格林公式
格林公式
Green 公式沟通了区域 D 上的二重积分与 D 的边界曲线 L 上的第二型曲线积分之间的联系.
设平面有界闭区域 D 的边界 L 是由有限条光滑曲线或按段光滑曲线所组成，边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域D 总在它的左边．与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为- L 。
定理 A 设平面闭区域 D 的边界 L 是由有限条光滑曲线或按段光滑曲线所组成，函数
P （x,y ）,Q (x,y)在D 上连续，且有一阶连续的偏导数，则： (
)L D Q P d Pdx Qdy x y
σ??-=+????? 这里L 为区域D 的边界曲线，并取正方向。
容易看到格林公式的表达简洁明了，但是能够比较容易的接收并理解运用它却并非易事，因此，为了更好地运用并发挥格林公式的作用，通过下面的一 些 实 例，对格林公 式 的 实 用 价 值 进 行 一 些探讨。
应用一：
计算 I=22323L ydx xdy x xy y --+?，
其中L 是曲线︱x ︱+︱y ︱=1正向一周。
解：令P （x,y ）=22323y x xy y -+,Q(x,y)=22
323x x xy y --+,易见P （x,y ）,Q(x,y)在O （x,y ）处无意义。
在闭曲线L 内构造曲线L *：｛cos sin x r y r θ
θ==，在以LL *
为边界的复连通区域内（如图1所示），P Q y x
??=??且两个导数都连续，所以积分与路径无关，因此 L L L **-=-=???。
于是： I=222222220(sin cos )3(sin cos )2r sin cos r d r π
θθθθθθθ
--+-?=-203sin 2d πθθ-? =2202(cos sin )d π
θθθ-+-?=202()4422sin ()4d t ππ
θπθπθθ---=+-? =7
424121sin dt t
ππ--+?=220121sin dt t π-+?=122021sin dt t π-+?
=12
2022cos dt t
π--?=1220tan 22sec 1d t t π--? =1220tan 22tan 1
d t t π-+?=0t 22t 1d +∞-+?
=0+∞
=2
- 此题注意到了在复连通区域内P Q y x
??=??，因此积分与路径无关。之后，利用了参数法将第二类曲线积分问题转化为了定积分求解问题，剩下的就是解相应的定积分即。．显然上述类型问题的解题方法还可以推广到
P y ??，Q x ??在复连通区域内不相等的情况。 应用二;
设函数(x)?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线Ｃ上，曲线积分 42
2(x)C xydx dy x y ?++?的值为常数。 （１）设Ｌ为正向闭曲线22(x 2)1y -+=证明422(x)C xydx dy x y
?++?=0； （２）求函数(x)?；
（３）设Ｃ是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42
2(x)C xydx dy x y ?++?。 解 （１）如图２，将曲线12L L L =+，再补一条曲线3L ，则
1213231213230L L L L L L L L L L L L L ++-+==+=++-=-=?????????? （２）由（１）知积分与路径无关，所以由格林公式知P Q y x
??=??，即： 424222(x y )2y.2xy (x y )x +-+=423422
(x)(x y )4(x)(x y )x ??'+-+ 化简得：
352
4242
422(x)(x)x y x y x x xy ??-'-=++。 按照ｙ合并同类项得2435((x)2)y (x)4(x)20x x x x ???''++--=
比较ｙ的系数得方程组435(x)2x (x)x 4(x)2x x ???'=-??'-=?
解之得2(x)x ?=-。
（３）方法一．考虑围绕原点的闭曲线为42:x y 1C +=，42D:x y 1+≤
则：
422(x)C xydx dy x y ?++?=22C
xydx x dy -? ?????→利用格林公式
2D (2xy)40D x d xd x y σσ??=-=??????（--） 方法二．令cos sin x r y r =??=?
，[]0,2r π∈ 因此：
42
2(x)C xydx dy x y ?++?
=22420sin cos 3cos sin r r dr r r π-+? 22420sin cos 3cos sin r r r dr r r πθπ=--+?
=242sin cos 3cos sin d ππθθθθθ
-+? =2420sin cos 6cos sin d π
θθθθθ
+? =22242sint cos 6cos sin t dt t t π
π-+?=0 刚才讨论了在积分曲线为闭曲线情况下的格林公式，主要的应用方法和技巧可归结为如下的２种情况：
（１）如果在积分曲线Ｌ所围成的区域Ｄ 内不含奇点，则直接在Ｄ上利用格林公式． （２）如果在积分曲线Ｌ所围成的区域Ｄ 内含有奇点，则不能直接在Ｄ上利用格林公式，此时就要考察积分是否与路径无关，即检查P Q y x
??=??是否成立．如果成立，则取特殊路径
积分，即构造与L 相同起终点的曲线L *，且使得,P Q 在他们所包围的闭区域内没奇点，再利用格林公式求解
L Pdx Qdy +?=L Pdx Qdy *+?。解题的关键在于构造挖 去奇点的闭曲线L *，使得积分L Pdx Qdy +?容易计算。如果P Q y x
??=??不成立，一般将被积表达式分为两部分使其中的一部分容易求出原函数，另一部分用参数法计算。
此外，以上探讨还可以看出格林公式沟通了平面区域Ｄ上的二重积分和其边界Ｃ上的曲线积分之间的内在联系，使曲线积分的计算大大简化，只要给予充分的重视，就可以使格林公式为我们提供更广泛的应用。
换底公式
教材： 换底公式 目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。 过程： 一、复习：对数的运算法则 导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：a N N m m a log log log = ( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log = 两个较为常用的推论： 1? 1log log =?a b b a 2? b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） 证：1? 1lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a 2? b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1? 3log 12.05- 2? 42 1432log 3log ? 解：1? 原式 = 153 15 5 5 553 1log 3 log 5 2.0== = 2? 原式 = 2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12 18 log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a
泰勒公式的证明及应用
摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用
绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用 目录 一、引言 (2) 二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3) （一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3) （二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3) （三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3) 三、格林（Green）公式的应用 (4) （一）格林公式的简介 (4) （二）格林公式的物理原型 (4) 1、物理原型 (4) 2、计算方法 (4) （三）格林公式在生活中的应用 (5) 1.曲线积分计算平面区域面积 (5) 2.GPS面积测量仪的数学原理 (6) 四、高斯（Gauss）公式的应用 (7) （一）高斯公式的简介 (7) （二）保守场 (8) （三）高斯公式在电场中的运用 (8) （四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11) 五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12) （一）斯托克斯公式简介 (12) （二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13) （四）旋度与环流量 (14) （五）旋度的应用 (14) 六、结语 (16) 参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。 摘要 牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应 用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
换底公式的证明及其应用 换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助. 一、换底公式及证明 换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N . ∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例 1.乘积型 例1 (1)计算：log 89·log 2732； (2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决. 解 (1)换为常用对数，得 log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109. (2)由换底公式，得 log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d . 评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决. 2.知值求值型
例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值. 分析 本题可选择以3为底进行求解. 解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4?3－a ?3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决. 3.综合型 例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小. 分析 本题可选择以19及π为底进行解题. 解 A 换成以19为底，B 换成以π为底， 则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2， B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B . 评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .
泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application
格林公式及其应用
第三节格林公式及其应用
一、格林公式 1．单连通区域。设D 为单连通区域，若D 内 任一闭曲线所围的部分都属于D 。称D 为单连 通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。 规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观测者沿 L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图 图10-3-1 定理1（格林公式） 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有 dxdy y P x Q D ????-??)( =L Pdx Qdy +?。L 为D 的取正向的边界 曲线。 证 对既为X -型又为Y -型区域 2L ：)(2x y ?=∵ y P ??连续， ????D dxdy y P =dy y y x P dx x x b a ????)()(21),(?? = dx x x P x x P b a })](,[)](,[{112 1 ?-?? 图10-3-2 1L ：)(1x y ?= 又???+=2 1 L L L Pdx Pdx Pdx =dx x x P b a ? )](,[11?+dx x x P b a ?)](,[21? =dx x x P x x P b a })](,[)](,[{2 1 1 1 ?-? ? ∴???=??- L D Pdx dxdy y P 对于Y -型区域，同理可证 ????D dxdy y Q =?L Qdx ∴原式成立 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。 几何应用： 在格林公式中，取x Q y P =-=,，?? D dxdy 2 =?-L ydx xdy
泰勒公式的证明及应用 开题报告
题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；
对数的换底公式
课 题：2.1 对数的换底公式及其推论 教学目的： 1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56
Taylor公式的唯一性证明
Tayloy 公式的唯一性证明 作者：卢晓峰 1. 引理：设0 lim ()0x x g x →=，()g x 在0x 的某邻域内可导，且()g x ' 在0x 处连续。若0()(())n g x x x ο=-，则10()(())n g x x x ο-'=-。 证明： 00001 11 00 000 ()()()()() () lim lim lim lim lim ()()()()()n n n n n x x x x x x x x x x g x g x g x x x g x g x g x x x x x x x x x x x ---→→→→→-''-===------又 0()(())n g x x x ο=-，0 0lim ()()0x x g x g x →== ∴0 0() lim 0()n x x g x x x →=-；0 00 ()lim 0()n x x g x x x →=- ∴0 1 0()lim 0() n x x g x x x -→'=-，即1 0()(())n g x x x ο-'=-。 2. 唯一性证明： ()f x 在0x 处存在n 阶导，设0()()(())n n f x P x x x ο=+-<1>。（其中() n P x 为n 次多项式） 设<1>式中0(())()n x x g x ο-=。易证：()g x 满足引理的条件。 ∴10()(())n g x x x ο-'=-，20()(())n g x x x ο-''=-， ，(1)0()()n g x x x ο-=-。 ∴ ()()() n f x P x g x '''=+， ()()() n f x P x g x ''''''=+， ， (1)(1)(1)()()()n n n n f x P x g x ---=+<2> 对<2>中的所有等式，均取0x x →的极限，则有： 00()()n f x P x ''=，00()()n f x P x ''''=， ，(1)(1)00()()n n n f x P x --= 又
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1 3=a , 又∵3log 7 = b, ∴1 3 12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab
泰勒公式的证明
泰勒公式 定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()0()n f x 存在, 则0()x x ?∈ ， 0()(,)n f x T x x =+()0()n x x - . ()200000000()()(,)()()()()()2!! n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- . 0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（ “切线”）. 证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()lim 0()n n x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -==== ， (1)00()()0n n n Q x Q x -=== ，()0()!n n Q x n = ()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim ()0n x a n R x Q x →?? ???反复使用洛必达法则1n -次. 证明 连续1n -次使用洛必达法则，得 (1)(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n n R x R x Q x Q x --→→????= ? ?????不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比. (1)(1)()0000()()()()lim (1)2() n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→??-=-= ?-?? . 注1 即使函数能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，0(,)n P x x 不一定是泰勒多项式. 如1()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()lim lim 0n n n x x f x x D x x x +→→==，故()()(0)n f x x x =→ . 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++ ，但是，根据海因定理，1()()n f x x D x += ，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）. 故2()0000n n p x x x x =++++ 并不是()f x 在0处的泰勒多项式. 注2 若f 能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，则多项式0(,)n P x x 是唯一的 （不论可导性）. 因为 若 () 00()(,)()n n f x P x x x x =+- ()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-++-+- （1） 则由（1） 00lim ()x x f x a →=， 反代入（1）式又得 0010 ()lim x x f x a a x x →-=-， 反代入（1）式又得 0010220()[()]lim ()x x f x a a x x a x x →-+-=-
对数换底公式
换底公式四 一．课题：对数（4）——换底公式 二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 四．教学过程： （一）复习：对数的运算法则。 导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ （二）新课讲解： 1．换底公式：log log log m a m N N a = ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =， 两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论： （1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n a a n b b m = （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n a m a b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35 -； （2）4492log 3log 2log 32?+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+?． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12 18log 1818 ， ∴18log 21a =-， 又∵185b =，
泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文
泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.
2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 :
格林公式及其应用
格林公式及其应用 摘 要： 格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。 在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。 设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。 关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分； 引言 格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ??? +=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（ ，其中L 是D 的取正向边界曲线 格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分 将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功 定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ） 在D 上具有一阶连续偏导数，则有 D D Q P Pdx Qdy dxdy x y +??? ??+=- ????????D y dxdy x P Q ???=??? 其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式 证明: (1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两 点. }),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=??}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ dx x Q dy dxdy x Q y y d c D ??????=??)()(21ψψ ??-=d c d c dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ x x x
证明泰勒公式
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n- 0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)
格林公式
从而 ， , , , 有 . (20) 四、格林公式 平面曲线积分，当曲线C（A,B）的始点A与终点B重合时（即C是一条闭曲线），在力学、电学等有很多应用。因为第二型曲线积分与所沿平面闭曲线的曲线积分要规定闭曲线的正方向。按右手坐标系，当一个人沿着平面闭曲线环行时，闭曲线所围成的区域位于此人的左侧，规定这个方向是曲线的正方向，如图14.7，反之是负方向，如图14.8 沿闭曲线C的曲线积分，记为
规定其中曲线C 总是取正方向。格林公式给出了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的闭曲线的曲线积分之间的关系。 设D 是有向的x 型或y 型闭区域，即 ,如图14.9， 或 {(x,y)│φ1 (y )≤y≤φ2 (y ),a≤x≤b}，如图14.10. 这里的 ， 在[a,b]上是连续函数，φ1 (y)，φ2 (y)在[a,b]上是连续函数，D 的正负向 按上面的规定。 定理3（格林公式） 若函数P ,Q 及其偏导数，在有界闭区域D 上连续，则有 . (21) 其中是围成闭区域D 的边界封闭曲线，取正向。公式（21）称为格林公式
格林公式是两个等式组成的： 与 证明由于区域D形状不同，定理证明分三步进行。1）设D是x型闭区域（如图14.9）。 dx ]. (22) 由曲线积分的计算公式，按图14.9，有 ? ? ? ??+ + + = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( H N N M M K K H dx y x P dx y x P dx y x P dx y x P dx y x P τ τ τ ττ , 其中 ? ?=b a K H dx x x P dx y x P)] ( , [ ) , ( 1 ) , ( ? τ ， ? ? ?-= = b a a b M K dx x x P dx x x P dx y x P)] ( , [ )] ( , [ ) , ( 2 2 ) , ( ? ? τ 因为线段KM与NH都平行于y轴，有 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( = =? ? H N M K dx y x P dx y x P τ τ . 于是， ? ? ?- = Γ b a b a dx x x P dx x x P dx y x P)] ( , [ )] ( , [ ) , ( 2 1 ? ? =dx x x P x x P b a )]} ( , [ )] ( , [ { 1 2 ? ?- -?。（23） 由（22）式与（23）式，有 ? ?? Γ = ? ? -dx y x P dxdy y P D ) , (（24） 若D又是y型闭区域（如图14.10）.同理可证 ? ?? Γ = ? ? dx y x Q dxdy y Q D ) , (，（25） 2）若闭区域D是一条光滑或逐段光滑的闭曲线Γ所围成，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x型又是y型闭区域，然后逐块按照1）的计算方法得格林公式，再逐块相加即得（21）式。其中在D内两个小区域有共同边界，则因正向取向恰好相反，他们的积分值正好互相抵消。
换底公式
§4.2换底公式 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算， 求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的换底公式. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与换底公式的应用 难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 新授内容： 已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48. 问题1：对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 264＝6，log 28＝3, log 864＝log 264log 28. 问题2：对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 464＝3, log 48＝32， log 864＝log 464log 48. 问题3：经过问题1,2你能得出什么结论？ 提示：log a b ＝log M b log M a (a ，M >0，a ，M ≠1，b >0)．
[0315]格林公式的推导
格林公式的推导 推导格林公式之前，首先要深入理解高斯-散度定律： v div dv Γ=?????F Fds (1) 其实就是一句话， 矢量的散度的体积积分=矢量的面积积分。简单来说可以这样理解：对比等式左右两端，左端的被积函数求了散度（就是微分运算）比右端低了一阶，因此左端的积分变量上就要比右端高一阶（由面元变为体元）。 详细说明如下： 注意P Q R =++F i j k 为矢量，散度算子div x y z ???=++???i j k 也是矢量，因此等式左端是两个矢量的标量积的体积积分。 而等式右端，面积微元()cos cos cos ds ds αβγ==++ds n i j k 也是矢量，因此等式右端实际上是两个矢量的标量积的面积积分。 这样将上式（1）展开，可以得到高斯-散度定理另一种形式： ()cos cos cos v P Q R dv P Q R ds x y z αβγΓ?????++=++ ?????? ????? (2) 注意，上述推导中矢量的处理（矢量都已加粗并上标箭头），不要混淆了。 明白了以上几点，再推导格林公式就很容易了： 令,,v v v P u Q u R u x y z ???===???代入（2）式： 左端： v v v P Q R u v u v u v dv u vdv dv x y z x x y y z z ?????????????++=?+++ ? ?????????????? ????????? 右端： ()cos cos cos cos cos cos P Q R ds v v v u ds x y z v u ds n αβγαβγΓΓΓ++???????=++?? ????? ????=??????? 最后一步逆用了方向导数的定义，方向恰为外法线方向： cos cos cos αβγ=++n i j k 稍微整理，即得格林第一公式： v v u u v u v u v v udv v ds dv n x x y y z z Γ??????????=-++ ?????????? ???????? (3)
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用 换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助. 一、换底公式及证明 换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N . ∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例 1.乘积型 例1 (1)计算：log 89·log 2732； (2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决. 解 (1)换为常用对数，得 log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109. (2)由换底公式，得 log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d . 评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决. 2.知值求值型
例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值. 分析 本题可选择以3为底进行求解. 解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决. 3.综合型 例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小. 分析 本题可选择以19及π为底进行解题. 解 A 换成以19为底，B 换成以π为底， 则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2， B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B . 评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .