，2，3，1，2，3，1，（），3.这个数列有什么规律？ 3.等差数列定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。 例如： 1，3，5，7，9，11，13 100，90，80，70，60，50 9，9，9，9，9，9，9，9 【例题】判断下面数列是否为等差数列 （1）1，2,3,4,5,6,7, （2）0.0,0,0,0,0,0 （3）100,99,98,97,96 （4）1，3,4,6,7,8, 4．等差数列介绍. 5.第几项相关知识点 【核心公式一】 第n项 = 首项+公差×(项数-1)【例题】 1,3,5,7,9........这个数列中， （1）公差是多少 （2）首项末项分别是多少 （3）第99项是多少 （4）第101项是多少 6.项数知识点 【例题】仔细观察上面数列，2和2006相差多少个公差？【答案】2004÷3=668（个） 【例题】2006是第几项？ 【答案】668+1=669（项） 【核心公式】 项数=（末项 - 首项）÷公差 + 1 【例题】 在1,3,5,7,9,11……….99数列中， （1）共有多少项？ （2）99是第几项？ 7.等差数列求和 【例题】计算：2+4+6+8+10+12+14 【核心公式】 和=(首项+末项) ×项数 ÷2 08高考数学理科数列训练题 1.某数列{}n a 的前四项为 ①1(1)2n n a ??=+-?? ② n a = ③0 n a =?? )(n n 为奇数为偶数）（ 其中可作为{}n a 的通项公式的是（） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 2.设函数()f x 满足()()212 f n n f n ++= ()n N *∈，且()12f =，则()20f =（） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192 3.已知数列中{}n a ，11a =，()111n n n n a a a --=+- ()2,n n N *≥∈，则35a a 的值是（） A ．1516 B ．158 C ．34 D ．38 4.已知数列{}n a 的首项11a =，且121n n a a -=+ (2)n ≥，则5a 为（） A ．7 B ．15 C ．30 D ．31 5．已知数列{}n a 是等差数列，且31150a a +=，又413a =，则2a 等于（ ） A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 6.若lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，则（ ） A ．2a c b += B ．()1lg lg 2 b a b =+ C ．a 、 b 、 c 成等差数列 D ．a 、 b 、 c 成等比数列 7．38，524-，748，980- … 一个通项公式是____ 8．已知{}n a 是递增数列，且对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范 围是____ 9．设等差数列{}n a 的公差为2-，且1479750a a a a +++???+=，则36999a a a a +++???+=______． 10．等比数列中{}n a ，公比1q ≠±，200100S =，则 4020 1S q =+______． 高中数学数列练习题及答案解析 第二章数列 1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n等于． A．667B．668C．669D．670 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝． A．33B．7C．84D．189 3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则． A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5 4．已知方程＝0的四个根组成一个首项为 ｜m－n｜等于． A．1B．313C．D．8421的等差数列，则 5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为. A．81 B．120 C．1D．192 6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a003＋a004＞0，a003·a004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是． A．005B．006C．007D．008 7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝． A．－4B．－6C．－8D．－10 8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A．1B．－1 C．2D．1 a2?a1的值是． b2a5S5＝，则9＝． a3S599．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则 A．11111B．－C．－或D．2222 210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝． 第 1 页共页 A．38B．20 C．10D．9 二、填空题 11．设f＝1 2?x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f＋f＋…＋f＋…＋ f＋f的值为12．已知等比数列{an}中， 若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝． 若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝． 若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝. 82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，q a （D ）7.08.0,01-<<-
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