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贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试卷数学理试题

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贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试卷数学理试题

本试题卷分第I 卷(选择题)和第11卷(非选择题表达题)两部分,满分150分,考试用时150分钟。. 注意事项:

1.答题时,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目,在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。在本试题卷上答题无效。 参考公式:

球的表面积公式:2

4s R π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式:243v R π=

其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k

次的概率n ()(1)(0,1,2,...)k k n k

n

P k C p p k n -=-= 第Ⅰ卷

一、选择题:本大题12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的。 1、已知集合}1)1(log |{},2|1||{2≤-=≤-∈=x x B x Z x A ,则集合A ∩B 的元素个数为

A .0

B .2

C .5

D .8 2、已知i 为虚数单位,复数121i

z i +=-,则复数z 的虚部是

A .

i 2

3

B .23

C .i 2

1-

D .2

1

-

3、将5名支教志愿者分配到3所学校,每所学校至少分1人,至多分2人, 且其中甲、乙2人不到同一所学校,则不同的分配方法共有 A .78种 B .36种 C .60种 D .72种

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4、执行如图所示的程序框图,若输入2x =,则输出y 的值为 A .2 B .5

C .11

D .23

5、已知:命题p :“1=a 是2,0≥+

>x

a

x x 的充分必要条件”;命题q :“02,02

00>-+∈?x x R x ”.则下列命题正确的是

A .命题“p ∧q ”是真命题

B .命题“(┐p )

∧q ”是真命题

C .命题“p ∧(┐q )”是真命题

D .命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题

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6、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为3π,离心为率e ,则2a e

b

+的

最小值为

A.

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C. D.7、设X 为随机变量,X ~1

(,)3

B n ,若X 的方差为4

()3

D X =

则(2)P X =等于 13.16

A 13.243

B 6.243

C 80.243D

8、函数()

3

log (0)()cos()

(0)

x x f x x x π-?<=?

≥?的图像关于y 轴对称的点共有

.0A 对 .1B 对 .2C 对 .3D 对

9、在数列{}n a 中,已知5,394==a a ,且)2,(9

*11≥∈=+++-n N n a a a n n n ,则2013

a 的值是

A.3

B.1

C.5

D.9 10、 函数32

11()(1)132

f x x ax a x =

-+-+在区间)(1,5上为减函数,在区间)(6,+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是

A. []5,4

B. []5,3

C. []6,5

D. []7,6

11、定义在R 上的函数)(x f 不是常数函数,且满足对任意的x 有)1()1(+=-x f x f ,

)()2(x f x f =-,现得出下列5个结论:①)(x f 是偶函数,②)(x f 的图像关于1=x 对

称,③)(x f 是周期函数,④)(x f 是单调函数,⑤)(x f 有最大值和最小值,其中正确的是: A.

① ② ⑤

B. ② ③ ⑤

C.

② ③ ④

D. ① ② ③

12.过椭圆C :22221(0)x y a b a b

+=>>的一个顶点作圆222

x y b +=的两条切线, 切点分

别为A ,B ,若090AOB ∠=(O 是坐标原点),则椭圆C 的离心率为

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第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22~第24题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分。共20分)

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13、在18

31???? ?

?-x x 展开式中含12x 的项的系数为 .(结果用数值表示)

14

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个面的面积中最大的是

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15、在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,已知直线3x+4y=12与x,y 轴分别相交

于A,B 点,若点(,)P x y 是ABO ?区域内(包括边界上)的一点,则点(,)P x y 到三边的距离和的取值范围是________.

16、三棱锥S- ABC 中,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,SA=2,AB=BC =1,则三棱锥S- ABC 的外接

球的表面积等于 . 三、解答题:(共六题。70分。要求写出证明过程或演算步骤)

17、(本小题满分12分)ABC ?的外接圆的半径为1,三内角,,A B C 的对应边长分别为,,a b c

(,4cos ),(cos ,),m a B n A b ==

且m ‖n 。

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(1)试判定ABC ?的形状 (2)求sin sin A B +的范围

18、(本小题满分12分)某高校在2013年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第3,4,5组的频率;

(2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率;

(ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L 的面试,设第4组中有

X

名学生被考官L 面试,求X 的分布列和数学期望.

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19、(本题满分12分)已知四棱锥P —ABCD 中,

PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,0

60ABC ∠=,AB=PA=2,E .F 分别为BC .PD 的中点。

(Ⅰ)求证:PB//平面AFC ;

(Ⅱ)求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值。

20.(本题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点

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(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D .

(Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上;

(Ⅱ)设8

9

FA FB ?= ,求BDK ?的内切圆M 的方程 .

21.(本小题满分12分)

已知函数ln 1

a

f x x a x =+

∈+R ()(). (Ⅰ)函数f x ()在2x =处取得极值,求a (Ⅱ)当2a =时,试比较f x ()与1的大小;

(Ⅲ)求证:1111

ln 135721

n n +>++++

+ ()n ∈*N () 请考生在第22、23、24题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答

时请写清题号。

22.(本小题满分10分)选修4—1;几何证明选讲

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如图,已知AP 是圆O 的切线,P 为切点,AC 是 圆O 的割线,与圆O 交于B C ,两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点.

(Ⅰ)证明A

P O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求OAM APM ∠+∠的大小.

23.(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程

已知曲线C 1:4cos ,3sin ,x y αα=-+??=+? (α为参数), C 28cos ,3sin ,x y θθ=??

=?(θ为参数)。 (1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为=

2

π

α,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线

332,:2x t C y t =+??

=-+? (t 为参数)距离的最小值。

24.(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲

已知函数2)(-++=x a x x f

(1)当3-=a 时,求不等式3)(≥x f 的解集

(2)若4)(-≤x x f 的解集包含[1,2],求a 的取值范围。

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贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试卷数学理试题答案

一、选择题:BBDDB ADDCD DB 二、填空题:13、

3409, 14

15、12,45??

????

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16、6π 三、

17、解:依题意可得

(1)4cos cos ,sin sin cos()0,0,2

ab A B ab A B A B A B A B ππ

==∴+=<+<∴+=

故ABC ?是直角三角形。--------------------------6分

(2)(

,sin sin sin cos 2)24

sin sin A B A B A A A A B π

π

+=

∴+=+=+?∴+?12-------------12 的取值范是,分

18、解:(1) 第三组的频率为0.06?5=0.3; 第四组的频率为0.04?5=0.2;

第五组的频率为0.02?5=0.1. ……………………3分 (2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试

则: P(A)= 3

30

2

2812C C C ?14527

= ……………………6分 (ⅱ)第四组应有2人进入面试,则随机变量X 可能的取值为0,1,2. …………7分

且224

2

6

()(012)i i

C C P X i i C -===、、,则随机变量X 的分布列为:

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(10)

822

()15153

E X =

+= ……………………12分

19、解析:(1)连结BD 交AC 于O ,

ABCD 为菱形,则BO=OD…………1分 连结FO ,,//PF DF FO PB =∴ …………3分 FO ? 平面AFC ,PB ?平面AFC , //PB ∴平面AFC…………4分

(2)E 为BC 中点,2AB BE ∴=

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060,ABE AE ∠=∴= ,//,.AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥ …………6分

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建立如图所示的空间直角坐标系,{;,,}A AE AD AP

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则(0,0,2),,0)E P C ,D (90,2,0)…………8分 平面PAE 的一个法向量为(0,1,0)m =……9分 设平面PDC 的一个法向量为(,,)n x y z =

则00

n PD n DC ??=???=??

(,,)(0,2,2)0

(,,)1,0)0

x y z x y z ?-=??∴?

?-=??

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,0

y z y y -=??∴=-=

令(1n =…………11分

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cos ,||||77

m n m n m n ?∴<>=

==

? ∴平面PAE 与平面PCD 21

……12分 20、

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21、解析:(Ⅰ) )

1(29

ln )(++

=x x x f ,定义域是),0(+∞,

2

2)1(2)

2)(12()1(291)(+--=+-=

'x x x x x x x f , 令(2)0f '=,解得92a =---------3分

(Ⅱ)当2=a 时,12

ln )(++

=x x x f ,定义域为),0(+∞. 令11

2

ln 1)()(-++

=-=x x x f x h , 0)

1(1

)1(21)(2

22>++=+-='x x x x x x h ,

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)(x h ∴在),0(+∞上是增函数. ………………………7分 ①当1>x 时,0)1()(=>h x h ,即1)(>x f ; ②当10<

③当1=x 时,0)1()(==h x h ,即1)(=x f . ……………………………7分 (Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当1>x 时,112ln >++

x x ,即1

1

ln +->x x x . 令k k x 1+=,则有1211ln +>+k k k , ∑∑==+>+∴n k n

k k k k 1

1121

1ln .…………10分 ∑=+=+n

k k

k n 1

1ln

)1ln( ,

1

215131)1ln(++++>

+∴n n . ………………………12分 (法二)当1n =时,ln(1)ln 2n +=.

3ln 2ln81=> ,1

ln 23

∴>,即1n =时命题成立. …………………………7分

设当n k =时,命题成立,即 111

ln(1)3521

k k +>++++ .

1n k ∴=+时,

2l n (1k n k k

k ++=+

+11

ln 35211

k k k +>++++++ . 根据(Ⅱ)的结论,当1>x 时,112ln >++x x ,即1

1ln +->x x x . 令21k x k +=+,则有21

ln 123

k k k +>++,

则有1111

ln(2)352123

k k k +>++++++ ,即1n k =+时命题也成立.………11分

因此,由数学归纳法可知不等式成立. ………………………12分

(法三)如图,根据定积分的定义,

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1121171151?+++?+?n ?+

21

)12(1

212112111++=+??x d x dx x n n ]3ln )12[ln(2

1)12ln(211-+=+=n x n

, ∴121715131+++++n )12151(31++++=n

++

1

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]3ln )12[ln(21

31-++=

n . ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+= 223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++, 又3ln 332<< ,)12ln()12ln(2++<+n n n ,……12分

)1ln(]3ln )12[ln(21

31+<-++∴n n . )1ln(1

215131+<++++∴n n . …………………………………12分

请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 (22)【解析】(Ⅰ)证明:连结OP OM ,. 因为AP 与O 相切于点P ,所以OP AP ⊥. 因为M 是O 的弦BC 的中点,所以OM BC ⊥. 于是180OPA OMA ∠+∠=°.

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由圆心O 在PAC ∠的内部,可知四边形APOM 的对角互补,

所以A

P O M ,,,四点共圆.-----------------5分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得A

P O M ,,,四点共圆,所以OAM OPM ∠=∠.

由(Ⅰ)得OP AP ⊥.

由圆心O 在PAC ∠的内部,可知90OPM APM ∠+∠=°. 所以90OAM APM ∠+∠=°.------------------10分

(23)解:(1)C 1:(x+4)2

+(y -3)2

=1,C 2:

19

642

2=+y x . C 1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.

C 2为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.-----------5分 (2)当2

π

α=

时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(-2+4cos θ,θsin 2

3

2+

). C 3为直线x -2y -7=0,M 到C 3的距离|13sin 3cos 4|5

5

--=

θθd . 从而当54cos =

θ,53sin -=θ时,d 取得最小值5

58----------------------------10分 (24)【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???

-+-≥?或23323x x x <

x x x ≥?

??-+-≥? 1x ?≤或4x ≥-------------------5分

A

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(2)原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立

30a ?-≤≤---------------------10分