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微积分北京大学出版社课后详解

2020春高等数学(三)-ii新版教学日历

哈尔滨理工大学教学日历撰写标准（试行）一、课程基本信息课程基本信息详实，课外联系方式与联系时间、地点明确；二、课程目标（预期学习成果）包含多维度、深层次的教学目标，与课程教学大纲相吻合，能够有效支持相关专业毕业要求，可衡量、可评价；三、教材与教学资源 1、能够选择优秀教材与参考书，教材满足国家或专业要求； 2、课程能够为学生提供丰富有效的课外学习资源（包括在线课程、音视频资源、网上测试、网上答疑系统、期刊论文等）。四、课程教学内容、教学策略与方法、教学日历 1、课程教学内容与课程目标有明确的对应关系，能支持课程目标达成； 2、教学策略与方法恰当，采用了讨论式、探究式、合作式学习等教学方式，能够帮助学生达成深层次教学目标； 3、教学日历中课程教学内容知识点清晰，知识结构与逻辑结构合理，各知识点学时安排恰当； 4、课外安排了足够的课外学习量（建议课内与课外学习时间比例为1:1—1:2之间）,课外学习达到学时要求。五、课程要求、考核方式与评分标准 1、明确课程对学生的要求，包括出勤、课堂表现、作业、学术诚信等有明确说明； 2、实施形成性考核，各考核项目设置比重合理，考核方式及内容能有效测试学生课程目标达成情况；六、学习指导能够为学生提供思想引领、学习方法、学习技巧、成功技巧等内容，有效指导学生达成课程目标。

哈尔滨理工大学课程教学日历 2019––2020学年第2学期一、课程基本信息二、预期学习成果（一）课程目标 1、掌握如数列的极限、函数的极限、一元函数的导数、多元函数的偏导数、一元函数的不定积分与定积分、多元函数的重积分等基本计算技巧，从而具备理工类各专业必须的实用计算能力；能够根据微分方程、无穷级数的类型与结构特点，掌握如一阶线性微分方程、二阶常系数微分方程的求解方法，从而具备一定的求解微分方程的能力；掌握如正项级数、交错级数敛散性的判别方法。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

一节课微积分入门

一节课微积分入门 “一节课微积分入门”原本是笔者制作的一个教学视频，在酷6网上点击率一度突破12万（可惜现在删了，但土豆网上还有），而大学教授的同类视频，点击率最高才2千多。笔者身边好几个学不懂微积分的人都在里面受益。这是笔者独创的一套最简捷，清晰，易懂的教学方法，从零开始，在短短的 40分钟内，让大家理解：微积分最基本的原理，牛莱公式的本质含义和基本求导方法。希望能在微积分教学的历史长河中留下一朵小小的浪花。考虑到很多朋友不喜欢看教学视频，而更喜欢阅读文档，笔者把最基本的教学思路整理下来，供大家学习和参考，（看不懂的可以网上搜视频做为辅助学习）目录： 1巧妙的叠加方法 2问题的提出：求y=x2曲线围成的面积 3切割法求出近似面积 4寻找“远房表叔”来帮忙 5对“远房表叔”进行切割和叠加 6“表叔”和“表侄”的一一对应。 7一一对应关系式的提出 8一一对应关系式的进一步表达：牛莱公式 9一一对应关系式的变形：导函数的定义 10求导的2个例题 11导函数的意义

1巧妙的叠加方法方法一非常麻烦，要测1千次，再加1千次，方法二就简单多了，因为反正不需要知道每个小棍子的长度，只测一次就够了。这就是“叠加法”，在后面的微积分学习中，我们会非常巧妙的用到“叠加法”。 2 问题的提出：求y=x2曲线围成的面积

这种曲线围成的面积，显然用初等数学无法解决，这就需要我们巧妙构思，另辟蹊径了。 3 切割法求出近似面积我们把横坐标切成1000份，然后切割出999个小长方形，每个小长方形的宽都是1/1000，小长方形的长则是该点对应的函数值，这样每个小长方形的面积都可以求出来了。

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

北京大学出版社数据库原理与应用课后答案

数据库原理与应用第一章要求： 1、掌握数据、数据库、数据库管理系统、数据库系统(数据库应用系统)等概念及组成； 2、了解数据管理的发展，比较各管理阶段的优劣； 3、了解几种数据库的结构模型及其优劣，了解关系模型的基本概念； 4、掌握数据库的三级模式、二级映射、两个独立性三、教材习题解答 1、什么是数据库？数据库的基本特点是什么？答：数据库是长期存储在计算机内的、有组织的、可共享的大量数据的集合。其基本特点为可共享、低冗余度、有较高独立性和数据间有关联等。 2、从软件的角度来看，数据库系统的核心是什么？数据库系统和文件系统的主要区别是什么？答：核心是数据库管理系统(DBMS)；主要区别是文件系统不能解决数据冗余和数据独立性问题，而数据库系统可以解决。 3、什么是数据库管理系统？常用的数据库管理系统有哪些？答：数据库管理系统(database management system)是一种操纵和管理数据库的大型软件，用于建立、使用和维护数据库，简称dbms。它对数据库进行统一的管理和控制，以保证数据库的安全性和完整性。用户通过dbms访问数据库中的数据，数据库管理员也通过dbms进行数据库的维护工作。它可使多个应用程序和用户用不同的方法在同时或不同时刻去建立，修改和询问数据库。DBMS提供数据定义语言DDL（Data Definition Language）与数据操作语言DML （Data Manipulation Language），供用户定义数据库的模式结构与权限约束，实现对数据的追加、删除等操作。常用的有Oracle、db2、SQL Server、MySQL、ACCESS、Foxpro等。 4、什么是数据库的结构模型？通常有哪几种模型？答：数据库的结构模型是数据库中用来表示数据结构和数据联系的逻辑概述的集合，包括数据结构、数据操作和数据完整性约束三个部分。按照不同的数据结构通常有层次模型、网状模型、关系模型和面向对象模型等。 5、辨析题 1 × 2 × 3 √ 4 × 5 × 6 × 7 √ 第二章要求： 1、掌握关系的定义及其它基本概念的定义； 2、掌握关系的传统集合运算和专门的关系运算； 3、掌握关系范式、属性间的依赖、主码等概念。三、教材习题解答 1、试述关系数据语言的特点和分类。答：关系数据语言的特点是：语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能嵌入高级程序语言中使用。主要有关系代数语言和关系演算语言，关系演算语言又分为元组关系演算和域关系演算。 2、试述关系模型的完整性规则。在参照完整性中，为什么外码属性的值也可以为空？

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

微积分练习题及解析

练习题 1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问： ⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt = ==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 2210x y V V V =+= ⑵物体所受的合外力是多少? 222(3)(4)5x y -+-= 运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405 mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？匀速圆周运动 ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？圆心（3,4），半径5 2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变为零。 34dW F x dx = =-，所以当x=3/4时，F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E= KQ r 2, 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r 。规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的，则2 kQq dW F dr dr r =-?=- ? 所以2 0W r kQq dW dr r ∞=-?? 即21r q kQq dr r ?∞=? 所以1|r kQ kQ r r ?∞=-=

4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2 处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx ρ= = ,2L x kL ρ∴== 5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12 振幅处，其势能E P =，动能E k =。首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ）弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功 dW F dx kx dx =?=? 00W x dW kx dx ∴=??? 2 ()2 kx E x ∴= 所以在距平衡位置12振幅处的弹性势能为总能量的14 ，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。 0022 1122q q E Q q q dE dQ U Q dE dQ C Q E CU C =?∴=∴==?? 7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

离散数学习题解答(耿素云屈婉玲)北京大学出版社

习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）红与新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:错误!未指定书签。是无理数. （7）p:红与新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1是有理数. 是无理数.p.q.其否定式q的真值为1.

（2不是无理数. 答：是有理数. p 不是无理数. q 是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：晓月选学英语，q ：晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

微积分中10大经典问题

微积分中10大经典问题最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

微积分心得体会范文

微积分心得体会范文学好微积分的意义有如下几点： 1 重要性西方分析权威 R. 柯朗说 :" 微积分 , 或者数学分析 , 是人类思维的伟大成果之一 . 它处于自然科学与人文科学之间的地位 , 使它成为高等教育的一种特别有效的工具 . 微积分是人类智力的伟大结晶 . 它给出一整套的科学方法 , 开创了科学的 __ , 并因此加强与加深了数学的作用 . 恩格斯说 :" 在一切理论成就中 , 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了 . 微积分已成为现代人的基本素养之一 , 微积分将教会你在运动和变化中把握世界 , 它具有将复杂问题化归为简单规律和算法的能力 . 没有微积分很难理解现代社会正在发生的变化 , 很难跟上时代的脚步 . 2 牛顿革命牛顿把他的书定名为《自然哲学的数学原理》 , 目的在于向世人昭示他将原理数学化的过程 , 即他构造了一种自然哲学 , 而不是一般的哲学 . 牛顿的《自然哲学的数学原理》 , 不仅在原理的发展上 , 在命题的证明和应用上是数学的。在哲学上引出了 " 决定论

" 的世界观 . 那就是 , 大自然有规律 , 我们能够发现它们 . 对这一世界观表达最清楚的是数学家拉普拉斯 . 在他的《概率的哲学导论》中 , 他雄辩地指出 ," 假设有一位智者 , 在任意给定的时刻 , 他都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置 , 假使这一智者的智慧巨大到足以使自然界的数据得到分析 , 他就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中。 " 3 微积分产生的主要因素当代著名数学家哈尔莫斯说 , 问题是数学的心脏 . 那么促使微积分产生的主要问题是什么呢微积分的创立首先是为了处理下列四类问题 . 1) 已知物体运动的路程与时间的关系 , 求物体在任意时刻的速度和加速度 . 反过来 , 已知物体运动的加速度与速度 , 求物体在任意时刻的速度与路程 . 困难在于 17 世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化 . 计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离 . 但对瞬时速度 , 运动的距离和时间都是 0, 这就碰到了 0/0 的问题 . 这是人类第一次碰到这样微妙而费解的问题 .

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

认知心理学复习重点(北京大学出版社)

1.绪论认知也叫认识，是指人认识外界事物的过程，或者说是对作用于人的感觉器官的外界事物进行信息加工的过程。信息加工观点将计算机作为人的心理的模型，企图对人的心理和计算机的行为作出某种统一的解释，发现一般的信息加工原理。包括人和计算机在内，信息加工系统都是由感受器、效应器、记忆和加工器组成的。减法反应时实验：荷兰生理学家Donders（1868）提出的目的是测量包含在复杂反应中的辨别、选择等心理过程所需要的时间。在这种实验里，通常需要安排两种不同的反应时作业，其中一种作业另一种作业所没有的某个心理过程，即所在测量的过程，这两种反应时的差即该过程所需的时间。相加因素法实验：完成一个作业所需的时间是一系列信息加工阶段分别需要的时间的总和，如果发现可以影响完成作业所需的时间的一些因素，那么单独地或成对地应用这些因素进行实验，就可以观察到完成作业时间的变化。使用相加因素法实验可以证实信息加工过程是否包含一个假定的环节。 “开窗”实验：能够直接地测量每个加工阶段的时间，从而能够明显地看出这些加工阶段。出声思考：当个人在进行思维时，让他利用外部言语进行思考，即进行出声思考，使他的思维过程外部言语化。 2.知觉自下而上加工：指由外部刺激开始的加工，通常是说先对较小的知觉单元进行分析，然后再转向较大的知觉单元，经过一系列连续阶段的加工而达到对感觉刺激的解释。自上而下加工：是由有关知觉对象的一般知识开始的加工，由此可形成期望或对知觉对象的假设，期望或假设制约着加工的所有阶段或水平。模式是指由若干元素或成分按一定关系形成的某种刺激结构，也可以说模式是刺激的组合。模式识别当人能够确认他所知觉的某个模式是什么时，将它与其他模式区分开来，这就是模式识别。模板说认为在人的长时记忆中，贮存着许多各式各样的过去在生活中形成的外部模式的袖珍复本，即模板，它们与外部的模式有一对一的对应关系。当一个刺激作用于人的感官时，刺激信息得到编码并与已贮存的各种模板进行比较，然后作出决定，看哪一个模板与刺激有最佳的匹配，就把这个刺激确认为与那个模板相同。这样，模式就得到识别。由于每个模板都与一定的意义及其他信息相联系，受到识别的模式便得到解释或其他的加工。原型说认为在记忆中贮存的不是与外部模式有一对一关系的模板，而是原型。原型是一类客体的内部表征，即一个类比或范畴的所有个体的概括表征。当刺激与某一原型有最近似的匹配，即可将刺激纳入此原型所代表的范畴，从而得到识别。特征说外部刺激在人的长时记忆中，是以各种特征来表征的，在模式识别过程中，首先要对刺激的特征进行分析，即抽取刺激的有关特征，然后将这些特征加以合并，再与长时记忆中的各种刺激的特征进行比较，一旦获得最佳的匹配，外部刺激就被识别了。字词优势效应识别一个字词中的字母的正确率要高于识别一个单独的同一字母。客体优势效应识别一个“客体”图形中的线段要优于识别结构不严的图形中的同一线段或单独的该线段。构型优势效应识别一个完整的图形要优于识别图形的一个部分。 3.注意过滤器模型布罗德本特（1958）原理：人的神经系统容量是有限的，当外界大量信息通过神经通道时，由于其超过高级中枢神经系统的容量，所以需要一个过滤机制，这在信息传递中起了个关卡的作用，使某些信息得到选择和保证，到达皮层中枢作出反应。衰减模型特雷斯曼（1960）原理：信息不仅仅是通过一个通道，而是通过两个通道，但其中一个通道被加强，另一个通道的信号则逐渐减弱，从而难以激活其最低感觉阈限值而不被

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?