当前位置：文档库 › 数学建模实验报告

数学建模实验报告

班级：信息81

学号：07052023

姓名：杨帆

实验一：

实验题目：

有3名商人各带一个仆人乘船渡河，小船只能容纳两个人，由他们自己划船。仆人们约定，在河的一岸，一旦仆人的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手里。问商人们怎样才能安全渡河？

实验过程：

问题分析：

这是是一个多步决策问题。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸回到此岸，都要对船上的商人和仆人的个数作出决策。在保证安全的前提下，在有限步内使全部人员过河。采用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上人员状况。可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态允许范围内（安全渡河的条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的条件

1.建立数学模型：

1）允许状态集合S：安全渡河条件下的状态集合为允许的状态集合，记作S,依次用二维向量表示商人仆人的状态，设第k次渡河前左岸的商人数为x k，仆人数为y k，k=1,2,…，则状态变量为（x k，y k），其中x k，y k取值为0，1，2，3。容易知道该集合为

S={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(3,0),(3,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3)} ——(1.1) S共10种状态。每种安全状态既要满足左岸安全，同时右岸也要安全。

2)允许决策集（划船方式）D

记第k次渡河船上的商人数为u k，仆人数为v k，则决策变量为d k=（u k,v k）。允许的决策集合记为D，由船的容量可知D的集合为D={（2，0），（0，2），（1，1），（1，0），（0，1）} ——(1.2)

每次有5种决策可供选择。由于k为奇数时船从左岸到右岸，k为偶数时船从右岸到左岸，因此状态s k随决策d k而变化的规律为

S0=(3,3)

S k=s k-1+(-1)k d k，k=1,2,3…——(1.3)

式（1.3）称为状态转移规律。则制定安全的渡河方案问题转化为：由初始状态(3，3)出发，经奇数次上述运算转化为状态(0,0)的过程。并且步数n要求尽量小。

2.具体实验过程：

模型求解：采用三维向量（x,y,z）来表示状态量。X表示左岸商人数（x=0,1,2,3），y表示左岸仆人数（y=0,1,2,3），z表示船在左岸还是右岸（z=1表示船在左岸，z=0表示船在右岸）。则总共有20个状态，可以建立20个顶点的图。利用穷举法意欲在计算机上求解，如果计算过程中出现循环，则说明无解。

用状态向量表示（只表示左岸状态）如下：

(3,3) (3,1) (3,2) (3,0) (3,1) (1,1) (2,2) (0,2) (0,3) (0,1) (0,2) (0,0)

或者为

(3,3) (2,2) (3,2) (3,0) (3,1) (1,1) (2,2) (0,2) (0,3) (0,1) (0,2) (0,0)

共有两种步数最少的渡河方法。

标号船在左岸船在右岸标号

1 (3,3,1) (3,3,0) 11

2 (3,2,1) (3,2,0) 12

3 (3,1,1) 13

4 (3,0,1) (3,0,0) 14

5 (2,2,1) 15

6 (1,1,1) (1,1,0) 16

7 (0,3,1) (0,3,0) 17

8 (0,2,1) 18

9 (0,1,1) (0,1,0) 19

10 (0,0,1) (0,0,0) 20

图2状态转移图

图3

编写matlab程序如下：

a=[0,0;0,1;0,2;0,3;3,0;3,1;3,2;3,3;1,1;2,2];

d=[0,2;2,0;1,1;0,1;1,0];

s1=[3,3];

s2=[3,3];

ld=0;%上次决策

posable=1;

k=1;

clc;

while sum(s2)~=0

if posable==1

disp(s2);

end

s1=s2;

posable=0;

ind=0;

for m=1:5

if ind==1

break;

else

%p=(-1)^k;

%k为偶数时候的决策不应该和上次的一样，否则会形成死循环 if mod(k,2)==0

if ld==m

dd=mod(ld,5)+1;

s2=s1+d(dd,:);

dm=dd;%本次采用第dm个决策

else

s2=s1+d(m,:);

dm=m;%本次采用第dm个决策

end

else

s2=s1-d(m,:);

dm=m;%本次采用第dm个决策

end % end if mod(k,2)==0

end %end if ind==1

for n=1:10

if (s2(1,1)==a(n,1)) & (s2(1,2)==a(n,2))

ld=dm;%本次采用的第dm个决策是个可行决策

s=strcat('第',num2str(k));

s=strcat(s,'次采用的可行决策:');

s=strcat(s,num2str(d(ld,:)));

disp(s);

k=k+1;%决策次数

ind=1;%指示跳出for m=1:5循环

posable=1;%s2 属于a

break;

end %end if s(k+1,1)==a(n,1) & s(k+1,2)==a(n,2)

end %end for n=1:10

end %end for m=1:5

end %end while sum(s(k,:))~=0

disp(s2);

实验二：

实验题目：草原鼠患问题

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的

办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:

(1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。

(2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。

(3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在

这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

任务1：建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

任务2：对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；

任务3：通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

模型建立：任务1：建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

方案1灭鼠药：由于用灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。在没有足够资金时间研制无公害灭鼠药前，此模型类似于马尔萨斯人口（Malthus）模型，

假设：老鼠数量增长率r是常数

记时刻t=0时老鼠数为x0，时刻t的老鼠为x(t)，t到时间内老鼠的增量为：

于是x(t)满足微分方程：

求解得：

当