硕士研究生考试试卷 2014— 2015学年第一学期
考试科目: 矩阵论 考试时间:120分钟
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姓名、学号必须写在指定位置 1 填空题 (18分)
(1)123654789A ????=??????,111X ??
??=??
????
,则1A =
m A ∞
=
1AX = AX ∞
=
(2)1821A -??=??-??
,幂级数06k
k
k k z ∞=∑的收敛半径是 , 矩阵幂级数0
6k
k
k k A ∞
=∑是 (收敛、发散),理由
(3)1210A -??=??-??,0110B ??=????,则A B ?的全部特征值是
(4)123b b b α????=??????是给定的向量,123X ξξξ??
??=??????
是向量变量,且112233()f X b b b ξξξ=++,则df
dX
=
专业: 姓名: 学号:
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 1. 广义逆(必考类型) 假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ,且A 可以满秩分解为A = BC ,A 的秩r(A) = r ,则B 为s x r 矩阵,C 为r x n 矩阵。则G 可表示为: H 1 1 C (CC )(B B)B H H H G --= 例题: 步骤:显然,A 要分解为BC ,必须知道A 的秩,故先对A 进行行化简成最简式 ,r(A)=2,故A 满秩分解为A=(3x2) (2x4)=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ,B 由A 最简式中只有1的原列组成,C 由A 的最简式的非零首元行组成。 B = , C = ,H 11C (CC )(B B)B H H H A --+=,通过计算即可 得到A 的广义逆。(若B 、C 中有单位矩阵,那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵) 性质: 2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>= 比较重要的性质 (1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)] (5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ,其中A=s x n ,B=n x t 步骤: 设r(B)=r ,B 的满秩分解为B=HK ,所以ABC=AHKC , r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r (性质(5)) AB=AHK ,故r(AB)<=r(AH),同理得r(BC)<=r(KC),(性质(4)) 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B),原式得证 知识点: A . 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ,其中B=s x r ,C=r x n 。该分解称为A 的 满秩分解。 3. nxn 2n n 2V {X |AX ,X C }n X ==∈,证明:12=V n C V ⊕ 证明包含两部分,1)证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1 2V {0}V = 2)证明12V n C V ?⊕,12V n C V ?⊕ 步骤: 矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分,共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若,且,则(C)设且,令,则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间,则2.下列命题错误的是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)设的奇异值分别为,,如果,则3.下列说法正确的是(A)若,则(B)若为收敛矩阵,则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义,?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵,均有4.下列选项中正确的是(A)且,则为收敛矩阵; (B)为正规矩阵,则(C),则(D)为的所有正奇异值,5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵,则(B)若矩阵为?满秩矩阵,则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵,,则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵,皆可分解为幂等矩阵的加权和,即?、判断题(15分)(正确的打√,错误的打×) 1.若,且,,则 2.若且,则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵,且齐次线性?程组有?零解,为算?范数,则 4.,定义,则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为,则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈,G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2 ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( ) 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理:两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数,a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ; (a+月,/) = (",/) + (”,刃;(ka,/3) = k(a,/3) ; (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法,可以依次求出 ,p 2 =%-(%'5)与= 层=%-(%,弟与一(%,弓)役=