超越函数积分的五种解法
超越函数积分的五种解法
On the five solutions to integral
transcendental function
袁玉军，陈婷婷，韩仁江
指导老师：李声锋 蚌埠学院 数学与物理系
摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词：超越函数；积分；大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral
1.引言
牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函
数的原函数不能用初等函数表示，如x x sin ，x
ln 1，2
x e ±等函数. 在阻尼振动、热传导与正态
分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在
大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.
2.五种解法
(1)基于幂级数展开法求积分
引理1[1]
若函数项级数
()n
u x ∑在区间[],a b 上一致收敛，且每一项都连续，则
()().b
b
n n
a
a
u x dx u x dx =∑∑?
?
例1 求定积分
1
0ln .1x
dx x -? 分析 注意到ln 1x x
-在()0,1内连续，且01ln ln lim
,lim 1.11x x x x
x x +-→→=-∞=-- 若定义函数
(),
0,ln ,01,11,
1,x x
f x x x x -∞=???=<
=??
显然，()f x 在点0,1x x ==为可去间断点，故()f x 在[]0,1上可积. 因此这是一道普通的定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.
解 因为
()
()1
1ln ,
11,n
n x x x n
∞
=-=--<∑
所以
()1
10011ln 111n n x x
dx dx x x n ∞=??-=- ? ?--??∑??()11011n n x dx n -∞=-=-∑?. 又因为级数
()
1
1
1n n x n
-∞
=-∑
在区间
[]
0,1上一致收敛，且通项
()1
1n x n
--连续，所以得到
()1
2
1
1200111ln 1.16n n n x x dx dx x n n
π-∞∞==-=-=-=--∑∑??■
（2）基于柯西积分公式求积分
引理2（柯西积分公式）
[2]
设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()f z 在D 内解
析，在D C +上连续，则有
()()
()2,.c f f z i d z D z
ξπξξ=∈-?
例2 求定积分
()cos 0
cos sin .e d π
θθθ?
分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.
解 考察复变积分(),||1z C e dz C z =?，其中()z
e f z z
=，利用柯西积分公式得 022I ie i ππ==. (1
令cos sin z i θθ=+，代入z
e z
得
()cos sin 20cos sin cos sin z i C e e dz d i z i θθ
πθθθθ+=++??
()()2cos sin 0cos sin cos sin i i e
d i π
θθ
θθθθ+=
-+?
()()()2cos sin 02cos 0
cos sin sin sin i e
e id e
i id πθ
θπ
θ
θ
θθθ
=?=+?????
?
()()2cos cos 0
sin sin cos sin ,e ie d π
θθ
θθθ??=
-+???
(2)
又因为()cos cos sin e θθ在[]0,π上为偶函数, 所以由(1)和(2)可得
()cos 0
cos sin e d π
θθθπ=?
.■
注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区
域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.
(3)基于留数理论求积分
引理3（柯西留数定理）[2]
若()f
z 在周线或复周线C 所围的区域D 内除12,,....,n
ααα外解析，在闭域D C +上除12,,....,n ααα外连续，则
()()1
2Re .k
n
C
z k f z dz i s f z α
π=
==∑? 引理4（若当尔引理）[2]
设函数()g z 沿半圆周:Re (0,i R C z θθπ=≤≤R 充分大)上
连续，且()lim 0R g z →+∞
=在R C 上一致成立，则
()()lim
00.R
imz C R g z e dz m →+∞=>?
引理5
[2]
设()f z 沿圆弧()12:,i r S z a re r θ
θθθ-=≤≤充分小上连续，且在r S 上一
致成立极限
()()0
lim r z a f z λ→-=，
则有极限
()()210
lim .r
S r f z dz i θθλ→=-?
例3 计算积分
+0sin .x dx x ∞
? 解 因为积分+0sin x
dx x
∞?存在，且
+0sin x d x x ∞?=1
sin (2)
x P V dx x +∞-∞? 考虑函数()iz
e f z z
=沿图1所示闭曲线路径C 的积分
图1 闭曲线路径C
根据柯西积分定理得
()0,c
f z dz =?
或改写成
0,R r ix iz ix iz
R
r r
C R C e e e e dx dz dx dz x
z x z --++-=?
??? (3)
其中,R r C C 分别表示半圆周()Re 0,i i z z re r R θθ
θπ==≤≤<及.
由引理4知
lim 0.R iz
C R e z
→+∞=? 由引理5知
0lim r iz
C r e dz i z
π→=?. 在式(3)中，令0,r R →→+∞，得
ix
e dx x
+∞
-∞
?
的主值为 ..ix
e P V dx i x
π+∞
-∞
=?
. 所以
+sin x dx x ∞
-∞
?
=1
sin ..2x P V dx x
+∞-∞?=2π.■
(4)基于拉普拉斯变换法求积分
从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解
上题，相对比较简单.
引理6[3]
由积分()()0
st F s e f t dt +∞
-=
?
所定义的确定于复平面()Re s σ>上的复变数
s 的函数()F s ，称为函数()f t 的拉普拉斯变换，其中()f t 于0t ≥有定义，且满足不等式
()t f t Me σ<，这里,M σ为某两个正数，称()f t 为原函数，而()F s 称为像函数.
解 令()()
sin kx f k dx x
+∞
=
?
， 对()f k 进行拉普拉斯变换，有
()()
00
sin st
kx L f k e dxdt x
+∞
+∞
-=??????， 交换积分顺序得
()()00
1
sin st
L f k e
kx dt dx x
+∞
+∞
-=??????
， 则
()0
sin st e kx dt +∞
-?
为()sin kx 的拉普拉斯变换.
由欧拉公式得
()sin 2ikx ikx
e e kx i --=，
1
ikx
L e s ix ??=
??-， 1ikx
L e s ix -??=??+，
其中把k 看为变量.
从而
()2211sin 2x
s ix s ix L kx i s x ??+ ?+-==?? ???+ ?
??
. 所以
()()001sin st
L f k e kx dt dx x +∞+∞-=??????=22
012dx s x s
π+∞=+?， 即()()0
sin kx f k dx x
+∞
=?
的像函数为2s π
， 所以
()()0
sin kx f k dx x
+∞
=?
=2π
.■
(5)含参变量积分法
引理7[1]
设(),f x y 在[][],,a b c ?+∞连续，
若()()0
,I x f x y dy +∞
=?在[],a b 上一致
收敛，则()I x 在
[],a b 上可积，且
()(),,b b
a
c
c
a
dx f x y dy dy f x y dx +∞
+∞=?
?
??.
引理8[1]
设
(),x y f 与(),x x y f 在区域[][],,a b c ?+∞上连续，
若()(),c I x f x y dy
+∞
=?在
[],a b 上收敛，(),x c
f x y dy +∞
?
在[],a b 上一致收敛，则()I x 在[],a b 上可微，且
()(),.x c
x f x y dy I +∞
='?
通常，含参变量积分法主要有两种方法.
方法一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理7的积分交换顺序，从而求出超越函数的积分.
例4 计算()0
sin sin ,0,.px
bx ax
e dx p b a x
I +∞
-->>=?
解 因为
sin sin cos b a bx ax
xydy x
-=?，
所以
0sin sin px
bx ax
e dx x
I +∞
--=
?
()0
cos b px
a
e
xydy dx +∞
-=??
cos ,b
px a
dx e xydy +∞
-=
?
?
由于cos px px
e xy e --≤及反常积分
px e dx -+∞
?
收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M 判别式)，
含参变量反常积分
cos px e xydx +∞
-?
在[],a b 上一致收敛，由于cos px e xy -在[][]
0,,a b +∞?上连续，根据引理7，于是
22
cos b
b
px
a
a
p
I dy e
xydx dy p y +∞
-=
=+?
?
?
.arctan
arctan b a
p p
-= ■ 方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理8，先微分，后积分，求出超越
函数的积分.
例5 [6]
Define
()()2
2
cos()(1)
sin()(2),
x x f t e tx dx
and
g t xe xt dx
+∞
--∞
+∞
--∞
==-?
?
for t -∞<<+∞.Both integrals exist (they converge absolutely) since the
absolutely values of the integrands are at most 2
x e - and 2
x
x e - , respectively
Note that g is obtained from f by differentiating the integrand with respect to t . We claim that f is differentiabale and that '
()()
()f t g t t =-∞<<+∞ (3)
To prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:if
0β>,then
()cos()cos 1
sin sin sin t dt αβ
ααβα
ααββ
++-+=
-? (4)
Since sin sin t t αα-≤-,the right side of (4) is at most 2
β
in absolute value ;the case 0β< Is handled similarly. Thus
cos()cos sin αβα
αββ
+-+≤ (5)
for all (if the left side is interpreted to be 0 when 0β=)
Now fix t,and fix 0h ≠.Apply(5)with ,;xt xh αβ==it follows from(1)and (2)that
2
2()()
().x f t h f t g t h
x e dx h
+∞
--∞
+--≤?
When 0h → ,we thus obtain (3).
Let us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows that
2
sin()
()2x
xt f t xe dx t
+∞
--∞
=?
(6) Thus ()2(),tf t g t =-and (3) implies now that f satisfies the differential equation
()'2()0f t tf t += (7)
If we solve this diffrential equation and use the fact that ()0f π=
,we find that
24
().t f t e π-
= (8)
The integral (1) is thus explicitly determined.■
3.小结
本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法——幂级数展开法求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以及
含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法【4】
、最陡下
降法等【5】
，还需广大读者共同讨论。
【参考文献】
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版，下册）[M].高等教育出版社，2008:40,184,187 [2] 钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].高等教育出版社，2003:120,226,243,246 [3] 王高雄，王寿松，周之铭.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，2006:150
[4] 刘锋，孙福树，杨巧林.复变函数与积分变换（第一版）[M].机械工业出版社，2002：166。 [5] 郭敦仁，王竹溪.特殊函数概论[M].北京大学出版社，2000：371
[6] [美]Walter Rudin 数学分析原理（英文版，第三版）[M].机械工业出版社，2004：237，
题型13 超越函数及超越函数图象的确定(原卷版)
秒杀高考数学题型之超越函数及超越函数图象的确定 【秒杀题型二】：由初等函数构造的超越函数。 【题型1】：由初等函数构造的超越函数解不等式。 『秒杀策略』：是指不能转化为初等不等式去解的不等式，最佳解法是画出图象比较图象的高低。 1.(2013年新课标全国卷I11)已知函数???>+≤+-=0 ),1ln(0,2)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是 ( ) A.(]0,∞- B.(]1,∞- C.[]1,2- D.[]0,2- 2.(2012年新课标全国卷)当2 10≤
7.(2009年辽宁卷)若1x 满足2,522x x x =+满足5)1(log 222=-+x x ,21x x += ( ) A. 25 B.3 C.2 7 D.4 【题型2】：由初等函数构造的超越函数图象确定。 『秒杀策略』：首先利用函数的奇偶性排除答案，然后再利用剩余选项的不同点代入特值(或极限)来确定。 1.(2013年新课标全国卷I)函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图象大致为 ( ) 2.(2012年新课标全国卷10)已知函数x x x f -+= )1ln(1 )(,则)(x f y =的图象大致为 ( ) 3.(2015年新课标全国卷II10)如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ， CD 与DA 运动，x BOP =∠，将动点P 到B A ,两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f 的图象大 致为 ( )
《信号与系统》题型总结
《信号与系统》题型总结(按内容) 答题时注意审题 一、计算题 (大题) 1 求信号的单双边LT ，单双边ZT, FT ，FS, 单双边ILT ，单双边IZT,IFT (1)定义，(2)性质 2 求卷积、卷积和 3 求系统状态跳跃 (1)物理分析法，(2)冲激函数匹配法 4 时域法求连续或离散系统自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应、冲激响应、阶跃响应、完全响应 5 变换域法求连续或离散系统自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应、冲激响应、阶跃响应、完全响应 6 求系统函数，求解卷积 (小题) 1 求信号直流、交流分量，信号能量，信号功率 2 用冲激信号的抽样性、乘积运算、卷积性化简 3 求可逆系统，用LTI 系统的性质进行运算 4 FT,LT,ZT 性质的运用（F(s),X(z)求时域信号的极限） 5 求信号带宽 6 求抽样频率与抽样间隔，连续信号的奈奎斯特频率和间隔 7 求系统的稳态响应、瞬态响应 9 基本公式的应用 000(t ) 1 (t-t )0(t t )t d t δδ∞ -∞-==≠? 000()()()()f t t t f t t t δδ-=- 000()0()()(0)0t t t t t δδδ=-≠=， 00()(),()()t t t t t t δδδδ--无意义 δ(t)的抽样性性质 00()()()f t t t dt f t δ+∞-∞-=? ()()t d u t δττ-∞=?()du t t dt δ=（）()()dr t u t dt = 00()()()f t t t dt f t δ+∞ -∞''-=-? ()()t t δδ-= 信号功率=直流功率+交流功率 ()()2e f t f t f t +-=（）()()2o f t f t f t --=（） **11()[()()]()[()()]22r i f t f t f t f t f t f t j =+=-
阿贝尔定理
定理1（阿贝尔第一定理） （1）若幂级数① 在 收敛 ，则幂级数①在 都绝对收敛。 （2）若幂级数① 在 发散， ，则幂级数①在 都发散。 推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数 存在，使得 当 时，幂级数绝对收敛； 当
时，幂级数发散； 当 时，幂级数可能收敛也可能发散。 定理2 有幂级数①，即 ，若 则幂级数①的收敛半径为 定理3（阿贝尔第二定理） 若幂级数①的收敛半径 ，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。 性质1 若幂级数 与 的收敛半径分别是正数 与
，则r1=r2 性质2 若幂级数 的收敛半径 ，则它的和函数 在区间 连续。 性质3 若幂级数 的收敛半径 ,则它的和函数 由0 到x 可积，且可逐项积分，即 性质4 若幂级数的收敛半径 , 则则它的和函数
在区间 可导，且可逐项微分 阿贝尔与椭圆函数 椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。 关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？ “倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的天才吧。“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（B.Riemann，1826－1866）首先提出并加以深入研究的。事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说，“阿贝尔留下的后继工作，够数学家们忙上五百年”。阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议
汉克尔变换和贝塞尔函数
汉克尔变换 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数，?(x)定义于[0,+∞)，则称 为?(x)的у阶汉克尔变换；而称 为h(t)的汉克尔反变换。存在以下性质:
特殊函数(贝塞尔函数):一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的，常见的有：Γ函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等等，通常也列入特殊函数。 贝塞尔函数在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时，引进了极坐标形式的波动方程 这里a为常数。采用分离变量法解这个方程,得到贝塞尔微分方程及贝塞尔函数。数年后J.-L.拉格朗日研究行星绕日问题，19世纪初期傅里叶研究圆柱体的热传导问题，都用到贝塞尔函数。所谓贝塞尔微分方程就是形如 的方程，这里v为常数。它的一个解是 称为第一类贝塞尔函数。当v不为整数时,它的另一独立解为 当v为整数n时，则规定 它们称为第二类贝塞尔函数。 设(z)为两个变量z，v的解析函数,满足一对递推公式
则称(z)为圆柱函数。J(z)及Y(z)均为圆柱函数。圆柱函数可以用来解在圆柱面上满足一定边界条件的拉普拉斯方程及波动方程。 设φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，…为在开区间(α,b))上有定义的实函数系，ω(x)为定义在(α,b))上的非负函数；如果对任何非负整数m≠n恒有 则称{φn(x)}为在区间(α，b))上以ω(x)为权函数的正交系。如果φn(x)恰为n次多项式，那么φn(x)称为正交多项式。 设v>-1,则J(z)的零点均为实数,且有无穷个正零点及负零点，其阶均为1。若以j1,j2,j3,…表示J(z)的正零点按上升顺序的排列,则当v固定时，{J(j n x)}是在(0,1)上以x为权函数的正交系。
数学函数的发展史
数学函数的发展史 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙 二、指导老师：张 三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果：
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二）
Γ分布函数
Γ分布函数算法新解及其应用 李世才吴戈堂林莺 (广西南宁水利电力设计院) 摘要从Γ函数与不完全Γ函数的恒等关系出发，导出了Γ(α)与lnΓ(α)的精确解析式，并在文[1]的基础上导出Γ分布函数新算法的精确解析式。把迄今Γ(α)、lnΓ(α)和Γ分布函数的计算只能应用各种逼近的近似公式现状，提高到精确解析式的计算水平，并归纳为收敛的级数展式和连分式展式的数值计算，使其算法统一成为现实。用新算法的通用数学模型设计的电算程序，对实际工程的计算和文[2～4]中的全部算例及文[5，6]中的有关数表进行了验证比较，结果表明新算法更为优越。 关键词Γ函数Γ分布函数算法新解精确解析式数学模型数值计算。 本文于1996年6月15日收到，广西自然科学基金资助项目，桂科［自］9912010. 统计学、分子结构论、特殊函数、工程水文分析与计算、水文学的汇流计算等应用和研究领域，经常会遇到Γ函数、Γ分布函数和其逆函数的数值计算问题。文[1]对几种常见的数值积分法进行了分析比较，并给出Γ分布函数通用算法的综合解析表达式 (1) 式中α为参变量(α>0)，x为自变量(x≥0)，T的表达式为 (2) 电算实践表明：一些特殊问题的计算中，需要程序参与计算的各个变量(含常数)都按双精度(16位有效数字)或高精度(任意指定精度)运行，而计算Γ(α)和lnΓ(α)的各种逼近算法公式[1～5]最多只能求得10至12位有效数字，这样即使应用双精度计算P(α,x)，最多也只能达到与Γ(α)或lnΓ(α)同样的精度，并且有时会加速计算过程的误差传播和积累，从而导致死循环、迭代过程不收敛、计算结果失真等不良的现象。要解决这些问题，可以将Γ(α)和lnΓ(α)
数模
数学模型A 实 验 指 导 书 朱宁编 桂林电子科技大学 计算科学与数学系 2011年3月
目录 第一章数学软件的介绍 （1） Mathematica的概述 （2） Mathematica的基础 （3） Mathematica数学软件的使用 第二章曲线拟合与机翼加工 （1）一元函数作图 （2）曲线拟合 （3）本次实验 （4）练习 第三章线性规划与有价证券投资 （1）线性代数基础知识 （2）多元线性方程组﹑超越函数方程﹑常微分方程（3）本次实验 （4）练习 第四章积分与国土面积 （1）函数极限﹑导数﹑定积分﹑重积分的计算（2）三维图形 （3）本次实验 （4）练习
第一章数学软件的介绍 1.1 Mathematica概述 1.1.1 启动 Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。 在Windows环境下已安装好Mathematica ，启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中单击Mathemiatica4.0 ，或者双击桌面上的快捷方式，就启动了Mathematica4.0，在屏幕上显示Notebook窗口，系统暂时取名Untitled-1，直到保存时重新命名为止。 1.1.2 运行 输入要计算的表达式，然后按下Shif+Enter键，这时系统开始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的；再输入第二个表达式，按 Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将其标识为In[2]和Out[2]. Mathematica的基本语法特征 1.Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 2.系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x], Conjugate[z]等。 3.乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 , x y, 2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5, Tan[x]^y。 4.自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 5.当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 6.一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x))); [ ]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{ }大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[ ]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。 7.Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。 数学表达式二维格式的输入Mathematic担提供了两种格式的数学表达式。形如 x/(2+3x)+y/(x-w)的称为一维格式，形如 x/2+y/(x-w) 的称为二维格式。 你可以使用快捷方式输入二维格式，也可用基本输入工具栏输入二维格式。另外也可从FILE 菜单中激活Plaettes->Basic Input。工具栏，也可输入，并且使用工具栏可输入更复杂的数学表达式。 1.2 Mathematica基础 1.2.1 数据类型和常数 1.数据类型
留数定理习题及其解答
第五章留数定理习题及其解答 设有,能否说为本性奇点?为什么? 答：这个级数由两部分组成：即。第一个级数当即时收敛,第二个级数当即时收敛。于是所给级数在环域内收敛(成立),且和函数。显然是的解析点。可见此级数并非在的去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幂项断定的性质。 注：此例说明，判断孤立奇点类型虽可从的Laurent展开式含有负幂项的情况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent展式，否则与是什么性质的点没有关系。 设在全平面解析，证明：若为的可去奇点，则必有（常数）；若为的级极点，则必为次多项式：；除此之外，在处的Taylor展式必有无限多项系数。 证：因为在全平面解析，所以在邻域内Taylor展式为且。注意到这Taylor级数也是在去心邻域内的Taylor级数。 所以，当在的可去奇点<═>在去心邻域内Laurent展示无的正幂项,即。 故(常数)； 当为的级极点在去心邻域内Laurent展示中只含有限个的正幂项,且最高正幂为次（）。 即为次多项式； 除去上述两种情况, 为的本性奇点在去心邻域内Laurent展开式中含有无限多个正幂项, 因此在中，有无限多个项的系数不为0。 注 (1). 对本题的结论,一定要注意成立的条件为在全面解析，否则结论不成立。例：在内解析(与全平面解析仅差一个点!)，且以为可去奇点，但又在内解析,且以=为一级极点，但它并不是一次多项式，也不可能与任何一次多项式等价(它以=0为本性奇点)。同样地，在内解析，以为本性奇点，但它不是超越整函数，(它不是整函数)； (2). 本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义，同时注意，全平面解析的函数在邻域内Taylor展示的收敛半径R= +，从而此Taylor展示成立的区域恰是的去心领域，即同一展示对而言即是其去心领域内的Laurent展式。 证明：如果为解析函数的阶零点，则必为的阶零点。(>1) 证因为在点解析，且为其阶零点。故在的邻域内Taylor展式为 其中 由Taylor级数在收敛圆内可逐项微分性质有 右端即为在内的Taylor展开式，由解析函数零点定义知，以为阶零点。 注本证明仅用到解析函数零点定义及幂级数在收敛圆内可逐项求导的性质. 判断下列函数在无穷远点的性态 1) 2） 3） 4） 解 1) 因为在内解析，且所给形式即为它在该环域内的Laurent展式，所以为的一级极点(为一级极点). 2) 因为在内解析，且在此环域内有 即在的去心邻域里的Laurent展式中含有无限多个的正幂项，故为的本性奇点（0为二级极点）。 3) 因为 在处解析，以为本性奇点。 在中令，得。为的本性奇点，即为的本性奇点。 4) 令，得，即。 ∴为的零点，且 ∵
三角函数诱导公式大全
三角函数的求导公式是什么？ tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝——————
最新高三复习专题12超越函数解决策略.pdf
高三复习专题12 超越函数解决策略 知识点： y e x 与y ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常 重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1与ln x x 1导数放缩的重要工具之外， 另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略. 一.常见图像及其性质： 1.y xe x 性质： 2. x e x y 性质： 3.x e y x 性质： 4.y x ln x 性质： 5.x x y ln 性质： 6.x x y ln 题组1.y xe x
1.已知函数x e a x x f 1)(，（e R a ,是自然底数） （1）求函数 f (x) 的极值；（2）当a 1的值时，若直线l : y kx 1与曲线y f (x) 没有公共点，求k 的最大值. 提示（1）略（2）1 k 2.已知函数1ln )(x a x x f ，a R （1）若函数 f (x) 的最小值为0，求a 的值；（1a ） （2）证明：e x (ln x 1) sin x 0 ．略 题组2x e x y x
2.已知函数 f x ae 2 x a 2e x x . （1）讨论f x 的单调性 （2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围
题组3.x e y x 1.已知函数x e ax x f 2)( a R ，x R .讨论)(x f 的零点个数.2.证明：e x ex ln x ex 2 3.设函数 f (x) ax 2 a ln x ，,1) (x e e x x g 其中 a R ，（1）讨论 f (x) 的单调性； （2）证明：当x 1 时，g(x) 0 （3）确定a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x) 在区间(1, ) 内恒成立．
函数发展史
函数发展史 任何一项科学理论发展的历程都是漫长而曲折的。函数作为数学和计算机科学等学科中重要的一个知识，已经运用于生产生活的各个领域，对人类科学技术的发展有着重要的意义。我们不妨回顾一下函数的发展史，领略一下自十七世纪以来人们对于数学的研究历程。 十七世纪时，人们对函数还没有具体的定义。伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但当时尚未意识到要提炼函数概念。1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 到了十八世纪，函数有了较为具体的概念。1718年约翰·伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰·伯努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·伯努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 十九世纪，人们对于函数的研究有了很大进步。1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可
Mathematica函数(书)
Mathematica中数的类型： Integer任意长度的精确整数 Rational有理数的最简形式 Real实数 Complex复数 检验不同类型的数： NumberQ[x]检验x是否是数 IntegerQ[x] 检验x是否是整数 EvenQ[x] 检验x是否是偶数 OddQ[x] 检验x是否是奇数 PrimeQ[x] 检验x是否是素数 Head[x]===type 检验数的类型 数的输入形式： 不同形式的数之间的转换 IntegerDigits[n]整数n在十进制中的每一位数的列表 IntegerDigits[n, b]整数n在b进制中的每一位数的列表 IntegerDigits[n, b, len]在每位数的列表中的左端补0，使列表长度达到lenIntegerExponent[n, b]整数n在b进制中末尾零的个数 RealDigits[x]实数x在十进制中每一位数的列表，并给出小数点左边的位数RealDigits[x, b]实数x在b进制中的每一位数的列表 RealDigits[x, b, len] 实数x在b进制中的前len位的每一位数的列表
RealDigits[x, b, len, n]从b n的系数开始的前len位的列表FromDigits[list]从其十进制每位数的序列重构该数 FromDigits[list, b] 从其b进制每位数的序列重构该数 b^^nnnn b进制下的数 BaseForm[x, b] x在b进制下的形式 MantissaExponent[x]给出包含x的尾数和指数的列表（科学计数法）MantissaExponent[x, b]给出b进制下的尾数和指数 数值精度 Precision[x] x的十进制下的有效数位的总数 Accuracy[x] x的十进制下小数点后边的有效数位的数目 不定结果和无穷结果 Indeterminate 不确定的数值结果 Infinity 正无穷大量 -Infinity 负无穷大量（DirectedInfinity[-1]）DirectedInfinity[r] 具有复方向r的无穷大量ComplexInfinity 不定方向的无穷大量 DirectedInfinity[ ] 等价于ComplexInfinity
高三数学高考考前指导
课题：高三高考考前指导 教学目的：（1）稳定学生考前心态，使学生保持良好的状态 （2）提高学生应试能力以及答题技巧。 授课内容： 高考就是一次独立的作业，只要冷静沉着，注意力集中，把应有的水平发挥出来，该得的分能够完全得到，就已经成功。在考场上，我们应该是兴奋的，等待发挥聪明才智的优秀选手；在心理上应压倒对手。在数学考试中应该有足够的霸气，并且要讲究策略和方法：首先要明确考题的难易结构，特点，高考试题是进门容易，出门难，多个关口，阻挡你通向成功的彼岸。我们就要具有过五关斩六将的勇气与霸气，整个试题的特点是：选择题容易，解答题难。前面的10个题一般简单，精心认真应保证百分百拿分；11，12题难一点，平稳心态做好它；前面四个解答题一般简单，保证拿住分数；21，22题一般第（1）问简单，在第（2）或第（3）问难一些，应尽量多得分。同学们，只要你能在规定的时间内，把尽量多的分数抢到手，胜利就属于你啦。下面就各部分的考试内容和同学们一起回顾强化，在夺关斩将中祝你一臂之力。下面我们一起来理顺一下考查内容及答题过程中的注意事项和技巧 第一、选择题填空题的答题注意事项以及答题技巧 常用方法方法：直接法；数形结合法；代值检验法；特值验证法；特殊化法；综合法（特征分析，构造）考查内容： （1）集合以及交并补集的运算：解不等式问题，经常与函数定义域，值域结合考查， 注意：集合描述法中代表元素的含义。 （2）复数的运算：加减乘除；共轭复数；复数的实部虚部；复数的几何意义（复数与向量，复数与点的关系）注意：细心运算 （3）命题与充要条件：命题真假；命题的否定；四种命题的关系；充要条件中两个命题的真假判断。 注意：判断充要条件的方法（1）?符号法（2）命题真假判断法（3）集合法 （4）线性规划：注意画图准确；目标函数形式；特别关注含参题型 （5）等差等比数列：运用定义基本法与运用性质技巧法并用。 K）；求表面积，求体积 （6）三视图：复原几何体形状（组合体，以及柱，锥，球，K （7）超越函数，超越不等式：常用方法画图法 （8）程序框图：往往考查循环结构 （9）三角函数：诱导公式，求三角函数值，解析式化简，图像变换，三角函数性质（单调性，奇偶性，周期性，对称轴，对称中心，最值，极值），解三角形（正余弦定理应用，三角形面积）， 注意：图像变换方法；性质要掌握熟练，解三角形中注意大边大角对应关系，注意多解问题 （10）函数图象：判断方法：利用函数的单调性，奇偶性，对称性，特殊值。 注意：观察各个图像的不同之处，相同之处是区分的关键 （11）向量：解决方法：利用几何性质化简，坐标法运算，基底运算。 （12）直线与圆：注意圆的处理方法：勾股定理要牢记。 圆锥曲线问题：求离心率，性质，以及定值定点问题 注意：充分利用椭圆，双曲线，抛物线的定义，性质。注意特值法 （13）新型定义题：注意定下心阅读理解所给新定义，并注意转化成学过的知识解决 （14）排列组合二项式定理：注意基本题型注意：化简，构造 （15）推理：找规律时多些几个式子以利于找到规律。 （16）不等式的解法注意含有绝对值问题，以及利用均值不等式求最值注意事项。 第二：解答题的答题注意事项以及答题技巧 知识内容一：三角函数 （1）三家函数解析式化简：“化一”，注意向量与三角结合的题目化简
数学函数的发展史
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙二、指导老师：张
三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果： 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
高三复习专题超越函数解决策略
高 三复习专题12 超越函数解决策略 知识点： y e x 与 y ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常 重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1 与ln x x 1导数放缩的重要工具之外， 另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略. 一.常见图像及其性质： xe x 性质： 2. x e x y = 性质： 3.x e y x = 性质： 4. y x ln x 性质： 5.x x y ln = 性质： 6.x x y ln = 题组 xe x 1.已知函数x e a x x f +-=1)(，（e R a ,?是自然底数）
（1）求函数 f (x ) 的极值； （2）当 a 1的值时，若直线 l : y kx 1与曲线 y f (x ) 没有公共点，求 k 的最大值. 提示（1）略（2）1=k 2.已知函数 1ln )(-+=x a x x f ， a R （1）若函数 f (x ) 的最小值为 0，求 a 的值；（1=a ） （2）证明： e x (ln x 1) s in x 0 ．略 题组2x e x y = 1.已知函数 f xx ae x a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数. 2.已知函数 f xa e 2 x a 2e x x . （1）讨论 f x 的单调性 （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围
题组3.x e y x = 1.已知函数 x e ax x f -=2)( a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数. 2.证明： e x ex ln x ex 2 3.设函数 f (x ) ax 2 a ln x ，,1)(x e e x x g -=其中a R ， （1）讨论 f (x ) 的单调性； （2）证明：当 x 1 时， g (x ) 0 （3）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) g (x ) 在区间 (1, ) 内恒成立． 题组4x x y ln = 1.设函数x be x ae x f x x 1 ln )(-+=，曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(+-=x e y . 证明：.1)(>x f 2.已知函数x a x x x f +-=ln )(. （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）证明： 1)1ln(11<+<+x x x . 题组5x x y ln = 1.设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则( ) A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 2.已知函数11)1(ln )(=+++=x x b x a x f 的图像在处的切线方程032+-+y x . （1）求b a ,的值. （2）当0>x 时，恒有x x ln > （3）证明：对任意的0>M ,总存在正数0x ，使得0x x >时，恒有x M x ln >. 题组6x x y ln =
函数的概念_知识点总结
函数的概念_知识点总结 导语：函数在我们现在的生活中应用十分广泛，那么同学们知道函数的发展历史吗？下面小编为大家整理了各个时期的函数概念，供大家参考。 十七世纪函数概念 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用function（函数）表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用流量来表示变量间的关系。 十八世纪函数概念 1718年约翰柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量。他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1748年，柏努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)给出了定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了随意函数。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 十九世纪函数概念 1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量起给出了定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
数字信号处理
燕山大学 课程设计说明书 题目：Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断 学院（系）：电气工程学院 年级专业： 07级仪表2班 学号： 0701******** 学生姓名：赵阳 指导教师：谢平林洪彬 教师职称：教授讲师
燕山大学课程设计（论文）任务书 院（系）：电气工程学院基层教学单位：自动化仪表系 说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。 年月日
目录 第1章摘要 (1) 1引言 (1) 第2章基本原理 (2) 2.1 MATLAB及数字信号处理 (2) 2.2 Z变换与Z反变换的概念与原理 (2) 2.3系统的稳定性 (8) 第3章程序实现及结果分析 (9) 学习心得 (13)
第1章摘要 1.引言 介绍了Z变换及其逆变换的基本概念，论述了利用极点判断方法判定系统稳定性的原理和系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并用MATLAB具体实现了的程序。任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态,开始产生偏差.所谓稳定性,是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能.系统的稳定性是系统设计与运行的首要条件,只有稳定的系统才值得分析与研究,才有必要分析研究该系统的其他自动控制问题.在经典控制理论中,线性系统稳定的充分必要条件。利用极点判断系统的稳定性，该方法最有效，其计算相对复杂，而matlab又能利用其工具箱快速计算出一个系统的零极点坐标并能绘制出系统的零极点分布图，用户可以直观地判定一个系统是否稳定，简便快捷。利用matlab分析控制系统的稳定性及系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，具有运算简单、操作方便、处理速度快、分析结果准确可靠等优点。由此可见，MATLAB为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。 ［关键词］MATLAB;控制系统;Z变换及反变换；稳定性;极点；单位脉冲响应；单位阶跃响应
超越函数积分的五种解法Word版
超越函数积分的五种解法 On the five solutions to integral transcendental function 袁玉军，陈婷婷，韩仁江 指导老师：李声锋 蚌埠学院 数学与物理系 摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词：超越函数；积分；大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral 1.引言 牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函 数的原函数不能用初等函数表示，如x x sin ，x ln 1，2 x e ±等函数. 在阻尼振动、热传导与正态 分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在 大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法. 2.五种解法 (1)基于幂级数展开法求积分 引理1[1] 若函数项级数 ()n u x ∑在区间[],a b 上一致收敛，且每一项都连续，则 ()().b b n n a a u x dx u x dx =∑∑? ? 例1 求定积分 1 0ln .1x dx x -? 分析 注意到ln 1x x -在()0,1内连续，且01ln ln lim ,lim 1.11x x x x x x +- →→=-∞=-- 若定义函数