双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程
题型一、圆锥曲线的标准方程
例1、讨论
19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 解：（1）当9 ， 16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259< ， k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3）25 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感． 例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点??? ??4153，P ，?? ? ??- 5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2） ，焦点在x 轴上． （3）与双曲线14 162 2=-y x 有相同焦点，且经过点() 223， 解：（1）设双曲线方程为 12 2=+n y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴???????=+=+1259256116225 9n m n m 解得???=-=916n m ∴所求双曲线方程为 191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为： 1622 =--λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴ 164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点() 223，，∴ 144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为 18 122 2=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线 141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． 例3、求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程． 解：设所求双曲线方程为：()0122≠=-k k y k x ，则()1312 =--k k ， ∴191=-k k ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为 18 82 2=-x y 说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线 的充要条件，它的证明如下： 设等轴双曲线()0222>=-m m y x ，则2 2 2 m b a ==，∴2 2 2 2 2m b a c =+= ∴m c 2=，∴22=== m m a c e 反之，如果一个双曲线的离心率2=e ． ∴ 2=a c ，∴a c 2=，222a c =，∴2222a b a =+，∴22b a =，b a =∴双曲线是等轴双曲线 （2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等． 例4、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． (2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ． (3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且?=∠6021PF F ，31221=?F PF S ，又离心率为2． 分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法． 解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 由25 =e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得 12 922=-b a ． ② 又222c b a =+，由①、②得12 =a ，4 12=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设122 22=-b y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19222=-b a ，2 22c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ． (2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据 双曲线的第二定义，有 24)10(22=-+-x y x ，化简，得0361232 2=---x y x ，即148 16)2(22=--y x ． ∴所求双曲线方程为 148 16)2(2 2=--y x ． (3)设双曲线方程为122 22=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义，得 c a PF PF ==-221． 由余弦定理，得21212 22 12 cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠??-+= )60cos 1(2)(212 21?-??+-=PF PF PF PF ， ∴212 24PF PF c c ?+=． 又31260sin 2 1 2121=??= ?PF PF S F PF ， ∴4821=?PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122 =b ． ∴所求双曲线的方程为 112 42 2=-y x ． 题型二、双曲线的定义及焦点三角形 例5、P 是双曲线136 642 2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 分析：利用双曲线的定义求解． 解：在双曲线 136 642 2=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ． 说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ． （2）方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____ 例6、已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴ 362212 221=-+PF PF PF PF ∴1002 2 2 1=+PF PF ∵() 1004412222 21=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F 例7、 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 212 221==+F F PF PF ∵() 162212 2212 2 1=-+=-PF PF PF PF PF PF ∴1622021=-PF PF ∴221=?PF PF ∴12 1 2121=?= ?PF PF S PF F 练习、设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=?F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 ； 例8、已知：()11y x M ，是双曲线122 22=-b y a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离． 分析：利用双曲线的第二定义． 解：如图，设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ． 当M 点在双曲线的右支上时，a x ≥1，且有 e d MF d MF == 2 21 1 a ex c a x e ed MF +=+==12111a ex c a x e ed MF -=-==12 122 当点M 在双曲线的左支上时，a x -≤1，且有 e d MF d MF == 2 21 1 ∴()a ex c a x e ed MF +-=+==12111，()a ex c a x e ed MF --=-==12 122 说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程 的运算量简化，从而得到避繁就简效果． 例9、若椭圆 122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线12 2=-t y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ?的值是( ) ． A ．s m - B ． )(2 1 s m - C ．22s m - D ．s m - 分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF 的关系 式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又 P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=?，故s m PF PF -=?21．选(A)． 练习、已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满1MF ·2 MF ＝0， |1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2 －y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23 ＝1 解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF ，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝40， ∴(|MF 1|－|MF 2|)2＝|MF 1|2－2|MF 1|·|MF 2|＋|MF 2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，a ＝3，又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 2 9 －y 2 ＝1. 答案：A 题型三、双曲线的轨迹 例10、求下列动圆圆心M 的轨迹方程： （1）与⊙()2222 =++y x C ：内切，且过点()02， A （2）与⊙()112 21=-+y x C ：和⊙()412 22=++y x C ：都外切． （3）与⊙()9322 1=++y x C ：外切，且与⊙()1322 2=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程． 解：设动圆M 的半径为r （1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2= -MC MA ∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：2 2= a ，2=c ，272 22=-=a c b ∴双曲线方程为() 217 222 2 -≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ， 112=-MC MC ∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有： 21= a ，1=c ，4 32 22=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：??? ? ?≥=-43134422 y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 （4）∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，52 22=-=a c b ∴所求双曲线方程为：()215 42 2≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，体会，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． 例11、在周长为48的直角三角形MPN 中，?=∠90MPN ，4 3 tan = ∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ?的边长是关键． 解：∵MPN ?的周长为48，且4 3tan = ∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ． 以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为 12 2 22=+b y a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42 =a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ． 由962 2 2 =-=a c b ，得所求双曲线方程为196 42 2=-y x ． 例12、在ABC ?中，2=BC ，且A B C sin 2 1 sin sin = -，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？ 解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01 ，-B ，()01，C ． 设()y x A ，，由A B C sin 2 1 sin sin = -及正弦定理可得： 12 1 == -BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为： ()0 012 222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴432 22=-=a c b ∴所求双曲线方程为13 442 2 =- y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 双曲线的定义及标准方程 题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论 19252 2 =-+ -k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 双曲线的定义及其基本性质 一、双曲线的定义： （1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜ 2 1F F ）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。 a PF PF 221=-＜2 1F F （2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式： ① 12 222=-b y a x ，2 2b a c +=，焦点是 F 1(-c,0),F 2(c,0) 12222=-b x a y , 22b a c +=， 焦点是F 1(0, -c),F 2(0, c) 三、双曲线的性质： （1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长2b,且a 2+b 2=c 2 （2）双曲线的离心率为e=a c ，e>1恒成立。 （3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝ a b 2 2 （4）有两条准线，c a x l 21:-=c a x l 2 2:= 四、双曲线的渐近线： （1）若双曲线为12222=-b y a x ?渐近线方程为x a b y ±=， （2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22 22b y a x ， （3）特别地当a=b 时?2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线 五、共轭双曲线： 双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11 122=+B A e e 。 O F 1 F 2 x y 2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点 在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定． (3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上． (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准 方 程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论. 圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程． 2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力． 3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解是难点． 教学过程 师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ （学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．） 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F 1F2|=2c ，它们之间的变化对椭圆有什么影响？ 生：当a=c时，相应的轨迹是线段FF.当a v c时，轨迹不存在.这是因 为a、c 的关系违背了三角形中边与边之间的关系． 师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F i、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F i、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？ （师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验.教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F i、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明. ） 师：做法是：适当选取两定点F i、F2,将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F i 处，在另一边上截取一段AF（v F i F2），作为动点M到两定点F i和F?距离之 差.而后把它固定在F2处.这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支?如图2-36 . 【课题】7.7.1双曲线的定义与标准方程 【教学目标】 知识目标： ⑴使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念； ⑵了解双曲线的标准方程的两种形式及其推导过程； ⑶能根据条件确定双曲线的标准方程． 能力目标： ⑴在概念形成的过程中,培养学生发现能力及分析、归纳的逻辑思维能力； ⑵了解借助《几何画板》探究动点轨迹的操作方法． 【教学重点】 ⑴掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程； ⑵能根据条件，用待定系数法和定义法确定双曲线的标准方程． 【教学难点】 ⑴双曲线的标准方程的推导． ⑵用待定系数法求解双曲线的标准方程． 【教学设计】 ⑴通过生活中的实物引入课题，并通过动手实验让学生亲自体验并总结出双曲线的定义，让学生带着兴趣学习，提高教学效果． ⑵引导学生根据双曲线定义恰当的选择坐标系，推导双曲线的标准方程，感知数学的数形结合思想，提高学生的推理论证能力； ⑶通过合作练习，发挥学生的主体作用，并根据学生的年龄特点和学生对知识的掌握程度，力求做到因材施教，在问题的思考、交流、解决过程中培养和发展学生的思维能力．【教学备品】 教学课件、实验用品（图钉、无弹性的细线、素描纸、侧面带孔的空心圆管） 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 过程行为行为意图间 观察图片：观察花瓶和发电厂冷却塔的图片． 提出问题：它们的剖切面的轮廓近似什么曲线? 动手实验： 首先将两根细绳（长度为22cm和16cm）一端固定在一起，另一端按同一方向穿过空心小圆管侧面的小孔，用图钉将绳子两端分别固定在素描纸上的两个定点F1、F2处．将笔插在空心小圆管上，拉紧绳子，移动笔尖，画出一只曲线．再将绳子两端交换固定，重复作图，画出另一支曲线．我们将这种曲线称为双曲线． 思考 （1）如果把笔尖看成点M，那么|MF1|与|MF2|的差的绝对值是常数吗？ （2）||MF1|－|MF2||与|F1F2|的大小关系？ 归纳 双曲线上的点M满足０＜||MF1|－|MF2||＜|F1F2|播放 课件 说明 解释 引导 分析 归纳 观看 课件 思考 作图 分析 求解 思考 学生 自然 的走 向知 识点 引导 学生 动手 作图 通过 分析 让学 生体 会双 曲线 上的 点M 满足 的条 件， 引出 定义10 *动脑思考探索新知带领 《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许 多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时， 圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂 的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要 求。双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双 曲线概念；③推导双曲线标准方程；④学习标准方程的简单求法，在学习过程中 双曲线的定义及其标准方程 1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: 12||||2PF PF a -=或2 1||||2PF PF a -=,即: 12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢 ①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是______________________； 若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是________________________； ②若21212MF MF a F F -=<，则______________________； ③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做____________. （1）当c a 22<时，双曲线 （2）当c a 22=时，射线 （3）当c a 22>时，无轨迹 * 2、概念形成 双曲线定义 定义：平面内到两定点21,F F 的距离的_______________等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距. 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意： ； （1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支， 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支. 3、双曲线的标准方程的推导 可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x 轴，线段 21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设 M （x ，y ） ）是所求轨迹上的点.双曲线的定义及标准方程 (1)
双曲线的定义及其基本性质
(完整版)双曲线及其标准方程详解
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线的定义与标准方程
《双曲线及其标准方程》教学设计
双曲线定义及其标准方程