当前位置：文档库 › 六年级上册数学复习提纲

六年级上册数学复习提纲

第一单元分数乘法

一、分数乘法

1、分数×整数

意义：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求相同加数的和的简便运算。

2、一个数乘分数①整数乘分数②分数乘分数

意义：一个数与分数相乘，可以看作求这个数的几分之几是多少。

因为所有的整数都可以看成分母是1的分数，所以乘法法则可以统一成一条：甲数乘乙数，分子乘分子，分母乘分母。

为了简便运算，先约分，再相乘，结果必须化成最简分数。

二、应用题

1、求一个数的几分之几是多少；

2、连续求一个数的几分之几是多少。

三、倒数：乘积是“1”的两个数互为倒数。

1、怎样求一个数的倒数：（一个数的倒数=1除以这个数）

分数：将两个分数的分子和分母互相调换位置。

小数：先转化成分数，再求。

整数：看成分母是1的分数，再求。

3、特殊数：0没有倒数；1的倒数是1

第二单元分数除法

一、分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

二、应用题：

1、“平均分”类

如：a小时做了b件衣服。

1、一件衣服用多少小时？a/b

2、一小时做了多少件衣服？b/a

2、“单位1”类

1、已知单位“1”，求单位“1”的几分之几：

用乘法：单位“1” ×这个分数

2、未知单位“1”，求单位“1”：

用除法：某个量/这个量占得分数值。

如：甲是乙的b/a

（1）则乙：, 甲：

（2）甲= 乙=

女生占全班的b/a，则：

（1）全班：“单位1”，女生：b/a

（2）全班人数=女生/（b/a）

3、包含类

a里面含几个b

4、数量关系式

速度*时间=路程

单价*数量=总价

工作效率*工作时间=工作总量

三、1、乘法的运算规律：因数×因数=积

若一个数乘小于1的数（不为0），积小于这个数。若一个数乘等于1的数，积等于这个数。

若一个数乘大于1的数，积大于这个数。

2、除法的运算规律：被除数÷除数（0除外）=商

若除数小于1，则商大于被除数。

若除数等于1，则商等于被除数。

若除数大于1，则商大于被除数。

第三单元比

一、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

比值：比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。

二、除法、分数和比各自的基本性质

除法的基本性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

三、除法、分数、比的关系

实质举例

除法

被除数

除数

商

一种运算

分数

分子

---

分母

分数值

一个数

比

前项

：

后项

比值

一种关系

被除数÷除数=分子÷分母=前项÷后项

被除数/除数=分子/分母=前项/后项

四、最简比：比的前项和后项互质（公因数只有1）

最简分数：分子和分母互质（公因数只有1）

五、如何化简比？

整数比：比的前后项同时除以一个数（公因数），使比的前项和后项互质。

分数比：比的前后项同时乘一个相同的数（公倍数），使分数比变成整数比，再化成最简比。

小数比：比的前后项同时乘一个相同的数，使小数比变成整数比，再化成最简比。

另外也可以用求比值的方法来化简比。可以先求出比值，再写成最简比。

六、按比例分配：如按a ：b分配

1、平均分法：平均分成a+b 份

2、分数法：a占，b占

第四单元圆

一、圆的认识

1、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

2、圆规画圆的方法：

先把圆规的两脚分开，用直尺定好两脚之间的距离（定半径r）。

再把有针尖的一脚固定在一点上（定圆心O）。

再有铅笔的一脚旋转一周。

3、圆的特点：

1）圆有无数条直径，也有无数条半径。

2) 同圆或等圆内，所有的直径都相等，所有的半径也都相等。

3) 同圆或等圆内，直径是半径的2倍，半径是直径的一半，即：d=2r r=d/2

4) 圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线，都是它的对称轴。

5) 圆的位置由圆心决定，大小由半径/直径决定。

6）两端都在圆上的线段中，直径最长。

二、圆的周长（化曲为直的推导过程）

1、圆周率（π）：任意一个圆的周长和它的直径的比值都是一个固定的数，这个比就叫圆周率。1）圆周率（π）= 2）π是无限不循环小数

2、三组公式

d=2r d=c/π

r=d/2 r=c/2π=c/6.28

c=πd c=2πr

三、圆的面积（化圆为方的推导过程）

S= S=

四、组合图形的面积

基础图形：三角形s=ah/2 正方形s=a2 长方形s=ab

平行四边形s=ah 梯形s=(a+b)h/2 圆形s=πr2

1）最重要的复合图形：S环形=

2）其他图形面积（如扇形）

第五单元、分数四则混合运算

工程问题

1、工作时间×工作效率=工作总量

2、工程问题一般不给出工作总量的具体值，这时一般把工作总量设为单位“1”。

3、甲的效率+乙的效率=合作的效率

合作的效率－乙的效率=甲的效率

4、典型例题：

1）、一项工程，甲单干5天完成，乙单干15天完成，甲、乙合干几天完成？

2）、甲单干10天完成，乙单干15天完成，甲、乙合干几天完成？

3）、一项工程，甲、乙合干10天完成，甲单干18天完成，乙单干几天完成？

4）、甲、乙合作12天完成，乙单干20天完成，甲单干几天完成？

第四单元圆

一、圆的认识

1、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

2、圆规画圆的方法：

先把圆规的两脚分开，用直尺定好两脚之间的距离（定半径r）。

再把有针尖的一脚固定在一点上（定圆心O）。

再有铅笔的一脚旋转一周。

3、圆的特点：

1）圆有无数条直径，也有无数条半径。

2) 同圆或等圆内，所有的直径都相等，所有的半径也都相等。

3) 同圆或等圆内，直径是半径的2倍，半径是直径的一半，即：d=2r r=d/2

4) 圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线，都是它的对称轴。

5) 圆的位置由圆心决定，大小由半径/直径决定。

6）两端都在圆上的线段中，直径最长。

二、圆的周长（化曲为直的推导过程）

1、圆周率（π）：任意一个圆的周长和它的直径的比值都是一个固定的数，这个比就叫圆周率。1）圆周率（π）= 2）π是无限不循环小数

2、三组公式

d=2r d=c/π

r=d/2 r=c/2π=c/6.28

c=πd c=2πr

三、圆的面积（化圆为方的推导过程）

S= S=

四、组合图形的面积

基础图形：三角形s=ah/2 正方形s=a2 长方形s=ab

平行四边形s=ah 梯形s=(a+b)h/2 圆形s=πr2

1）最重要的复合图形：S环形=

2）其他图形面积（如扇形）

第五单元、分数四则混合运算

工程问题

1、工作时间×工作效率=工作总量

2、工程问题一般不给出工作总量的具体值，这时一般把工作总量设为单位“1”。

3、甲的效率+乙的效率=合作的效率

合作的效率－乙的效率=甲的效率

4、典型例题：

1）、一项工程，甲单干5天完成，乙单干15天完成，甲、乙合干几天完成？2）、甲单干10天完成，乙单干15天完成，甲、乙合干几天完成？

3）、一项工程，甲、乙合干10天完成，甲单干18天完成，乙单干几天完成？4）、甲、乙合作12天完成，乙单干20天完成，甲单干几天完成？

人教版六年级上册数学知识点汇总

第一单元位置 1．找位置要先列后行，写位置先定第几列，再写第几行，格式为：（列，行）。第二单元分数乘法 1．分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 2．分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。（为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。）注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 3．一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4．分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（为了计算简便，可以先约分再乘。）注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5．整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c 6．乘积是1的两个数互为倒数。 7．求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1。0没有倒数。真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。 8．一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。 9．一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。 10．一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 11．分数应用题一般解题步骤。（1）找出含有分率的关键句。（2）找出单位“1”的量（以后称为“标准量”）找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“是”、“占”、“比”、“相当于”的后面（3）画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。（4）根据线段图写出等量关系式：标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍：一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数×几几。写数量关系式技巧：

(完整word版)人教版六年级上册数学全套试卷

一、填空。（20分） 1、75毫升=（）升 2.65立方米=（）立方分米 9.08立方分米＝（）升（）毫升 2、（）∶20＝ 50 （）＝0.4＝（）%＝（）成 3、16和42的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 4、一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是54.80，这个数最大是（），最小是（）。 5、从（）统计图很容易看出各种数量的多少，（）统计图可以很清楚地表示各部分同总数之间的关系。 6、若8ａ＝3ｂ（ａ、ｂ均不为0）那么ｂ：ａ＝（）：（）。 7、把一张边长是31.4厘米的正方形纸片，卷成一个最大的圆柱形纸筒。它的底面周长是（）厘米，高是（）厘米。 8、找规律：1，3，2，6，4，（），（），12，16，…… 9、分数单位是 7 1 的最大真分数是（），它至少再添上（）个这样的分数单位就成了假分数。这组数据的中位数是( )，众数又是（）。二、选择正确答案的序号填在括号里。（6分） 1、在下列各数中，去掉“0”而大小不变的是（）。 A 、5.00 B 、500 C 、0.05 2、把5克盐溶解在100克水中，盐和盐水重量的比是（）。 A 、20:21 B 、1:20 C 、1:21 3、下列各数中能化成有限小数的是（）。 A 、 123 B 、21 1 C 、65 4、在一块长10厘米，宽8厘米的长方形厚纸板里，剪去一个最大的正方形，剩下图形的面积是（）平方厘米。 A 、80 B 、16 C 、64 5、正方形的周长和它的边长（）。 A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成比例 6、在任意的37个人中，至少有（）人的属相相同。 A 、2 B 、4 C 、6 三、判断：对的在括号里打“√”错的打“×”。（4分） 1、圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（） 2、不相交的两条直线叫平行线。（） 3、从8时45分到9时9分，分针旋转的角度是144。（） 4、27是27的倍数，27是27的约数。（）四、计算（28分） 1、直接写出得数。（4分） 8.1÷0.03＝ 53＋3＝ 165×15 8＝ 97－31 ＝ 98×24 9 ＝ 134－18＝ 1.5×4＝ 7.45＋8.55＝ 2、解方程、解比例。（6分） χ＋4 1 χ＝20 4χ－6＝38 2:7=16:χ 3、下面各题怎样简便就怎样算。（18分）（1）3.07×99+3.07 （2）43＋61－8 3 （3）7.93＋0.64＋0.07＋0.36 （4）（7.9－3.06÷0.68）×1.5 （5）5.37-1.47-3.53 （6）105×(31+5 1 )

2018新人教版小学数学六年级上册知识点及复习提纲

2018新人教版小学数学六年级上册知识点及复习提纲 (2018最新编辑) 第一单元分数乘法 1.分数乘整数（第2页例1）分数乘整数的意义：分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算。如：错误！未找到引用源。×7 表示7个错误！未找到引用源。相加。分数乘整数的计算方法：分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。能先约分的可以先约分，再计算，结果相同。 2.求一个数的几分之几是多少（第3页例2）一个数乘几分之几，表示求这个数的几分之几是多少。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即：这个数×几分之几。注意：一个数包括分数、小数、整数。如：7×错误！未找到引用源。表示求7的错误！未找到引用源。是多少？反之：7的错误！未找到引用源。是多少？就用：7×错误！未找到引用源。；再如：2.8×错误！未找到引用源。表示求2.8的错误！未找到引用源。是多少？反之：2.8的错误！未找到引用源。是多少？就用：2.8×错误！未找到引用源。。 3.分数乘分数（第3页例3）分数乘分数的表示意义：分数乘分数的表示意义与一个数乘几分

之几的表示意义相同，即表示求第一个分数的几分之几是多少。分数乘分数的计算方法：分数乘分数，用分子乘分子的积作分子，用分母乘分母的积作分母。 4.分数乘法的简便计算（第5页例4）为了计算简便，可以先约分再乘。 5.分数乘小数（第8页例5）分数乘小数，可以把分数化成小数再乘，也可以把小数化成分数再乘，但一般采用把小数化成分数再乘，因为有些分数化不成有限小数。 6.分数混合运算（第8页例6）分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同，即：有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。没有括号的，先算乘法，再算加减法。如果只有加减法的，按从左往右的顺序计算。 7.利用运算定律计算分数混合运算（第9页例7）整数乘法的交换律、结合律、分配律。对于分数乘法也适用。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示：a×b=b×a。乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示：a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把它们分别与这个数相乘，再加，结果不变。

【最新】人教版小学数学六年级下册教材分析

六年级数学下册教材分析代课教师：朱以军一、教材概述本册教材是以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结原通用九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上编写的。编者一方面努力体现新的教材观、教学观和学习观，同时注意所采用措施的可行性，使实验教材具有创新、实用、开放的特点。另一方面注意处理好继承传统与发展创新之间的关系，既要反映当前数学教育改革的新理念，又注意保持我国数学教育的优良传统，使教材具有基础性、丰富性和发展性二、教学内容教材包括下面一些内容：数与代数安排了第一单元负数和第三单元比例；空间与图形安排了第二单元圆柱与圆锥；统计与概率安排了第四单元统计；综合应用安排了数学广角、自行车里的数学和节约用水三、本册教材教学目标是：（一）知识目标： 1、了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题 2、理解比例的意义和基本性质。会解比例。理解正、反比例的意义，能够判断两种量是否成正比例或反比例，会用比例知识解决比较简单的实际问题，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并能根据其中一个量的值估计另一个量的值。 3、会用比例尺，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小。

4、认识圆柱与圆锥的特征，会计算圆柱的表面积和圆柱与圆锥的体积。 5、能从统计图表准确提取统计信息，正确解释统计结果，并能做出正确的判断或简单的预测，初步体会数据可能产生误导。（二）能力目标： 1、经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 2、经历对"抽屉原理"的探究过程，初步了解"抽屉原理"，会用抽屉原理解决简单的实际问题，发展分析、推理的能力。 3、通过系统的整理和复习，加深对小学阶段所学的数学知识的理解和掌握，形成比较合理、灵活的计算能力，发展思维能力和空间观念，提高综合运用所学数学知识解决问题的能力。（三）情感目标： 1、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 2、养成认真作业，书写整洁的良好习惯。四、教学重点、难点：本册教学重点：圆柱与圆锥、比例和整理和复习的教学本册教学难点：圆柱与圆锥、比例的教学五、编排特点： 1．增加认识负数的教学，体现数学教学改革的新理念，加深学生对数概念知识的理解。认识负数对于小学生来说是数概念的一次拓展学生以往所认识的数--整数、分数、小数等都是算术范围之内的数，建立负数的概念则使学生认数的范围从算术的数拓展到有理数，从而丰富了小学生

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4 适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。（三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。【教学重点与难点】本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。【教学内容】第一节映射与函数一、映射 1.映射概念

人教版六年级上册数学知识点整理(个人整理资料)

第一单元位置 1、用数对确定点的位置，如（3，5）表示：（第三列，第五行）竖排叫列横排叫行（从左往右看）（从前往后看） 2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。 3、图形左、右平移：行不变图形上、下平移：列不变第二单元分数乘法一、分数乘法（一）分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如： 98×5表示求5个9 8 的和是多少？ 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。例如： 98×4 3表示求 98的4 3是多少？（二）、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（三）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。一个数（0除外）乘1，积等于这个数。（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 1、画线段图：（1）两个量的关系：画两条线段图；（2）部分和整体的关系：画一条线段图。 2、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或 “占”、“是”、“比”的后面 3、求一个数的几倍：一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数×几几。 4、写数量关系式技巧：（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ” （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量三、倒数 1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为．．倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。 2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。 3、1的倒数是1； 0没有倒数。因为1×1=1；0乘任何数都得0， 1 （分母不能为0） 4、对于任意数(0)a a ≠，它的倒数为 1a ；非零整数 a 的倒数为 1a ；分数 b a 的倒数是 a b ； 5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。第三单元分数除法一、分数除法 1、分数除法的意义：乘法：因数 × 因数 = 积除法：积 ÷ 一个因数 = 另一个因数分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 3、规律（分数除法比较大小时）：（1）、当除数大于1，商小于被除数；（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；（3）、当除数等于1，商等于被除数。 4、 “ []”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（未知单位“1”的量（用除法）：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。） 1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1 ±分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为X ，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数÷另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量÷单位“1”的量或：

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

人教版语文六年级上册复习提纲

六年级语文（人教版）精读课文的要点提示部分单元复习重点第一、二单元重点 1、山中访友 1、《山中访友》作者（李汉荣）。 2、课后习题：（1）有感情地朗读课文。说说作者在山中都拜访了哪些“朋友”，想一想课文为什么以“山中访友”为题。作者拜访的“朋友”原来是老桥、鸟儿、露珠、树、山泉、溪流、瀑布、悬崖、白云、云雀、落花、落叶等一切自然界的朋友。课文以“山中访友”为题目是文章主要内容的体现，作者以“山中访友”为题目是运用拟人的手法，将自然界的一切都称之为朋友，这样写更能激发读者的阅读兴趣。（2）读读下面的句子，体会这样写的好处。再从课文中找出类似的句子，并抄下来。 ①啊，老桥，你如一位德高望重的老人，在这涧水上站了几百年了吧? 作者把“老桥”比喻为“一位德高望重的老人”，不但写出了桥的古老，而且也突出了它默默无闻为大众服务的品质，充分表达了作者对桥的赞美和敬佩。 ②走进这片树林，鸟儿呼唤我的名字，露珠与我交换眼神。拟人化的手法，形象地表达了作者和鸟儿、露珠这两位朋友间的默契和情谊。 3、草虫的村落 1、《草虫的村落》的作者是（郭枫）。 2、课后习题：（1）有感情地朗读课文。想一想随着作者的目光，你在“草虫的村落”看到些什么，印象最深的有哪些。我们和作者一道在草虫的村落看到了街道、小巷、来来往往的“村民们”、花色斑斓的小圆虫、庞大的蜥蜴、甲虫音乐家们、搬运食物的“村民们”、气象观测者、建筑工程师。 3、这是一篇散文，它在表达上颇具特色。作者充分发挥丰富的（想象），运用（拟人、比喻）等修辞手法，将一个草虫世界生动地展现在大家面前。（1）丰富的想象。作者看到一只孤零零地在草丛中爬行的小虫，把它想象成了（一位“游侠”）；看到花色斑斓的小圆虫，把它们想象（成“南国的少女”）；看到振动翅膀的甲虫，把它们想象（成“音乐家”）；看到推着食物行走的甲虫，把它们想象（成从远方归来的“劳动者”）……丰富的想象，赋予小甲虫以（勇敢、勤劳和智慧）的特质，从而使一只只美丽的小甲虫深深地印在读者的心中。（2）拟人和比喻的修辞手法。村落，原本是人聚居的地方，而课文中，作者赋予草虫人的生活形态。草虫的村落，其实无非就是（草虫居住的洞穴），但在作者的眼里，它和人类的生活天地没有两样。那里有（街道，有小巷，还有形形色色的人们），它们不仅有着丰富的情感世界，更有着高雅的艺术追求，它们不但会享受生活，还会创造生活。 4、文章整体结构以及各部分内容：（略） 5、詹天佑 1、主要内容及中心 2、课文是从三个方面来叙述詹天佑主持修筑京张铁路的过程：（勘测线路）、（开凿隧道）、（设计“人”字形线路）。 3、课后习题：（1）有感情地朗读课文。和同学讨论：从课文的哪些描写中，可以看出詹天佑是一位杰出的爱国工程师。课文的许多地方都表现了詹天佑是一位杰出的爱国工程师。如．面对一些帝国主义国家的阻挠

人教版小学数学六年级下册教材

人教版小学数学六年级下册教材大社学校张树梅一教材内容本册教科书由负数、圆柱与圆锥、比例、统计、数学广角、整理与复习等六个单元组成。有关各部分面的教学内容、编写特点、教学要求和教学建议，二本册教材特点和基本理念本册教材的特点可以简单地概括为“一个理念、两个部分、三个重点、四个领域”。 “一个理念”是指本册教材所体现的新教学理念； “两个部分”是指本册教材可以分为新知识教学和已有知识整理复习两个部分； “三个重点”是指本册教材有“圆柱与圆锥”、“比例”、“整理与复习”三个重点单元； “四个领域”是指整理与复习单元包括“数与代数”、“图形与空间”、“统计与概率”、“综合应用”四个学习领域。下面逐一进行说明。（一）一个理念及本册教材的指导思想 1、在教学内容的选择和表述上，着眼于学生的可持续发展，遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历数学知识的形成过程和应用过程。 2、在教学方法的确定和运用上，着眼于引导学生主动地进行观察实验、猜测探索、推理验证、合作交流。只有在这个理念的指导下，才能充分认识本册教材的编写特点和意图，摆正自己的位置，真正体现：学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者，把握本册教材的教学要求和重点。（二）、两个部分----结构安排及内在的逻辑关系任务一：在学生已有知识和能力的基础上，进一步完成新课程标准第二学段所规定的教学任务；任务二：引导学生对第一、二两个学段所学习的内容，进行一次系统的、全面的回顾与整理，实现从小学数学到中学数学的衔接与过渡，为第三学段（初中）的数学学习打下良好的基础。

因此，本册教材由两部分组成：第一部分（任务一）包括“负数”、“圆柱与圆锥”、“比例”、“统计”、“数学广角”五个单元；第二部分（任务二）包含“整理与复习”一个单元。第一部分既有“圆柱与圆锥”、“比例”、“统计”这些传统教学内容，又增加了一些新的教学内容：如“负数”和“数学广角”中的抽屉原理。并且在传统教学内容中增加了一些新的成分，如“圆柱与圆锥”中旋转长方形形成圆柱，旋转三角形形成圆锥；“比例”中正比例关系图像的绘制与应用、图形的放大与缩小；“统计”中对由于数据不当或绘制不当而可能造成的误判进行辨析等。这部分内容的教学虽然属于新知识教学，但是与以往的新知识教学应该有所不同。这是因为，六年级学生已经积累了相当丰富的生活经验和知识基础，掌握了一些常用的数学思想方法，具备了一定水平的逻辑思维能力。因此，从学生实际出发，在进行教学时要注意下面两个问题：一是，要放得更开一点，把获取新知识的主动权交给学生，以进一步培养学生独立思考的能力。教师的主要精力应该着重用在如何“创设情境，提出问题，启发点拨，扶正纠偏”上。二是，要让学生在经历自主探索获取新知的过程中，对学习方法进行适当的总结。一般说来，在教师的引导下学生获取新知的“路线图”是：对生活中的数学原型进行观察（原型观察）→联想已有知识进行对比（联想对比）→经过对比或变换实现知识的链接、归并或转化（链接转化）→对形成的新知识进行总结概括（总结概括）以新增内容“负数”为例。随着社会的发展，负数已经在生活中大量应用。如，气象预报对零度以下温度的表述，和高层建筑对地面以下楼层的表达，都使用了负数，这些早已为小学生所司空见惯。学生学习了负数，一方面对日常生活中所涉及的数，将会有一个比较全面的认识，另一方面也为日后在初中进一步学习有理数奠定基础。教学负数时就可以按照下面的“路线图”进行。原型观察（观察零下温度、地下楼层的表达方式）→联想对比（与0和正数进行对比）→链接转化（借助数轴认识负数、0和正数都是“数”以及它们之间的位置关系）→总结概括（负数都比0小，正数都比0大，负数都比正数小）。第二部分以构建学生头脑中的知识网络，形成数学认知结构为目的，着眼于与初中数学的衔接，引导学生对原来分散学习的知识进行梳理，使知识由点成线，由线成网，进一步提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。（三）三个重点---编写意图和编写体例

新课标人教版六年级数学下册教材分析

新课标人教版六年级数学下册教材分析野茶小学：孙琦《义务教育课程标准实验教科书六年级下册数学》，是以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结原通用九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上编写的。编者一方面努力体现新的教材观、教学观和学习观，同时注意所采用措施的可行性，使实验教材具有创新、实用、开放的特点。另一方面注意处理好继承传统与发展创新之间的关系。既要反映当前数学教育改革的新理念，又注意保持我国数学教育的优良传统，使教材具有基础性、丰富性和发展性。下面就这册教材中几个主要问题作一简要说明. 一、教学内容和教学目标（一）本册教学内容：负数、圆柱与圆锥、比例、统计、数学广角、整理和复习等。（1）数与代数方面，这一册教材安排了负数和比例两个单元。结合生活实例使学生初步认识负数，了解负数在实际生活中的应用。比例的教学，使学生理解比例、正比例和反比例的概念，会解比例和用比例知识解决问。（2）空间与图形方面，这一册教材安排了圆柱与圆锥的教学。在已有知识和经验的基础上，使学生通过对圆柱、圆锥特征和有关知识的探索与学习，掌握有关圆柱表面积，圆柱、圆锥体积计算的基本方法，促进空间观念的进一步发展。（3）统计方面，本册教材安排了有关数据可能产生误导的内容。通过简单事例，使学生认识到利用统计表虽便于作出判断或预测，但如不认真分析也有

可能获得不准确的信息导致错误判断或预测，明确对统计数据进行认真、客观、全面的分析的重要性。（4）用数学解决问题方面，教材一方面结合圆柱与圆锥、比例、统计等知识的学习，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“抽屉原理”的过程，体会如何对一些简单的实际问题“模型化”，从而学习用“抽屉原理”加以解决，感受数学的魅力，发展学生解决问题的能力。（二）本册教学重点：圆柱与圆锥、比例和整理和复习的教学。（三）本册教学难点：圆柱与圆锥、比例的教学。（四）教材的教学目标，使学生 1、了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。 2、理解比例的意义和基本性质，会解比例，理解正比例和反比例的意义，能够判断两种量是否成正比例或反比例，会用比例知识解决比较简单的实际问题；能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并能根据其中一个量的值估计另一个量的值。 3、会看比例尺，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小。 4、认识圆柱、圆锥的特征，会计算圆柱的表面积和圆柱、圆锥的体积。 5、能从统计图表准确提取统计信息，正确解释统计结果，并能作出正确的判断或简单的预测；初步体会数据可能产生误导。 6、经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 7、经历对“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原

小学数学六年级上册复习提纲

青岛版小学数学六年级上册六年级数学上册复习提纲班级：姓名： 1、数对中第一个数表示第几列，第二个数表示第几行。 2、乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。真分数倒数都＞1，假分数的倒数≤1。 3、解答应用题步骤 ①读题，边读边划出单位“1”（谁的分率或百分率，谁就是单位“1”；另外：“比”字后面的量也是单位“1”）。 ②改写出数量关系式，（“是，相当于，比”改为“=”；“的”改为“×”；“多，增加”改为“＋”；“少，节约”改为“－”） ③观察单位“1”，单位“1”是已知条件，直接用乘法来列式子；单位“1”是隐含条件，根据数量关系式列方程或者用除法来列式。包括以下几种题型。 A：一个量是另一个量的几分之几或者一个量是另一个量的百分之几。例如：某班有男生24人，女生20人。男生人数是女生的（）。 B：一个量比另一个量多或者少几分之几（百分之几）例如：8比5多（）℅，5比8少（）℅ C：①排球有20个，篮球是排球的60％. 篮球有多少个？ ②排球有20个，是篮球个数的80％.篮球有多少个？ ③排球有20个，篮球比排球的60％多3个，篮球有多少个？ ④排球有20个，比篮球个数的80％少4个，篮球有多少个？ D：①一件衣服，降价40％后卖120元，这件衣服原来卖多少元？ ②一件衣服，原价120元，现在降价40％，这件衣服现在卖多少元？

E：①果园里桃树和杏树共360棵，杏树棵数是桃数的4/5 ，杏树、桃树各有多少棵？ ②果园里桃树比杏树多36棵，杏树的棵数是桃数的4/5 ，杏树、桃树各有多少棵？F：某工地需要20吨水泥。第一天运来总数的1/5，第二天运来总数的1/4。 ①两天一共运来水泥多少吨？第二天比第一天多运来水泥多少吨？ ②还差多少吨水泥没运来？ G：①修一条路，每天修全长的1/25,修了三周后，还剩下60千米，修了多少千米？ ②把一根木料截去它的80％，还剩下1.2米，这根木料截去了多少米？ 4、两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以比的后项得到比值。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以同一个数（0）除外，比值不变。 ①比的前项乘以1/2 ，比的后项除以2，比值（）。 ②比的前项增加10%，要使比值不变，后项应乘（）。 ③把3：5的前项增加6，要使比值不变，那么后项应该（）。 ④0.5与 1 的最简整数比是（），比值是（）。 ⑤甲比乙少2/3 ，乙与甲的比是（），A比B多2/7，A：B=（） ⑥比值是0.72的最简单整数比是（）。 ⑦甲数与乙数的比值为0.4，乙数与甲数的比值为（） ⑧甲乘2/3等于乙乘1/2都等于24，甲乙两数的比是( ) ⑨0．1吨∶50千克的最简整数比是（∶），比值是（）。 ⑩两个正方体的棱长比为1∶3，这两个正方体的表面积比是（∶），体积比是（∶）。（11）甲：乙=3：4，乙：丙=3：5，甲：丙=（） 5．掌握按比例分配应用题的结构和解题方法．例题:①一个三角形的三个内角的比是1：2：3，其中最大角的度数是多少？这是一个什么三角形？ ②学校买来560本图书，按5：9分给五、六两个年级的学生阅读，六年级比五年

六年级上册数学总复习知识点汇总

西师版小学数学六年级（上）知识点一、分数乘、除法（第1、3单元）：（一）分数乘法 1、分数乘法的意义：（1）与整数乘法相同，是求几个相同加数的和的简便计算（2）求一个数的几分之几是多少强调：根据意义写算式可以交换因数的位置（可列两个算式），但根据算式说意义不能交换因数的位置来说意义，只能像上面那样说。 2、分数乘法的计算：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。注意：能约分的要先约分再计算，这样更简便；遇到整数，把整数看作分母是1的分数。 3、两个因数的积与其中一个因数比较大小，关键看另一个因数：另一个因数大于1，积就更大；另一个因数小于1，积就更小。 4、打折：如一折表示现价是原价的十分之一，3.5折表示现价是原价的百分之三十五。（二）分数除法： 1、倒数的认识：

（1）倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。【强调：倒数表示两个数之间的关系，它们具有相互依存的特点，不能单独说一个数是倒数。】（2）求一个数的倒数的方法：分子、分母调换位置。【若遇到小数、带分数时，要先化成假分数，再求它的倒数；遇到整数就把整数看作分母是1的分数。】（3）1的倒数是1，0没有倒数。 2、分数除法的意义：与整数除法相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 3、分数除法的计算：甲数÷乙数＝甲数×乙数的倒数（乙数≠0）【①被除数不变②除号变为乘号③除数变为它的倒数】 4、两个数的商与被除数比较大小，关键看除数：除数大于1，商就更小；除数小于1，商就更大。【与乘法恰好相反】二、分数混合运算及解决问题（第6单元）：（一）分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同（加减法为第一级运算，乘除法为第二级运算） 1、只有加减法或只有乘除法，要从左往右依次计算； 2、既有加减法又有乘除法，先算乘除法后算加减法； 3、如果有括号，先算小括号里的，再算中括号里的，最后

六年级数学下册教材梳理

一百分数的应用第一课时求一个数比另一个数多（少）百分之几（p1-3）【教学内容】求一个数比另一个数多（少）百分之几（p1-3）【教学目标】 1.使学生在现实情境中理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的基本思考方法，并能正确解决相关的实际问题。 2.使学生在探索“求一个数比另一个数多（少）百分之几”方法的过程中进一步加深对百分数的理解，进一步积累解决实际问题的经验，培养分析、比较、类推解决实际问题的能力。 3.在探索新知的过程中，感受百分数与现实生活的密切联系，增强自主探索和合作交流的意识，体验成功的乐趣。【教学重点】正确理解“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的实际问题的解题方法。【教学难点】找准单位“1”的量。【知识点】 1.求一个数比另一个数多百分之几（1）掌握两种分析方法（2）对比两种分析方法 2.求一个数比另一个数少百分之几（1）掌握两种分析方法（2）对比两种分析方法 3. 能借助线段图分析说明两类问题的异同 4．计算结果除不尽的处理方法【易错点】 1.如何找准单位“1”和比较量。 2．解决问题。一款手机原来每部成本320元，现在降低到280元，每部成本降低了百分之几？ 280÷320＝0.875＝87.5% 答: 每部成本降低了87.5%。错解分析：错在把“降低到”理解成“降低了”。原来每部成本320元，现在降低到280元，说明成本降低了320—280=40(元)。应用降低了的40元除以原来的成本价。正确解答：320—280=40（元） 40÷320＝0.125=12.5% 答: 每部成本降低了12.5%。

六年级上册期末复习知识点归纳

六年级上册期末复习知识点归纳分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变;分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数：数形结合、转化化归 5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数找一个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数

找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1 ，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12 ，12是1/12的倒数。 8.小数的倒数普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25 ，把0.25化成分数，即1/4 ，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。 10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则：甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。

12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 14.比和比例：比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种(如：a:b);比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同(如：a:b=c:d)。所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分;而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。比的性质用于化简比。

人教版小学数学六年级上册知识点整理归纳完整版

人教版小学数学六年级上册知识点整理归纳 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

六年级上册数学知识点第一单元分数乘法（一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。例如： 5 3×7表示: 求7个53的和是多少？或表示：53 的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）例如： 53×61表示: 求53的6 1 是多少？ 9 × 61表示: 求9的61 是多少？ A × 61表示: 求a 的6 1 是多少？（二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。（三）积与因数的关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a ×b=c,当b >1时，c>a. 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a ×b=c,当b <1时，c

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a