二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.会从实际情境中抽象出
二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的
几何意义，能用平面区域
表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出
一些简单的二元线性规划
问题，并能加以解决.
1.考查形式：选择题或填空题．
2.命题角度：
(1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的
值(范围)，如2012年广东T5，新课标全国T14，山东T5等．
(2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如2012年江
西T8等．
(3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数
等相结合命题，如2012年陕西T14，福建T9等.
[归纳·知识整合]
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线．
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax＋By＋C＞0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C＜0.
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C 的符号来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．
(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．线性规划中的基本概念
名称意义
约束条件由变量x，y组成的不等式
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解(x，y)
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[探究] 1.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是什么？
提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
2．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？
提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()
A．右上方B．右下方
C．左上方D．左下方
解析：选C画出图形如图所示，可知该区域在直线
x－2y＋6＝0的左上方．
2．(教材习题改编)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()
解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0?
???
?? x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或?????
x －2y ＋1≤0，
x ＋y －3≥0.
3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )
A.?????
x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B.?????
x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.?
????
x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0 D.?
????
x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 解析：选A 两条直线方程为：x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0.将点(1,1)代入x ＋y －1得1>0，代入x －2y ＋2得1>0，即点(1,1)在x －2y ＋2≥0的内部，在x ＋y －1≥0的内部，故所求二
元一次不等式组为?????
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.
4．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3)
D ．(2，－3)
解析：选C 当x ＝1，y ＝2时，x ＋y －1＝1＋2－1＝2>0， 当x ＝－1，y ＝3时，x ＋y －1＝－1＋3－1＝1>0， 故(－1,3)与(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同侧．
5．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y ≤1，x －y ≤1，
x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为
( )
A ．3
B ．1
C ．－5
D ．－6
解析：选C
变量x ，y 满足的不等式组????
?
x ＋y ≤1，
x －y ≤1，
x ＋1≥0
表示的平面区域如图所示，作辅
助线l 0：x ＋2y ＝0，并平移到过点A (－1，－2)时，
z ＝x
＋2y 达到最小，最小值为－5.
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[例1] (2012·福建高考)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件????
?
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则
实数m 的最大值为( )
A ．－1
B ．1 C.3
2
D ．2
[自主解答] 如图所示： 约束条件
???
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m
表示的可行域如阴影部分所示．当直
线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时，m 取最大值．解方程组
?
??
??
x ＋y －3＝0，
y ＝2x ，得A 点坐标为(1,2)，故m 的最大值是1. [答案] B —————
—————————————— 二元一次不等式表示的平面区域的画法
在平面直角坐标系中，设有直线Ax ＋By ＋C ＝0(B 不为0)及点P (x 0，y 0)，则
(1)若B >0，Ax 0＋By 0＋C >0，则点P 在直线的上方，此时不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方的区域．
(2)若B >0，Ax 0＋By 0＋C <0，则点P 在直线的下方，此时不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方的区域．(注：若B 为负，则可先将其变为正)
(3)若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．
1．已知关于x ，y 的不等式组????
?
0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的
值为( )
A ．1
B ．－3
C ．1或－3
D ．0
解析：选A 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1.
利用线性规划求最值
[例2] 变量x ，y 满足????
?
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
设z ＝4x －3y ，求z 的最大值．
[自主解答] 由约束条件????
?
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
作出(x ，y )的可行域如图所示． 由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z
3
.
求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z
3在y 轴上
的截距－z
3
的最小值．
平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z
3
最小，z 最大．
由?
???
?
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． 故z max ＝4×5－3×2＝14.
保持例题条件不变，如何解决下列问题． (1)设z ＝y
x ，求z 的最小值；
(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围． 解：(1)∵z ＝y x ＝y －0
x －0
.
∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝2
5.
(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
由?
????
x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.
—————
——————————————
目标函数最值问题分析
(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． (2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y 轴上的截距或其相反数．
(3)对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义，如① x 2＋y 2表示点
(x ，y )与原点(0,0)之间的距离；
(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离．②y
x
表
示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b
x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的
几何意义能使所求代数问题转化为几何问题．
2．已知实数x ，y 满足????
?
x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －
3，则实数a 的取值范围为________．
解析：作出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值，又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.
答案：[－1,1]
线性规划的实际应用
[例3] (2012·江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C．20,30 D．0,50
[自主解答]设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y .
线性约束条件为
??
?
??x＋y≤50，
1.2x
＋0.9y≤54，
x≥0，
y≥0，
即
??
?
??x＋y≤50，
4x＋3y≤180，
x≥0，
y≥0.
画出可行域，如图所示．
作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由
??
?
??x＋y＝50，
4x＋3y＝180，
解得A(30,20)．
[答案] B
———————————————————
解答线性规划实际问题的一般步骤
(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；
(2)准确作出可行域，求出最优解；
(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．
3．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A，B两种产品各x件，y件，则x，y满足约束条件
??
?
??3x＋y≤11，
x＋3y≤9，
x∈N，y∈N，生产利润为z＝300x＋400y.
画出可行域，如图所示，显然目标函数在点A处取得最大值，由方程组
??
?
??3x＋y＝11，
x＋3y＝9，
解得
??
?
??x＝3，
y＝2，
此时目标函数的最大值是300×3＋400×2＝1 700.
故最大利润是1 700元．
答案：1 700
1种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
1个步骤——利用线性规划求最值的步骤
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
1个几何意义——线性目标函数最值的几何意义
求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y
＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值，应注意以下两点：
(1)若b >0，则截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值．
(2)若b <0，则截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b 取最小值时，z 取最大值．按m ＝
(a ，b )方向平移直线ax ＋by ＝0，z 越来越大.
创新交汇——与线性规划有关的交汇问题
1．线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题． 2．解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作要规范． [典例] (2012·江苏高考)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b
a
的取值范围是________． [解析] 由条件可得
?????
3·a c ＋b c
≥5a c ＋b
c ≤4，
b c ≥e a c
，
令a c ＝x ，b
c
＝y ，则问题转化为约束条件为?????
3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x
，
求目标函数z ＝b a ＝y
x
的取值范
围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y ＝e x 的切线，切线方程为y ＝e x ，切点P (1，e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P (1，e)时，z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ????12，72时，z max ＝7，故b
a
∈[e,7]． [答案] [e,7] [名师点评]
1．本题具有以下创新点
(1)命题角度新颖，本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值，因而需要将所给不等式组进行合理转化后，约束条件才明朗．
(2)考查知识点新颖，本题将不等式，对数、指数函数，导数以及曲线的切线问题相交汇，运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高．
2．解决本题的关键
(1)正确将不等式5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 进行合理转化，明确约束条件，将其转化为线性规划问题；
(2)正确识别b
a
的几何意义，将其转化为斜率问题求解．
[变式训练]
1．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组???
0≤x ≤
2，
y ≤2，
x ≤2y
给定，若M (x ，y )
为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ·
OA 的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．32
D ．4 2
解析：选B 区域D 如图所示：
设M (x ，y )，则z ＝OM ·OA ＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y .
要求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值即求直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上截距的最大值，画l 0：y ＝－2x ，由图知过直线y ＝2与直线x ＝2的交点M (2，2)时，z 取得最大值为z max ＝2×2＋2＝4.
2．设不等式组????
?
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在
区域D 上的点，则a 的取值范围是( )
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[3，＋∞)
解析：选A 平面区域D 如图所示．
要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点， 所以1＜a ≤3.
3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝?
????
ln x ， x >0，
－2x －1，x ≤0，
D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为______________．
解析：当x >0时，求导得f ′(x )＝1
x ，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线方
程为y ＝x －1，画图可知区域D 为三角形，三个顶点的坐标分别为????－1
2，0，(0，－1)，(1,0)，平移直线x －2y ＝0，可知在点(0，－1)处z 取得最大值2.
答案：2
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．不等式组????
?
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2
B.2
3 C.4
3
D.34
解析：选C 平面区域如图．
解?
????
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4， 得A (1,1)，
易得B (0,4)，C ????0，4
3， ∵|BC |＝4－43＝8
3
.
∴S △ABC ＝12×83×1＝4
3
.
2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组?
???
?
|x |≤|y |，|x |<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为
下列图中的( )
解析：选C |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．
3．(2012·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件????
?
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y
的最小值为( )
A ．－5
B ．－4
C ．－2
D ．3
解析：选B 不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0,2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4.
4．若实数x ，y 满足????
?
x －y ＋1≤0，x >0，
y ≤2，则y
x 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选D 画出线性约束条件的可行域(如图)． y
x
的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k .
由?
????
x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，
故k ≥k OA ＝2. ∴y x
≥2. 5．(2012·辽宁高考)设变量x ，y 满足????
?
x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，
0≤y ≤15，
则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45
D ．55
解析：选D 作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y ＝－2
3x ，易知直线经过可行域上的点A (5,15)时，2x ＋3y 取
得最大值55.
6．(2013·衡水模拟)点P (2，t )在不等式组?????
x －y －4≤0，
x ＋y －3≤0，
表示的平面区域内，则点P (2，
t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B 画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．
结合图形可知，点A 到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离最大．由
?
??
??
x ＝2
x ＋y －3＝0得A 点坐标为(2,1)，故所求最大距离为d max ＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．
解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7 8．(2013·濮阳模拟)已知点A (2,0)，点P 的坐标(x ，y )满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25， x －1≥0，则|OP |·cos ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值是________． 解析：|OP |·cos ∠AOP 即为OP 在OA 上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值． 由? ???? x －4y ＋3＝0， 3x ＋5y ＝25，可得交点的坐标为(5,2)，此时 |OP |·cos ∠AOP 取值最大， ∴|OP |·cos ∠AOP 的最大值为5. 答案：5 9．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 解析：设租赁甲设备x 台，乙设备y 台， 则????? 5x ＋6y ≥50， 10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N * ， 设租赁费用为w ，w ＝200x ＋300y . 约束条件构成的平面区域如图： 解? ???? 5x ＋6y ＝50，10x ＋20y ＝140， 得A (4,5)． ∴w min ＝200×4＋300×5＝2 300. 答案：2 300 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2013·合肥模拟)画出不等式组???? ? x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0， x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合． 所以，不等式组??? x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0， x ≤3 表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得x ∈??? ?－5 2，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知????? －x ≤y ≤x ＋5， －52≤x ≤3，且x ∈Z ， 当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． 11．设x ，y 满足约束条件???? ? x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0， x ≤3， 求z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值． 解：作出不等式组??? x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0， x ≤3 表示的平面区域，如图中 阴影部分所示． (x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图象可知可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大． 解方程组????? x ＝3， x －y ＋5＝0， 得A 点的坐标为(3,8)，代入 z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 12．(2013·黄山模拟)若x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥1，x －y ≥－1， 2x －y ≤2， (1)求目标函数z ＝12x －y ＋1 2 的最值． (2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋1 2＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0) 取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2 <2，解得－4 1．不等式组???? ? 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0， y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4 B ．1 C ．5 D ．无穷大 解析：选B 不等式组 ??? 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2 表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求 出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝1 2×(2－1)×2 ＝1. 2．若变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤1，x ＋y ≥0， x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析：选B 作出可行域如图所示(阴影部分)，把z ＝x －2y 变形为y ＝x 2－z 2，得到斜率为12，在y 轴上的截距为－z 2，随z 变化的一 组平行直线． 由图可知，当直线y ＝x 2－z 2经过点A 时，－z 2最小，即z 最大，解方程组? ???? x ＋y ＝0，x －y －2＝0， 得A 点坐标为(1，－1)，所以z max ＝1－2×(－1)＝3. 3．设m >1，在约束条件???? ? y ≥x ，y ≤mx ， x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的 取值范围为( ) A ．(1,1＋2) B ．(1＋2，＋∞) C ．(1,3) D ．(3，＋∞) 解析：选A ∵m >1，由???? ? y ≥x ，y ≤mx ， x ＋y ≤1， 画出可行域，如图所示． 对于目标函数z ＝x ＋my ，即 y ＝－1m x ＋z m ，∴平移直线y ＝－1 m x 到B 处z 取值最大，则由? ???? y ＝mx x ＋y ＝1 得 B ? ????1m ＋1，m m ＋1，z max ＝1m ＋1＋m 2m ＋1 <2. 解得1－2 .. 中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知 ，则a+b 等于（ ） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（ ） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组 ，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x ≤1，则1≤y ≤4． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江） 请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 1 ． 7．（2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在第 象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为 ． 9.（2012?广州）解方程组 ． 10．（2012广东）解方程组： ． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：???==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是 A ．0 12 x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．11x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ② 第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________． 七年级第一次双周清考试数学试卷 一、填空题（每小题4分，共32分） 1、某数的2倍与3的差大于0，且小于4，设某数为x ，则可列不等式组________。 2、不等式组 的解集是______________。 3、某关于x 的不等式组的解集如图所示，则此不等式组的解集是____________。 4、请写出一个解集为x ＜2的不等式组______________。 5、请写出一个解为 的二元一次方程_____________ 。 6、不等式组 的整数解是______________。 （第3题） 7、某地某天最低气温是-1℃，最高气温是6℃，那么此地这天气温t （℃）的变化范围是_______________。 8、4辆板车和7辆卡车能运37吨货，10辆板车和5辆卡车一次能运30吨货，设每辆板书每次可运货x 吨，每辆卡车能运货y 吨，则可列方程组_____________。 二、选择题（每小题4分，共24分） 1、将不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 2、若一元一次不等式组 无解，则a 的取值范围是（ ） A 、 3->a B 、3-≥a C 、3-x D 、35 - §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 董燕 【教学目标】 1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域. 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 【教学重点】 从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式 （组）表示的平面区域。 【教学难点】 如何确定不等式0( Ax By C ++>或<0)表示0 Ax By C ++=的哪一侧区域. 【教学过程】 一．创设情境，引出问题 在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。（板书课题） 现看一个实际例子： 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？ 问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？ 教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？ 2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？ 3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？ 把实际问题 转化数学问题： 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言 转化符号语言） （资金总数为25 000 000元）?25000000 x y +≤ （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y30000 ≥即12103000000 x y +≥ （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?0,0 x y ≥≥ （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： 25000000 12103000000 0,0 x y x y x y +≤ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? 二．新课解读 （一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？ 教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集: 1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。 2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。 （三）二元一次不等式（组）解集的表示方法: 1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？ 是数轴上的区间。 2.探究: 问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ 教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？ 第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划 1 、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0 在平面直角坐 标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域。 注意：由于对直线同一侧的所有点（x,y），把它代入Ax+By+C ，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），从 Ax 0+By 0+C 的正负可以判断出Ax+By+C>0 表示哪一侧的区域（一般 在C工0时，取原点作为特殊点） 2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二 元一次方程组表示各个区域的公共部分。 （二元一次不等式表示的区域） 例 1 、画出不等式2x+y-6<0 表示的平面区域。 （跟踪训练）画出不等式4x-3y<12表示的平面区域。 点的分布）例2、已知点P（x o,y o）与点A（1,2）在直线l:3x+2y-8=0 的两侧，则 （） A、3x o+2y o>o B、3x o+2y o （已知区域求不等式） 例4、求由三直线x-y=O ; x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所 表示的不等式。 （已知不等式组求围成图形的面积） x 3, 例5、求不等式组x y 0,表示的平面区域的面积 x y 2 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课标要求与教材分析： 1．课标要求： ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．教材分析： 本单元包含两节，3.3.1主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集，3.3.2主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。其中 3.3.1是解决二元线性规划问题的基础，应作为本单元的重点要求所有学生掌握。 学情分析： 在初中，学生已学过一元一次不等式组的的解法，学生普遍具有利用不等式组解决问题的思想，能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题，这用利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等式组解法。 在必修2中，学生已学习了直线方程的有关知识，多数学生能画出二元一次方程表示的直线，这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集，也有利于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。 教案目标： 1．.知识与技能目标： 了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．过程与方法目标： 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想，数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标： 通过解决线性规划实际问题，使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作用，增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 教案目标: 1．知识与技能目标： 了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 2．过程与方法目标： 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标： 通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。 教案重点与难点: 重点：求二元一次不等式表示的平面区域。 难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。 教案方法与手段: 中考真题50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知，则a+b 等于（ ） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（ ） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=? 的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x≤1，则1≤y≤4． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江） 请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是 ． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+=0，则（）2012的值是 1 ． 7．（2012安顺）以方程组 的解为坐标的点（x ，y ）在第 象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为 ． 9.（2012?广州）解方程组 ． 10．（2012广东）解方程组： ． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：???==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是 A ．012 x y =???=-?? B ．1 1x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．1 1x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 A ．? ? ?==21 y x B ．?? ?==13 y x C ．? ? ?-==20 y x D ．? ? ?==02 y x ① ② 二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6251023x y x y 3、 ???=-=+15 725 32y x y x 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、???=-=+4 26 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、? ??=-=+195420 23b a b a 10、???=-=-y x y x 23532 11、???=-=+124532n m n m 12、???=+=+10 2325 56y x y x 13、???=+=+2.54.22.35.12y x y x 14、?????=-+-= +6 )(3)1(26 132y x x y x 15、?? ???=+--=-+-042 3513042 3512y x y x 16、?????=--= +-4 323122y x y x y x 17、?? ? ??-=-++=-+52251230223x y x y x 二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________． 10．在二元一次方程－1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 12．已知 2, 3 x y =- ? ? = ? 是方程x－ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____． 14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 15．以 5 7 x y = ? ? = ? 为解的一个二元一次方程是_________． 16．已知 23 16 x mx y y x ny =-= ?? ?? =--= ?? 是方程组的解，则m=_______，n=______． 三、解答题 17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）?有相同的解， 求a的值． 18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 二元一次方程组和不等式组测试题 1．已知关于x 的不等式组?? ???<->>a x x x 12 无解，则a 的取值范围是（ ） A 、1-≤a B 、2≤a C 、21<<-a D 、1-a 2.已知方程组???=+=+15 231032y x y x ，不解方程组则=+y x 3.已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<，则=a 4．已知关于x 的不等式组???--≥-1 230 x a x 的整数解有5个，则a 的取值范围是_____ 5.某商场计划在一月份销售彩电1000台，据统计本月前10天平均每天销售32台.现商场决定开展促某商.。…….销活动，并追加月计划量的20%，则这个商场本月后20天至少平均每天销售多少台？ 6.风景点门票是每人10元，20人以上（含20人）的团体八折优惠.现有18位游客买20人的团体票； (1)问这样比普通票总共便宜多少钱？ (2)此外，不足20人时，需多少人以上买20人的团体票才比普通票便宜？ 7.车站有有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节A ，B 两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A 型货箱的运费为0.5万元，每节B 型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货箱，按此要求安排B A ,两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？ 8.某园林的门票每张10元，一次使用.考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A ，B ，C 三类：A 类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B 类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C 类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元. （1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式； （2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A 类年票比较合算. 10.解不等式6 52123--≤-x x 并把解集在数轴上表示出来 11.?????-<-≤--x x x x 14 214)23( 12. 求不等式组?????>--≤--41)3(28)3(2x x x x 的整数解 13.若不等式7)1(68)2(5+-<+-x x 的最小整数解是方程32=-ax x 的解，求a a 144-的值 14. 有大小两种货车，3辆大车与5辆小车一次可运货24.5吨，两辆大车与3辆小车一次可运15.5吨，求5辆大车和6辆小车一次可运货多少吨？ 《二元一次方程组》测试题一、选择题 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数 是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的 值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－ 1?的值是_________． 11．写出一个解为 1 2 x y =- ? ? = ? 的二元一次方程组__________． 12．a－b=2，a－c=1 2 ，则（b－c）3－3（b－c）+ 9 4 =________． 13．已知 32 111 x x y y ==- ?? ?? == ?? 和都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______． 二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2 4 y- 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ???? +=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ???? ===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ???? =-=+=+=+ ???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x 为：x=________． 10．在二元一次方程－1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 12．已知 2, 3 x y =- ? ? = ? 是方程x－ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____． 高二数学《二元一次不等式组》知识点讲解 想要更好的学习数学首先要做的就是理解运用课本中的知识，因此为同学们整理了高二数学二元一次不等式组知识点，希望大家可以更快更好的提高成绩。 【练习题】 高二数学必修同步练习题二元一次不等式（组） ? 【定义】 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个一元二次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 【消元的方法】 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组： x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y③ 把③代入②，得 6(5-y)+13y=89 即 y=59/7 把y=59/7代入③，得 x=5-59/7 即 x=-24/7 ∴ x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组： x+y=9① x-y=5② 解：①+② 2x=14 即 x=7 把x=7代入①，得 7+y=9 解，得：y=2 ∴ x=7 y=2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition-subtraction)，简称加减法。【二元一次方程组的解】 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解 二元一次方程组与不等式组应用题专题练习(2007年绵阳中考)绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨?现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨. (1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ (2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 解：(1 )设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(8 —x)辆，依题意，得 '4x +2(8—x) K20 丿解此不等式组，即2 < x W 4. x + 2(8-x)K12 ??? X兄匸幣数.二x可取的值为2, 3, 4. 因此安排甲、乙两种货车有三种方案： 万案 一， 甲种货车2辆, 乙种货车6辆 万案 一， 甲种货车3辆, 乙种货车5辆 万案三，甲种货车 4 辆， 乙种货车4辆 (2 )方案一所需运费300 2 240 6 =2040元； 方案二所需运费300 3 204 5二2100元； 方案三所需运费300 4 240 4 = 2160元. 所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元. (2007年济南)某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李. (1 )设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案； (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一 种租车方案. 解：(1 )由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车(8-x)辆 由题意得：40x 30(8 - x) > 290 10x 20(8-x) > 100 班级姓名 二元一次方程组和不等式 (二) 1.（2012?湖州）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵 200元，现计划用 210000 元资金，购买这三种树共 1000棵． （1）求乙、丙两种树每棵各多少元？（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少 棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以 购买多少棵？ 2.某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 4 5 倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价 至少是多少元？ 3.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息： （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用） 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a 、b 的值； （2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不 超过家庭月收入的 2%．若小王家的月收入为 9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？ 自来水销售价格 污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨 17吨以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 12、二元一次方程组及不等式的解法 1．不等式260x ->的解集在数轴上表示正确的是（ ） 2，已知方程()()026281||2=++--+m n y n x m 是二元一次方程，则m+n 的值（ ） A.1 B. 2 C.-3 D.3 3，在等式y=kx+b 中，当x=1时,y=2;当x=2时,y=5,则k,b 的值为( ) A ．???-=-=13b k B ．???=-=31b k C ．???-==13b k D ．? ??-=-=31b k 4，若方程1-=+y x ,42=-y x 和7=-my x 有公共解,则m 的取值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5．若方程3m （x +1）+1=m （3－x ）－5x 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）． Ａ．m >－1.25 Ｂ．m <－1.25 Ｃ．m >1.25 Ｄ．m <1.25 6，要配制15%的硝酸溶液240千克,需用8%和50%的硝酸溶液的克数分别为( ) A. 40,200 B.80,160 C.160,80 D.200,40 7，两位同学在解方程组时，甲同学由2,78.ax by cx y +=??-=?正确的解出3,2; x y =??=-?乙同学因把c 写错了而解得2,2.x y =-??=? 那么a 、b 、c 的正解的值应为（ ） A.1,5,4-===c b a B.0,5,4=-=-=c b a C.2,5,4-===c b a D.2,5,4=-=-=c b a 8．不等号填空：若a 1-m 的解集为_______________． 11，从方程组? ??+=-=121a y a x 中可以得到y 与x 的关系式为_______. 12，当x ＝0、1、－1时，二次三项式ax 2+bx+c 的值分别为5、6、10，则a ＝＿＿＿，b ＿＿＿，c ＝＿＿＿. 13．若11 |1|-=--x x ，则x 的取值范围是 14，某校现有学生804人,与去年相比:男生增加10%,女生减少10%,学生总数增加0.5%,则现有男、女学生的人数分别为＿＿＿. A ． B ． C ． D ． 二元一次方程组及不等式难题 一．选择题（共11小题） 1．（2006?大兴安岭）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价 积和耕地面积共有180km2，耕地面积是林地面积的25%，设改还后耕地面积为xkm2，林地2 ． [﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（） 4．（2015?大庆校级模拟）若max{S1，S2，…，S n}表示实数S1，S2，…，S n中的最大者．设A=（a1，a2，a3），b=，记A?B=max{a1b1，a2b2，a3b3}，设A=（x﹣1，x+1，1），， B 5．（2013?攀枝花模拟）现规定一种运算：a※b=ab+a﹣b，其中a、b为常数，若2※3+m※1=6，则不等式＜m的解集是（） 7．（2012?常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式： ①＜；②＜；③；④＜ 不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基 9．（2012?大丰市模拟）某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则 10．（2012?鼓楼区一模）若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围 11．（2011?菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压， 二．填空题（共6小题） 12．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值 是． 13．（2009?温州模拟）已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为．14．（2010春?厦门校级期中）已知关于x、y的方程组，则x：y=． 15．（2001?温州）有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为59mm和39mm两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗1mm的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成59mm的小铜管段，39mm的小铜管段． 16．（2012秋?工业园区校级期末）已知：，且3a+2b﹣4c=9，则a+b+c的值等 于． 17．（填“是”或“不是”）三元一次方程组． 三．解答题（共13小题） 18．（2007?上海）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额． 实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解： 类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则 X + Y = 4000 X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75 解得：X = 1500，Y = 2500。 答：略。二元一次方程组计算题50道(答案)
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