几何证明基础
几何证明基础
第一部分：命题的四种形式 一、 命题的定义： 判断一件事情的句子叫做命题。 二、 命题的结构：
命题=条件（题设）+结论
三、 命题的基本表述方式：
四、命题的分类
五、命题的四种形式:
【注】1、“互逆”和“互否”的命题不一定同“真”或同“假”
；
2、“互为逆否”的两个命题必同“真”或同“假” 。
第二部分：证明的基本常识 一、 证明的意义 必要性（仅凭观察、猜测、度量都是不够的）
二、 证明的定义：
陈述某一判断的充足理由的思维形式，即用已知的真实的理由推出一个判断的真实性。 三、证明的结构和要求
真实性待证明的判断，又叫待证命题。 证明的依据和理由。
利用论据来证明论题的推理过程。
论据充分 层次分明 步骤完整
论题要明确
论题必须始终如一（偷换概念）
论据必须真实（虚假理由，予期理由）
论据必须能推出论题（不能推证，不能推出）
论据不能靠论题论证（循环论证）
五、证明的依据
主要有：定义、公理、定理及其推论、已知条件、己证明的结论、等量性质、等式（不等式）性质等
3. 依题意和图形，写岀“已知”，“求证”
4. 分析题意，探索证明思路和方法
5. 依思路运用数学符号和语言有条理地写岀证明的过程。
6.
检查表达过程是否正确，完善。
七、证明方法
1证明的入手方式/
六、证明的一般步骤
1. 理解题意
2. 依题意画出正确的图形
1、“如果一一那么
2、“若__则
3、“已知一一求（证）一一”等形式。
命题
真命题
假命题
公理
*産理
（正确的命题）
（错误的命题）
1、证明 结构包括：广①论题:
2、证明的基本要求：
四、证明的规则：
A. B. 2 C.
D. y
互逆
I间接证法r反证法I 穷举法
I同一法（伪设法）
（重点介绍反证法）
①直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半。
②一个三角形中，最多只有一个直角。
③一个三角形中，至少有一个角大于或等于60。（同一法简析）
例：正方形ABCD内有一点，使△ ADE为等腰△，且V DAE= V ADE=15 证明：△ BCE是等边三角形。
2、证题的思路「
1. 综合法：由“已知”看“可知”，推得“未知”。即由已知的题设岀发，推导可能的结
J 论，最后得到未知的待证结论。好比“顺水泛舟”简称为“由因导果”
2. 分析法：由“未知”，看“需知”，逐步靠拢“已知”。即由待证命题岀发，找岀得到
L 这个结论的条件，逐一推到已知的题设。好比“逆水行舟，执果索因”
”枚举归纳法（不完全归纳）
3、从推理形式归纳法：由特殊到一般的一种推理形式v普通归纳法（完全归纳法）
数字归纳法（科学归纳法）
｛演绎法：由一般到特殊的一种推理形式。具体分三个部分：“大前提+小前提结论”
又称“三段论”
C i.证明两线段或两角相等
八、基本几何命题 2.证明线段或角的和差倍分。
3, 证明线段或角的不等关系。
4, 证两线平行或垂直。
J5.证线段成比例式或等积式。
）6.有关面积的计算或证明。
7. 定值问题
8. 点共线问题。
9. 线共点问题
10. 尺规作图问题。
第三部分：几何证明方法和问题归类
1、命题证明的不同流派
在几何命题的证明研究曾出现过不同风格特点的各种流派，如：变换派，计算派，结论派，图形派，杂派。
2、几种常见几何命题的证明
【A 】证明两线段或两角相等
?、常用的定理等依据
1. 利用相交线与平行线的有关定理
2. 利用角平分线定理及其逆定理
3. 利用三角形中角平分线逆定理
4. 利用等腰三角形的有关定理
5. 利用全等三角形的有关定理 6
利用相似三角形的有关定理 4. 圆外一点与圆心连线平分从这点向圆所引二切线所夹角
（弦心距）
二、基本方法 合同三角形法：利用两三角形全等或相似的有关定理证明
两线段或两角相等。
转借代换法： 根据适当的定理，添加若干辅助线以它们为媒介代换成待证结论。
【B 】证明线段或角的和差倍分
一、常用定理
仁有关线段的定理：卜直角△斜边上中线等于斜边的一半。
b. Rt △中30°的角所对的边等于斜边一半。
c. 中位线定理。
d. 三角形的重心定理，垂心定理等。 ￡.比例或相似形的性质定理。
2、有关角的定理：玄.△内角和与外角定理。
-b.有关两角互余，互补，相等的定理。
c .等弧上圆周角（或弦切角）与圆心角的有关定理
二、常用的证明方法：
q =a-c
1、 截长补短法；证明线段 a=b ± c 可作一线段p=b ± c ，然后证a = p 或者作一线段，q =a +c 再证b = q
对于角的有关命题身份此可证，称为“割补法”
。
2、 加倍折半法： 若证明 线段a = 2b ，可将线段b 加倍，即作线段c = 2b ，再证a = c ，或者
1
作线段p = a ，b = p （角变同理可仿证）
3、直接运用有知定理或化为三角形有关的面积问题解决。
三：练习作业
1. 平等四边形 ABCD 中，自钝角 A 作AF 丄BC 于F ，BD 交AF 于E ，DE=2AB ，证明 v ABD= v 2EBC
2. 平行四边形 ABCD 中，BC=2AB, M 为AD 中点，CE 丄AB 于E ,则V DME=3 V AEM
.1弦切割定理与相交弦定理
2.弦切角定理
3圆内接四边形外角等于内对角定理
利用平行四边形的有关定理 利用圆的如下定理：
【C］证明两线段或两角的不等关系
一、常用的定理
1. △中两边之和大于第三边。
2. 两个△中，若有两组对边对应相等，而夹角不等，则夹角大的所对边也较大；反之第三边大的所对夹角也大。
3. △中大边对大角，大角对大边。
4. △的外角定理
5. 垂线与斜线，切线与切线的比较定理。
6. 同圆或等圆中，两弧或两弦的比较定理。
7. 不等量公理。
8. 某些代数不等式。
二、常用证明方法
1.利用有关定理及不等量公理。
2.利用和等换集中分散的条件
3.利用比例，面积的计算证明
三、练习作业
1
1. 边长为1的正△内有五个点，证明：至少有两点间的距离小于一
2
1 1
2. 在厶ABC中,AB=2AC，则最小边与三角形的周长之比界于一与一之间。,
6 4
3. 设M是等腰△ ABC底边BC的中点。P是厶ABM内部一点，则V APB > V APC
4. 三角形任一角的平分线小于两夹角边的半和。
【D］证两线垂直或平行
一、常用定理
1. 有关垂直的定理
①垂直的定义
②等腰△顶角平分线（底边中线）是底边上的高。
③菱形（正方形）的两条对角线互相垂直
④半圆周角是直角
⑤平分弦（非直径）的直线垂直弦。
⑥二圆的连心线垂直平分公共弦。
2. 有关平行的定理
①平行线的定义，及判定公理，定理
②三角形（梯形）中位线定理
③平行（垂直）于同一直线的二直线平行
④关于同圆内不相交二弦间的弧相等，则二弦平行
⑤平行线截得比例线段定理。
二、常用证法
1. 直接应用有关定理
2.
过渡氏换
三、练习作业
1. 自圆外一点 A 引切线，切点为B ,过AB 中点M 作割线交圆于 C,D ,连AB,AD 又交圆于E F,则AB // EF
2. 点P , Q , R 是厶ABC 的边BC CA , AB 的中点，PR 中点M , AM 与PQ 交于N ,贝U BM // CN 3设.BE , CF 是厶ABC 的高，在高线 BE 上截取BP=AC ，在高线 CF 上取CQ=AB ，求证：AP 丄AQ 4.0 0. Q 0'交于A,B 。在。0上取点D ,设DA , DB 的延长线交。0'于Q,R _则OD 丄QR
【E 】线段成比例式或等积式的证明
一、 常用定理
1. 平行线截得比例线段定理
2. 三角形内，外角平分线定理
3，相似形对应线段成比例 4射影定理 5. 圆幕定理
二、 常用方法
1?利用相似三角形 或有关其它定理。 2?利用中间比作桥梁
3?利用比例，面积或其它计算方法证明 4?若待证等式为多项式
5?证明若干比之和（或积）等于 1或其它常 数
① 设法把各比化为分母相同的比（或等比）
，使之相加后分子等于分母（或相乘后约分为 1）
② 利用面积 比的有关性质，将这几个比化为分母相同的面积比（或相等的面积比，使之相
加（或相乘）后分子等于分母（或约分为 1）
（思考作业二）
（1） 非钝角△的外心到三边的距离之和，等于外接圆与内切圆半径之和。 （2） 不能内接圆的凸四边形中，两对角线之积小于两双对边乘积之和
，而大于其差?
⑶0 ABC 内一点，过0点作EF,QP,GH 分别平行 BC,CA ,AB
(4) 0 ABC 内一点，AO,BO,CO 与 BC ,CA,AB 分别交于 D,E,F
BD CE AF ,
1 DC EA FB
【F 】关于面积计算的证法
、常用定理
1?等（同）底（同）高的两个厶（或平行四边形）的面积相等 2?面积公式 3?勾股定理
4?有关面积之比的定理①等咼（底）
的△面积比
② 相似△面积比
③ 等（补）角△面积之比
、常用证法
求证:①
HQ
BC
AC AB
②GH EF QP AB
BC CA
=2
求证:
依赖于两个公理：*l A ）面积不变性 ________ 全等形面积相等
UB ）面积可加性 ____ 大的图形可由少的拼成
3. 转化为线段计算来证明
【G 】定值问题
一、 什么是定值问题？
二、 常用证法（通法）：特殊位置求定值，一般情况证结论 三、 思考练习：
1、 设OA,OB 为O 0任两条半径，作BE 丄OA,垂足为E; EP 丄AB,垂足为 P , 求证:OP 2+EP 2为定值
（R 2）
2、 在一园中，随便取两条互相垂直的弦 AB,CD.P 为垂足，则PA 2+PB 2+PC 2+PD 2为定值（4R 2）
3、 在园内定点P 作互相垂直的二弦 AB.CD,则它们的平方和是一个常数 .
4、 定弦AB 的同侧有二名形弧 APB,ACB ,由A 和B 引任意弦APD 与BPC 交APB 于P 则 AC 与BD 的
交角一定.
【H 】点共线的证明
一、 证明三点共线是最基本的问题，常用方法有：
1. 利用等角或补角
2. 利用平行线或垂直线
3. 连结AB 再证CE,AB （C 在AB 上）
4. 证其三点所成△等的面积为零
5. 利用 menelaus 定理
二、 例题讲析 三、 思考练习题
1. 三角形两角的平分线及第三角的外角平分线各与边对所在直线的交点共线
2. 过三角形的顶点所作外接园的切线各与对边所在直线的交点共线
3.
将一顶点P 与正三角形ABC 的顶点相连.求证:三连续的中垂线各与对边所在直线的交点共线 .
4. 证明园内接六边形三双对边所在直线的交点共线
.
【I 】 关于线共点的证法
一、常用证明方法
1. 证明其中两线交点在第三线上 （如△中”诸心”可题）
2. 先确定两线交点，然后在第三线上找两点，再证明这三点共线（此法称作”一致法”）
3. 先确定两线交点，然后在第三线上找出一点与交点相连，再证明连线与第三线重合?
4. 证明各线都通过一点
5. 利用 已知的线共点的定理
（变更原题）
6. 禾U 用cwa 定理：设X,Y,E 各是△ ABC 三边（所在直线 上的点）BC, CA,BA 上的点，则
AX ,BY ,CE 共点或平行的充要条件是
：
1?直接引用腾定理 2?利用等积变换
① 相对计算法 ② 割补法
BX CY AE XB YC EA 1 1
XC
YA EB
XC YA
EB
二、例习题选析
1?以非正厶ABC 的三边分别向外作正△ BCA '正△ CAB '，正△ ABC '求证：AA ' ,BB ' CC '三共点
（该点为△的负等角中心）
2?在一四边形中，若有一双对角的平分线与他的对角线共点
，则其他双对角平线与另一对角
线也共点?
3?设△ ABC 中,BC 边在v A 的外角平分线上的投影为
B '
C '贝U BC ' ,CB '与v A 的平分
线共点?
4?在△ ABC 中,以BC 为直径作圆交 AB,AC 于E,F.求证:圆在E,F 的切线与高线 AD 共点? 下面介绍值行注
意的”两点”,”三线”,”五定理”
范马点：各内角都小于 120°的三角形内有一点，若该点对各边的视角相等，则该点到 三顶点的距离之和极小，这个点叫范马点.
密克点：设在△ ABC 三边BC ,CA,AB 所在直线上各任取一点X,Y,E 则
QAYE ,QBEX, QCXY 共点，这个点叫做 X,Y,E 对于△ ABC 的密克点.
三线 欧拉线：三角形的外心，重心，垂心三点共线，这条直线叫做欧拉线.
一" 彳牛顿线：完全四边形的三条对角线之中点共线，这条直线叫做牛顿线.
西摩松线：三角形外接圆周上任一点在三边
（所在直线）上的投影共线，这条直线
叫做园上这点的西摩松线.
五定理
托列迷（ptolerny ）定理：园内接凸四边形，两双对边乘积的和等于两对角线的乘积 . 西摩松（simson ）定理:三角形外接圆周上任一点在三边所在直线
上的投影共线.
笛沙格（desargues 定理:两三角形对应顶点连线会于点，则对应边所在的直线的交点共线
梅涅芳氏（menelaus ）定理：即梅氏定理：设X,Y,EG 各是△ ABC 三边BC,CA,AB 或其延长线上的 “ 点，则它们共线的充要条件是 - ___________________堅?△旦=1或 上冬丄丫
1
XC YA EB
XC YA EB
塞瓦（cwa ）定理：设X,Y,E 分别是△ ABC 三边（所在直线）过BC,CA,AB 上的点，则AX,BY ,CE
共点或平行的充要条件是 __________ 9工? 胆=1或卫生? 些1
XC YA EB XC YA EB
【尺规作图】
、几何作图的基本知识
几何作图：按预定条件，作岀适合条件的几何图形的过程 .
尺规作图：在初等几何中，几何图形只限于直线型和圆 ，而不讨论其它曲线.而直线和图 总可由直尺和园规来作，并且规定.J 直尺__半面/无刻度/直/无限长
［圆规—两脚无限长，并能开闭自如
在初等几何中，作图工具若只限于直尺和圆规的话，这种几何作图叫作尺规作图，也叫 规矩作图或初等作图/欧氏作图
2、 解作图题？
使用合适的工具和恰当的方法，作出适合条件的几何
图形的过程叫做解作图题
3、 几何作图的分类定位作图
｛
（一）有关概
念
〔活位作图
J全活位作图
"乎活位作图
4、作图的解及解的个数
对定位作图而言：凡适合条件图形都称为作图的解，能作出多个这样的图形就称有多少个”解”
对活位作图而言：若适合条件的图形彼此合同，则不论有多少都说它只有一个解，当且仅当适合条件的图形彼此不能合同时，才称作不同的解.
对定位/活位作图都有：所求作的图形不存在时,便说'无解”
5、两个重要概念（两种提法）的区别：
无解”与”作图不能问题”不能混为一谈，所谓”无解”根本就没有，即不存在，重点为”无”所谓”作图不能问题”，只是在工具和功能限制下，不能作出图形，若取消这些限制就不一定不能解了.
（二）几何作图的地位和作用
1、几何作图的地位________ 由几何作图可解决存在问题，从而为几何命题的讨论带来实际可
仿的模型，因此几何作图乃为几何中的首要问题?
2、几何作图的作用：
①建立学生由抽象到具体的几何观念；
②作图可推证具体的材料，使学生学以致用,培养独立思考能力和创造力?
③为制图学奠定理基础
④培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力?
（三）作图的条件要求
每一个作图题都有预先给定的条件，不过如果条件不适当，图形就不一定能作出或准确定地
作出?因此作图条件必须满足三点
需注意的是：这三点乃作图题的图形确定的必要条件而非充要充要条件，有时条件适合上面三点，但作图仍不能确定■
（四）作图公法
作图公法实质是说明尺规的功能问题，而尺规的功能问题实质上是解决怎们用直尺/圆规制作图题的问题?在初等几何中，一般是规定以三条公法的有限次结合来解决几何中尺规作图题的①通过已知两点可以作一条直线.
、②已知园心和半径可以作一个圆
③已知两直线，一直线和一圆或两圆，若其相交，则可求其交点.
（1）除以上三条公法外，还另有一条规约—在已知直线上或外可任取点，不得附加任何条件?
（2） ____________________________________________________ 根据以上公法，假定直尺和圆规可以并且只可以有如下功能________________________________________ 画直线/作圆/求交点?其中，直线用直尺画，圆用圆规作?交点可单用直尺/圆规作或直圆规兼而用之作? ”
（3）规定作图时为三条公法的有限次结合，这个有限次结合很重要，如果取消这一规定，有的尺
规作图不能的问题便成为可能的了，至少在理论上是可能的了.
（4）最后，不有一个成明文的”规矩”就是直尺/圆规两种工具不能同时合并一起使用?否则有的尺规作图不能问题也会变成可能了?
（五）作图的一般步骤：解作图题时，一般釆用下列步骤：
①已知 ___ 详尽写岀题中的已知条件
②求作 ___ 把所作图形的特征叙述出来
③分析 ___ 可作草图.帮助分析已知和求作的关系
④作法 ___ 类似证明，严密地写出作图步骤及方法
⑤证明—因在分析时，往往将条件互换，有时并不一定为等价转化，故需证明.
⑥讨论 ___ 仍人全面着手，从分析/归类/系统地考查图形的有无/多少/解是否确定等问题.
二、作图成法
（一）关于直线型中直线/线段及其比例问题
①在一直线上截取一线段等于已知长线段
②过定点（在直线上或外）作该直线的垂线
③过定点作直线的平行线
④作一线段的垂直平分线
⑤等分一已知线段
⑥作一线段等于已知两线段的和
⑦作一线段等于已知两线段之差
⑧内（外）分一已知线段为另二线段的比
⑨作三条已知线段的第四比例项
⑩作二线段的比例中项
（11）a为已知成段长,m为正有理数，作一线段等于a眉（12）a,b为二已知线段，作一长为的线段a2 b2
（13）a.b为已知两线段，且a> b作长为.a2-b2的线段.
?）把一线段内（外）分成中外比（黄金分割）
（二）关于直线型中三角形诸问题
①以一定射线为边?端点为顶点，在其一例作一角等于已知用
②作一已知角的平分线
③已知两边作Rt △必须
④已知边长作正厶已知三边
⑤已知下列条件作三角形：已知两边及夹角
已知两角及夹边已知两角及另一角
所对的边已知两边及其中一边的对
角已知两角及其中一角的对边（三）关于圆的有关问题
①已知弦及内接角作弓形弧
②平分—已知园弧
③作已知半径的两弧的内（外）连接
④过定点作定圆的切线
⑤作两定圆的内（外）公切线
⑥作已知三角形的外接圆/内切圆/旁切圆
⑦作已知园的内接（外切）正△/正方形/正六边形
（四）有关面积及其它问题
①已知对角线长作正方形
②用已知线段为一对应边，作△相似于已知△
③用已知线段为一对应边?作多边形相似于已知多边形
④已知一边及一邻角，作一△，使之与一已知厶等积（等积变形）
⑤作一正方形，使之与已知△等积?
三、作图法
这里指具体的数学问题，暂不作。
注
-
求
作
△
至
少要
有
一
条
边
几何证明与计算(解析版)
几何证明与计算 考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题 1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D． （1）求证：△OAC≌△ODC； （2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形； ②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°． 【解析】 （1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC； （2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°． 【详解】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵BD∥OC， ∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OD，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）； （2）①∵四边形BOED是菱形， ∴OB＝D B． 又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝D B． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°． ∵CO∥DB， ∴∠AOC＝60°， ∵射线AG为⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ②∵四边形OADC是正方形， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝∠DCO， ∴∠OCA＝45°， 故答案30°，45°． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角
【初中教育】最新最新八年级数学上册第五章几何证明初步5
——教学资料参考参考范本——【初中教育】最新最新八年级数学上册第五章几何证明初步5 ______年______月______日 ____________________部门
1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三 角形全等的依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS 4. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判 定△ABC和△DEF全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF 5. 如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对 6.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 _________________________________ 7.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________． 第6题图第7题图第8题图
马兰初中第11章几何证明初步复习学案2篇-精品
马兰初中第11章几何证明初步 复习学案2篇-精品 2020-12-12 【关键字】条件、问题、有效、发现、需要、关系、解决 单位：马兰初中 主备：王慧敏 审核：黄丽英 课本内容：P114—124 课前准备：三角板 铅笔 复习目标： 1. 识别定义、命题、公理、定理，会区分命题的条件和结论，理解原命题和逆命题的关系。 2. 学会综合法证明的格式，会使用反证法。 复习过程： 一、复习提纲 1、八条公理： 2、命题是由_______________和______________两部分组成.命题分真命题和___________。请你举一个真命题的例子：______________________________________________________； 一个假命题的例子：_______________________________________________________。 3、请写出互为逆命题的两个命题：____________________________________________, ___________________________________________________。 4、几何证明的过程包括①________________________________________; ②________________________________________; ③________________________________________. 二、典型例题 例1 把下列命题写成“如果A ，那么B ”的形式，并指出条件和结论。 同角的余角相等 例2 指出下列命题中的假命题，并举出反例加以说明。 （1） 两个无理数的和仍是无理数。 （2） 如果两个角相等，那么这两个角是同位角。 （3） 如果,,c b b a 那么a=c. 例3 在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n n 62-的值都是负数。于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n n 62-的值都是负数。小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由。 例4 如图，AD ⊥BC 于D,∠ADE+∠B= 90, 求证：AB ∥DE. 三、有效训练 1、下列命题中，正确的是（ ） A 任何数的平方都是整数 B 相等的角是对顶角 C 内错角都相等 D 直角都相等 2、下列命题：
初中几何证明常用方法归纳
初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。
青岛版数学八年级上册第五章《几何证明初步》单元测试3
《几何证明初步》单元测试题 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列语句中，不是命题的是（ ） A ．若两角之和为90°，则这两个角互补 B ．同角的余角相等 C ．作线段的垂直平分线 D ．相等的角是对顶角 2. 下列语句中属于定义的是（ ） A ．直角都相等 B ．作已知角的平分线 C ．连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 D ．两点之间，线段最短 3. 下面关于定理的说法不正确的是（ ） A ．定理是真命题 B ．定理的正确性不需要证明 C ．定理可以作为推理论证的依据 D ．定理的正确性需证明 4. 如图，在等边△中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，结论：①；②； ③；④△≌△．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到∥的是（ ） 第6题图
A ．∠1=∠2 B. ∠2=∠4 C. ∠3=∠4 D ．∠1+∠4=180° 7.如图，∥，，若，则 等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图,在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ， 下列结论不一定成立的是（ ） A.AB =AD B.CA 平分∠BCD C.AB =BD D.△BEC ≌△DEC 9. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OT ⊥AB 于O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO =30°，则∠DOT 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 10. 图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列选项正确的是（ ） A ．∠2=∠4+∠7 B ．∠3=∠1+∠6 C ．∠1+∠4+∠6=180° D ．∠2+∠3+∠5=360° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 写一个与直角三角形有关的定理 . 12. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一 个四边形，则∠1+∠2= 度． 13. 如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80°， 则∠B =______度． 14. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，那么这个三角形的最大内角 是______度. 第10题图 第12题图 第9题图
如何做几何证明题(方法总结)
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
初中数学几何证明题解题方法--
初中数学几何证明题解题方法--
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浅谈初中数学几何证明题解题方法 内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程 关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线 初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。 学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构 初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，用合理的推理形式推导出的最后结果，而且只能出现在证明过程的最后。 例如：如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． 求证：△ABC ≌△DCB ； 已知条件：文字给出的有：△ABC 和△DCB ，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M 图形给出的有：BC=CB,∠BMA 与∠CMD 是对顶角等等 求证目标是：△ABC ≌△DCB 注意，已知条件除了上面列出的，就没有其它的了，不可随意出现AM=DM ,BN=CN 等等 二、做几何证明题的一般步骤 （一）、审题 审题就是读题，这一步是解决几何证明题的关键，非常重要。许多学生读几何证明题时讲快，常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同，读几何证明题要求 B A M N
中考数学几何证明题的依据
中考数学几何证明题的依据 在空间与图形中，为了进行计算、说理、证明等活动，需要运用有关的定理或事实，以下定理（公理）是重要的依据． 1．经过两点，有一条直线，并且只有一条直线． 2．两点的所有连线中，线段最短． 3．同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等． 4．对顶角相等． 5．在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 6．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 7．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 8．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 9．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．10．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．11．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．12．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补． 13．三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边．14．三角形的内角和等于180°． 15．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 16．n边形的内角和等于（n－2）×180°；多边形的外角和等于360°． 17．全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 18．三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 19．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 20．角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在
八年级数学上册第五章几何证明初步5.1定义与命题同步练习2新版青岛版
5.1定义与命题 1．命题“等角的余角相等”中的“等角的余角”是( ) A．题设部分 B．同属于题设和结论 C．结论部分 D．既不属于题设，也不属于结论 2．下列命题中是真命题的是( ) A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，和两条平行线垂直的直线有且只有一条 D．直线外一点与直线上各点所连的线段中，垂线段最短 3．______一件事件的______叫做命题． 4．许多命题都是由______和______两部分组成．其中题设是____________，结论是______ _____． 5．命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是______，“那么”后接的部分是______． 6．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就______的命题．相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论______的命题． 7.已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线． (1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”， 已知：如图，_____________________________． 求证：________. 证明：____________________.
8.下列语句是不是命题，如果是，指出命题的题设和结论． (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)平角的一半为直角； (3)连接AB； (4)两个正数之和必为正数； (5)取AB的中点M． 9.判断下列语句是否为命题，如果是命题，将其改成“如果……那么……”的形式，并判断其真假． (1)有理数一定是自然数； (2)负数之和仍是负数． 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式 10．末位数字是零的整数能被5整除． __________________________________________________________________． 11．等角的余角相等． __________________________________________________________________． 12．同旁内角互补，两直线平行． __________________________________________________________________． 判断下列各命题中，哪些命题是真命题?哪些是假命题?(对于真命题画“√”，对于假命题画“×”) 13．若x2＝4，则x＝2．( ) 14．若xy＝0，则x＝0．( ) 15．同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( ) 16．邻补角的平分线互相垂直．( ) 17．同位角相等．( ) 18．大于直角的角是钝角．( )
中考专题复习怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题
中考专题复习——怎样证明面积问题以及用面积法解几何 问题 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。 分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等 ③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可 由S△CFE＝S△CFB 故可得出S△AEF＝S△ABC 证明：∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB＝S△ADE
同理可证：S△ADC＝S△ADF ∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF＝S△CBF ∴S△ABC＝S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC ∴S△DEF＝2S△ABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点 分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h 证明：过M作MN//AB ∵M为腰BC的中点 ∴MN是梯形的中位线 设梯形的高为h （二）用面积法解几何问题 有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等 性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比 性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等 例3. 设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC＝CF·AB
初二数学 几何证明初步经典练习题 含答案
初二数学几何证明初步经典练习题含答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800 （ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800 ，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝ 13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴ CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于 D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C
(完整版)做几何证明题方法归纳
做几何证明题方法归纳 知识归纳： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1 求证：DE ＝DF 分析：由?ABC 连结CD ，易得CD = 证明：连结CD ΘΘΘAC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??ADE CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连
初中几何证明常用方法归纳
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法
1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。 2、等就在：有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。重复强调是有两个点 十、证明线段垂直的常用方法。 1、两线的夹角90度。 2、等就在：有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。重复强调是有两个点十一、证明线平行的常用方法内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。十二、证明三角形全等的常用方法 SSS,SAS,AAS,ASA, 十三、证明直角三角形全等的常用方法 HL , SSS,SAS,AAS,ASA, 十四、证明两条线段等于第三线段的常用方法截一段证一段
八年级数学《几何证明初步》练习题
八年级数学《几何证明初步》练习题 一、选择题 1．下列命题中，真命题是（ ） A ．互补的两个角若相等，则两角都是直角 B ．直线是平角 C ．不相交的两条直线叫平行线 D ．和为180°的两个角叫做互补角 2．如图2，AB ∥CD,AF 分别交AB 、CD 于A 、C 并且C E 平分∠DCF,∠1=800 ，则 等于（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 2 3 3．如图3， ，那么 等于（ ） A ．180° B ．360° C ．540° D ．720° 4．下列结论中不正确的是（ ） A ．如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么这条直线与另一条也平行 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线与另一条也垂直 C ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么这条直线与另一条也相交 D ．以上结论中只有一个不正确 5、在△ABC 中，AC=BC ＞AB,点P 为△ABC 所在平面内一点，且点P 与△ABC 的任意两个顶点构 成△PAB, △PBC,△PAC 均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ） A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 6、△ABC 中，∠C=900，AC=BC,AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB,垂足为点E,若AB=10 则△DBE 周长为（ ） A ．10 B.8 C.12 D.9 7.如图点D 在A B 上，点E 在A C 上并且∠B=∠C,那么补充下列一个 件后，仍无法判断△ABE ≌△AC D 的是（ ） A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C. BE=CD D. AB=AC 8. 下列推理正确的是（ ） A.如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c B.因为∠AOB ＝∠BOC,所以∠AOB 与∠BOC 是对顶角 D.因为两角的和是1800，所以两角互为邻补角 D. 若a ＞b,则ac ＞bc E B D C A
初二数学----几何证明初步经典习题(和答案)
几何证明初步练习题 编辑整理：临朐王老师 1、三角形的角和定理：三角形的角和等于180°． 推理过程： ○ 1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800 （ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800 ． ○ 2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800 ，∴∠BAC+∠B+∠C=1800 ． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE//DC ，∠A=∠C ，求证：∠1=∠B. 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13求Ｄ Ｅ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中 位线．∴DE=12FC=1 2 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108 A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴BC ＝A B ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C
八年级数学上册第五章几何证明初步5.6.4几何证明举例同步练习新版青岛版
564几何证明举例 1.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A. SAS B . AAS C . SSS D . ASA 2. 如图，/ 1 = Z 2, PC L OA PE 丄OB 垂足分别为D, E,下列结论错误的是( ) A PD= PE B 、OD= OE C / DPO=Z EPO D 、PD= OD 3. 如图，Rt △ ABC 中, Z 0=90°,/ ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D,若 C!=3cm,则点 D 到AB 的距离DE >( ) 4. 如图，△ ABC 中，点O 是厶ABC 内一点，且点0到厶ABC 三边的距离相等；/ A=40 则Z BOC=( ) A.110 ° B.120 ° C.130 ° D.140 5. 如图，，△ ABC 的两个外角平分线交于点 P,则下列结论正确的是（ ） ①PA=PC ②B P 平分Z ABC ③P 到AB BC 的距离相等 ④BP 平分Z APC A. 5cm B . 4cm . 3cm ①② C.②③ ③④ 第2题图 D. 2cm 第3题图 D .
6. 如图，直线l 1, l 2, l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它
到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A 1处B、2处C、3处 D 4处 7. 如图，AD// BC / ABC的角平分线BP与/ BAD的角平分线AP相交于点P,作PEL AB 于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为___________ . 8. 如图，△ ABC的三边AB BC CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O, 贝y S A ABO S^BCO S^CAO = . 9. 如图，P是/ BAC内的一点，PE L AB, PF L AC垂足分别为点E, F, AE=AF求证: (1)PE=PF (2)点P在/ BAC的角平分线上. 10. PB , PC分别是△ ABC的外角平分线且相交于P. 求证：P在/ A的平分线上(如图).
做几何证明题方法归纳
做几何证明题方法归纳
∴?∴=??A D E C D F DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 证明：连结AC 在?ABC 和?C D A 中， AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?B C E 和?D A F 中，
做几何证明题方法归纳 第 6 页 共 20 页 BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F =∠=∠=???? ?∴?∴∠=∠??() 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。 求证：KH ∥BC
初中几何证明题思路及做辅助线总结
中考几何题证明思路总结 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，错角相等或同旁角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。
青岛版八年级上册第五章 几何证明初步 练习题
初中数学青岛版八年级上册第五章练习题（无答案） 一、选择题 1.下列定理中，有逆定理的有() ?①内错角相等，两直线平行; ?②对顶角相等; ?③等边三角形的每个内角都等于60度; ?④等角的补角相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.在下列命题中，正确的是() A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3.下列命题的逆命题是正确的是() A. 若a=b，则a2=b2 B. 若a>0，b>0，则ab>0 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 平行四边形的两组对边分别相等 4.下列语句中，不是命题的是() A. 对顶角相等 B. 直角的补角是直角 C. 过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B D. 两个锐角的和是钝角 5.下列命题是真命题的是() A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 若|a|=|b|，则a=b C. 如果a>b，那么a2>b2 D. 平行于同一直线的两直线平行 6.判断命题“如果n<1，那么n2?1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的 n可以为 A. ?2 B. ?1 2C. 0 D. 1 2
7.下列命题是真命题的是() A. 直角三角形中两个锐角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 若|a|=|b|，则a=b 8.反证法证明“若√a2=a，则a≥0”，先应假设() A. √a2≠a B. a<0 C. a>0 D. a≤0 9.能说明命题“若a>b，则3a>2b“为假命题的反例为() A. a=3，b=2 B. a=?2，b=?3 C. a=2，b=3 D. a=?3，b=?2 10.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这 个三角形中() A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60° C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60° 11.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中 () A. 有两个角是直角 B. 有另个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 三个角都是直角 12.“已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B<90°.”下面是运用反证法证明这个问题 的四个步骤： ①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾； ②因此假设不成立．∴∠B<90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°； 这四个步骤正确的顺序应是() A. ③④①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ④③①② 13.学校开展象棋大赛，A，B，C，D四名同学进入决赛．赛前，甲猜测比赛成绩的名 次顺序是：从第一名开始，依次是B，C，D，A；乙猜测的名次依次是D，B，C， A.比赛结果，两人都只猜对了一个队的名次，已知第四名是B队，则前三名同学的 正确排序，从第一名开始依次是() A. A，C，D B. D，C，A C. C，A，D D. D，A，C 14.要说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，能举的一个反例是()
第11单元__几何证明初步
青岛版八年级数学第二学期 第11单元 几何证明初步 质量检测题 一．单项选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列语句中不是命题的是（ ） A.若a+b=b+c ，则a=b B.两条直线平行没有公共点 C ．延长直线AB D.我爱八年级一班 2. 下列命题中正确的是（ ） A ．若a ·b ＞0,则a ＞0,b ＞0 B.a ·b ＜0,则a ＜0,b ＜0 C ．a ·b=0,则a=0,b=0 D .a ·b=0,则a=0或b=0 3. 4. 下列推理正确的是（ ） A 如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c B 若a ＞b,则ac ＞bc C 因为∠AOB ＝∠BOC,所以∠AOB 与∠BOC 是对顶角 D 因为两角的和是1800，所以两角互为邻补角 5. 6. 9、如图，已知，PM=PN ，EQ//MN ，MQ 为∠PMN 的平分线，且∠MQN=0 72，则图中的等腰△有（ ） A 、2个B 、3个， 2．有下列命题（1）两条直线被第三条直线所截 同位角相等 （2）对应角相等的两个三角形全等（3）直角三角形的两个锐角互余（4）相等的角是对顶角（5）如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3其中正确的有（ ）个 A 、2个， B 、3个， C 、4个， D 、5个. 3．如图，AB ∥CD,AF 分别交AB 、CD 于A 、C 并且CE 平分∠DCF, M
∠1=800 ，则 等于（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 5.△ABC 中，∠C=900 ，AC=BC,AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB,垂足为点E,若AB=10则△DBE 周长为（ ） A ．10 B.8 C.12 D.9 8.如图，直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC,BE 平分∠ABC ， 交AD 于点E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ） A 、AB=BF B 、AE=EB C 、AD=DC D 、∠ABE=∠DFE 二、 填空题（共4小题，每小题5分，共20分，只要求填写结果）、 11．如图，已知ＣＤ⊥ＡＢ,ＢＥ⊥ＡＣ,垂足分别是Ｄ、Ｅ,ＢＥ、ＣＤ交于点Ｏ,且ＡＯ平分∠ＢＡＣ,那么图中全等三角形共有 对 （9题图） （10题图） 12. 已知正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在边ＤＣ上，ＤＥ=２，ＣＥ=１， 把线段ＡＥ绕点Ａ旋转，使点Ｅ落在直线ＢＣ上的点Ｆ处，则Ｆ、Ｃ两点的距离为 。 13．利用反证法证明“在△ABC 中，∠A ＞∠B,求证：BC ＞AC"是，第一步应假设： 。 14. 如图,AE=AD,要使ΔABD ≌ΔACE,请你增加一个条件是 11、用相反数证明命题：已知，如图，直线a//b,不、求证：0 18021=∠+∠，应首先假设 。 E D C B A Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｏ Ａ Ｃ Ｄ Ｅ C B