多项式习题解答
第一章
多项式习题解答
P44. 1. 用)(x g 除?x f )(,求商)(x q 和余式)(x r .
解: 1)17262()()()()3999
f x
g x x x =-+--. 92926)(,9731)(--=--=x x r x x q . 2)2()()(1)(57)f x g x x x x =+-+-+. 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .
2. 求m , p ,q 适合什么条件时, 有
1) q px x mx x ++-+32|1 2) q px x mx x ++++242|)1(.
解: 1) 方法1.
q px x mx x ++-+32|1 x-m
x 3+mx 2-x
-m x 2+(p +1)x +q
-m x 2-m 2x +m
2(1)()()p m x q m r x +++-=
由余式2(1)()0p m x q m +++-=得:
21m q p q =??=-?
. 方法2. 设))(1(23q x mx x q px x --+=++, 两个多项式相等当且仅当同次项系
数对应相等, 于是?
??=--=-p mq q m 10, 即21m q p q =??=-?. 2) 解: 假设))((,|)(q ax x 1mx x q px x q px x 1mx x 2224242++++=++++++则,
展开右边与左边比较, 得?????=++=+=+p
ma q a mq a m 100,消去a , 得???=+-=-p m q m mq 102 , 所以当m 0时, q=1, p=2-m 2; 当m=0时, p=q+1.
3. 求g (x )除f (x )的商)(x q 和余式)(x r .
解: 用综合除法求商和余式.
1) 3)(,83552)(+=--=x x g x x x x f .
解: 作综合除法算式:
得：.327)3)(109391362()(234-++-+-=x x x x x x f
商.327)(,109391362)(234-=+-+-=x r x x x x x q 余式为
2) .21)(,23)(i x x g x x x x f +-=--=
解: 商q(x)=22(52)x ix i --+, 余式r(x)=98i -+.
4. 把f (x )表成(x-x 0)的方幂和.
1) 50(),1f x x x ==.
解: 用综合除法:
1
5
5432()(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1f x x x x x x ∴=-+-+-+-+-+.
当然也可以
55()[(1)1]f x x x ==-+=5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1x x x x x -+-+-+-+-+. 2) 42432()23(2)8(2)22(2)24(2)11f x x x x x x x =-+=+-+++-++
3) 432()2(1)37f x x ix i x x i =+-++++
432432()
2()(1)()3()7()2()(1)()5()75x i i i x i i i x i i x i i i x i i x i i x i x i i =+-++--++--+-++=+-++++-+++ 5. 求f (x ), g (x )的最大公因式.
1) f (x )=x 4+x 33x 24x 1, g (x )=x 3+x 2x 1.
解法1: 作辗转除法:
f (x )
g (x )
q 1(x )=x x 4+x 3
3x 24x 1 x 3+x 2x 1
–21
x+41=q 2(x) x 4+x 3
x 2 x x 3+(3/2)x 2 +(1/2) x 38
x+34 r 1(x)= 2x 2
3x 1 (1/2) x 2(3/2) x 1 =q 3(x ) 2x 2
2x (1/2) x 2(3/4) x (1/4) x
1 r 2(x)=(3/4) x (3/4) x
1
0 ((),())1f x g x x =+.
解法2: 由于最大公因式的常数倍仍然是最大公因式, 所以, 在辗转相除的过程中, 为了方便可以给多项式乘以一个非零常数.
f (x )
g (x )
q 1(x )=x x 4+x 33x 2
4x
1 x 3+x 2x 1
2x 3+2x 22x 2 –x +1=q 2(x )
x 4+x 3 x 2 x 2x 3+3x 2 + x
2x -1 r 1(x)= 2x 23x 1 x 23 x 2
2x 26 x 4
=q 3(x ) 2x 22x 2 x 23 x 1
x 1 3 x 3
x 1 x +1
0 ((),())1f x g x x =+. 解法3: )13)(1()(3--+=x x x x f , 22()(1)(21)(1)(1)g x x x x x x =-++=-+,
((),())f x g x x =
+ 2)32()31g x x x =-+不可约, 14)(34+-=x x x f 不可约, ∴()(),()1f x g x =. 3))122)(122(110)(2224---+=+-=x x x x x x x f
4323222()61,())(1)g x x x f x x x x =-+++=-++=--
∴()2(),()1f x g x x =--
6. 求u (x ), v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=(f (x ), g (x )).
1) 242)(234---+=x x x x x f , 22)(234---+=x x x x x g
解法1: )2()1()(22-+=x x x f , 22()(2)(1)g x x x x =-++.
因为1)1,1(2=+++x x x , 所以(f (x ), g (x )) = x 2 2.
因为[]22(1)(1)(1)(2)1x x x x x +-+++++=, 所以2)()()()(2-=+x x g x v x f x u , 即 []22222(1)(1)(2)(2)(1)(2)2x x x x x x x x -++-++++-=-.
解法2：作辗转除法:
g (x ) f (x )
q 2(x )=x +1 22)(234---+=x x x x x g 242)(234---+=x x x x x f q 1(x )=1
x 4-2x 2 22234---+x x x x
x 3+x 2-2x -2 r 1(x )= x 3-2x q 3(x )=x x 3-2x x 3-2x
r 2(x)=x 2-2 r 3=0
因为r 2(x)| r 1(x ), 所以(f (x ), g (x )) = r 2(x) = x 2-2. 再由
)()()()(),()()()(22111x r x q x r x g x r x q x g x f +=+=, 得
)].()[())()(1)(()(),
()]()()([)()()()()(221221212x q x f x q x q x g x r x q x q x g x f x g x q x r x g x r -++=--=-=
令u (x )=-(x +1), v (x )=(x +2), 则2(2)(1)()(2)()x x f x x g x -=-+++.
2) (f (x ), g (x )) = r 2(x) = x -1.
21221(1)()(1)()333
x x f x x x g x -=--+--. 3)144)(234++--=x x x x x f , 2()1g x x x =--
∴2()()(3)(2)f x g x x x =-+-, ()(2)(1)1g x x x =-++
∵21((3))(1)f g x x g =---++，132(1)()(32)()x f x x x x g x =-+++--.
7. 如果f (x )和g (x )的公因式是一个二次多项式, 求t,u 的值. 其中
u tx x x g u x x x x f ++=++++=223)(,22)41()(.
解: 22()()1(1)(2),()(1)(2)f x g x t x t x u r x t x t x u =+++-+=++-+.
22222
12()(2)2()()()(1)1(1)(1)(1)t t t u t t g x r x x x u t t t t -+++--=+++-++++ 由题意()()()|()r x x r x g x 与g 的公因式应为二次所以. 得
???????=++++=-++-+0)
1()3(t)(10)4()3(322223t u t t u t u t t . ?????=++=-++-+-≠0
)3(0)4()3(3 .)(,1223u t t u t u t t x r t 为一次的否则得 解出(ⅰ)当.0)1)(4(,04330223=+-+=+-+=t t t t t t u 时 ∴?32?314π
±=±=-=e t t 或. (ⅱ)311,
03,02t t t t u -=+=++≠只有时当. )433(3
1433)4()3(3233232+-+-=++-+=?-++-+t t t t t t t t u u t u t t . ∴)4(2]246)82)(3[(3
122+-=++-+++-=t t t t t t u 即???=+++-=0
3)4(22t t t u , 2111i t ±-=, i u 117--=. 8. 证明: 如果()|(),()|()d x f x d x g x , 且()d x 是f(x)和g(x)的一个组合, 那么d(x)是f (x )和g (x )的一个最大公因式.
证明: 因为()|(),()|()d x f x d x g x , 所以()d x 是f (x )和g (x )的一个公因式. 又已知：()()()d x f x g x 是与的组合, 所以存在u (x ), v (x )
P[x ]使得
u(x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).
若()|(),()|(),()|()h x f x h x g x h x d x 得, 所以()d x 是一个最大的公因式.
9. 证明(()(),()())((),())().f x h x g x h x f x g x h x =（()h x 的首系=1）
证：设(()(),()())()f x h x g x h x m x =, ()((),())()()()().d x f x g x u x f x v x g x ==+ 由()()|()()d x h x f x h x , ()()|()()d x h x g x h x , 得()()d x h x 是f (x )h (x )和g (x )h (x )的一个公因式. 所以()()|()d x h x m x .
考虑到()()()()(),d x u x f x v x g x =+
()()((),())()()()()()()().d x h x f x g x h x u x f x h x v x g x h x ∴==+
因为()|()(),()|()()m x f x h x m x g x h x , 所以由上式得, ()|()()m x d x h x . 而h (x )的首项系数为1，所以()()()m x d x h x =, 即((),())()(()(),()()).f x g x h x f x h x g x h x =
10. 如果(),()f x g x 不全为0, 证明()()(,) 1.((),())((),())
f x
g x f x g x f x g x = 证： 设()((),()).d x f x g x = 由(),()f x g x 不全为0得()0.d x ≠
设1()()(),f x d x f x = 1()()(),g x d x g x =及()()()()().d x u x f x v x g x =+
则11()()()()()()().d x u x f x d x v x g x d x =+
消去()0d x ≠得111()()()()u x f x v x g x =+. ()()(,) 1.((),())((),())
f x
g x f x g x f x g x = 11. 证明: 如果(),()f x g x 不全为0, 且()()()()((),())u x f x u x g x f x g x +=, 那么
(u (x ), v (x ))=1.
证：设()((),()).d x f x g x =由于(),()f x g x 不全为0, 所以d (x )
0.
11()()(),()()(),f x f x d x g x g x d x ==设 则
1111()()()()()()(),()()()()1u x f x d x u x g x d x d x u x f x u x g x +=+=, (u (x ), v (x ))=1. 12. 如果1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f , 那么1))()(),((=x h x g x f .
证: 设21111111,1,1uf vg u f v h uu f ufv h vgu f vu gh +=+=+++=两式相乘得. ∴1111()()1(,)1uu f uv h vgu f v u gh f gh +++=?=.
13. 设12
12,,(,g )=1,=1,2,...,m;=1,2,...,n.m n i j f f f g g g f i j 都是多项式且求证 1212(,)1m n f f f g g g =.
证: ∵ (,g )1i i f =
，由12题, 固定12:(,)1i i f g g =,…, 12(,.)1i n f g g g =. 令12n g g g g =?
,(,)1i i f g ∴=每个12(,)1,f f g ?= 123(,)1f f f g =, …,
1212(,)1m n f f f g g g =. 推广
若((),())1,f x g x =则?m ，n N, 有((),())1m n f x g x =.
14. 如果1))()(),((,1))(),((=+=x g x f x f x g x f 那么.
证法1：(,)11()()1(,)1f g uf vg u v f v g f f g f =?+=?-++=?+= 同理(,)1g g f +=. 由12题(,)1fg f g +=.
证法2：设d (x )是f 和f +g 的任一个公因式, ()|(),()|()()d x f x d x f x g x +, 所以 ()|()d x g x , 因为(f , g )=1, 所以d (x )=c (常数). 所以(f , f +g )=1. (,)1g g f +=. 由12题得(,)1fg f g +=.
15 . 求下列多项式的公共根: f (x )=x 3+2x 2+2x +1, g (x )=x 4+x 3+2x 2+x +1
解：g(x )=f (x )(x-1)+2(x 2+x +1), f (x )=(x 2+x +1)(x +1), 即(f (x )，g(x )) = x 2+x +1.
令(x 2+x +1)=0得2
31,23121i i --=+-=εε ∴f (x )与g (x )的公共根为21,εε.
16 判断下列多项式有无重因式:
1)5432()57248f x x x x x x =-+++- 2)344)(24--+=x x x x f
解: 1)4421205)('234+-+-=x x x x x f , 作辗转相除法:
325()'()(1)3(25412)f x f x x x x x =---+. 23221549'()(25412)(5)(44)22
f x x x x x x x =--+-+-+, )32)(44()12452(223++-=+--x x x x x x ,
得22)2(44))('),((-=+-=x x x x f x f , 故)(x f 有重因式3)2(-x .
2))12(4484)('3-+=-+=x x x x x f ,作辗转相除法:
32()(21)(233)f x x x x x x =+-+-+.
)1311()32)(332()('2-+++-=x x x x x f
2661311(233)(1113)(2)(33)1111x x x x ?-+=--
++ 1))(').((=∴x f x f .
17. 求t 的值 13)(23-+-=tx x x x f 有重根.
解法1：设f (x )有重根a , 则a 0，且)1()()(22a
x a x x f +-=. 于是 1)2()12(13)(222323--++
-+=-+-=x a
a x a a x tx x x x f . 由多项式相等的概念, 得 ???
????=--=-t a a a a 232122 (*).
解方程得t=3，4
15-. 解法2: t x x x f +-=63)('2, 作辗转相除法:
)3()62()1)((')(3-+-+-=t x t x x f x f .
当3=t , 3)1()(-=x x f 有三重根.
当.3≠t 则)2
152()2153)(22()('2++-
+=t x x x f . 此时必须415-=t , 有重因式)4()21()(2-+=x x x f . 18. 求多项式q px x x f ++=3)(有重根因式的条件
分析: 若q px x x f ++=3)(有重根, 则有二重根或三重根. 若有三重根, 则
32233333)()(a x a ax x a x q px x x f -+-=-=++=.
得: 0,0===q p a . 此时0为三重根. 如下只需考虑2重根的情形即可. 解法1: p x x f +='23)(, 利用辗转相除法:
23()(3)23f x x p x px q =+++)0(≠p ,
2
2
223327(3)(23)()()244a q x p px q x p p p p +=+-++. 得324270p q +=.
解法2: b a x a ab x a b x b x a x q px x x f 222323)2()2()()()(-+++-=--=++=.
?????=-+==+q b a a ab p a b 22202,
?????=-=3223a
q a p , 得324270p q +=. 19. 如果2(1)|()x f x -,其中42()1f x Ax Bx =++,求A, B.
解法1：设),1()1(1)(2224-+-=++=bx Ax x Bx Ax x f 展开右边并比较系数: 1)1()21()2(123424-++-+-+-+=++x b x b A x A b Ax Bx Ax
得??
???=+=--=-011202b B b A A b , 于是2,1-==B A .
解法2: 因为2(1)|()x f x -, 所以(1)|'()x f x -
由)4)(1()24(24)('2
3d Ax x x B Ax x Bx Ax x f +-=+=+=, 于是比较两边系数得: 2A B =-.
所以42
()21f x Ax Ax =-+. 又)1)(1()(),()1(23-++-=-cx bx Ax x x f x f x 设, 于是
4221Ax Ax -+=)1)(1(23-++-cx bx Ax x , 右边展开并比较系数:
??
???=---=-=-0120c A b c A b .
2,1-==∴B A .
20证明2
()12!!n x x f x x n =+++无重因式（重根）. 证法1： '()()!n
x f x f x n =- (',)(,)!
y
x f f f n ∴=. 因为1),(=x f , 所以(,)1()n f x f x =?无重因式. 证法2: 由于f (x )有重因式的充要条件是1))('),((=x f x f , 所以设)())('),((x d x f x f =, 我们证明d (x )=1.
事实上, 由!|)()),(')((|)()("|)(),(|)(n x x d x f x f x d x f x d x f x d n
即得-. 所以0,)(≥=k x x d k . 若k >0, 则x |f (x ), 矛盾. 所以k =1, d (x )=1.
21. 如果a 是()f x '''的一个k 重根, 证明a 是
)()()](')('[2
)(x f x f a f x f a x x g +-+-=
的一个k +3重根. 证明: 验证得g(a )=0, 设a 是g (x )的t 重根.
g ′(x )=12[ f ′(x )+ f ′(a )]+()()2
x a f x f x -'''-? g ′(a )=0 . 111()''()()()()()()()02222
x a g x f x f x f x f x x a f x g a -''''''''''''''=++-=-?= 由于a 是()f x '''的k 重根, 以及a 是(x-a )的根, 所以a 是()g x ''的k+1重根.
再由假设a 是g(x)的t 重根, 则a 是()g x ''的t 2重根, 于是t 2=k +1, 得t =k +3, 即()a x 是g 的k+3重根.
22. 证明0x 是f (x )的k 重根的充要条件是0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 但是0)(0)(≠x f k .
证明: 必要性显然（见定理6推论1）.
充分性: 若x 0是f (x )的t 重根，t ＞k ，由定理
?0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 且f (k)( x 0)=0.
若t ＜k ?(1)0()0k f x -≠，所以矛盾. 所以t=k.
23. 举例说明断语”如果a 是)('x f 的m 重根, 则a 是f (x )的m +1重根”是不对的. 例如1()1,0()(1)m m f x x x f x m x m +'=+==+则是的重根,0()x f x =但不是的根.
24. 若(1)|(),(1)|()n n n x f x x f x --则.
证法1: 因为(1)|(),n x f x -所以1是()n f x 的根, 即f (1)=0. 这样(1)|()x f x -. 存在g(x )使得()(1)()f x x g x =-. 于是
()(1)()n n n f x x g x =-, 得)(|1n n x f x -.
证法2：由条件知, f (1)=0. 设全体n 次单位根为1，121,...,,-n ξξξ. 对每一个:k ξ 0)1()(==f f n k ξ, 所以.1,...,1,0),(|)(-=-n k x f x n k ξ 再由于,1-x ,1ξ-x ..., 1--n x ξ两两互素, 所以)(|)1(),(|)())(1(11n n n n x f x x f x x x -----即ξξ . 25 . 如果x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 那么12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且
证法1：设x 2+x +1的两个根312,,1i εεε=, i =1,2. 2121()()x x x x εε++=--.
33111213322222()()0()()0
f f f f εεεεεε?+=??+=??,112122(1)(1)0(1)(1)0f f f f εε+=??+=?即. 把上式看作是以???? ?
?2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式
非零, 所以12(1)(1)0f f ==. 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且
证法2: 设111)()1()(r x q x x f +-=, 222)()1()(r x q x x f +-=, 则
x r x q x x r x q x x xf x f 232313133231)()1()()1()()(+-++-=+. 对于x 2+x +1的两个根
331212,: 1.εεεε== 所以
121123123111311313121311)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=,
221223223221321323221321)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=.
于是???=+=+0
0221121εεr r r r . 把上式看作是以???? ?
?2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式
非零, 所以只有零解: 021==r r . 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且
证法3：设111)()1()(r x q x x f +-=, 222)()1()(r x q x x f +-=, 由条件x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 而
)()(3231x xf x f +=x r x q x x r x q x 23231313)()1()()1(+-++-,
考虑到x 2+x +1|(x 3
1)，所以x 2+x +1|r 1+r 2x . 再由次数之关系得r 1=r 2=0. 所以
12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且
26. 求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解.
解: 0221cos sin ,0,1,2,1k k k i k n n n
ππεε==+=-设. 则121,...,,,1-n εεε是1n x -是全部根(n 次单位根全体).
11012211
211122(),1()(1)((cos sin )).(),,21:21(1)()(1)()()(1)(2cos 1).n n n
i i k m m m n k k n k k k k k k i C x x x x i n n
ii R n n m k x x x x x x x x x n
ππεπεεε--==----===-=-=--+=--=--=---=--+∏∏∏∏∏在中在中若为奇数12122:1(1)(1)(2cos 1).m n
k k n m x x x x x n
π-==-=-+-+∏当时
n 为偶数 n 为奇数
27. 求有理根：
1) f (x )=x 36x 2+15x 14.
解法1：有理根可能为±1、±2、±7、±14.
∵当a <0时f （a ）<0，所以f (x )的有理根是可能1,2,7,14.
f (1)= 40, f (2)=0, f (7)=1400, f (14)=17640, 只有一个x =2. 解法2：有理根可能为±1、±2、±7、±14.
f (1)= 4, f (1)= 36. 对于每一个可能的根, 考虑α
α+--1)1(1)1(f f 及: 当
=2时: 121)1(421)1(-=+-=-α
f f 及, 验证得f (2)=0. 作综合除法: 2 1 6 15 14
2
8 14
2 1 4 7 0
2 4
1
2 30 f (x )=(x 2)(x 24x +7).
令g(x )= x 24x +7, g(1)=4， g(1)=12. g(x )可能的有理根只有±7.
7
1)1(±g 非整数, 所以±7都不是g(x )的根, 从而也不是f (x )的根. 2) f (x )=4x 47x 25x 1 .
解：f (x )有理根可能为±1、±21、±4
1，∵f (1)=-9≠0，f (-1)=1≠0, f (21)= 5, f (21)=0, f (41) = 26443, f (41) =64
11. 所以f (x )只有一个有理根x = 2
1. 3) f (x )=x 5+x 46x 314x 211x 3
解：可能有有理根为±1、±3、f (1)=
32, f (1)=0. 作综合除法: 1 1
6 14 11 3 1 1 0 6 8 3
1 0
6 8 3 0 1
1 1 5 3 1
1 5 3 0 1
1 2 3 1
2 3 0 1
1 3 1 3 0
f (x )=(x +1)4(x 3).
f (x )的有理根为
1，1，1，1，3. 28. 下列多项式在有理数域上是否可约?
1) x 2+1
解: 令 x=y +1, 则x 2+1=y 2+2y +2. 取p=2, 由Eisenstein 判别法可知它不可约. 2) 4328122x x x -++
解: 取P=2，由Eisenstein 判别法，该多项式不可约.
3) x 6+x 3+1
解: 令x =y +1则
x 6+x 3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+15y 2+9y +3取P=3, 则这个多项式不可约.
4) x p +px +1, p 为奇素数
解：取y =x+1, x p +px +1=y p
+1((1)(1)1p
i
p i i p i c y p y -=-+-+∑ =y p
+2
1((1)2p i
i p i p i c y py p --=-+-∑ 取素数为p ，由于1,...,2,1,-=p j C j p 都是p 的倍数, 所以应用Eisenstein 判别法可知它不可约.
5) x 4+4kx +1, k 为整数
解：令x =y +1,则f (x ) = x 4+4kx +1=y 4+4y 3+6y 2+(4+4k )y +(4k +2)
取p =2，则p 可整除首相以外的所有系数, 但是p 2不整除常数项，由Eisenstein 判别法，f (x )于Q 上不可约.
第一章 补充题
1. 设0),()()(),()()(11≠-+=+=bc ad x dg x cf x g x bg x af x f 且, 证明
11(()())((),())f x g x f x g x =，.
证: 设).())(),((),())(),((111x d x g x f x d x g x f == 要证明d (x )|d 1(x )及d 1(x )|d(x ). 首先因为d (x )|f (x ), d (x )|g (x ), 所以由条件知d (x )|f 1(x ), d(x )|g 1(x ), 从而d (x )|d 1(x ).
另一方面, 由于ad bc 0, 所以由条件知
111111()(()()),()(()())f x df x bg x g x cf x ag x ad bc ad bc
=--+--. 于是由d 1(x )|f 1(x ), d 1(x )|g 1(x ), 得d 1(x )|f (x ), d 1(x )|g (x ), 从而d 1(x )|d (x ).
所以d 1(x )=d (x ).
2. 证明: 只要))
(),(()(,))(),(()(x g x f x g x g x f x f 的次数都大于零, 就可适当地选择适等 式u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x )中的u(x )和v(x )使得
))
(),(()())((0,))(),(()())((0x g x f x f x v x g x f x g x u
.1))
(),(()()())(),(()()(11=+x g x f x g x v x g x f x f x u 记f (x )=f i (x )d (x ), g(x )=g 1(x )d (x ), 则有
u 1(x )f 1(x )+v 1(x )g 1(x )=1. (*)
a)若?(u 1(x ))
b) 若?(u 1(x ))?(g 1(x )), 令
u 1 (x )=q 1(x )g 1(x )+u 2(x ), ?(u 2)
(),(()(x g x f x g ). v 1(x )=q 2(x )f 1 (x )+v 2(x ), ?(v 2)
))(),(()(x g x f x f ). 代入(*)式: 得 f 1(x )u 2(x )+g 1(x )v 2(x )+f 1(x )g 1(x )q 1(x )+f 1(x )g 1(x )q 2(x )=1,
f 1(x )u 2(x )+
g 1(x )[v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x )]=1.
令u (x )=u 2 (x ), v (x )= v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x ), 则由于?(u)= ?(u 2)
3. 证明: 如果()(),(()(1).m m f x x f x x m ≥与g 互素那么)与g 也互素
证：由于f (x )与g(x )互素, 所以存在u(x ), v(x )使得u (x )f (x )+v (x )g(x )=1. 于是有u (x m )f (x m )+v (x m )g(x m )=1. 即f (x m )与g(x m )互素.
4. 证明: 如果)(),...,(),(121x f x f x f s -的最大公因式存在, 那么)(),...,(),(121x f x f x f s -,
f s (x )的最大公因式也存在, 且当)(),...,(),(121x f x f x f s -, f s (x )全不为零时有
1,211()((,,),).s s s f f f f f f -=
再利用上式证明存在)(),...,(),(21x u x u x u s 使得),...,,(212211s s s f f f f u f u f u =++ . 证明：设d =(f 1,f 2…f s )，d 1=(f 1…f s-1), d ′=(d 1, f s ), 要证明d = d ′.
一方面, s d f 及d |d 1?d |d ′.
另一方面，d ′|d 1, 's d f ?d ′|f i （i ?）?d ′|d. 又d, d ′都是首项系数为1的多项式, 所以d=d ′.
为了证明第二个结论,应用数学归纳法.
当s=2时, 结论显然成立.
假设对于s-1个多项式结论成立,考虑s 个多项式的情形:
此时, 对于)(),...
,(),(121x f x f x f s -,由归纳假设'?i u (i =1,2，…,s-1)，使'''111111
,,s s s s u f u f d v u vd u f d --++=?+=又使得′. 所以 ∴d =d ′=1s s vd u f + =v （1
'1s i i i u f -=∑）+s s u f .
令'i i u vu = i=1,2…,s-1, 则d =u 1f 1+…+u s-1f s-1+s s u f .
5. 多项式m (x )称为)(,)(x g x f 的一个最小公倍式, 如果
1) )(|)(,)(|)(x m x g x m x f ;
2) )(,)(x g x f 的任一个公倍式都是m (x )的倍式.
我们以[)(,)(x g x f ]表示首系数是1的那个最小公倍式, 证明如果)(,)(x g x f 的首系数都是1，那么[)(,)(x g x f ]=)
)(),(()()(x g x f x g x f . 证明: 因为)(,)(x g x f 的首系数都是1，所以它们都是非零多项式, 于是它们的最大公因式不等于零. 设(f (x ),g (x ))=d (x ), f (x )=f 1(x )d (x ), g (x )=g 1(x )d (x ), 则(f 1(x ),g 1(x ))=1.
设m (x )=f 1(x )g 1(x )d (x ), 则一方面显然有 f (x )|m (x ), g (x )|m (x ), 故m (x )是一个公
倍式. 另一方面, 设l (x )是)(,)(x g x f 的任一个公倍式, 则)(|)(,)(|)(x l x g x l x f ，令l (x )=d (x )l 1(x )，则f 1(x )|l 1(x ), g 1(x )|l 1(x )
∵(f 1(x ), g 1(x ))=1, ∴f 1(x )g 1(x )|l 1(x )?f 1(x )g 1(x )d (x )|l , 即m (x )|l (x ). 所以m (x )是f (x ), g (x )的一个最小公倍式. 即证得：[f (x ), g (x )]=f 1(x )g 1(x )d (x )=))()(()()(x g x f x g x f ??. 6. 证明：设p (x )是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式f (x ), g (x ) ，由 p (x ) | f (x )g (x )可以推出p (x ) | f (x )或者p (x ) | g (x ), 那么p (x )是不可约多项式.
证明: 采用反证法. 设p (x )可约，则有p (x ) = p 1(x ) p 2(x )且p 1(x )和p 2(x )的次数低于p (x )的次
数. 那么由条件可得p (x ) | p 1 (x )或p (x ) | p 2(x ), 这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于 p (x )的次数.
7. 证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是, 对任意的多项式g (x ), 或者(,)1f g =或者存在正整数m 使得).(|)(x g x f m 证明: 必要性：设f (x ) = p s (x )（其中p (x )是不可约多项式），则对任意多项式g (x )，有 a) ( p (x ), g (x )) =1; 或b) p (x ) | g (x ).
对于 a) 有( f (x ), g (x )) =1.
对于b)有p s (x ) | g s (x )，此即f (x )|g s (x ).再令m = s ，即可.
充分性：若 f (x )不是某一个不可约多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:
).0,2(),()()()(221>≥=i r k r k k k r x p x p x p x f
取g (x )=p 1(x )，则( f (x ), g (x )) = p 1(x ), 且对任意的正整数m, f (x )不整除g m (x ). 与题设f (x )与g (x )应满足( f (x ), g (x )) =1或f (x ) | g m (x ),(m 为某一正整数)矛盾，即证.
8．证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对任意的多项式g (x ), h (x )，由f (x ) | g (x )h (x )，可以推出f (x ) | g (x )，或者对某一正整数m , f (x ) | h m (x ).
证明: 必要性.设f (x )= p m (x )是某一不可约多项式p (x )的方幂, 则由于p (x )不可约,所以由f (x ) | g (x )h (x )，可推知p (x ) | g (x )h (x )，及p (x ) | g (x )或p (x ) | g (x ). 所以必存在正整数使得p m (x ) | h m (x ), 即f (x ) | h m (x ) .
充分性. 若 f (x )不是某一个多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:
).0,2(),()()()(221>≥=r r k r k k k r x p x p x p x f
取),()(1x p x g k = ),()()(22x p x p x h r k
r k = 则 f (x ) | g (x )h (x )，但是出f (x )既不整除g (x )，也不能整除h (x )的任意方幂 h m (x ).
9. 证明：n n m x ax b -++没有重数＞2的非零根
证明：设 f (x ) = x n + ax n-m + b ，则f '′(x ) = x n-m-1[nx m + (n-m )a ].
又因为 f (x )的非零根都是多项式g (x ) = nx m +(n ?m )a 的根，而g (x )的m 个根都是单根，因而f '′(x )没有不为零且重数大于2的根.
10. 证明: 如果f (x )| f (x n ), 那么f (x )的根只能是0或单位根.
证明: 设a 是f (x )的任一个根，由f (x ) | f (x n )知，a 也是f (x n )的根，即f (a n ) = 0, 所以a n 也是f (x )的一个根. 以此类推下去，则,......,,2n n ααα都是 f (x )的根.
f (x )是一个次数有限的多项式，所以f (x )最多只可能有限个相异的根，于是必有 ()i j n n i j αα=>不妨设,01)(=--j n i n j n αα, 0,1m x αα==则或或是的根. 11. 如果f (x ) | f (x )，证明f (x )有n 重根，其中n = ?( f (x )).
证明: 设a 1 , a 2,..., a s 是f ′(x )的s 个不同的根，且它们的重数分别为k 1 , k 2,..., k s ，由于f ′(x )是n ?1次多项式，因而k 1 +k 2+...+ k s =n-1. 其次，由 f ′(x )|f (x ), a 1, a 2,..., a s 分别为f (x )的k 1 +1, k 2+1， ..., k s +1重根，但k 1 +1+k 2+1+...+ k s +1=n-1+s=n, 从而s =1. 这就是说， f ′(x )只可能有一个根1 a ，且重数为k 1= n ?1.故f (x )有n 重根.
12. 设a 1, a 2,..., a n
是n 个不同的数, 而 ).())(()(21n x x x x F ααα---=
证明: 1);1)()()(1∑=='-n
i i i F x x F αα
2)对任意多项式f (x ),用F (x )除所得的余式为.)()()()(1∑='-n
i i i i F x x F f ααα
证明：1)∑=----='n
i i n x x x x x F 121)()())(()(αααα ,所以
)())(()()(111n i i i i i i i F ααααααααα----='+- .
)
())(()()())(()()()()(11111n i i i i i i n i i i i αααααααx αx x x F x x F --------='---- αααααα(=g i (x )). 则?(g i (x ))≤ n ?1, 且g i (a i )=1, g i (a j )=0, 当i
j . 所以∑=='-n
i i i F x x F 11)()()(αα. 2) 对于任意的多项式f (x )，用F (x )除得 f (x ) = q (x )F (x ) + r (x ) (r (x ) = 0或?(r (x ))≤n ?1).
当r (x )=0时，结论显然成立. 当?(r (x ))≤n ?1时，若令k (x )=∑='-n
i i i i F x x F f 1)()()()(ααα, 则
?(k (x ))≤n ?1，于是r (a i ) =f (a i ) = k (a i ) (i =1,2,...,n ), 所以r (x )=k (x )=∑
='-n i i i i F x x F f 1)()()()(ααα. 13. a 1, a 2,..., a n 与上题相同, b 1, b 2,..., b n 是任意数,显然∑='-=n i i
i i F x x F b x L 1)()()()(αα适合
条件L (a i )=b i , i =1,2,…,n. 这称为Lagrange 插值公式, 利用上面的插值公式求:
1) 一个次数<4的多项式f (x ), 它适合条件f (2)=3, f (3)=-1, f (4)=0, f (5)=2. 2)一个二次多项式f (x )，它在0, 2
π, π处与函数sin x 有相同的值. 3）一个次数尽可能低的多项式f (x )，使f (0) =1, f (1)=2, f (2)=5, f (3)=10. 解: 1) 由Lagrange 插值公式: 取
321(3)(4)(5)1()(124760)(23)(24)(25)6
x x x l x x x x ---==--+---- 322(2)(4)(5)111()1920(32)(34)(35)22
x x x l x x x x ---==-+---- 323(2)(3)(5)131()515(42)(43)(45)22
x x x l x x x x ---==+++--- 324(2)(3)(4)1313()4(52)(53)(54)623x x x l x x x x ---=
=++----
4
3212341217203()(())()30242326i i i f x l x f a l l l l x x x =∴==-+?+=-+-+∑ 2) 已知f (0) =sin 0=0， f (
2π)=sin 2
π=1, f (π)sin π=0. 设F (x )=x (x-2
π)(x-π), 则得到)(4)(2ππ--=x x x f . 3) 同理可得 321(1)(2)(3)111()1(01)(02)(03)66
x x x l x x x x ---==-+-+---, 32(0)(2)(3)15()3(10)(12)(13)22x x x l x x x x ---=
=-+---, 3
23(0)(2)(3)()23(20)(21)(23)2
x x x x l x x x ---==-++---, 324(0)(2)(3)111()(30)(31)(32)623
x x x l x x x x ---==-+---, 21234()()2()5()10()1f x l x l x l x l x x ∴=+++=+
14. 设f (x )是一个整系数多项式, 试证: 如果f (0)和f (1)都是奇数, 则f (x )不能有整数根.
(完整版)高等代数多项式习题解答.doc
第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .
本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.
多项式练习题及答案18616
单项式乘多项式练习题 一．解答题（共18小题） 1．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2，其中a=﹣2，b=2． 2．计算： （1）6x2?3xy （2）（4a﹣b2）（﹣2b） 3．（3x2y﹣2x+1）（﹣2xy） 4．计算： （1）（﹣12a2b2c）?（﹣abc2）2= _________ ； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）?（﹣2ab2）= _________ ． 5．计算：﹣6a?（﹣﹣a+2） 6．﹣3x?（2x2﹣x+4） 7．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2 8．（﹣a2b）（b2﹣a+） 9．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米．
（1）求防洪堤坝的横断面积； （2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 10．2ab（5ab+3a2b） 11．计算：． 12．计算：2x（x2﹣x+3） 13．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b3）（﹣4a2）= _________ ．14．计算：xy2（3x2y﹣xy2+y） 15．（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） 16．计算：（﹣2a2b）3（3b2﹣4a+6） 17．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
18．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值．
多项式与多项式相乘同步练习(含答案).doc
第 3 课时多项式与多项式相乘 要点感知多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_____乘另一个多项式的_____，再把所得的积_____.( a+b)( p+q)=_____. 预习练习1－ 1填空：(1)(a+4)(a+3)=a·a+a·3+4·_____+4×3=_____; (2)(2 x－ 5y)(3 x－y)=2 x·3x+2x·_____+(－ 5y) ·3x+( －5y) ·_____=_____. 1－ 2计算:(x+5)(x－7)=_____；(2x－1)·(5x+2)=_____. 知识点 1直接运用法则计算 1.计算： (1)( m+1)(2 m－ 1) ；(2)(2 a－ 3b)(3 a+2b) ；(3)(2 x－ 3y)(4 x2+6xy +9y2) ；(4)( y+1) 2；(5) a( a－3)+(2 －a)(2+ a). 2. 先化简，再求值：(2 x－ 5)(3 x+2) － 6( x+1)( x－ 2), 其中x= 1 . 5 知识点 2多项式乘以多项式的应用 3.若一个长方体的长、宽、高分别是3x－ 4,2 x－ 1 和x，则它的体积是 ( ) － 5x2+4x－11x2+4x－4x2－4x2+x+4 4. 为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长为 a 厘米，宽为
3 a 厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽 2 厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是 4 _____平方厘米 . 5. 我校操场原来的长是 2x 米，宽比长少 10 米，现在把操场的长与宽都增加了 5 米，则整个操场面积增加了 _____ 平方米 . 知识点 3 ( x +p )( x +q )= x 2+( p +q ) x +pq 6. 下列多项式相乘的结果为 x 2+3x － 18 的是 ( ) A.( x － 2)( x +9) B.( x +2)( x － 9) C.( x +3)( x － 6) D.( x －3)( x +6) 7. 已知 ( x +1)( x － 3)= x 2 +ax +b ，则 a , b 的值分别是 ( ) =2 ， b =3 =－ 2， b =－3 =－ 2， b =3 =2， b =－ 3 8. 计算： (1)( x +1)( x +4) (2)( m － 2)( m +3) (3)( y +4)( y +5) (4)( t －3)( t +4). 9. 计算： (1)( － 2 n )( － － ) ； (2)( x 3 － 2)( x 3+3) － ( x 2 ) 3+ 2 · ； m m n x x
单项式和多项式专项练习模拟题集
单项式和多项式 一、基本练习： 1.单项式: 由____与____的积组成的代数式。单独的一个___或_____也是单项式。 2.练习:判断下列各代数式哪些是单项式? (1) x3 (2)abc。 (3) 2.6h (4) a+b+c (5)y (6)-3 a2b (7)-5 。 3.单项式系数: 单项式中的___因数叫这个单项式的系数,对应单项式中的数字(包括数字符 号)部分。如x3，π,ab，2.6h，-m它们都是单项式，系数分别为______ 4、单项式次数：一个单项式中，______的指数的和叫这个单项式的次数。只与字母指数有 关。如x3，ab，2.6h，-m, 它们都是单项式，次数分别为______分别叫做三次单项式，二 次单项式，一次单项式。 5、判断下列代数式是否是单项式。如不是,请说明理由。如是,请指出它的系数和次数。-m mn π a+3 b - a πx+ y 5x+1 6、请你写出三个单项式：（1）此单项式含有字母x、y；（2）此单项式的次数是5； 二、巩固练习 1、单项式-a2b3c（） A.系数是0次数是3 B.系数是1次数是5 C.系数是-1次数是6 D.系数是1次数是6 2．判断下列代数式是否是单项式。如不是,请说明理由。如是,请指出它的系数和次数。 -3， a2b，， a2-b2 ， 2x2+3x+5 πR2 3.制造一种产品，原来每件成本a元，先提价5%，后降价5%，则此时该产品的成本价为( ) A.不变 B.a(1+5%)2 C.a(1+5%)(1－5%) D.a(1－5%)2 4.（1）若长方形的长与宽分别为 a、b，则长方形的面积为_________. （2）若某班有男生x人，每人捐款21元，则一共捐款__________元. （3）某次旅游分甲、乙两组，已知甲组有a名队员，平均门票m元，乙组有b名队员，平 均门票n元，则一共要付门票_____元. 5.某公司职员，月工资a元，增加10%后达到_____元. 6.如果一个两位数，十位上数字为x，个位上数字为y，则这个两位数为_____. 7.有一棵树苗，刚栽下去时，树高2M，以后每年长0.3M，则n年后树高___M_ 三、多项式1、______________叫做多项式 2、____________________________叫做多项式的项 3、_________叫做常数项 4、一个多项式含有几项，就叫几项式．______________多项式的次数． 5、指出下列多项式的项和次数： （1）；（2）． 6、指出下列多项式是几次几项式:（1）；（2） 7、__________________________统称整式 随堂测试：1、判断 （1）多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12；（） （2）多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。（） 2、指出下列多项式的项和次数 （1）3x－1＋3x2；（2）4x3＋2x－2y2。 3、下列式子中哪些是单项式,哪些是多项式，哪些是整式?
多项式乘多项式试题精选(二)附答案
多项式乘多项式试题精选（二） 一．填空题（共13小题） 1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片_________张． 2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=_________． 3．若（x+p）（x+q）=x2+mx+24，p，q为整数，则m的值等于_________． 4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片_________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张． 5．计算： （﹣p）2?（﹣p）3=_________；=_________；2xy?（_________）=﹣6x2yz；（5﹣a）（6+a）=_________． 6．计算（x2﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x2项，则常数m的值为_________． 7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖 _________块． 8．若（x+5）（x﹣7）=x2+mx+n，则m=_________，n=_________． 9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是_________． 10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米后，恰好能铺盖一间房间地面，问房间地面的面积是_________平方米． 11．若（x+m）（x+n）=x2﹣7x+mn，则﹣m﹣n的值为_________． 12．若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3和x2项，则mn的值是_________． 13．已知x、y、a都是实数，且|x|=1﹣a，y2=（1﹣a）（a﹣1﹣a2），则x+y+a3+1的值为_________．