【原创】圆的面积公式证明
圆的面积公式的证明
山东省莱芜市陈毅中学初四八班郑康杰作
设f(x)= r 2?x 2(r>0)
证明之前，我们需要明确f(x)= r 2?x 2(r>0)的图形一定是一个半径为r
半圆，为什么是个半圆？这么基础的问题你们就自己考虑吧。 我们只需要证明| f x dx|=πr 22r
?r 即可（为什么积分的上下限分别为r 和-r ，想想这个函数与x 轴的两个交点的
坐标），我们想要计算定积分 f x dx r ?r
，就必须要计算出F(x),使得 F ’(x)=f(x),怎么计算呢？用不定积分去计算即可，计算过程：
设x=rsint f x dx = r 2?x 2dx = r 2? rsint 2d(rsint)= r 1? sint 2d(rsint) = rcost d rsint = r ?cost ?rcost dt = r 2? cost 2dt =r 2? cost 2dt
=r 2? 1+cos 2t dt =r 2? 1+cos2t dt =r 2? 1 dt + cos2t dt =r 2? t +sin 2t =r 2t +r 2?sin 2t （为了计算简便，我省去了常数C ） ∵x=rsint
∴sint=x r
∴t=arcsin(x r )
将t=arcsin(x r )代入r 2t 2+r 2?sin 2t 4得，
∴F x =r 2arcsin(x r )2+r 2
?sin2?arcsin(x r )4 接下来，再用微积分基本定理计算 f x dx r ?r 即可。 f x dx r ?r
=F r ?F ?r
= r 2arcsin r r 2+r 2?sin 2?arcsin r r 4 ? r 2arcsin ?r r 2+r 2?sin 2?arcsin ?r r 4
=
r 2arcsin 1 2+r 2?sin 2?arcsin 1 4 ? r 2arcsin ?1 2+r 2?sin 2?arcsin ?1 4 =
r 2?(0.5π)2+r 2?sin π4 ? ?r 2?(0.5π)2+r 2?sin ?π4 =
r 2?(0.5π)2+r 2?04 ? ?r 2?(0.5π)2+r 2?04 =r 2?(0.5π)2+r 2?(0.5π)2=r 2π2
取绝对值，得| f x dx r ?r
|=r 2π2 所以整个圆的面积为2?| f x dx r ?r |=r 2π 命题得证
圆的面积计算
圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）
（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：
中考数学椭圆的面积公式考点总结
中考数学椭圆的面积公式考点总结 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，那么 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/ C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A, B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21 直线与椭圆位置关系
y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△0无交点 相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2 b^2/a 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。
椭圆的面积公式
椭圆面积公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c)
椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
圆的面积公式03
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
圆的面积计算公式的推导(吴琼)
九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。
将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，
圆的面积(23)
《圆的面积》教学设计 【教学内容】 义务教育课程标准实验教科书第十一册P69～71例1、例2。 【教学目标】 1、认知目标 使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标 经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标 引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强 学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。 【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。 【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具 【教学过程】 一、情境导入 出示场景?——《马儿的困惑》 师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？ 生：是一个圆形。 师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？ 生：圆的面积。 师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。 师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？ 我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？ 生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。 生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。 师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别
园的面积公式一
一、复习旧知，导入新课 1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？ 我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要学习的内容。板书：圆的面积 【设计意图】在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。 二、教学实施 （一）、定义： 1、请你摸一摸哪里是圆的面积？ 2、师：圆所占平面的大小就是圆的面积。 （二）、渗透极限思想： 师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 师：如何化曲为直呢？ 引导学生操作： 师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径） 生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。 师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？ 师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，我们把圆平均分成多份。 将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份，分别罗列排好。请学生观察四组图。 师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？ A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。 B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。 【设计意图】让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。 （三）拼摆推导面积公式。 1、拼摆 师：把圆转化成什么图形？我们来试一试。 学生操作，演示学生的作品。 师：转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？面积不变。 课件出示：把圆等分成不同等份时的图形的趋势。 2、推导面积公式
椭圆周长和面积计算公式
椭圆定理（又名：椭圆猜想） 椭圆定理 易亚苏 （关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。） 圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。 一、椭圆第一定义 椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式： MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。） M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且 a>b>0；2c表示焦距。 二、椭圆定理 （一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理） 椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。 附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略） （二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理） 定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。 定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。 定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。 椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。 （三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理） 椭圆具有三特性，也称椭圆三态。 1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内； 2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上； 3、当椭圆b 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4a 封头面积公式： S=πr[r+h1×C+2h] 其中r=Di/2 h1=H-h 标准椭圆封头C=0.760346 公称直径DN=Di/mm 曲面深度 Hi/mm 直边高度h (mm) 25 40 50 内表面积S/m2,容积V/m3 S V S V S V 300 75 0.12 0.005 350 88 0.16 0.008 400 100 0.20 0.012 450 113 0.25 0.016 500 125 0.31 0.021 0.33 0.024 550 138 0.37 0.028 0.40 0.031 600 150 0.44 0.035 0.47 0.040 650 163 0.51 0.044 0.54 0.049 700 175 0.59 0.055 0.62 0.060 750 188 0.67 0.066 0.70 0.073. 800 200 0.76 0.080 0.79 0.087 900 225 0.95 0.111 0.99 0.121 1000 250 1.16 0.151 1.21 0.162 1100 275 1.40 0.198 1.45 0.212 1200 300 1.66 0.254 1.71 0.271 1300 325 1.93 0.321 2.00 0.341 1400 350 2.23 0.398 2.30 0.421 1500 375 2.56 0.486 2.63 0.512 1600 400 2.90 0.586 2.98 0.617 1700 425 3.27 0.700 3.35 0.734 3.40 0.757 1800 450 3.65 0.827 3.71 0.865 3.79 0.891 1900 475 4.06 0.969 4.15 1.011 4.21 1.040 2000 500 4.49 1.126 4.59 1.173 4.65 1.204 2100 525 4.95 1.299 5.04 1.351 5.11 1.385 2200 550 5.42 1.489 5.52 1.546 5.59 1.581 2300 575 5.91 1.697 6.02 1.759 6.10 1.800 2400 600 6.43 1.923 6.55 1.991 6.62 2.036 2500 625 6.97 2.168 7.09 2.242 7.17 2.291 2600 650 7.53 2.433 7.65 2.513 7.74 2.566 2800 700 8.72 3.027 8.85 3.120 8.94 3.181 3000 750 9.99 3.711 10.13 3.817 10.23 3.888 3200 800 11.35 4.490 11.50 4.611 10.60 4.691 3400 850 12.80 5.372 12.96 5.508 13.06 5.599 3500 875 13.55 5.853 13.72 5.997 13.83 6.093 《圆的面积计算公式》课堂实录 教学目标： 知识与技能：掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。 过程与方法：在合作交流、动手操作中提高同学们推理归纳能力， 发展空间观念。 情感态度与价值观：在学习新知中体验数学与生活的联系，提高 学习数学的兴趣。 教学重点、难点：圆的面积计算公式的推导。 教学准备：多媒体课件、正方形纸片、正六边形纸片、剪刀。 教学过程： 一、体验“圆出于方” 师：今天老师给大家带来几个平面图形，看大家认不认识（课件依次展示正方形、正六边形、正十二边形、正二十四边形……，当课件展示到正二十四边形时同学们都回答是圆， 这时教师把正二十四边形放大，让同学们观察到它确实是一个 多边形，再依次展示其它正多边形。大家不难发现正多边形的 边数越多它就越接近圆形。） 师：如果正多边形有无数条边，它就变成了一个什么图形 生：圆。 师：（课件出示圆形）其实圆形就是一个有无数条边的正多边形，也就是我们常说的“圆出于方”。大家想一下我们都了解过圆的哪些知识 生：周长、半径、直径…… 师：有哪位同学能说一下圆周长的计算公式： 生：C=2πr、C=πd. 师：很正确，我们了解了圆的这么多知识，大家还想研究一下圆的哪些知识 生：圆的面积。 师：你知识什么是圆的面积吗 生：圆所占平面的大小叫圆的面积。 师：你回答的可真不错，下面我们就一起来研究一下圆的面积。（通过本环节，让同学们感受圆出于方的变化过程、复习圆周长的计算公式、认识圆的面积，都为下面圆的面积公式的推导做好准备。）二、动手操作、合作探究圆的面积计算公式。 1．推导正方形的面积计算公式。 师：刚才我们已经知道圆就是一个有无数条边的正多边形，我们研究圆的面积就从最简单的正多边形开始研究。（课件出示正方形）拿出学具袋中的正方形，要求它的面积需要知道什么 生：边长。 师：下面我们小组合作，抛开以前求正方形面积的方法，利用我们学过的知识和学具袋中的工具看看能不能再探究出一种求正方形面积的方法。 （小组合作时教师可适当引导，最后汇报总结。） 椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 圆的面积公式推导教案 教学目标; 1、通过操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆的面积的方法并能正确计算。 2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3、渗透转化的数学思想和极限思想 教学重点： 1、理解圆的面积公式的推导过程。 2、掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 教学难点：理解圆的面积公式的推导过程。 教具准备：多媒体课件，圆片，剪刀。学具准备：分成十六等分的圆硬片，剪教学过程： 一、故事导入 【设计意图】引起学生学习兴趣，同时也让学生明白这个故事与所要学习的内容有联系。【出示课件1、2】 二、出示学习目标【出示课件3】 【设计意图】让学生清楚学习的重点，难点是什么？也提醒老师要有的放矢。 三、学习新知 （一）、定义： 1、摸一摸哪里是圆的面积？圆所占平面的大小就是圆的面积。【出示课件4】（二）、小组交流【出示课件5】 圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 如何化曲为直呢，推导出它的面积公式呢？ （三）复习旧知，渗透极限思想【出示课件6】 1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？（我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。）【出示课件7、8】 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式。（四）小组合作学习【出示课件9、10、11、12、13、14】 （1)老师引导学生将圆化曲为直，先将圆沿直径剪开，然后沿半径再把圆平均分成偶等份。然后把剪成多份并用拼的方法将其转化成学过的规则图形。 (2)请学生观察四组图。随着份数的不断增加，有何发现？【出示课件15】 （3）转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？【出示课件16】 （4）长方形各部分相当于圆的什么？【出示课件17】 (5）试着推导出圆的面积公式。【出示课件18】 （五）风采展示 1、学生汇报推导过程。 2、学生齐读圆面积公式。并说一说圆的面积大小与什么有关系？ 【设计意图】这两个环节是在教师的引导和启发中，每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。 （六）当堂测试与应用 1、做课件图示，求半径为2分米的圆的面积【出示课件19】 2、做课前出示的圆形花坛的面积。【出示课件20】 3、根据下面所给的条件，求圆的面积。【出示课件21】 （1）、半径2分米 （2）、直径10厘米 4、一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 5、判断对错： （1）圆的半径越大，圆所占的面积也越大。（） （2）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6倍。（） 【设计意图】在当堂测试与应用中设计了基本练习与综合练习。基本练习主要是加强学生对圆面积的认识，并能计算圆的面积。综合练习是培养学生的综合应用 椭圆面积公式的推导 韩贞焱（贵州省遵义四中 563000） 椭圆面积公式S= ab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中 学数 学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高 等数学的定积分学习时才给出定积分推导?现用初等数学方法作两种推导，供读者 定理 1.若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任 一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比 等于截得线段长的比. 注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略 2 2 方法一：设椭圆C 的方程为务 笃1（ a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2 , a b m b ）与两曲线相交，交点分别为M （ X 1 , m ）、N （X 2 , m ） 2°、当 b 2 m 2，即 b^|m| 时，有 f X2| a . 卜3刈b 及 P (X 3 , m )、Q(X 4 , m) ，如图1. y 由X 2 a m v 2 解得X 1 b 2 1、2 此时, 由y 2 X b 2 解得 X 3,4=±lb 2 m 2 此时, X 3 X 4 =2 - b 2 m 2 10、当 b 2 （图1） m 2,即 b=|m| 时，交点为（0, 3或（0，-b ）； 且一直线L ： y = m （ b a .. b 2 m 2 b 显然1°是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C'交于一点，此时与求椭圆C 的面 积无影响，故可忽略；在情况2°下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C'的弦长|PQ| 比恒为定 值a时，贝U当设椭圆C与圆C'的面积分别为S、S'时，由定理1得=-， b S b a ! a 又圆C'的面积S' = n b2，故有S = —S' = — Ttb2 = ^ab . b b 所以椭圆C的面积公式为S =n ab （其中a b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）. 注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积? 定理2.若一平面图形M'是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M'所成角为，则射影平面图形M'的面积与凸平面图形M的面积比为cos . 证明：设平面图形M'是平面图形M的射影.1°当平面图形M是凸曲边行时，如图2,将平面图形M的边缘进行n+1等分，设分点分别为A1、A2、A3、…、A i、A i 1、 …、A n、A n1，它们分别在平 面图形M'上的射影为A1、A 2 I I I I A A A i、i 1、、A\ n、n1 , 则分别连结点A1、A 2、A3 圆的面积 一年级数学教案 设计：教学内容：六年制小学数学教科书第十一册第一单元《圆的面积》中的第一节课。 教学目的：1通过教学使学生建立圆面积的概念，理解圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。 2能正确地应用圆面积计算公式进行圆面积的计算，并能解答有关圆的实际问题。 教学重点：理解和掌握圆面积的计算公式的推导过程 教学难点：圆面积计算公式的推导 教学过程： ●一、创设情境，提出问题 （课件演示）用一根绳子把羊栓在木桩上，演示羊边吃草边走的情景。（生看完提问题） 生：1羊走一圈有多长？2羊最多能吃到多少草？3羊能吃到草的最大面积是多少？ ●二、引导探究，构建模型 A：启发猜想 师：羊吃到草的最大面积最大是圆形：1、这个圆的面积有多大猜猜看；2、试想圆的面积和哪些条件有关？3、怎样推导圆的面积公式？（生试说）B：分组实验，发现模型 学生分小组将平均分成16等分、32等分的圆放在桌上自由拼摆，拼成以前学过的平面图形摆好后想一想：1、你摆的是什么图形？2、你摆的图形与圆的面积有什么关系？3、图形各部分相当于圆的什么？4、你如何推导出圆的面积？ 请小组长汇报拼摆的情况，鼓励学生拼摆成不同的平面图形（师课件展示动画效果）可以拼摆成长方形、梯形、三角形、平行四边形四种情况。 三、应用知识，拓展思维 1师：要求圆的面积必须知道什么？ 2 运用公式计算面积 A完成羊吃草的面积 B完成课后"做一做" C一个圆的直径是10厘米，它的面积是多少平方厘米？ D找出身边的圆，同桌合作量一量半径，算一算面积（完成实验报告单） 测量物直径（厘米）半径（厘米）面积（平方厘米） 3应用知识解决身边的实际问题（知识应用） (1) 在圆的面积公式S=πr 2中，常量是----------，变量是---------。 (2) 某村的耕地面积是108m 2,这个村人均占有耕地面积ym 2随这个村的人数x 人和变 化而变化，其中常量是--------，变量是----------。 (3) 下列变量之间的系中，是函数关系的是( ) A.人的体重与年龄 B,正方形的周长与边长 C.长方形的面积与长 D.y=±x 中，y 与x (4)李教师讲完“变量与函数”这节知识后，让同学们说出实际生活中有函 数关系的 实例，并指出其中的常量与变量，自变量及函数。 甲生说:“如果设路程为s （千米），速度为v （千米/时），时间为t （时），当路程s 为 一定值时，s 为常量，v,t 为变量，v,是自变量，t 是v 的函数。” 乙生说：“甲生所举实例中，t 是自变量，v 是t 的函数。” 丙生说：“四生所举实例中，当v 为一定值量，v 为常量，s ，t 是变量，t 为自变量，s 是t 的函数。” 你认为哪位同学的说法正确？（ ） （5）函数1 1+x 中，自变量x 的取值范围是（ ） （6）函数y= 2-x 中，自变量x 的取傎范围是（ ） （7）函数y=31 -x 中，自变量x 的取傎范围是（ ） (8) 函数y=2x 2-3x-1中，自变量x 的取傎范围是（ ） （9）如图，等腰△ABC 的周长为10，腰长为x ，底边长为y ，则y 与x 的函数关系 式及自变量的取值范围是？ A A.y=10-2x(x>0) B.y=10-2x(0 求解 运用公式 设P为椭圆上的任意一点， 角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ， 则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)， 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。 证明方法一 设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n， 由射影定理得2c=mcosβ+ncosα， e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)， 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。 证明方法二 对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n 则m+n=2a 在△F1PF2中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/(1+cosθ) 例题 F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值 【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1| △QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。 设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。 【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2 假设A在x上方，B在下方直线过(1,0) 设直线是x-1=m(y-0)x=my+1 代入 2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3) △F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即|y1|+|y2|最小[1]） ∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3) 令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数) ∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3 此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3 在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析． 最佳答案 长方形的周长（长+宽）X2 正方形的周长=边长X4 长方形的面积=长X宽正方形的面积=边长X边长三角形的面积=底X高吃平行四边形的面积=底乂高梯形的面积=（上底+下底）X咼吃直径=半径X2半径=直径吃圆的周长=圆周率X直径= 圆周率X半径X2 圆的面积=圆周率X半径X半径 长方体的表面积= （长X宽+长X高+宽X咼）X2 长方体的体积=长X宽X高正方体的表面积=棱长X棱长X6 正方体的体积=棱长X棱长X棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长X咼圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积X高圆锥的体积=底面积X高七长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积X高平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C = 4a S = a2 长方形a和b —边长 C = 2（a+b） S = ab 三角形a,b,c —三边长 h—a边上的高s —周长的一半 A,B,C —内角 其中s= (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 ?inC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2s in Bsi nC/(2s inA) 四边形d,D —对角线长 a—对角线夹角S = dD/2 ? sin a 平行四边形a,b —边长 h —a边的高 a—两边夹角S = ah =absin a 菱形a —边长 a—夹角 D—长对角线长 d —短对角线长S = Dd/2 =a2sin a 梯形a和b —上、下底长 h —高 m —中位线长S = (a+b)h/2 =mh 圆r—半径 d 一直径 C = nd= 2 n r S = n r2 =n d2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C = 2r + 2n r X (a/360) S = n r2 X (a/360) 弓形I—弧长 b —弦长 h —矢高 r—半径 a—圆心角的度数S= r2/2 ? ( na /-S8l? a ) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =na r2/360- b/2 [r2-(b/2)2]1/2 =r(I-b)/2 + bh/2 ~ 2bh/3 圆环R—外圆半径 r —内圆半径 D—外圆直径 d —内圆直径S = n (R2-r2) =n (D2-d2)/4 椭圆D —长轴 d —短轴S = n Dd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a —边长S = 6a2 V = a3 长方体a-长 b —宽 c—高S= 2(ab+ac+bc) V= abc 棱柱S—底面积 h 一高V = Sh 棱锥S—底面积 h —高V = Sh/3 棱台S1和S2 —上、下底面积 h —高V = h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3椭圆周长和面积计算公式
标准椭圆计算公式
圆的面积计算公式
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
圆的面积公式推导教案
椭圆面积公式的推导
小学一年级数学圆的面积
在圆的面积公式S
高中数学椭圆焦点三角形面积公式
圆的面积公式