第六章相关与回归分析方法
第六章 相关与回归分析方法
第一部分 习题
一、单项选择题
1.单位产品成本与其产量的相关；单位产品成本与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。 A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关 C.两者都是正相关 D.两者都是负相关
2.样本相关系数r 的取值范围( )。
A.-∞＜r ＜+∞
B.-1≤r ≤1
C. -l ＜r ＜1
D. 0≤r ≤1
3.当所有观测值都落在回归直线
01y x
ββ=+上，则x 与y 之间的相关系数( )。 A.r ＝0 B.r ＝1 C.r ＝-1 D.|r|＝1 4.相关分析与回归分析，在是否需要确定自变量和因变量的问题上( )。 A.前者无需确定，后者需要确定 B.前者需要确定，后者无需确定 C.两者均需确定 D.两者都无需确定
5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的密切程度是( )。 A.完全相关 B.微弱相关 C.无线性相关 D.高度相关
6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )。
A.增加70元
B.减少70元
C.增加80元
D.减少80元 7.下面的几个式子中，错误的是( )。
A. y= -40-1.6x r=0.89
B. y= -5-3.8x r ＝-0.94
C. y=36-2.4x r ＝-0.96
D. y= -36+3.8x r ＝0.98 8.下列关系中，属于正相关关系的有( )。
A.合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系
B.产品产量与单位产品成本之间的关系
C.商品的流通费用与销售利润之间的关系
D.流通费用率与商品销售量之间的关系 9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。
A.相关分析是回归分析的基础
B.回归分析是相关分析的基础
C.相关分析是回归分析的深入
D.相关分析与回归分析互为条件 10.进行相关分析，要求相关的两个变量( )。
A.都是随机的
B.都不是随机的
C.一个是随机的，一个不是随机的
D.随机或不随机都可以 11.相关关系的主要特征是( )。
A.某一现象的标志与另外的标志之间存在着确定的依存关系
B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的关系，但它们不是确定的关系
C.某一现象的标志与另外的标志之间存在着严重的依存关系
D.某一现象的标志与另外的标志之间存在着函数关系 12.相关分析是研究( )。
A.变量之间的数量关系
B.变量之间的变动关系
C.变量之间相互关系的密切程度
D.变量之间的因果关系 13.现象之间相互依存关系的程度越低，则相关系数( )。
A.越接近于0
B.越接近于-1
C.越接近于1
D.越接近于0.5
14.在回归直线01y x ββ=+中，若10
β<，则x 与y 之间的相关系数( )。
A. r=0
B. r=1
C. 0＜r ＜1
D. —l ＜r ＜0 15.当相关系数r=0时，表明( )。
A.现象之间完全无关
B.相关程度较小
C.现象之间完全相关
D.无直线相关关系
16.已知x 与y 两变量间存在线性相关关系，且2
10,8,7,100x
y xy n σσσ===-=，则x 与y 之间存在着( )。
A.较密切的正相关
B.较低度的正相关
C.较密切的负相关
D.低度负相关 17.计算估计标准误差的依据是( )。
A.因变量的数列
B.因变量的总变差
C.因变量的回归变差
D.因变量的剩余变差 18.两个变量间的相关关系称为( )。
A.单相关
B.复相关
C.无相关
D.负相关 19.从变量之间相关的方向看，可分为( )。 A.正相关与负相关 B.直线相关和曲线相关 C.单相关与复相关 D.完全相关和无相关
20.从变量之间相关的表现形式看，可分为( )。 A.正相关与负相关 B.直线相关和曲线相关 C.单相关与复相关 D.完全相关和无相关
21.物价上涨，销售量下降，则物价与销售量之间属( )。 A.无相关 B.负相关 C.正相关 D.无法判断 22.估计标准误差是反映( )。
A.平均数代表性的指标
B.相关关系的指标
C.回归直线的代表性指标
D.序时平均数代表性指标
23.回归直线和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象是( )。 A.正相关还是负相关 B.线性相关还是非线性相关 D.单相关还是复相关 C.完全相关还是不完全相关
24.某校经济管理类的学生学习《统计学》的时间x 与考试成绩y 之间建立线性回归方程
01y x ββ=+。经计算，方程为y ＝20-0.8x ，该方程参数的计算( )。
A.
0β值是明显不对的 B. 1β值是明显不对的 C.0β
值和1β
值都是不对的 D.0β值和1β
值都是正确的
25.在回归分析中，自变量同因变量地位不同，在变量x 与y 中，y 依x 回归同x 依y 回归是( )。
A.同一个问题
B.有联系但意义不同的问题
C.一般情况下是相同的问题
D.是否相同，视两相关变量的具体内容而定
二、多项选择题
1.下列现象中属于相关关系的有( )。
A.压力与压强
B.现代化水平与劳动生产率
C.圆的半径与圆的面积
D.身高与体重
E.机械化程度与农业人口 2.相关关系与函数关系各有不同特点，主要体现在( )。 A ．相关关系是一种不严格的互相依存关系 B.函数关系可以用一个数学表达式精确表达 C.函数关系中各现象均为确定性现象
D.相关关系是现象之间具有随机因素影响的依存关系
E.相关关系中现象之间仍可以通过大量观察法来寻求其变化规律
3.销售额与流通费用率，在一定条件下，存在相关关系，这种相关关系属于( )。 A.正相关 B.单相关 C.负相关 D.复相关 E.完全相关
4.在直线相关和回归分析中( )。 A ．据同一资料，相关系数只能计算一个 B.据同一资料，相关系数可以计算两个 C.据同一资料，回归方程只能配合一个
D.据同一资料，回归方程随自变量与因变量的确定不同，可能配合两个
E.回归方程和相关系数均与自变量和因变量的确定无关 5.相关系数r 的数值( )。
A.可为正值
B.可为负值
C.可大于1
D.可等于-1
E.可等于1
6.相关系数r ＝0.9，这表明现象之间存在着( )。
A.高度相关关系
B.低度相关关系
C.低度负相关关系
D.高度正相关关系
E.低度正相关关系 7.拟合直线回归方程是为了( )。
A.确定两个变量之间的变动关系
B.用因变量推算自变量
C.用自变量推算因变量
D.两个变量相互推算
E.确定两个变量间的相关程度
8.在直线回归分析中，确定直线回归方程的两个变量必须是( )。 A.一个自变量，一个因变量 B.均为随机变量 C.对等关系 D.一个是随机变量，一个是可控制变量 E.不对等关系 9.直线相关分析的特点有( )。
A.两个变量是对等关系
B.只能算出一个相关系数
C.相关系数有正负号，表示正相关或负相关
D.相关的两个变量必须都是随机的
E.回归方程有两个
10.从变量之间相互关系的表现形式看，相关关系可分为( )。
A.正相关
B.负相关
C.直线相关
D.曲线相关
E.不相关和完全相关 11.直线相关分析与直线回归分析的区别在于( )。
A.相关的两个变量都是随机的，而回归分析中自变量是给定的数值，因变量是随机的
B.回归分析中的两个变量都是随机的，而相关中的自变量是给定的数值，因变量是随机的
C.相关系数有正负号，而回归系数只能取正值
D.相关的两个变量是对等关系，而回归分析中的两个变量不是对等关系
E.相关分析中根据两个变量只能计算出一个相关系数，而回归分析中根据两个变量只能配合一个回归方程
12.确定直线回归方程必须满足的条件是( )。
A.现象之间存在着直接因果关系
B.现象之间存在着较密切的直线相关关系
C.相关系数必须等于1
D.两变量必须均属于随机变量
E.相关数列的项数必须有相应的数量 13.下列哪些关系是相关关系( )。 A.圆的半径长度和周长的关系 B.农作物收获和施肥量的关系 C.商品销售额和利润率的关系 D.产品产量与单位成品成本的关系 E.家庭收入多少与消费支出增长的关系
14.直线回归方程
01y x ββ=+中的1β
称为回归系数,回归系数的作用是( )。 A.可确定两变量之间因果的数量关系 B.可确定两变量的相关方向 C.可确定两变量相关的密切程度
D.可确定因变量的实际值与估计值的变异程度
E.可确定当自变量增加一个单位时,因变量的平均增加量 15.相关系数与回归系数( )。
A.回归系数大于零则相关系数大于零
B.回归系数小于零则相关系数小于零
C.回归系数大于零则相关系数小于零
D.回归系数小于零则相关系数大于零
E.回归系数等于零相关系数等于零
三、填空题
1、按变量的多少可将相关关系分为（ ）和（ ）两种；按变量之间的相关的表现形态可分为（ ）和（ ）两种；按相关关系的程度不同可分为（ ）、（ ）和（ ）三种；而简单相关按相关的方向不同分为（ ）和（ ）两种。
2、一般地，当相关系数的绝对值为1时，相关关系就转化为（ ）。
3、相关系数r 的符号反映相关关系的（ ），其绝对值的大小反映两变量线性相关的（ ）。
4、相关系数r=0表明两个变量（ ）。
5、样本容量较大时，样本相关系数r 越大，表示总体的相关程度（ ）。
6、相关系数的取植范围是（ ）；判定系数的取植范围是（ ）。
7、估计回归方程的参数时，常用的方法是（ ），其基本要求是（ ）。
8、当回归系数大于零时，相关系数（ ）零。
9、在线性总体回归模型中，变量i Y
的取值可以分割为两部分：一部分是（ ），另一部分是（ ）。
10、回归分析和相关分析的联系表现在：相关分析是回归分析的（ ），回归分析是相关分析的（ ）。
11、总离差可分解为两部分，一部分是可以被解释的（ ），另一部分则是不能被解释的（ ）。
12、反映样本回归线对总体回归线拟合好坏的指标是（ ）。
四、简答题
1.什么是相关关系?相关关系有什么特点，如何度量?
2.简述相关关系的种类。
3.相关分析的主要内容包括哪些?
4.试给出测定变量相关关系的常用方法。
5.简述积矩相关系数检验的步骤。
6.简述相关分析与回归分析的区别与联系。
7.什么是估计标准误差? 有什么作用?
8.以一元线性回归方程为例，简述回归系数显著性检验的主要步骤。 9.简述非线性线性化的常用方法。
10.一元线性回归中两变量的样本相关系数、回归系数斜率项的估计值和回归模型的判定系数的关系如何？
五、计算题
（1）根据以上简单相关表的资料，绘制相关散点图，并判别相关关系的表现形式和方向。 （2）试以耐用消费品销售额为因变量、人均收入为自变量做回归分析（包括相关的检验）。 2．某地区31年中的个人储蓄及个人收入资料如下表所示：
储蓄收入储蓄收入储蓄收入
264 8777 898 16730 2017 27430
105 9210 950 17663 2105 29560
90 9954 779 18575 1600 28150
131 10508 819 19535 2250 32100
122 10979 1222 21163 2420 32500
107 11912 1702 22880 2570 35250
406 12747 1578 24127 1720 33500
503 13499 1654 25604 1900 36000
431 14269 1400 26500 2100 36200
588 15522 1829 27670 2300 38200
898 16730 2200 28300 4333 46733 利用给定的资料，建立一元线性回归模型，进行回归分析。
3.
月份产量（千件）单位成本（元/件）
1 2 3 4 32
28
39
42
73
72
71
66
要求：
（1）计算成品产量与单位成本的相关系数，并说明相关方向和相关程度。
（2）建立回归直线方程（以单位成本为因变量），指出产量每增加1千件时单位成本平均下降多少？
（3）计算估计标准误差。
（4）假定产量为50千件时，估计单位成本的取值区间？（只考虑估计标准误差）
4．考察2003年度中国各地区可支配收入（income）和消费性支出(expend)之间的关系，数据如下：
单位：元
地区消费性支出可支配收入地区消费性支出可支配收入
北京 11123.84 13882.62 四川 5759.21 7041.87
天津 7867.53 10312.91 贵州 4948.98 6569.23
河北 5439.77 7239.06 云南 6023.56 7643.57
山西 5105.38 7005.03 西藏 8045.34 8765.45
内蒙古 5419.14 7012.90 陕西 5666.54 6806.35
辽宁 6077.92 7240.58 湖北 5963.25 7321.98
吉林 5492.10 7005.17 湖南 6082.62 7674.20
黑龙江 5015.19 6678.90 广东 9636.27 12380.43
上海 11040.34 14867.49 广西 5763.50 7785.04
江苏 6708.58 9262.46 海南 5502.43 7259.25
浙江 9712.89 13179.53 重庆 7118.06 8093.67
安徽 5064.34 6778.03 甘肃 5298.91 6657.24
福建 7356.26 9999.54 青海 5400.24 6745.32
江西 4914.55 6901.42 宁夏 5330.34 6530.48
山东 6069.35 8399.91 新疆 5540.61 7173.54
河南 4941.60 6926.12
摘自《中国统计年鉴2004》（1）以可支配收入为自变量，消费性支出为因变量，试用最小二乘法确定回归方程，并就各地区可支配收入计算消费性支出的估计量；
（2）对方程的拟合情况进行诊断；解释各参数经济意义。（显著性水平取0.05）
4．以下是2003年全国城镇居民平均每年全部可支配收入和食品支出，分析两者之间的关系，建立半对数线形模型，作出残差图。
（单位：元）
地区食品支出可支配收入地区可支配收入食品支出
北京 3522.69 13882.62 四川 2240.65 7041.87
天津 2963.85 10312.91 贵州 1968.22 6569.23
河北 1912.42 7239.06 云南 2506.62 7643.57
山西 1712.13 7005.03 西藏 3542.89 8765.45
内蒙古 1705.56 7012.90 陕西 1960.29 6806.35
辽宁 2394.98 7240.58 湖北 2279.64 7321.98
吉林 1957.92 7005.17 湖南 2179.40 7674.20
黑龙江 1783.95 6678.90 广东 3583.72 12380.43
上海 4102.65 14867.49 广西 2305.98 7785.04
江苏 2566.89 9262.46 海南 2463.03 7259.25
浙江 3558.41 13179.53 重庆 2702.34 8093.67
安徽 2238.91 6778.03 甘肃 6657.24 1908.10
福建 3104.80 9999.54 青海 6745.32 1986.54
江西 1979.83 6901.42 宁夏 6530.48 1919.42
山东 2051.30 8399.91 新疆 7173.54 1987.42
河南 1662.30 6926.12
（摘自《中国统计年鉴2004》）6.
（1）计算相关系数，说明相关程度；
（2）确定单位成本对产量的直线回归方程，指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少元?
（3）如果单位成本为70元时，产量应为多少?
（4）计算估计标准误差。
第二部分习题参考答案
一、单项选择题
1.B
2.B
3.D
4.A
5.D
6.A
7.A
8.A
9.A 10.A 11.B 12.C 13.A 14.D 15.D 16.D 17.D 18.A 19.A 20.B 21.B 22.C 23.A 24.B 25.B
二、多项选择题
1.BDE
2.ABCDE
3.BC
4.AD
5.ABDE
6.AD
7.AC
8.ADE
9.ABCD 10.CD 11.AD 12.ABE 13.BCDE 14.ABE 15.ABE
三、填空题
1简单相关、多元相关、线性相关、非线性相关、完全相关、不完全相关、不相关、正相关、负相关；
2函数关系；3方向、密切程度；4无线性相关关系
5高；6[]1,1-、[]1,0；7最小平方法、()2?∑-y y 为最小值；8大于；
9确定的可由变量X 来解释的线性变化部分、由其他一切随机因素引起的不可解释的随机项；
10前提、继续；11回归平方和、剩余平方和；12估计标准误差。
四、简答题 1．（1）概念 相关关系是变量之间的一种不确定的关系，它是相对于函数关系而言的，例如学生的学习成绩与学习的时间长短有一定的关系，但学习的时间不是唯一确定学生的学习成绩。
（2）特点 首先它们都反映变量之间的不确定关系的程度与方向，数值的正负反映相关的方向，而大小反映了相关的程度；其次，相关系数的取值始终在-1与1之间；另外，对于两个变量，它们之间的相关系数受样本观测值的影响，在不同的样本数据下，计算的结果可能不同。因而存在着变量之间相关程度的检验问题，只有通过显著性检验的相关系数才能真正说明变量之间具有相关关系；最后，相关关系度量的是变量之间的线性相关程度，如果相关系数为0，排除的只是变量之间没有线性关系，但变量之间可能存在着某种非线性关系。 （3）度量 对于两个变量之间的线性关系通常使用变量的样本资料来计算相关系数，包括反映定量变量的积矩相关系数r 和反映定性变量的等级相关系数s r ，
假设我们有n 组两个变
量的观察值
(,),1,2,
,i i x y i n =，则它们的计算公式分别为：
()()
n
i
i
x x y y r --=
∑212
61(1)n
i i s d r n n ==-
-∑
i d 为变量相同观测对应的等级差。
2．相关关系的分类因分类的标准不同而有不同的分类结果： （1）从相关的方向上可以分为正相关和负相关；
（2）从相关的形式上可以分为直线相关和曲线相关； （3）从包含的变量的个数上可以分为简单相关和复相关；
（4）从相关的程度上可以分为完全相关、完全不相关和不完全相关。
3．相关分析的主要的内容包括两个方面：测定变量相关分析的方向和相关程度。一般首先采用定性分析的方法对变量之间是否具有相关关系进行判断，如果它们具有相关关系，再采用一些分析手段来进行分析，如相关表、相关图、相关系数等。
4．测定相关关系的主要方法有：相关表和相关图，这两种方法具有直观简便的特点，能够反映出两个变量的相关方向，也能在一定程度反映相关的程度。相关系数法，常用的相关有变量之间的积矩相关系数和等级相关系数，其中积矩相关系数主要适用于定距和定比变量，而等级相关系数主要用于有序变量，相关系数的大小反映变量之间的相关程度，而正负反映了相关的方向。
5．积矩相关系数检验的步骤如下：
（1）建立假设 假设样本是从一个不相关的总体中抽取出来的，即假设为：
01:0
:0H H ρρ=≠
（2）根据样本资料计算样本相关系数r ；
（3
）构造检验的统计量，这里使用的统计量为t =，在原假设成立的情况下
有(2)t
t n -；
（4）根据给定的显著性水平α，查t 分布表，得到临界值
/2(2)t n α-；
（5）给出检验结论：如果有/2(2)
t t n α>-，则拒绝原假设，接受备择假设，即两个总体的
相关系数不为零，反之亦然。
6．相关分析和回归分析都是用来分析变量之间的关系，但两者不是等同的，主要区别如下： （1）对变量的要求上相关分析的对象是两个随机变量，而回归分析有一个随机变量，称为因变量或被解释变量，还有一个或几个作为解释因变量的解释变量。 （2）变量之间关系上 相关分析中两个随机变量的地位是对等的，而且只要计算一个相关系数即可；而回归分析中，变量的地位是不等的，一个处于解释位置，另一个处于被解释位置。 （3）使用条件上 对于任意两个随机变量都可以通过抽样来计算它们的相关系数，但对于回归分析而言，即使两个变量具有很高的相关性，但没有因果关系，仍然不能建立回归模型，否则会出现伪回归现象，而且随着研究目的的变化，对于同样的两个变量可以建立两个回归模型，如果它们具有双向因果关系的话。 （4）分析的手段上 相关分析主要通过相关图、相关表和相关系数来衡量变量之间的相关程度和相关方向，但无法反映一个变量的变动对另一个变量影响的具体程度；而回归分析是通过构建模型，当模型通过检验以后，就可以利用模型来分析变量之间变动关系。
当然相关分析和回归分析也有联系，这种联系集中体现在：相关分析是回归分析的基础，而回归分析是相关分析的延续与深化。特别地，对于一元线性回归分析，样本相关系数与回归系数具有一定的转化关系。
7．估计标准误差是检验回归方程的拟合优度、测定因变量y 的实际观测值和估计值离差一般水平的分析指标，在一元线性回归分析中，估计的标准误差的计算公式为：
y s =
其中?i
i y
a bx =+为估计值。从表达试可以看出，它是直接从实际观测值偏离回归直线的整体情况来衡量回归方程的拟合程度的，估计标准误差越小，则回归直线的拟合程度就越高，从而使用这样的回归方程来预测，效果就越好，反之亦然。
8．对于一元线性回归模型而言，一般的回归系数检验的步骤如下： （1）提出假设 0111:0:0H H ββ=≠；
（2）选择合适的检验统计量 这里使用
11(2)
se()
b t t n b =
-，其中1se()b 表示1b 的标准误差；
（3）计算检验统计量的值
1
1se()
b t b =
；
（4）对于给定的显著性水平α，查表得到临界值/2(2)t n α-；
（5）给出检验的结论：若有/2(2)
t t n α>-，则拒绝原假设，而接受备择假设，即回归系数1β在显著性水平α下与零有显著差异，反之亦然。
9．实际现象中遇到的变量之间的关系往往呈现出非线性关系，所以线性回归模型的分析方法不能直接使用到非线性回归模型中，所以需要对非线性模型进行线性化，当然也可以对非线性模型直接进行回归分析，不过这个过程比较复杂，而实际中遇到的非线性模型可以通过变化得到线性模型，常用的方法有： （1）直接变化法这种方法直接使用新变量替代原来的变量，使非线性模型转化为线性模型，如以下的非线性模型：
0101011
ln ln ln y y x y x x ββεββεββε
=++=++=++
这类模型的特点是，模型本身对回归系数是线性的，而对模型的变量是非线性的，所以可以使用新变量代替，可以得到线性模型，回归系数一般在变化前后保持一致，如上述三个模型
可以分别令1
,ln ,ln ,
x x x y y x *?*===从而模型分别变为：
010101y x y x y x ββεββεββε*?*?=++=++=++
（2）间接变化法 这种方法通常要对原模型的变量进行数据变化，如取对数等，然后再使用直接变换的方法，同时在这个过程中往往还要对回归系数也要进行替换，如下列模型：
1001,x y x e y e βεεβββ==
对于上述的两个模型，首先取对数得到：
0101ln ln ln ln ln ln y x y x ββεββε=++=++
分别令
0011ln ,ln ,ln ,ln y y x x ββββ****
====，则可以得到线性模型为： 0101y x y x ββεββε*****
*=++=++
当使用最小二乘法估计出参数以后，在反变换得到原始的参数的估计值，上述例子就有：
01
01,e e ββββ**==
这种变换的特点是：模型对参数不是线性的，在实施变换时，变量和参数都要同时进行替换。
10．假设考察两个变量为X 、Y ，现抽取了一组样本观察值(,),1,2,
,i i x y i n =，则样
本相关系数的计算公式为：
()()
n
i
i
x x y y L r --=
=
∑
如果建立以X 为解释变量Y 为被解释变量的线性回归模型，则回归系数1β的估计值1?
β为：
()()
()1
12
1
n
i
i
xy i n xx
i i x x y
y L b L x x ==--=
=
-∑∑
回归模型的判定系数为：
22
11
2
1()()
()
n
i
i
xy i n
xx yy
i
i x x y
y L R b L L y
y ==--==
-∑∑
其中有
22
1
1
1
()(),(),()n
n
n
xy i i xx i yy i i i i L x x y y L x x L y y ====--=-=-∑∑∑。显然有下列关系试：
22211
,xy yy
L b R r R b L ===
从而三者具有一定的转换关系；另外在检验上，相关系数检验使用t 检验，回归系数1β的显
著性也使用t 检验，判定系数2
R 检验使用F 检验，但由于有2
(1,)()F n t n =，所以三者在检验上也是等价的，只要有一个通过检验，那么另外两个也通过检验。
五、计算题
1．利用EXCEL 绘制人均收入和耐用消费品的散点图为：
由图可以知道，两者具有较强的线性关系，而且相关的方向为正向关系；再通过EXECL做两者的回归得到的结果为：
方差分析表
df SS MS F Significance F
回归分析125391.4225391.42161.9866 1.67658E-07
残差101567.501156.7501
总计1126958.92
参数估计表
Coefficients标准误差 t Stat P-value
Intercept-66.289716.15297 -4.103870.002131
X Variable 145.36747 3.56455212.7274 1.68E-07
表中的上半部分为方差分析表，检验概率表示回归方程线性拟合非常好，通过了F检验；下半部分为参数估计表，根据表中的结果可以得到回归方程为
=-+
66.289745.36747
y x
表中的最后一列是参数检验的检验概率，检验结果表明回归系数是高度显著非零，通过检验。2．建立以收入为自变量X储蓄为因变量Y，经过EXCEL得到回归的结果为：
方差分析表
df SS MS F Significance F 回归分析 1 18547573 18547573 310.6814 2.23908E-17 残差30 1790990 59699.66
总计31 20338563
参数估计表
Coefficients 标准误差 t Stat P-value
Intercept -637.673 114.915 -5.54909 4.94E-06
X Variable 1 0.084389 0.004788 17.62616 2.24E-17
方差分析表表明，回归方程的线性拟合程度很好，检验概率高度显著；由参数估计表得到的回归方程为：
=-+
y x
637.6730.084389
最后一列的检验概率说明回归系数通过显著性检验，回归方程拟合非常好。
3. （1）（2）步计算过程所需数据计算结果如下表所示：
x y xy x2y2
13273233610245329
2287220167845184
33971276915215041
44266277217644356 sum1412829893509319910
（1）计算成品产量与单位成本的相关系数，并说明相关方向和相关程度。
0.79613
L n xy x y
R
-
==-
（2）建立回归直线方程（以单位成本为因变量），指出产量每增加1千件时单位成本平均下
降多少？
()
122
2
49893141282
0.387
45093141
xy
xx
L n xy x y
L n x x
β
-?-?
====-
?-
-
∑∑∑
∑∑
01
282141
0.38784.14
44
y x
n n
ββ
=-?=+?=
∑∑
因此回归直线方程为84.140.387
y x
=-；产量每增加1千件时单位成本平均下降0.387元。（3）计算估计标准误差。
x y^y
2
^
y y
??
-
?
??
1327371.756 1.547536
2287273.304 1.700416
3397169.047 3.814209
4426667.886 3.556996
sum10.61916
估计标准误差为： 2.30
xy
s
（4）假定产量为50千件时，估计单位成本均值的95%的取值区间。
（4.1）当产量为50千件时，单位成本均值=84.140.3875064.79
-?=
(4.2) 单位成本均值的95%的取值区间为：64.79 4.303 2.30
±?
4．通过EXCEL计算得到的结果如下：
方差分析表
df SS MS F Significance F
回归分析 1 88340214 88340214 541.2621 2.62588E-20
残差29 4733134 163211.5
总计30 93073348
参数估计表
Coefficients 标准误差 t Stat P-value
Intercept 238.4742 275.9763 0.864111 0.394618
X Variable 1 0.746817 0.0321 23.26504 2.63E-20
方差分析表的检验概率表明回归方程通过F检验，回归方程线性关系成立。由参数估计表得
到的回归方程为：
238.47420.746817
y x
=+
参数检验表明，截距项没有通过检验，而斜率项系数通过检验。使用上述的回归结果得到消
费支出的估计量值为：
观测值预测 Y 残差
1 10606.25 517.5921
2 5497.461 261.749
3 7940.329 -72.7986
4 5144.48
5 -195.505
5 5644.72
6 -204.956
6 5946.821 76.73937
7 5469.948 -364.568
8 6784.659 1260.681
9 5475.826 -56.6857
10 5321.571 344.9693
11 5645.861 432.0591
12 5706.652 256.5982
13 5470.053 22.04721
14 5969.696 112.9244
15 5226.389 -211.199
16 9484.387 151.8828
17 11341.77 -301.425
18 6052.473 -288.973
19 7155.835 -447.255
20 5659.804 -157.374
21 10081.17 -368.279
22 6282.963 835.0971
23 5300.421 -236.081
24 5210.213 88.69717
25 7706.299 -350.039
26 5275.992 124.2476
27 5392.571 -478.021
28 5115.546 214.7937
29 6511.668 -442.318
30 5595.794 -55.1843
31 5411.017 -469.417
各个参数的经济意义描述为：截距项表示基本支出，而斜率项是边际消费倾向。
5．根据题目的要求，建立的回归模型，根据参数估计的结果得到回归方程如下：
=-+
log()0.34060.949567log()
y x
方差分析表的F检验表明回归方程线性成立，参数检验表明截距项系数没有通过检验，而斜率项通过检验。
方差分析表
df SS MS F Significance F 回归分析 1 0.283564 0.283564 110.9803 1.9981E-11 残差29 0.074097 0.002555
总计30 0.357662
参数估计表
Coefficients 标准误差 t Stat P-value
Intercept -0.3406 0.352175 -0.96712 0.341479
X Variable 1 0.949567 0.090137 10.53472 2E-11
利用EXCEL得到残差图为：
6.（1）利用EXCEL 得到两者的相关系数为-0.90909； （2）利用EXCEL 得到的回归结果如下表：
方差分析表
df SS
MS
F
Significance F 回归分析 1 18.18182 18.18182 19.04762 0.012021037 残 差 4 3.818182 0.954545
总 计
5
22
参数估计表
Coefficients 标准误差 t Stat P-value
Intercept 77.36364 1.511663 51.17784 8.72E-07
X Variable 1
-1.81818
0.416598 -4.36436 0.012021 77.36364 1.81818y x =-
检验结果表明：无论是回归方程的线性检验还是回归系数的显著性检验都通过了。由回归方程得到产量每增加1000件，单位平均成本平均降低1.81818元。
（3）以x=70带入回归方程，得到平均成本为7077.36364 1.81818 4.05x x =-??=千件。 （4）通过EXCEL 计算得到回归标准误差为0.977。
相关分析与回归分析的异同
问：请详细说明相关分析与回归分析的相同与不同之处 相关分析与回归分析都是研究变量相互关系的分析方法，相关分析是回归分析的基础，而回归分析则是认识变量之间相关程度的具体形式。 下面分为三个部分详细描述两种分析方法的异同： 第一部分：相关分析 一、相关的含义与种类 （一）相关的含义 相关是指自然与社会现象等客观现象数量关系的一种表现。 相关关系是指现象之间确实存在的一定的联系，但数量关系表现为不严格相互依存关系。即对一个变量或几个变量定一定值时，另一变量值表现为在一定范围内随机波动，具有非确定性。如：产品销售收入与广告费用之间的关系。 （二）相关的种类 1. 根据自变量的多少划分，可分为单相关和复相关 2. 根据相关关系的方向划分，可分为正相关和负相关 3. 根据变量间相互关系的表现形式划分，线性相关和非线性相关 4.根据相关关系的程度划分，可分为不相关、完全相关和不完全相关 二、相关分析的意义与内容 (一)相关分析的意义 相关分析是研究变量之间关系的紧密程度，并用相关系数或指数来表示。其目的是揭示现象之间是否存在相关关系，确定相关关系的表现形式以及确定现象变量间相关关系的密切程度和方向。 (二)相关分析的内容 1. 明确客观事物之间是否存在相关关系 2. 确定相关关系的性质、方向与密切程度 三、直线相关的测定 （一）相关表与相关图 1. 相关表 在定性判断的基础上，把具有相关关系的两个量的具体数值按照一定顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的相互关系，这种表就称为相关表。 2. 相关图
把相关表上一一对应的具体数值在直角坐标系中用点标出来而形成的散点图则称为相关图。利用相关图和相关表，可以更直观、更形象地表现变量之间的相互关系。 （二）相关系数 1. 相关系数的含义与计算 相关系数是直线相关条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。相关系数的理论公式为： y x xy r δδδ2= （1）xy 2δ 协方差 x δ x 的标准差 y δ y 的标准差 （2）xy 2δ 协方差对相关系数r 的影响，决定：???<>数值的大小正、负）或r r r (00 简化式 ()()2222∑∑∑∑∑∑∑-?--= y y n x x n y x xy n r 变形：分子分母同时除以2 n 得 r =???????????? ??-???????????? ??-?-∑∑∑∑∑∑∑2222n y n y n x n x n y n x n xy =()[]()[]2222y y x x y x xy -*-?-=y x y x xy δδ-?- n x x x ∑-=2)(δ=()[]n x x x x ∑+?-222=()222x n x x n x +??-∑∑ = () 22x x - 2. 相关系数的性质
回归分析方法
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。 假设对于x 的n 个值i x ，得到 y 的n 个相应的值i y ，确定01ββ，的方法是根据最小二乘准则，要使 取最小值。利用极值必要条件令 01 0,0Q Q ββ??==??，求01ββ，的估计值01??ββ，，从而得到回归直线01 ??y x ββ=+。只不过这个过程可以由软件通过直线拟合完成，而无须进行繁杂的运算。
第二章回归分析概述
第二章回归分析概述 回归分析是寻求隐藏在随机现象中的统计规律的理论和方法，是经济计量学的最基本的方法论基础。讨论回归模型在经典假设条件下的参数估计、假设检验和估计量的统计性质，以及经典假设不完全满足条件下，有关问题的处理是理论经济计量学的任务。为了对回归分析理论和方法有一个全面深入的理解，本章先对回归分析的基本概念和性质予以介绍，在以后各章顺次展开以上问题的讨论。 第一节回归分析的性质 一、“回归”一词的现代含义 回归一词最早是生物统计学家高尔顿（Francis Galton）引入的。高尔顿在对人类身高之类的遗传特性的研究中，发现了他称之为“向平均回归”的现象。虽然客观上存在一种趋势，即父母高，子女也高；父母矮，子女也矮，但是给定父母的身高，子女的平均身高却有“回归”到全体人口的平均身高的倾向。也就是说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而子女的身高却有趋向人口总体平均身高的趋势。高尔顿的普通回归定律也被另一位统计学家皮尔逊（Karl Pearson）证实。高尔顿的兴趣在于发现人口的身高为什么有一种稳定性。这是“回归”一词的初始含义。 然而，对“回归”一词的现代解释却与初始含义有很大不同，其现代含义是回归分析研究一个被解释变量对另一个或多个解释变量的变量依存关系，其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值，去估计或预测前者的（总体）均值。 比如，对于父母身高与子女身高的关系研究，人们会发现，对于设定的每一个父辈的身高，都有一个儿辈的假想人口总体的身高分布与之对应，随着父辈身高的增加，儿辈的平均身高也增加。若把这种父辈身高与儿辈平均身高的一一对应关系绘制在平面坐标图上，可以得到一条直线，这条直线就叫做回归线，它表明儿辈的平均身高如何随父辈的身高变化。从现代回归的观点出发，人们关心的是给定父辈的身高情况下，如何发现儿辈平均身高的变化。也就是说，人们关心的是一旦知道了父辈的身高，如何估计预测儿辈的平均身高。 经济学家可以利用回归分析研究个人消费支出对其实际可支配收入的依从关系。通过回归分析可估计边际消费倾向（MPC），而边际消费倾向说明人们每增加一个单位的实际可支配收入而引起的消费支出的平均变化。 农业经济学家可利用回归分析研究农作物收成对施肥量，降雨量，气温等的依赖关系。这种分析能使他用给定的解释变量的信息预测或预报农作物的平均收成。 劳动经济学家利用回归分析研究货币工资变化率对失业率的依存关系，著名的菲利普斯曲线就是研究这一依存关系的成果，劳动经济学家经常利用这一曲线预测在给定的某个失业率下货币工资的平均变化。由于工资的增长会引起物价的上涨，因此通过这一曲线还可以研究通货膨胀、关于经济扩张过程方面的问题。 由货币银行学的知识可知，若其它条件不变，通货膨胀率愈高，人们愿意以货币形式保存的收入比例越低。对这种关系作回归分析，使金融学家能够预测在各种通货膨胀率下人们愿意以货币形式保存的平均收入比例。
应用回归分析
第五章 自变量选择对回归参数的估计有何影响 答：全模型正确而误用选模型时，我们舍去了m-p 个自变量，用剩下的p 个自变量去建立选模型，参数估计值是全模型相应参数的有偏估计。选模型正确而误用全模型时，参数估计值是选模型相应参数的有偏估计。 自变量选择对回归预测有何影响 （一）全模型正确而误用选模型的情况 估计系数有偏，选模型的预测是有偏的，选模型的参数估计有较小的方差，选模型的预测残差有较小的方差,选模型预测的均方误差比全模型预测的方差更小。 （二）选模型正确而误用全模型的情况 全模型的预测值是有偏的，全模型的预测方差的选模型的大，全模型的预测误差将更大。 如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣 答：应该用自由度调整复决定系数达到最大的准则。当给模型增加自变量时，复决定系数也随之增大，然而复决定系数的增大代价是残差自由度的减小，自由度小意味着估计和预测的可靠性低。应用自由度调整复决定系数达到最大的准则可以克服样本决定系数的这一缺点,把2 R 给予适当的修正，使得只有加入“有意义”的变量时，经过修正的样本决定系数才会增加，从而提高预测的精度。 试述前进法的思想方法。 解：主要是变量由少到多，每次增加一个，直至没有可引入的变量为止。 具体做法是：首先将全部m 个自变量，分别对因变量y 建立m 个一元线性回归方程，并分别计算这m 个一元回归方程的m 个回归系数的F 检验值，记为 111 12{,,,} m F F F ，选其最大者 1111 12max{,, ,} j m F F F F =，给定显著性水平α，若 1(1,2) j F F n α≥-，则首先将 j x 引入回 归方程，假设 1 j x x =。其次，将 12131(,),(,),,(,)m y x x x x x x 分别与建立m-1个二元线性 回归方程，对这m-1个回归方程中 23,, ,m x x x 的回归系数进行F 检验，计算F 值，记为 222 23{,, ,} m F F F ，选其最大的记为 2222 23max{,, ,} j m F F F F =，若 2(1,3) j F F n α≥-，则 接着将j x 引入回归方程。以上述方法做下去。直至所有未被引入方程的自变量的F 值均小
你应该要掌握的7种回归分析方法
你应该要掌握的7种回归分析方法 标签：机器学习回归分析 2015-08-24 11:29 4749人阅读评论(0) 收藏举报 分类： 机器学习（5） 目录(?)[+]转载：原文链接：7 Types of Regression Techniques you should know!（译者/刘帝伟审校/刘翔宇、朱正贵责编/周建丁） 什么是回归分析？ 回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。 回归分析是建模和分析数据的重要工具。在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。我会在接下来的部分详细解释这一点。 我们为什么使用回归分析？ 如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。下面，让我们举一个简单的例子来理解它： 比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。 使用回归分析的好处良多。具体如下： 1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；
2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。 回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。 我们有多少种回归技术？ 有各种各样的回归技术用于预测。这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。我们将在下面的部分详细讨论它们。 对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法： 1. Linear Regression线性回归 它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。 线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。 用一个方程式来表示它，即Y=a+b*X + e，其中a表示截距，b表示直线的斜率，e是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量（s）来预测目标变量的值。
回归分析方法及其应用中的例子
3.1.2 虚拟变量的应用 例3.1.2.1：为研究美国住房面积的需求，选用3120户家庭为建模样本，回归模型为： 123log log P Y βββ++logQ= 其中：Q ——3120个样本家庭的年住房面积（平方英尺） 横截面数据 P ——家庭所在地的住房单位价格 Y ——家庭收入 经计算：0.247log 0.96log P Y -+logy=4.17 2 0.371R = （）（） （） 上式中2β=0.247-的价格弹性系数，3β=0.96的收入弹性系数，均符合经济学的常识，即价格上升，住房需求下降，收入上升，住房需求也上升。 但白人家庭与黑人家庭对住房的需求量是不一样的，引进虚拟变量D ： 01i D ?=?? 黑人家庭 白人家庭或其他家庭 模型为：112233log log log log D P D P Y D Y βαβαβα+++++logQ= 例3.1.2.2：某省农业生产资料购买力和农民货币收入数据如下：（单位：十亿元） ①根据上述数据建立一元线性回归方程：
? 1.01610.09357y x =+ 20.8821R = 0.2531y S = 67.3266F = ②带虚拟变量的回归模型，因1979年中国农村政策发生重大变化，引入虚拟变量来反映农村政策的变化。 01i D ?=?? 19791979i i <≥年 年 建立回归方程为： ?0.98550.06920.4945y x D =++ （）（） （） 20.9498R = 0.1751y S = 75.6895F = 虽然上述两个模型都可通过显着性水平检验，但可明显看出带虚拟变量的回归模型其方差解释系数更高，回归的估计误差（y S ）更小，说明模型的拟合程度更高，代表性更好。 3.5.4 岭回归的举例说明 企业为用户提供的服务多种多样，那么在这些服务中哪些因素更为重要，各因素之间的重要性差异到底有多大，这些都是满意度研究需要首先解决的问题。国际上比较流行并被实践所验证，比较科学的方法就是利用回归分析确定客户对不同服务因素的需求程度，具体方法如下： 假设某电信运营商的服务界面包括了A1……Am 共M 个界面，那么各界面对总体服务满意度A 的影响可以通过以A 为因变量，以A1……Am 为自变量的回归分析，得出不同界面服务对总体A 的影响系数，从而确定各服务界面对A 的影响大小。 同样，A1服务界面可能会有A11……A1n 共N 个因素的影响，那么利用上述方法也可以计算出A11……A1n 对A1的不同影响系数，由此确定A1界面中的重要因素。 通过两个层次的分析，我们不仅得出各大服务界面对客户总体满意度影响的大小以及不同服务界面上各因素的影响程度，同时也可综合得出某一界面某一因素对总体满意度的影响大小，由此再结合用户满意度评价、与竞争对手的比较等因素来确定每个界面细分因素在以后工作改进中的轻重缓急、重要性差异等，从而起到事半功倍的作用。 例 3.5.4：对某地移动通信公司的服务满意度研究中，利用回归方法分析各服务界面对总体满意度的影响。 a. 直接进入法 显然，这种方法计算的结果中，C 界面不能通过显着性检验，直接利用分析结果是错误
现代统计分析方法试卷
（2017年12月，研究生） （要求：答案写在答题纸上） 一、名词解释（20分，每题4分） 1、随机项和残差项 2、时间序列平稳性 3、偏回归平方和 4、DW检验 5、大数据 二、简答题（36分，每题6分） 1、回归分析中，回归方程检验和回归系数检验有什么异同？ 2、建立ARMA模型时，如何进行模型识别？ 3、因子载荷矩阵有什么统计意义？它与主成分系数矩阵有什么不同？ 4、判别分析中Fisher 判别准则，贝叶斯判别准则的区别？ 5、利用回归分析方法如何进行边际分析和弹性分析？ 6、统计上，如何测定样品或变量之间的亲疏程度？ 三、论述题（44分） 1、结合自己所学专业举例说明回归分析的步骤？（14分） 2、结合自己所学专业举例说明因子分析的步骤和每步的意义？（15分） 3、结合自己所学专业举例说明系统聚类分析的步骤和应注意的问题？（15分）
（2018年7月，研究生） （要求：答案写在答题纸上） 一、名词解释（20分，每题4分） 1、可决系数和修正可决系数 2、偏回归平方和 3、自相关系数 4、主成分 5、系统聚类分析 二、简答题（36分，每题6分） 1、回归分析中，回归方程检验和回归系数检验有什么异同？ 2、建立ARMA模型时，如何进行模型识别？ 3、因子载荷矩阵有什么统计意义？它与主成分系数矩阵有什么不同？ 4、比较距离判别准则，Fisher 判别准则，贝叶斯判别准则的区别？ 5、逐步回归分析与一般回归分析的区别和意义？ 6、统计上，如何测定样品或变量之间的亲疏程度？ 三、论述题（44分） 1、结合自己所学专业举例说明回归分析的应用步骤？（14分） 2、结合自己所学专业举例说明因子分析的应用步骤？（15分） 3、结合自己所学专业举例说明聚类分析的应用步骤？（15分）
第五章 回归分析
第五章回归分析 §1.回归分析的数学模型 1.1.线性统计模型 1．线性回归方程 从一个简单的例子谈起。个人的消费水平Y与他的收入水平X间的关系，大体上可以描述：收入水平高，一般消费水平也高。但Y 和X绝不是简单的线性关系，这从常识便能判别；而且也不是一种确定的数学关系，两个收入水平完全一样的个人，他们的消费水平可能有很大的差异。比较合理的看法是：个人的消费水平Y是一个随机变量，从平均的意义上看，应与收入水平成正比。因此，我们可以给出以下模型： Y = b0 + b1X +ε (1) 其中b0，b1是待定常数，ε是随机变量，且有E(ε)=0，这样就能保证 E(Y) = b0 + b1X (2) 即从平均意义上Y和X线性相关。等式(2)称为变量Y对于变量X的线性回归方程。一般情况下，一个随机变量Y与变量X1,X2,…,X p有关系
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + … + b p X p +ε (3) 随机变量ε的期望E(ε)=0,即有： E(Y) = b0+ b1X1 + b2X2+ … + b p X p (4) 从平均意义上，Y与X1,X2,…,X p呈线性关系。（4）式称为变量Y对于变量X1,X2,…,X p的线性回归方程，p=1时，称方程是一元的；p≥2时，称方程是多元的；b0,b1,…,b p称为回归系数。 2．统计模型的假设 设变量Y与X1,X2,…,X p之间有关系(3)，对（X1,X2,…,X p,Y）做n 次观察，得到一个容量为n的样本：（x i1,x i2, …,x i p,y i）i=1,2,…,n，按（4）式给出的关系，这些样本观察值应有： y1= b0+ b1x11+ b2x12 + … + b p x1p+ε1 y2= b0+ b1x21+ b2x22 + … + b p x2p+ε2 (5) ………………………………… y n= b0+ b1x n1+ b2x n2 + … + b p x n p+εn 其中的εi, i=1,2,…,n是随机误差，出于数学上推导的需要，假设：1）E(εi)=0，i=1,2,…,n.即观察结果没有系统误差； 2）Var(εi)=σ2，i=1,2,…,n.这个性质叫做方差齐性；
多元回归分析SPSS
多元线性回归分析预测法 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。
设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b 0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x 1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即，x 2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b 0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加 一个单位对y的效应，即x 2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b 0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自 变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之 因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b 0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得
逐步回归分析
逐步回归分析 １、逐步回归分析的主要思路 在实际问题中, 人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显著的变量 已被剔除。 逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回 归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于 最小的一个更不需要剔除)。相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平 下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。 ２、逐步回归分析的主要计算步骤 (1) 确定检验值 在进行逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验水平, 以作为引人或剔除变量的标准。 检验水平要根据具体问题的实际情况来定。一般地, 为使最终的回归方程中包含较多的变量, 水平不宜取得过高, 即显著水平α不宜太小。水平还与自由度有关, 因为在逐步回归过程中, 回归方程中所含的变量的个数不断在变化, 因此方差分析中的剩余自由度也总在变化, 为方便起见常按计算自由度。为原始数据观测组数, 为估计可能选人回归方程的变量个数。例如, 估计可能有2～3个变量选入回归方程, 因此取自由度为15-3-1＝11, 查分布表, 当α＝0.1, 自由度, 时, 临界值, 并且在引入变量时, 自由度取, , 检验的临界值记, 在剔除
第五章相关分析作业(试题及标准答案)
第五章相关分析 一、判断题 1.若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，说明X与Y之间存在正相关关系；若变量X的值减 少时，Y变量的值也减少，说明X与Y之间存在负相关关系。（） 2.回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度（） 3.回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。（） 4.计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。（） 5.完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。（） 1、× 2、× 3、× 4、× 5、√. 二、单项选择题 1.当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。 A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系 2.现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。 A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系 C.相关关系和随机关系 D.函数关系 和因果关系 3.在相关分析中，要求相关的两变量（）。 A.都是随机的 B.都不是随机变量 C.因变量是随机变量 D.自变量是随机变量 4.现象之间线性依存关系的程度越低,则相关系数( ) 。 A.越接近于-1 B. 越接近于1 C. 越接近于0 D. 在0.5和0.8 之间 5.若物价上涨,商品的需求量相应减少,则物价与商品需求量之间的关系为( )。 A.不相关 B. 负相关 C. 正相关 D. 复相关 6.能够测定变量之间相关关系密切程度的主要方法是( ) 。 A.相关表 B.相关图 C.相关系数 D.定性分析 7.下列哪两个变量之间的相关程度高（）。 A.商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9 B.商品销售额与商业利润率的相关系数是0.84 C.平均流通费用率与商业利润率的相关系数是-0.94 D.商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91 8.回归分析中的两个变量（）。 A、都是随机变量 B、关系是对等的 C、都是给定的量 D、一个是自变量，一个是因变量 9.当所有的观察值y都落在直线上时,则x与y之间的相关系数为( )。 A.r = 0 B.| r | = 1 C.-1 4、回归分析方法应用实例 在制定运动员选材标准时，理论上要求先对不同年龄的运动员，各测试一个较大的样本，然后，计算出各年龄的平均数、标准差，再来制定标准。 但是，在实际工作中，有时某些年龄组不能测到较大的样本。这时能不能使用统计的方法，进行处理呢？ 我们遇到一个实例。测得45名11至18岁男田径运动员的立定三级跳远数据。其各年龄组人数分布如表一。由于受到许多客观因素的限制，一时无法再扩大样本，因此决定使用统计方法进行处理。 第一步，首先用原始数据做散点图，并通过添加趋势线，看数据的变化趋势是否符合随年龄增长而变化的趋势，决定能否使用回归方程制定标准。如果趋势线不符合随年龄增长而变化的趋势，或者相关程度很差就不能用了。 本例作出的散点图如图1，图上用一元回归方法添加趋势线，并计算出年龄和立定三级跳远的： 一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X 相关系数 r＝0.7945（P<0.01） 由于从趋势线可以看出，立定三级跳远的成绩是随年龄增加而逐渐增加，符合青少年的发育特点。而且, 相关系数r＝0.7945，呈高度相关。因此，可以认为计算出的一元回归方程，反映了11至18岁男运动员年龄和立定三级跳远成绩的线性关系。决定用一元回归方程来制定各年龄组的标准。 第二步，用一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X 推算出各年龄的立定三级跳远回归值，作为各年龄组的第2等标准。 第三步，用45人的立定三级跳远数据计算出标准差为：0.8271。由于在正态分布下，如把平均数作为标准约有50%的人可达到标准，用平均数-0.25标准差制定标准则约有60%的人可达到，用平均数+0.25、+0.52、+0.84标准差制定标准约有40%、30%、20%的人可达到标准。本例用各年龄组回归值-0.25标准差、+0.25标准差、+0.52标准差、+0.84标准差计算出1至5等标准如表2、图2。 第六章 相关与回归分析方法 第一部分 习题 一、单项选择题 1.单位产品成本与其产量的相关；单位产品成本与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。 A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关 C.两者都是正相关 D.两者都是负相关 2.样本相关系数r 的取值范围( )。 A.-∞＜r ＜+∞ B.-1≤r ≤1 C. -l ＜r ＜1 D. 0≤r ≤1 3.当所有观测值都落在回归直线 01y x ββ=+上，则x 与y 之间的相关系数( )。 A.r ＝0 B.r ＝1 C.r ＝-1 D.|r|＝1 4.相关分析与回归分析，在是否需要确定自变量和因变量的问题上( )。 A.前者无需确定，后者需要确定 B.前者需要确定，后者无需确定 C.两者均需确定 D.两者都无需确定 5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的密切程度是( )。 A.完全相关 B.微弱相关 C.无线性相关 D.高度相关 6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )。 A.增加70元 B.减少70元 C.增加80元 D.减少80元 7.下面的几个式子中，错误的是( )。 A. y= -40-1.6x r=0.89 B. y= -5-3.8x r ＝-0.94 C. y=36-2.4x r ＝-0.96 D. y= -36+3.8x r ＝0.98 8.下列关系中，属于正相关关系的有( )。 A.合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B.产品产量与单位产品成本之间的关系 C.商品的流通费用与销售利润之间的关系 D.流通费用率与商品销售量之间的关系 9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。 A.相关分析是回归分析的基础 B.回归分析是相关分析的基础 C.相关分析是回归分析的深入 D.相关分析与回归分析互为条件 10.进行相关分析，要求相关的两个变量( )。 A.都是随机的 B.都不是随机的 C.一个是随机的，一个不是随机的 D.随机或不随机都可以 11.相关关系的主要特征是( )。 A.某一现象的标志与另外的标志之间存在着确定的依存关系 B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的关系，但它们不是确定的关系 C.某一现象的标志与另外的标志之间存在着严重的依存关系 D.某一现象的标志与另外的标志之间存在着函数关系 12.相关分析是研究( )。 A.变量之间的数量关系 B.变量之间的变动关系 C.变量之间相互关系的密切程度 D.变量之间的因果关系 13.现象之间相互依存关系的程度越低，则相关系数( )。 A.越接近于0 B.越接近于-1 C.越接近于1 D.越接近于0.5 14.在回归直线01y x ββ=+中，若10 β<，则x 与y 之间的相关系数( )。 A. r=0 B. r=1 C. 0＜r ＜1 D. —l ＜r ＜0 15.当相关系数r=0时，表明( )。 A.现象之间完全无关 B.相关程度较小 对回归分析的认识、体会和思考 海口市第一中学潘峰 一、教材分析 1．内容编排 散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分内容在《数学3（必修）》中已经出现过。在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。 2．学习价值： ⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息； ⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。 3．教材处理的优点： ⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情； ⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助） ⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括； ⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。 4．重点和难点 一元回归分析 在数学关系式中只描述了一个变量与另一个变量之间的数量变化关系，则称其为一元回归分析。 其回归模型为 y 称为因变量，x称为自变量，称为随机误差，a,b 称为待估计的回归参数，下标i表示第i个观测值。 如果给出a和b的估计量分别为,，则经验回归方程: 一般把称为残差，残差可视为扰动的“估计量”。 例子: 湖北省汉阳县历年越冬代二化螟发蛾盛期与当年三月上旬平均气温的数据如表1-1，分析三月上旬平均温度与越冬代二化螟发蛾盛期的关系。 表1-1 三月上旬平均温度与越冬代二化螟发蛾盛期的情况表 数据保存在“DATA6-1.SAV”文件中。 1）准备分析数据 在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量历期“历期” 在SPSS数据编辑窗口中，创建“年份”、“温度”和“发蛾盛期”变量，并把数据输入相应的变量中。或者打开已存在的数据文件“DATA6-1.SAV”。 2）启动线性回归过程 单击SPSS主菜单的“Analyze”下的“Regression”中“Linear”项，将打开如图1-1所示的线性回归过程窗口。 图1-1 线性回归对话窗口 3) 设置分析变量 设置因变量：本例为“发蛾盛期”变量，用鼠标选中左边变量列表中的“发蛾盛期”变量，然后点击“Dependent”栏左边的向右拉按钮，该变量就自动调入“Dependent”显示栏里。 设置自变量：选择一个变量作为自变量进入“Independent(S)”框中。用鼠标选中左边变量列表中的“温度”变量，然后点击“Independent(S)”栏左边的向右拉按钮，该变量就自动调入“Independent(S)”显示栏里。 注：SPSS中一元回归和多元回归以及多元逐步回归都是使用同一过程，所以该栏可以输入多个自变量。 设置控制变量 “Selection Variable”为控制变量输入栏。控制变量相当于过滤变量，即必须当该变量的值满足设置的条件时，观测量才 回归分析方法总结全面 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、什么是回归分析 回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。 回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。 二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。 2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析 若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。 若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。 三、回归分析的主要内容 1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。 2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。 3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。 四、一元线性回归分析 1.一元线性回归分析的特点 1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。 2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y 为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图 回归分析与相关分析联系、区别?? 简单线性回归分析是对两个具有线性关系的变量，研究其相关性，配合线性回归方程，并根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发展趋势的方法。 回归分析（Regression analysis）通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 主要内容和步骤：首先依据经济学理论并且通过对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量，一般情况下，自变量表示原因，因变量表示结果；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；接着要估计模型的参数，得出样本回归方程；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验，计量经济学检验、预测检验；当所有检验通过后，就可以应用回归模型了。 回归的种类 回归按照自变量的个数划分为一元回归和多元回归。只有一个自变量的回归叫一元回归，有两个或两个以上自变量的回归叫多元回归。 按照回归曲线的形态划分，有线性（直线）回归和非线性（曲线）回归。 相关分析与回归分析的关系 （一）相关分析与回归分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度。只有当变量之间存在高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前，就进行回归分析，很容易造成“虚假回归”。与此同时，相关分析只研究变量之间相关的方向和程度，不能推断变量之间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况，因此，在具体应用过程中，只有把相关分析和回归分析结合起来，才能达到研究和分析的目的。 （二）相关分析与回归分析的区别 1．相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题，变量之间的关系是对等的；而在回归分析中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的，对变量进行自变量和因变量的划分。因此，在回归分析中，变量之间的关系是不对等的。 2．在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在回归分析中，自变量是确定的，因变量才是随机的，即将自变量的给定值代入回归方程后，所得到的因变量的估计值不是唯一确定的，而会表现出一定的随机波动性。 3．相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映变量之间相关程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是唯一确定的。而在回归分析中，对于互为因果的两个变量(如人的身高与体重，商品的价格与需求量)，则有可能存在多个回归方程。 需要指出的是，变量之间是否存在“真实相关”，是由变量之间的内在联系所决定的。相关分析和回归分析只是定量分析的手段，通过相关分析和回归分析，虽然可以从数量上反映变量之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确判断变量之间内在联系的存在与否，也无法判断变量之间的因果关系。因此，在具体应用过程中，一定要注意把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上展开定量分析。回归分析方法应用实例
第六章相关与回归分析方法
对回归分析的认识、体会和思考
SPSS第五章 回归分析
回归研究分析方法总结全面
回归分析与相关分析联系 区别