小学数学质数、合数和分解质因数，10道例题，给你最全面的分析！

小学数学质数、合数和分解质因数，10道例题，给你最全面的

分析！

基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。解：30＝2×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

例题分析

例题1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：210=2×3×5×7可知这三个数是5、6和7。

例题2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17 23=11＋29=3 37。17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。

例题3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？

解：123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

例题4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，最多

其中4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例题5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例题6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。

解：42560=26×5×7×19＝25×（5×7）×（19×2）＝32×35×38（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38。

例题7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？

解：6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）a2×b2×c2=22×32×52（a×b×c）2＝（2×3×5）2a×b×c=2×3×5＝30

在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。

例如把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=22×32

144=32×241600=26×52275625=32×54×72

可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。

例题8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析 a与1080的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：1080×a=23×33×5×a，又1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例题9 问360共有多少个约数？分析360=23×32×5。为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。

解：记5的约数个数为Y1，32×5的约数个数为Y2，360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。所以360共有24个约数。

说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此Y3＝（3＋1）×（2 1）×（1 1）=24。

对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

例题10 求240的约数的个数。解：240＝24×31×51，240的约数的个数是（4＋1）×（1 1）×（1＋1）=20，240有20个约数。请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？

小学五年奥数-质数合数分解质因数

质数、合数和分解质因数【知能大展台】 一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数） 一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。 1既不是质数，也不是合数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 【试金石】 例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？ 【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。 【解答】 80=2+37+41 2×37×41=3034 答：这三个质数的积最大是3034。 【智力加油站】【针对性训练】 三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？ 【试金石】 例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？ 【分析】 种树总数=每人种树棵数×师生总人数 即：312=每人种树棵数×（1+学生人数） 由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。 【解答】 312=2×2×2×3×13 若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。 若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。 答：这个班共有学生51人，每人种6棵。 【智力加油站】

质数、合数和分解质因数

第一讲质数和合数 例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少? 例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少? 例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少? 练习： 1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数? 2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少? 3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少? 4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少? 5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少? 第二讲分解质因数 例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。 例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗? 例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少? 例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。求这个算式。 例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。 例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。

例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？ 例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？ 例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。 例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=? 例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。共买了多少支钢笔? 例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。 例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少? 例14 在射箭运动中，每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少? 练习： 1.相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少? 2.下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和， 3.三个自然数的和是160，三个自然数的积是32118，这三个数是哪几个数? 4.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。 5.求2310除它本身以外的最大约数。 6.自然数a乘以2160，积是一个立方数，求a的最小值。 7.有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们年龄的乘积是5040，他们的年龄各是多少? 8.把11112222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比第一竖行的棋子数多1个，这个长方阵每一横

第3讲：质数、合数及分解质因数讲解及习题

第3讲：质数、合数及分解质因数 (数学：老师) 【知识点1】质数和合数 一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数． 一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数． 质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。 【典型例题】 1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______ 分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。 2、39、47、57、83中为质数的有（） （A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83 分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。 3、下列说法中正确的是（） （A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数 （C）1既不是质数，也不是合数（D）2是最小的合数 分析：记住1这个特殊情况。 4、两个质数相乘的积一定是（） （A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数 分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。所以得数肯定不能为质数。 5、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中， （1）是奇数又是质数的数是（）；（2）是奇数不是质数的数是（）； （3）是质数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）； （5）是合数而不是奇数的数是（）．

数的整除 素数、合数与分解质因数

第五讲数的整除素数、合数与分解质因数 【知识点】 一、素数和合数 1.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数； 如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。 2.“1”为什么既不是质数？也不是合数？ 按合数定义“1”不是合数。 “1”不是质数，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数 3. 100以内的素数 熟记20以内的全部素数 二、分解质因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。 分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。 把一个合数分解质因数有两种方法。 1 / 7

一种是利用乘法口诀分解质因数。 另一种是用短除法分解质因数 【典型例题】 一、质数和合数 例1．说出下面各数的约数，哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？ 1、2、3、4、5、6、7、8…19、20 只有1个约数的自然数有： 有两个约数（1和它本身）自然数有： 有两个以上约数的自然数有： 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 例2.下面哪些数是质数？哪些是合数？ 19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54 例3. 自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。紧靠3后面的是5，5是质 2 / 7

小学四年级：质数、合数与分解质因数;提高练习

质数、合数与分解质因数 1.把下列各数分解质因数 12 28 45 88 198 12=2×2×3 28=2×2×7 45=3×3×5 88=2×2×2×11 198=2×3×3×11 =22×3 =22×7 =32×5 =23×11 =2×32×11 2⑴已知P是质数，P2＋1也是质数，求P5＋1997是多少？ ⑵如果a，b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝______。 （1）P=2，P5+1997=2029 (2)a、b≠一个数为2 a=2 b=5 5+2=7 b=2 a=9 不合题意 3.7个连续质数从大到小排列是a,b,c,d,e,f,g,已知他们的和是偶数，那么d是多少？ a+b+c+d+e+f+g ↓↓↓↓ 7 5 3 2 d=7 4.已知3个不同质数的和是最小的合数与4的乘积，求这3个质数的乘积是多少？ (2)+(3)+(11)=4×4=16 2×3×11=66 5.有三张卡片，他们上面各写着数字1,2,3从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数写出来 2.3 一位 13.23.31 两位 无三位数

6. 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，4个数字所组成的四位数中，那么最大的一个是多少？ 8×5×3×3=360 360=2×2×2×3×3×5 8533 7.甲、乙、丙3人进行射飞镖训练，每人射三次，最后统计发现各自三次的成绩的积都为60，每人每次的成绩都不低于2分，按个人中靶的总分数由高到低依次为甲、乙、丙，且每人总分数都不低于13分，则谁共得了15分？ 60=2×2×3×5 =22×3×5 =2×2×15 19分甲 5×5×6 13分丙 2×3×10 15分乙 8.把40,44,45,63,65,78,99,105这8个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 40=23×5 44=22×11 45=32×5 63=32×7 65=5×13 78=2×3×13 99=32×11 105=3×5×7 23×34×52×7×11×13= 40×65×63×99 44×45×78×105 9.三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续的自然数的和等于多少？ 39270=2×3×5×7×11×17 33 × 34 × 35 ↓↓↓ 3×11 2×17 5×7

质数合数分解质因数

1.将1999表示为两个质数之和，1999＝ （）＋（）。 2.a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b ＋c＝1993，那么a＋b＋c＝（） 3.连续9个自然数中最多有几个质数？ 4.任意调换189位数123456789101112… 9899各位上的数字位置，所得的自然数中有没有质数，说明理由。 分解质因数 5.A＋B＝70，A×B＝1161，A比B大，那么 A－B＝多少？ 6.□□×□□＝1995，□里数字各不相同。 求这四个数字的和。 7.一个两位数除310余37，这个数可以是 （）和（）。8.5100除以一个三位数，余数是95，这个 三位数最大是多少？ 9.有一块长方形的场地，它是有319块1平 方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形 场地的周长。 10.有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个 大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那 么他们的年龄各是多少？ 11.写出若干个连续的自然数，使它们的积是 15120. 12.李老师带领一部分学生去栽树，学生恰好 被平分成4个小组，总共栽树667棵，如 果师生每人栽的棵树一样多，那么这个班 有多少学生去栽树？ 13.王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均 分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦了111块，那么平均每人擦了多少 块？

14.文化书店有一种儿童读物，定价每本5元， 现降价几角钱出售，一天共得款235元，这天卖出这种儿童读物多少本？ 15.王老师用216元买一种钢笔若干支，如果 每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3 支。问每支钢笔原价多少元？ 16.把9,15,28,30,34,55,77,85这8个数平 均分成两组，使每组四个数的乘积相等。 17.把40、44、45、63、65、78、99、105这 八个数平均分成两组，使两组数中四个数 的乘积相等。 18.两个连续奇数的积是111555，这两个奇数 的和是多少？19.11112222枚棋子排成一个方阵，每一横行 的棋子数比每一竖行的棋子多1，每横行 和每竖行分别有多少枚棋子？ 20.50！的末尾连续有多少个零？ 21.1000！的积末尾有多少个零？ 22.975×935×972×（），要使积的末 四位是连续的四个零，（）内最小应填什么数？ 23.1512乘一个整数a得到一个平方数，a最 小是多少？ 24.有一个不小于2的整数，除300,262,205 得到相同的余数，这个整数是多少？

5-5-1质数合数分解质因数_题库学生版

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312 123k a a a a k n p p p p =???? 其中为质数， 12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 知识点拨 教学目标 5-5质数合数分解质因数

五年级数学下册试题因数和倍数重难点讲解(质数和合数、分解质因数)+答案

数学学科专属辅导讲义 学员姓名教师姓名班主任 上课日期上课时间年级课时教学内容因数与倍数2 教学目标1、理解掌握质数和合数 2、学会分解质因数 教学重难点1、理解掌握质数和合数 2、学会分解质因数 教学内容 1、理解掌握 2、 3、5的倍数的特征 1、把55个橘子分给甲、乙、丙三人，甲得到的橘子数是乙的2 倍，且甲、乙得到的橘子数都比丙多，丙得到的橘子数比10 多，则甲、乙、丙三人各得多少个？ 2、一个数加3是5的倍数，减去3是6的倍数，这个数最小是多少？

【课前导入1】 写出3、5、7、8、10、12、13、15这7个数的所有因数 观察以上数的因数，他们有什么特点。 总结：像2、3、5这几个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，也称为素数；像6，8、9这几个数，除了1和它本身还有别的因数，也就是有两个以上因数，这样的数叫作合数。 练习1： (1)质数只有( )个因数，合数至少有( )个因数。 (2) 自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 (3) 比10小的数里，质数有( )个，合数有( )个。 (4) 20的因数有( )，其中是质数的有( )。 问题1：1是质数还是合数？说说想法。 问题2：可以将大于O的自然数还可以按什么分类，分成几类？ 问题3：按质数和合数的分类和偶数、奇数的分类比较，有什么不同？ 总结：20以内的质数是：2、3、5、7、1 1、1 3、1 7、19。质数不都是奇数，因为2是质数。 【课前导入2】请把5和28分别写成两个数相乘的形式。

77=53+17+7 再任取一个奇数461,那么 461=449+7+5 也是三个素数之和.461还可以写成 257+199+5 仍然是三个素数之和. 这样,我就发现: 任何大于5的奇数都是三个素数之和. 1、30的所有因数有( ) A.1、2、3、5和10 B. 2、3、5、10和15 C. 1、2、3、5、6、10、15和30 2、当两个数互质时，它们的最大公因数是( )。 A. 1 B. 2 C. 无法确定 3、把20分解质因数应该写成（） A. 20=1×2×2×5 B. 2×2×5=20 C. 20=2×2×5 4、14和28的公倍数（）。 A.有无数个 B. 只有1个 C. 一定比28小 D. 是28 5、36的因数有（）个。 A. 6 B. 5 C. 9 6、15和16的最大公因数是（）。 A. 1 B. 2 C. 3 7、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，这两个数分别是( )。 A. 1和12 B. 1和60 C. 12和60 D. 12和720 二、判断题 8、一个数的倍数一定大于它的因数。（） 9、所有的偶数都是合数，所有的质数都是奇数。（） 10、因为60=3×4×5，所以3、4、5都是60的质因数。（） 11、奇数与奇数的积一定还是奇数．（）

质数 合数 分解质因数

质数合数分解质因数 在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1． 偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数． 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数． 例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和． 分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25． 例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？ 分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必

能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数． 质数的推断方法是，当一个数比较小时，用定义直接推断，但这个数比较大时，通常采纳查质数表，最好记住100以内的全部质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数肯定是质数． 例如，推断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数肯定是质数，否则不是质数．推断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的全部的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就肯定不能被4，6，8，9，10等数〔分别为2，3，5的倍数〕整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97&247;11=8…9，97&247;13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此推断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除． 推断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；推断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；

小升初奥数思维训练第5讲：数论(二) 约数倍数、质数合数、分解质因数(经典透析)(含答案解析)

第5讲数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数把26、33、34、35、63、85、91、143分成假设干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1,那么 至少要分几组？（1992年小学数学奥林匹克竞赛试题） 【答案】3组【解析】 【详解】每组中任两个数的最大公约数都是"1”就必须保证每组中的数没有相同的质因数。先把这八个数分解质因数 26=2X13 33 = 3X 1134 = 2X 1735 = 5X7 63 = 32X7 85=5X 1791 = 7X 13143=11X13 从中我们可以看出，每一个数都有2个不同的质因数，并且35, 63, 91中都有质因数7；26, 91, 143中都有质因数13。显然有相同质因数的三个数不能同在一组。因此至少要分3组才有可能把这两组三个数分开。 现取26、33> 35为一组，34、63、143为一组，85、91为一组。同组的数中，没有相同的质因数，都保证“每两个数的最大公约数都为“1”。所以只有至少分3组，才能满足题目要求。即至少要分3组。 【点睛】转化为分析各数的质因数，从而找到答案。阐述理由时，一方面讲为什么不能少于3组，另一方面举例证明这3组确实分得出。这样阐述，理由充足，令人信服。 1.己知自然数A、B满足以下两个性质：（1） 4、B不互素；（2）/1. 8的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？ 【答案】25【解析】 【详解】因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35,所以35是两数最大公约数的倍数。它们的最大公约数町能是5和7 （因为两数不互质，所以不为1）。如果A、B的最大公约数是5,那么人、B的最小公倍数是30,此时有4=10、8=15或4=5、8=30；如果A、8地最大公约数是7,那么A、B的最小公倍数是28,此时有4=7、B=28°所以A~\~B的最小值为]（）+ ]5 = 25°【点睛】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数。充分应用最大公约数与最小公倍数的关系，并分类讨论多种可能性，考察推理思维的周密性和严谨性，最终找到最小值。 2.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛） 【答案】60【解析】 【详解】这样的数有3X4X5 8X9X 10 15X16X 17 24X25X26……容易发现它们的最大公约数是

五年级奥数专题 质数、合数、分解质因数(学生版)

学科培优数学 “质数、合数、分解质因数” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 知识梳理 一、质数与合数的基本概念 1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做 素数 2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数 3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数 二、质数和合数的一些性质和常用结论 1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分, 即,0和1,质数,合数。 2. 最小的质数是2,最小的合数是4。 3. 常用的100以内的质数： 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97 其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为 1,3,7,9

4. 部分特殊数的分解： =⨯1000173137 =⨯ =⨯⨯1111141271 =⨯100171113 111337 =⨯⨯ =⨯⨯⨯⨯200733223 =⨯⨯⨯1998233337 199535719 =⨯⨯⨯ +==⨯⨯10101371337 2008222251 =⨯⨯⨯20072008401551173 5. 质数的判定方法 判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。 例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。 251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251) 17=14…13, 此时除数17＞商14,由此说明251是质数。 6. 互质的概念 N个自然数互质指的是N个自然数的公约数仅有一个1。 注意： 1.质数与合数的基本性质,100以内质数的分布规律 2.质数与奇偶性及整除性知识点的结合 3.分解质因数法解决数论应用题 4.以质数合数为基础考察其他知识点的运用 5.分解质因数法解部分应用题 例题精讲 【试题来源】 【题目】从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12 【试题来源】 【题目】9个连续的自然数,每个数都大于80,那么其中最多有多少个质数？ 【试题来源】

小学六年级数学质数 合数 分解质因数练习题

质数合数分解质因数<练习题> 1．两个质数的和是33，求这两个质数的积． 2．用1，2，4，5，8中的三个数字组成最大的三位质数． 3．有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于43680，求这四个人的年龄． 4．求8400有多少个约数？ 5．求有18个约数的最小自然数？ 6．三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数． 答案仅供参考： 1．两个质数的和是33，而33是奇数，必为一个奇数与一个偶数之和．因为偶质数只有2，另一个质数只能为33-2=31，所以2与31的积为62． 2．因为个位数字是2，4，5，8的三位数必能被2或5整除，所以个位数字只能是1．将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验： 851=23×27，851不是质数； 841=29×29，841不是质数； 821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数． 3．因为这四个人的年龄的乘积等于43680，所以这四个人的年龄是43680的约数．先将43680分解质因数： 43680=25×3×5×7×13 =13×（2×7）×（3×5）×24

=13×14×15×16 所以这四个人的年龄分别是13，14，15，16． 4．因为8400=24×3×52×7，所以8400的约数个数为：（4＋1）×（1+1）×（2+1）×（1+1）=60个． 5．因为18=18×1=2×9=3×6=2×3×3，要使所求数最小，这个 6．设这三个质数分别为a、b、c，则 abc＝11（a＋b＋c） 所以a、b、c中必有一个是11，不妨设是c=11，则上式变为 ab=a＋b＋11 变形，得 ab-a-b＝11 a（b-1）-（b-1）-1＝11 （b-1）（a-1）=12=12×1=2×6=3×4 当b-1=12，a-1=1时，b=13，a=2； 当b-1=2，a-1=6时，b=3，a=7； 当b-1=3，a-1=4时，b=4，a=5． 所以这三个质数为2，11，13或3，7，11．

小学数学《质数、合数、分解质因数》练习题(含答案)

小学数学《质数、合数、分解质因数》练习题（含答案）1、P是质数，P+10,P+14，P+102都是质数。求P是多少？ 答：P=3. 2、360共有多少个约数？这些约数的和是多少？ 解：24。提示：把360分解质因数得360 = 32×23×5，所以360共有约数（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）= 24个。 （1＋12＋22＋32）×（1＋13＋23）×（1＋15）= 1170 3、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12. （北京市第三届迎春杯数学竞赛决赛试题） 答：5，17，29，41，53. 4、将1999表示成为两个质数的和：1999=□+□，共有多少种填法？ 解：因为两个奇数的和是偶数，所以将1999表示成为两个质数的和，这两个质数中必定有一个是偶数，因而也就是2，另一个是1999-2=1997，即 . 答：只有一种方法。（我们将2+1997与1997+2作为同一种。） 5、有4个学生，他们的年龄是4个连续的自然数。这4个数相乘等于3024，这4个学生中最大的年龄是多少岁？ 解：3024=24×33×7 答：年龄最大的9岁。 6、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 解：105=3×5×7 面积为105的形状不同的长方形有4种： （1）105×1 （2）35×5 （3）21×5 （4）15×7 7、某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多。共种了1073棵，那么平均每人种了多少棵树？ 解：1073=29×37. 师生总数应是被3除余1的数，37被3除余1，所以平均每人种树只能是29棵。 8、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ 解：提示：从最大的两位数99开始，依次从大到小顺序考虑，将不符合题意的数淘汰。 如：99=32×11，含约数11，这在N中没有（N=25×33×52×7）应淘汰。 …… 96=25×33，在N中含有此约数，所以96是N的两位约数中最大的。 9、已知五个数依次是13，12，15，25，20，它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0？

小学数学质数、合数和分解质因数10道例题给你最全面的分析

基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

例题分析 1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：210=2×3×5×7 可知这三个数是5、6和7。 2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，最多其中4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

五年级《质数、合数、分解质因数》精讲与练习

五年级《质数、合数、分解质因数》精讲与练习 知识要点； （一）概念： 1、质数：一个数除了1和它本身，没有别的因数，这样的数叫做质数（或素数） 2、合数：一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 3、质因数：一个数的因数是质数，这个因数就叫做这个数的质因数。 4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 5、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 6、⎩⎪⎨⎧。 ，、也不是合数既不是质数最小的合数是合数最小的质数是质 数自 然数1:01;4:;2: （二）、方法指导： 1、判断质数的方法： （1）、查质数表， （2）、试除法； 判断一个自然数是不是质数，可以用所有比它小的质数从小到大依次去除这个自然数，如果某一个质数正好能整除这个自然数，就可以断定这个数不是质数；如果不能整除，就可以断定这个数是质数。 A 、判断100以内的数是不是质数，只需要2，3，5，7这四个质数去试除； B 、判断200以内的数是不是质数，只需要2，3，5，7，11，13这六个质数去试除； C 、判断500以内的数是不是质数，要依次试除到23。 2、判断互质数的技巧： （1）、两个质数互质； （2）、两个连续自然数互质； （3）、1和任何自然数互质； （4）、2和任何奇数互质； （5）、两个连续奇数互质； （6）、自然数a 和b ，若a>b ，且a 是质数，则a 与b 互质； （7）、自然数a 和b ，若a>b ，且b 是质数，a 不是b 的倍数，则a 与b 互质； 3、求因数个数的技巧： 一个大于1的整数的因数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘积。 例如：223236⨯=，36的因数的个数有：（2+1）×（2+1）=9（个） 例1、判断（1）233是质数还是合数？（2）90807060504030201是质数还是合数？

2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷09《质数和合数、分解质因数》(解析版)

【五年级奥数举一反三—全国通用】 测评卷09《质数和合数、分解质因数》 试卷满分：100分 考试时间：100分钟 姓名：_________班级：_________得分：_________ 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）38、83相加的和是( )倍数． A ．9 B ．11 C ．6 D ．7 【解答】解：3883121+= 1211111=⨯ 121的质因数只有11，所以他不是9、6、7的倍数，是11的倍数． 故选：B 。 2．（2分）在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，则x y z ++等于( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 【解答】解：在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，质数为2，3，5，7．共4个．所以4x =； 在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，偶数为0，2，4，6，8．共5个．所以5y =； 在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，完全平方数为0，1，4，9．共4个．所以4z =； 4x =，5y =，4z =， 13x y z ∴++=． 故选：B 。 3．（2分）2000年后为三个连续自然数乘积的第一个年份是( ) A ．2013 B ．2048 C ．2146 D ．2184 【解答】解：A 、20133671=⨯ B 、204822222222222=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ C 、214621073=⨯ D 、21842223713(223)13(27)121314=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯． 故选：D 。 4．（2分）在下列算式的空格中填入互不相同的数字：□(⨯□+□□)(⨯□+□+□+□□)2014=．其中五个一位数的和最大是( )

小学数学《质数、合数的综合运用》练习题(含答案)

小学数学《质数、合数的综合运用》练习题（含答案） 内容概述 1． 质数与合数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。值得注意的是很多题都会考到质数2的特殊性，例如两个质数之和为39，求这两个质数的乘积。解：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74。我们要善于抓住此类题的突破口。 2． 质因数与分解质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把30分解质因数。解：30＝2×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12＝2×2×3＝2 2×3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。 例题分析 【例1】（☆☆）将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A 最小是几？ A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ） 分析：首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28， 因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A 尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A 的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。 【例2】（☆☆）今有17、23、31、41、53、67、79、83、101、103共10个质数。如果把它们分成两组，使每一组5个数，并且每组的5个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第2个数是多少？ 分析：这10个质数的和为598，分为两组，每组5个数的和相等，都为598÷2=299。因为17+53+67+79+83=299，所以另外一组就是23、31、41、101、103，第2个数即为31。 【例3】（☆☆）从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。这样的数有几组？ 分析：考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；类此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41， 53。这样的数只有一组。除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。这是此题的突破口。 【例4】（☆☆）甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数。 分析：将6384分解质因数，6384=19732222⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，19-5=14=2⨯7，19+5=24=2⨯2⨯2⨯3，恰好14⨯19⨯24=6384，所以这三个数即为14，19，24。一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析。如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推。

五年级下册数学质数和合数知识点及习题汇总

五年级下册数学质数和合数知识点 及习题汇总 质数与合数作为整数的一种分类方式，让我们对数的认识更加全面与 深刻。同时，质数与合数也是小学高年级阶段学习最大公因数、最小 公倍数以及分数计算的基础，是学校五年级的重点知识模块。 下面就让我们一起研究下“质数与合数”。 知识点 1.自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0。2、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。如2,3,5,7都是质数。3. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。如4,6,15,49都是合数。 4. 1不是质数，也不是合数。 5.最小的质数是2，最小的合数是4。 6.质数×质数=合数 100以内的质数（共25个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 同步练习 1.填空。 (1)1既不是(质数)，也不是(合数)。自然数中，最小的质数是(2)，最小的合数是(4)。 (2)在自然数1～20中，质数有(2，3，5，7，11，13，17，19)，合数有(4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20)，既是偶数又是质数的数是(2)。 (3) 两个质数的和是22，积是57，它们分别是(3)和(19)。 (4) 两个质数的积是33，和是14，它们分别是(3)和(11)。 (5) 两个质数的积是39，差是10，它们分别是(3)和(13)。 (6) 100以内最大的质数是(97)，最小的合数是(4)。 2. 将下面各数分别填入指定的方框里。1 13 25 41 51 19 91 5283 61 89 71 87 49 24 282