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2019届高考理科数学专题基本不等式

2019届高考理科数学专题

第三讲基本不等式

题组基本不等式

1.[2015陕西,9,5分][理]设f(x)=ln x,0

中正确的是()

A.q=r

B.p=r

C.q=r>p

D.p=r>q

2.[2014重庆,9,5分]若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是()

A.6+2

B.7+2

C.6+4

D.7+4

3.[2013山东,12,5分][理]设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最

大值为()

A.0

B.1

D.3

4.[2017天津,13,5分]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.

5.[2017 山东,12,5分]若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.

6.[2017 江苏,10,5分][理]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值

是.

7.[2015山东,14,5分]定义运算“?”:x?y=-(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为.

8.[2015重庆,14,5分]设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.

9.[2014湖北,16,5分]某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平

均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;

(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.

A组基础题

1.[2018长春市高三第一次质量监测,7]已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()

A.8

B.9

C.12

D.16

2.[2018合肥市高三调研,11]已知a>b>0,则a++

的最小值为()

A. B.4 C.2 D.3

3.[2018湖北省部分重点中学高三联考,9]已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是() A. B. C. D.-

4.[2017湖南省湘中名校高三联考,9]若正数a,b满足:+=1,则

的最小值为()

A.2

D.1+

5.[2017河北省石家庄市高三一检,14]已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为.

B组提升题

6.[2018豫西南部分示范性高中联考,9]已知正项等比数列{a n}的公比为2,若a m a n=4,则

+的最小值等于()

A.1

7.[2017沈阳三模,10]直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为()

A.1

B.-1

C.+

8.[2017郑州市高三一测,10]设正实数x,y满足x>,y>1,不等式

≥m恒成立,则m的最大

值为()

A.2

B.4

C.8

D.16

9.[2017广东五校一诊,16]两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a ∈R,b∈R且ab≠0,则+的最小值为.

10.[2018天津市滨海新区八校联考]已知a>b>0,且ab=1,那么

取最小值时,b=.

答案

1.B因为0,又f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,故f()p,因为r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln =f()=p,所以p=r

2.D因为log4(3a+4b)=log2,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且

, ,即

a>0,b>0,所以+=1(a>0,b>0),a+b=(a+b)(+)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号,故选D.

3.B=

≤

=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=2y2,+-=-+=

-(-1)2+1≤1,当且仅当y=1时等号成立,故选B.

4.4因为ab>0,所以≥==4ab+≥2=4,当且仅当

,时取等号,故的最小值是4.

5.8∵直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴+=1,∵a>0,b>0,∴

2a+b=(2a+b)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.

6.30一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4(+x)≥8=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.

7.因为x>0,y>0,所以x?y+(2y)?x=-+-==(+)≥,当且仅当=,即x=y时取等号.故x?y+(2y)?x的最小值为.

8.3()2=a+b+4+2+2·))=9+a+b+4=18,所以

+≤3,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=,b=时等号成立.所以

+的最大值为3.

9.(1)1 900F=≤=1 900,当且仅当v=11时等号成立.

(2)100F=≤=2 000,当且仅当v=10时等号成立,2 000-1 900=100.

A组基础题

1.B由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)(+)=++1+4≥2+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”,故选B.

2.D因为a>b>0,所以a++

-=(a+b++a-b+

)≥) +-)

=2=3当且仅当

即a=,b=时等号成立.故选D.

3.D∵不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2), ∴在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+=4a+.∵a<0, ∴-(4a+)≥2=,即

4a+≤-,故x1+x2+的最大值为-.故选D.

4.A由a,b为正数,且+=1,得b=

->0,所以a-1>0,所以

≥2

--=2,当且仅当

=-,即a=b=3时等号成立,所以

的最小值为2,故选A.

5.5+2因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=

>0,所以a-3>0,所以

a+b=a+

-=a-3+

+5≥5+2-)

=5+2,当且仅当a-3=

,即a=3+,b=2+时等号

成立.

B组提升题

6.C由题意知,a m a n=×2m+n-2=4=4×22=×24,故得到m+n=6,所以+=(+)(m+ n)=(++)≥(+2)=,当且仅当=,即m=2n时等号成立.故选C.

7.C∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,∴圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即=1?a2+b2=1,易知a+b+ab的最大值一定在a>0,b>0时取得,

∴a+b+ab=)+ab=+ab.

令,则ab=-.

∵ab≤=(当且仅当a=b=时取“=”)且ab>0,

∴1

∴a+b+ab=+ab=t2+t-=(t+1)2-1,

∴当t=时,(a+b+ab)max=+.故选C.

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>．（I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1}

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

高考数学不等式专题

基本不等式专题一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲

16 不等式选讲选考内容（二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式：（2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一绝对值不等式的求解样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数．（1）画出()y f x =的图象；

（2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值．【解析】（1）()y f x =的图象如图所示．

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，