2019-2020年整理中考必做的36道数学压轴题汇编

中考必做的36 道数学压轴题

第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”

例 1

分 )在平面直角坐标系x O y

中，抛物线

(2013 北京， 23,7

y mx22m 0y A

x 轴交于点B

（）与轴交于点，其对称轴与．（ 1）求点 A，B 的坐标；

（ 2）设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；

（ 3）若该抛物线在2x1这一段位于直线l 的上方，并且在 2 x 3 这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式．

解：（ 1）当 x＝ 0 时， y＝－2.

∴ A（ 0，－ 2）．

2m

1 ，

抛物线对称轴为 x＝

2m

∴B（ 1， 0）．

（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（ 2，－ 2）则

直线 l 经过 A 、 B .

没直线的解析式为y＝ kx＋b

则2k b2,解得k2,

k b0.b 2.

∴直线的解析式为y＝－ 2x ＋2 ．

（3）∵抛物线对称轴为x ＝ 1

抛物体在 2

轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2

位于直线 l 的上方，在－1< x<0 这一段位于直线l 的下方．

∴抛物线与直线l 的交点横坐标为－1；

当x＝－ 1 时， y＝－ 2x(－1)＋ 2 ＝4

则抛物线过点（－1， 4）

当x＝－ 1 时， m＋ 2m －2＝ 4 ，m＝ 2

∴抛物线解析为y＝2x2－ 4x－ 2 .

连接（ 2013 江苏南京，26， 9 分）已知二次函数y＝ a（ x－ m）2－ a（ x－m）（a、 m 为常数，且 a≠0） .

（1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为 C.与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点 D .

①当△ ABC 的面积等于1 时，求 a 的值；

②当△ ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值 .

222

【答案】（ 1）证明： y＝a（ x－ m）－ a（ x－ m）＝ ax －（ 2am＋ a）x＋ am ＋am.

222

因为当 a≠0时，［－（ 2am＋ a）］－4a（ am ＋ am）＝ a ＞ 0.

所以，方程 ax 2－（ 2am ＋ a ）x ＋ am 2＋am ＝0 有两个不相等的实数根 .

所以，不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与

x 轴总有两个公共点

. ???3 分

（2）解：① y ＝ a （ x －m ） 2

－ a （ x － m ）＝ a （ x －

2m

1 ） 2－ a ，

2 4

所以，点 C 的坐标为（

2m

1

，－

a ） .

2

4

当 y ＝ 0 时， a （ x － m ） 2－ a （ x －m ）＝ 0.解得 x 1＝m ，x 2＝m ＋ 1.所以 AB ＝ 1.

当△ ABC 的面积等于 1 时， 1

×1×

a

＝

1.

2

4

1

a ）＝ 1，或

1 a

所以

×1×（－

2

×1× ＝1.

2

4

4

所以 a ＝－ 8，或 a ＝8.

②当 x ＝ 0 时， y ＝ am 2＋ am.所以点 D 的坐标为（ 0，am 2＋ am ） . 当△ ABC 的面积与 △ ABD 的面积相等时，

1

×1× a

＝ 1

×1×am 2

am

2 4

2

1 a

）=

1 2

1 a 1 2

×1×（－

4 ×1×（ am

＋ am ），或

2

×1×

=

×1×（ am ＋ am ） .

2

2

4 2

所以 m ＝－ 1

，或 m ＝

1

2

2

，或 m ＝

1

2 .???9 分

2

2

变式 : （ 2012 北京， 23，7 分）已知二次函数 y

(t 1)x

2

2(t 2) x

3

在 x 0 和 x 2 时

2

的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数 y kx 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A( 3，m) ，求 m 和 k 的值；

（3）

设二次函数的图象与 x 轴交于点 B ，C （点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在

点 B ，C 间的部分（含点 B 和点 C ）向左平移 n (n 0) 个单位后得到的图象记为 G ，同时将

（2）中得到的直线 y kx

6 向上平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象

G 有公共点时， n 的取值范围。

【答案】（ 1）

①方法一： ∵二次函数 y (t 1)x 2

2(t 2) x

3 在 x 0 和 x 2

2

时的函数值相等

∴

3

4(t

1) 4(t

2) 3 .

2

3

2

∴ t

.

2

1

3 ∴这个二次函数的解析式是

y

x 2 x 2 2

②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为x 1

则

2(t 2) 2(t 1

1)

∴ t

3

.

2

∴这个二次函数的解析式是

（2）∵二次函数的图象过

y 1 x 2

x

3

2

2 .

A( 3,m) 点 .

∴ m

1

( 3)2

( 3) 3 6 .

2

2

又∵一次函数 y kx 6 的图象经过点 A

∴ 3k 6 6

∴ k 4 （3）令 y

1 x

2 x

3 0

2 2 解得： x 1

1 x

2 3

由题意知，点 B 、C 间的部分图象的解析式为

y

1

1)，（ 1

x 3 ） .

( x 3)( x

1

(x 2

则向左平移后得到图象

G 的解析式为： y

3 n)( x

1 n) ，（

n

1 x 3 n ）.

2

此时平移后的一次函数的解析式为 y

4x 6 n .

1

若平移后的直线

y

4 x 6 n 与平移后的抛物线

y

3 n)( x 1 n) 相切 .

( x

1

(x

2

则 4x 6

n

3 n)( x 1 n) 有两个相等的实数根。

2

即一元二次方程

1 x

2 (n 3)x

1 n 2

9 0有两个相等的实数的根。

2

2

2

∴判别式 = (n

3) 2

4 ( 1

)( 1 n 2 9) 0

解得： n

0 与 n 0矛盾 .

2 2 2

∴平移后的直线

y

4 x 6 n 与平移后的抛物线

y

1 3 n)( x 1 n) 不相切 .

( x

2

( n 1,0) 和

∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象 G 有公共点，则两个临界交点为

(3

n,0) .

2 则 4( n 1) 6 n 0 ，解得： n

3

4(3 n) 6 n

0，解得： n

6

∴

2

n 6

3

第 2 题“弓形问题”再相逢， “殊途同归”快突破

（例题） （ 2012 湖南湘潭， 26，10 分） 如图， 抛物线 y ax 2 3 x 2(a

0) 的图象与 x

2

轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为 4,0 .

（ 1）求抛物线的解析式；

（ 2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点， 求 MBC 的面积的最大值， 并求出此时

M 点的坐标 .

【答案】 解：（ 1）将 B （4， 0）代入 y

ax 2

3

x 2( a

0) 中，得： a 1

1 x 23

2

2

∴抛物线的解析式为： y

x

2( a 0)

（ 2）∵当 1 x 2 3

x 2

2

2

0 时，解得 x 1

4 ， x 2

1

2 2

∴ A 点坐标为（－ 1， 0），则 OA=1 ∵当 x=0 时， y

1

x 2

3

x 22 2 2

∴ C 点坐标为（ 0,－ 2），则 OC=2 在 Rt ⊿ AOC 与 Rt ⊿ COB 中，

OA

OC

1

OC

OB

2

∴ Rt ⊿ AOC ∽ Rt ⊿

COB ∴∠ ACO= ∠ CBO

∴∠ ACB=∠ ACO+∠ OCB= ∠CBO+∠ OCB=90°

那么⊿ ABC 为直角三角形

所以⊿ ABC 的外接圆的圆心为

AB 中点，其坐标为（ 1.5， 0）

（3）连接 OM .设 M 点坐标为（ x ，

1

x 2

3 x 2 ）

2

2

则

S ⊿ MBC

S ⊿OBM S ⊿OCM

S ⊿ OBC

=

1

4 ( 1

x 2

3

x 2)

1 2 x 1 2 4

2 2) 2 2 2

2

2

= ( x 4

∴当 x=2 时，⊿ MBC 的面积有最大值为

4， M 的坐标为（ 2，－ 3）

变式（ 2011安徽芜湖 24）面直角坐标系中，?ABOC

如图放置，点 A 、 C 的坐标分别为（ 0， 3）、（ -1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到 ?A'B'OC' ．（1）若抛物线过点 C，A ， A'，求此抛物线的解析式；（2） ?ABOC 和?A'B'OC' 重叠部分△ OC'D 的周长；

（ 3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 M 在何处时△ AMA' 的面积最大？最大面积是多少？并求出此

时 M 的坐标．

第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”

（例题） 23．（ 2012 河南， 23， 11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线 y ax2bx 3 交于A、B两点，点 A 在x轴上，点 B 的纵坐标为线 AB 下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线作PD⊥ AB 于点 D．

（ 1）求 a、 b 及sin ACP 的值；

（ 2）设点 P 的横坐标为m．

①用含 m 的代数式表示线段PD的长，并

求出线段 PD 长的最大值；

②连接 PB，线段 PC 把△ PDB 分成

两个三角形，是否存在适合的m 值，

使这两个三角形的面积之比为9:10?

若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由．

y

B

C

D

A O x

P

y

1

x 1

2 3．点 P 是直AB 与点 C，

第23 题图

【答案】（ 1）由

1

x

1 0 ，得 x

2,∴ A( 2,0)

由 1

x

2

1 3 ，得 x

4, ∴ B(4,3)

2

(-2) 2

a-2b-3=0

∵ y

ax

2

bx

3 经过 A, B 两点，∴

1

, b

1 42

∴ a

a+4 b-3=3

2

2

设直线 AB 与 y 轴交于点 E ，则 E(0,1) ∵ PC ∥ y 轴，∴ ACP

AEO .

∴

sin ACP sin AEO

OA 2 2 5

AE

5

5

（2）由⑴可知抛物线的解析式为 y

1 x 2

1 x 3

∴ P(m, 1

m 2 1 m

3), C (m, 1

m 2

2

1)

2 2

2

PC

1

m 1 ( 1

m 2

1

m 3)

1 m

2 m 4

2 2 2 2 在 Rt PCD 中， PD PC sin ACP

( 1 m 2 m 4) 2 5

2

5

5

(m 1)2 9 5 .

5

5 ∵

5

0∴当 m

1时， PD 有最大值

9 5

5

5

5或 32

②存在满足条件的 m 值， m

2

9

【提示】

分别过点 D 、 B 作 DF ⊥ PC ， BG ⊥ PC ，垂足分别为 F 、 G ．

在 Rt PDF 中， DF

1 PD 1 (m

2 2m 8). 又 BG 4 m,

5

5

∴S PCD

DF

1 ( m 2

2m 8)

m 2 ．

5

S

PBC

BG

4

m

5

当

S PCD m 2 9 时，解得 m 5 ；

S

PBC

5 10 2 当

S

PCD

m 2 10 时，解得 m 32 ． S

PBC

5

9

9

变式一 27．（ 2011 江苏泰州， 27，12 分）已知：二次函数 y=x 2＋ bx － 3 的图像经过点 P （－

2,5）．

（ 1）求 b 的值，并写出当 1＜x ≤ 3 时 y 的取值范围；

（ 2）设点 P 1（ m,y 1）、 P 2（ m+1,y 2）、 P 3(m+2,y 3)在这个二次函数的图像上．①当 m=4 时， y 1、 y 2、 y 3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当 m 取不小于 5 的任意实数时， y 1、y 2、 y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理

由．

【答案】解： （ 1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－ 2） 2－ 2b －3，解得 b=－ 2.

当 1＜ x ≤ 3 时 y 的取值范围为－ 4＜ y ≤0.

（2）① m=4 时， y 1、 y 2、 y 3 的值分别为 5、 12、 21，由于 5+12＜ 21，不能成为三角形的三边长．

②当 m 取不小于 5 的任意实数时， y 1 、y 2、y 3 的值分别为 m 2－ 2m － 3、m 2－ 4、m 2＋ 2m － 3，由于， m 2－ 2m － 3＋m 2－ 4＞m 2＋ 2m －3，（ m － 2） 2－ 8＞ 0， 当 m 不小于 5 时成立，即 y 1＋ y 2＞ y 3 成立．

所以当 m 取不小于 5 的任意实数时， y 1、 y 2、 y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，

变式二（ 2013 重庆 B 卷， 25， 10 分）如图，已知抛物线 y

x 2 bx c 的图像与 x 轴的一

个交点为 B （ 5， 0），另一个交点为 A ，且与 y 轴交于点 C(0， 5).

（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；

（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点 M 作 MN//y 轴交直线 BC 于点 N ，

求 MN 的最大值；

（3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点， 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S 1 ， △ABN 的面积为 S 2 ，

且 S 1 6S 2 ，求点 P 的坐标 .

y C

O A B x

【答案】 解：（ 1）设直线 BC 的解析式为

y mx

n ，将 B （ 5， 0），C （ 0， 5）代入有：

5m n

m 1

n 5

解得：

所以直线 BC 的解析式为 yx 5

n 5

再将 B （ 5， 0）， C （ 0， 5）代入抛物线

y x 2

bx c 有：

25 5b c 0

b 6

解 得 ：

所以抛物线的解析式为：

c 5

c 5

y x 26x5

（2）设 M 的坐标为（x，x26x5），则N的坐标为（x，x 5 ），MN = ( x 5) ( x26x 5)

=x 25x

当 x 525时， MN 有最大值为

24

y

C

N

O A B x Q

P1

M

P

2

（3）当y x26x 5 0 时，解得 x11， x25故A（ 1,0）， B（5,0），所以 AB=4

由（ 2）可知， N 的坐标为（5

，

5

）22

∴ S21455

22

则 S16S230 ，那么S△CBP15

在 y 上取点 Q(-1， 0)，可得S△CBQ15

故QP∥ BC

则直线 QP 的解析式为yx 1

当 x26x 5x 1时，解得 x1 2 ， x2 3

所以 P 点坐标为（ 2，

3 ），（ 3 ， 4），

第四题“准线” “焦点”频现身， “居高临下”明“结构”

（例题）

（ 2012 四川资阳， 25， 9 分）抛物线 y

1 x 2

x m 的顶点在直线 y x

3 上，过点

F ( 2,2)

M N 4 M N MA A NB

的直线交该抛物线于点

两点（点 在点

、 的左边）， ⊥ x 轴于点 ， ⊥ x

轴于点 B ．

（ 1）(3 分 )先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含

m 的代数式表示） ，再求 m 的

值；

（ 2）(3

分 )设点

N 的横坐标为

a ，试用含

a 的代数式表示点

N 的纵坐标，并说明

NF ＝

NB ；

（ 3） (3 分)若射线 NM 交 x 轴于点 P ，且 PA ×PB ＝

100

，求点 M 的坐标．

9

（第 25 题图）

答案：解 （1） y

1 x

2 x m

1

( x 2) 2

(m 1)

4

4

∴顶点坐标为 (－ 2 , m 1 )

∵顶点在直线 y

x 3 上，

∴－ 2+3= m 1 ，得 m =2 （ 2）∵点 N 在抛物线上，

∴点 N 的纵坐标为 1

a 2

a 2

1 a

2 4 即点 N( a , a

2 )

4

过点 F 作 FC ⊥NB 于点 C ，

在 Rt △ FCN 中， FC= a +2， NC=NB-CB=

1

a 2 a ,∴ NF 2 ＝ NC 2 FC 2＝

( 1 a 2

(a 2) 2 = ( 1

a 2

4 a) 2 a)2

(a 2

4a) 4

4

4

而 NB 2

= ( 1

a 2 a 2) 2

＝ ( 1

a 2

a)2

(a 2

4a) 4

4

4

∴ NF 2＝ NB 2，NF=NB

（ 3）连结 AF 、 BF

由 NF=NB ，得∠ NFB =∠ NBF ，由（ 2）的结论知， MF =MA ，∴∠ MAF =∠ MFA,∵MA ⊥

x 轴， NB ⊥ x 轴，∴ MA ∥ NB,∴∠ AMF +∠BNF =180°

∵ △ MAF 和 △NFB 的内角总和为 360°,∴ 2∠ MAF +2∠ NBF=180°，∠ MAF +∠ NBF=90°, ∵∠ MAB+∠ NBA=180°，∴∠ FBA +∠ FAB=90°又∵∠ FAB+∠MAF =90° ∴∠ FBA=∠ MAF =∠ MFA 又∵∠ FPA=∠ BPF ，∴ △ PFA ∽△ PBF ，∴

PF

PB

，

PF 2

PA PB = 100

PA

PF

9

过点 F 作 FG ⊥ x 轴于点 G,在 Rt △ PFG 中，PG= PF 2

FG 2

= 8

，∴PO=PG+GO=

14

，

∴ P(－

14

3

3

, 0)

3

b ，把点 F （－ 2 , 2）、点 P(－

14

3 ，

设直线 PF ： y

kx , 0)代入 y

kx b 解得 k =

7

，∴直线 PF ： y

3 x

7

3

4

b

=

2

4

2

解方程 1

x 2

x 2 3 x 7 ，得 x =－ 3 或 x =2（不合题意，舍去）

4

4 2

当 x =－ 3 时， y = 5 ，∴ M （－ 3 , 5

）

4 4

变式一 25．已知抛物线 y=ax 2

+bx+c （a ≠0）顶点为 C （ 1， 1）且过原点 O ．过抛物线

上一点

P （ x ， y ）向直线 y= 5 作垂线，垂足为 M ，连

FM （如图）．

（ 1）求字母 a ，b ， c 的值；

（ 2）在直线 x=1 上有一点 F(1 ， 3

)，求以 PM 为底边的等腰

4

三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时△ PFM 为正三角形；

（ 3）对抛物线上任意一点 P ，是否总存在一点 N （ 1， t ），使PM=PN 恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由．

解：（ 1）抛物线 y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点为 C （1，1）且过原点 O ，

2

可得 - b

=1， 4ac b

=1， c=0，

2a 4a

∴ a=-1， b=2，c=0．

（ 2）由（ 1）知抛物线的解析式为 y=-x 2+2x ，

故设 P 点的坐标为（ m ，-m 2

+2m ），则 M 点的坐标（ m ， 5

），

4

∵△ PFM 是以 PM 为底边的等腰三角形

∴ PF=MF ，即（ m-1）2

+（-m 2

+2m-3

）2 =（ m-1）2

+（ 3 - 5

）2

4 4 4 ∴ -m 2

+2m-3 = 1

或 -m 2

+2m-3 =- 1

，

4 2 4 2

3

1

4 2

时，即 -4m 2 +8m-5=0

∵△ =64-80=-16 ＜0

∴此式无解

2

3

=- 1

2

1

②当 -m +2m- 4 2 时，即 m-2m=- 4

∴ m=1+ 3 或 m=1- 3

22

Ⅰ、当 m=1+ 3

时， P 点的坐标为（ 1+ 3

， 1

）， M 点的坐标为

（ 1+

3，5） 2

2 4

2

4

Ⅱ、当 m=1- 3

时， P 点的坐标为（ 1-

3 ， 1 ），M 点的坐标为（ 1- 3 ， 5 ）， 2

2

4

2

4

经过计算可知 PF=PM ，

∴△ MPF 为正三角形，

∴ P 点坐标为：（ 1+ 3 ， 1

）或（ 1-

3 ， 1 ）． 2 4

2

4

（ 3）当 t= 3

时，即 N 与 F 重合时 PM=PN 恒成立．

4

证明：过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线，垂足为 H ，

在 Rt △ PNH 中，

2 2 +（ t-y 2 2 -2x+1+t 2 -2ty+y 2

，

PN=（x-1 ） ） =x 2 5 2 2 - 5

y+ 25 ， PM=（ 4 -y ） =y 2 16

P 是抛物线上的点， ∴ y=-x 2 +2x ；

∴ PN 2=1-y+t 2 -2ty+y 2=y 2

- 5 y+ 25 ，

2 16

∴ 1-y+t 2

-2ty+y 2

=y 2

- 5 y+ 25

，

2 16

移项，合并同类项得： - 3 y+2ty+ 9

-t 2 =0，

2 16

∴ y （ 2t- 3 ）+（ 9

-t 2 ）=0 对任意 y 恒成立．

2 16 ∴ 2t-

3 =0 且 9

-t 2=0， 2 16

∴ t= 3 ，故 t= 3

时， PM=PN 恒成立．

44

∴存在这样的点．

变式二（ 2012 山东潍坊， 24，11 分）如图 12，已知抛物线与坐标轴分别交于

A （ 2， 0）、

B （ 2，0）、

C （ 0， 1）三点，过坐标原点 O 的直线 y kx 与抛物线交于 M 、N 两点． 分别过

点 C 、 D （ 0， 2）作平行于 x 轴的直线 l 1、l 2．

（ 1）求抛物线对应二次函数的解析式； （ 2）求证以 ON 为直径的圆与直线 l 1 相切；

（ 3）求线段 MN 的长（用 k 表示），并证明 M 、 N 两点到直线 l 2 的距离之和等于线段 MN 的长．

y

N

A

O

B

M

x

C

l 1 l 2

D

图 12

【答案】 解：（ 1）设抛物线对应二次函数的解析式为

y ax 2 bx c ，

0 4a 2b

c

a

1

4

由 0 4a 2b c ，解得 b

0 ．

1

c

c

1

所以 y

1 x

2 1 ．

4

（ 2）设 M （ x 1， y 1）， N （x 2， y 2），因为点 M 、N 在抛物线上，

1

2

1

2

2 所以 y 1 4 x 1 1 ， y 2 4 x 2 1 ，所以 x 2 4( y 2 1) ；

又 ON 2 = x 2 2 y 22 = 4( y 2 1) y 2 2 = ( y 2 2)2 ，

所以 ON= y 2 2 ，又因为 y 2≥ 1，

所以 ON= y 2

2 ．

设 ON 的中点为 E ，分别过点 N 、E 向直线 l 1 作垂线，垂足为 P 、F ，

则 EF=

OC

NP = 2 y 2 ，

2 2

所以 ON=2EF ，

即 ON 的中点到直线 l 1 的距离等于 ON 长度的一半，所以以 ON 为直径的圆与直线 l 1 相切．

（3）过点 M 作 MH ⊥NP 交 NP 于点 H ，则

MN 2 MH 2 NH 2 = (x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 )2 ，

又 y 1=kx 1， y 2=kx 2，所以 ( y 2 y 1 ) 2 = k 2 (x 2 x 1 )2 ，

所以 MN 2

(1 k 2 )( x 2 x 1 )2 ；

又因为点 M 、 N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上， 所以 kx

1 x

2 1 ，即 x 2 4kx 4 0 ，

4

所以 x =

4k

16k 2 16 =2k ± 2 1 k 2 ，

2

所以 ( x 2 x 1 )2 = 16(1 k 2 ) ，

所以 MN 2

16(1 k 2 )2 ，

所以 MN= 4(1

k 2 ) ．

延长 NP 交 l 2 于点 Q ，过点 M 作 MS ⊥ l 2 于点 S ，

则 MS + NQ = y 1 2 y 2

= 1

x 1 2

1

1

x 2 2

1 4 = 1

( x 1 2 x 22 ) 2 ，

4

4 4

又 x 12 x 2 2 = 2[4 k 2 4(1 k 2 )] 16k 2 8 ， 所以 MS + NQ = 4k 2 2 2 = 4(1 k 2 ) =MN ．

即 M 、N 两点到直线

l 2 的距离之和等于线段 MN 的长．

y

E N

A

O B

M

H x

C

F

P l 1

S D Q l 2

第 24 题

第五题末尾“浮云”遮望眼， “洞幽察微”深指向

例题（ 2012 浙江宁波， 26， 12 分）如图，二次函数

y ax 2

bx c 的图象交 x 轴于 A （－

1， 0）， B(2， 0)，交 y 轴于 C （0，－ 2），过 A ，C 画直线． (1) 求二次函数的解析式；

(2) 点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA =PC ，求 OP 的长；

(3) 点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线

AC 相切，切点为 H

①若 M 在 y 轴右侧，且 △CHM

∽ △AOC （点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；

②若 M 的半径为 4

5 ，求点 M 的坐标．

5

【答案】 解： (1) 设该二次函数的解析式为： y a( x 1)(x 2)

将 x=0， y=－2 代入，得－ 2= a(0+1)(0 － 2) 解得 a=1 ．

∴抛物线的解析式为 y ( x 1)( x 2) ，即 y x 2

x 2 ．

(2) 设 OP =x ，则 PC=PA =x +1．

在 Rt △POC 中，由勾股定理，得 x 2

22 ( x 1)2

解得 x

3 3 ，即 OP

．

2

2

(3) ① ∵△ CHM ∽△ AOC ，∴∠ MCH =∠ CAO ．

情形 1：如图，当 H 在点 C 下方时，

∵∠ MCH =∠ CAO ，∴ CM ∥ x 轴，∴ y M

2，∴ x 2

x 2 2 ，

解得 x=0 （舍去），或 x=1， M(1，－ 2)． 情形 2：如图，当 H 在点 C 上方时

∵∠ M ’CH=∠ CAO ，由 (2)：得， M ’为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM ’的解析式为 y=kx － 2． 把 P （ 3

，0）的坐标代入，得

3

k 2 0 ，

2

2

解得 k 4 ，∴ y

4 x 2 ． 由

4

3 3 x

2 x 2 x 2，

3

解得 x=0 （舍去），或 x ＝

7

，

3

此时 y

10 ，∴ M '(7 ,10

) ．

9 3 9

②在 x 轴上取一点 D ，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E ，使 DE ＝

4

5

．

5

∵∠ COA=∠DEA =90°，∠ OAC =∠ EAD ，∴ △ADE ∽△ AOC ，∴

AD

DE ，

AC OC

AD

4 5

∴ 5

，解得 AD=2 ．

5

2

∴D (1， 0)或 D （－ 3， 0）．

过点 D 作 DM ∥AC ，交抛物线于 M ．

则直线 DM 的解析式为： y

2x 2 或 y 2x 6 ．

当－ 2x －6= x 2

－ x － 2 时，方程无实数解．

当－ 2x+2＝ x 2 － x － 2 时， 解得 x 1

1 17

, x 2 1 17．

2

2

∴点 M 的坐标为 M (

1

17

,37)或M (

1 17

,37)

2

2

变式一

25．如图，抛物线 y=

x +x+3

与 x

轴相交于点 A B y

轴相交于

1 2

、 ，与

4

点 C ，顶点为点 D ，对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E ，与 x 轴相交于点 F ．

（ 1）求直线 BC 的解析式；

（ 2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P

为圆心， r 为半径作⊙ P ①当点 P 运动到点 D 时，若⊙ P 与直线 BC 相交， 求 r 的取值范围；

②若 r=

4 5 ，是否存在点 P 使⊙ P 与直线 BC

5

相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

提示：抛物线 y=ax 2+bx+x （a ≠0）的顶点坐标（

b ， 4a

c b 2

2a 4a

），对称轴 x=

b ．

2a

变式二

22．（ 2012 广东省， 20，9 分）如图，抛物线

y= 1

x 2

- 3

x-9 与 x 轴交于 A 、B 两

2 2

点，与 y 轴交于点 C ，连接 BC 、AC.

(1) 求AB 和OC 的长；

(2) 点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动 (点 E 与点 A 、B 不重合 )，过点 E 作直线 l 平行于

BC ，交 AC 于点 D .设 AE 的长为 m ，△ ADE 的面积为

S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并写

出自变量

m 的取值范围；

(3) 在 (2)的条件下，连接

CE ，求△ CDE

面积的最大值；此时，求出以点

E 为圆心，与

BC

相

切的圆的面积 (结果保留

).

【答案】 (1)当 y=0 时， 1

x 2

- 3

x-9=0，解得 x 1= －3， x 2= 6.∴AB=|x 1－x 2|=| －3－ 6|= 9.

2

2

当 x= 0 时， y= － 9.∴ OC= 9.

(2) 由 (1)得 A( －3,0)， B(6,0) ， C(0,－ 9)，

∴直线 BC 的解析式为 y=

3

x － 9，直线 AC 的解析式为 y= － 3x － 9.

2

∵AE 的长为 m ，∴ E(m －3,0).

又∵直线 l 平行于直线 BC ，∴直线 l 的解析式为 y=

3

x －

3

(m-3) .

2 2

由

y

3x 9

得

x=

m 9

，∴点 D (

m

9 － m).

y

3

x- 3

(m-3)

3

y -m

3

2 2

∴△ ADE 的面积为： S=

1 ·AE ·|D 纵 |= 1 ·(m －3)·|－m|= 1

m 2

- 3

m .(0＜m ＜ 9)

2 2 2 2

(3) △ CDE 面积为： S △ACE －S △ ADE =

1 m 9 －( 1 m

2 -

3 m )= 1 m 2 +3m = - 1 (m-3)2

+ 9 ，

2 9 2 2 2 2 2 ∴当 m=

3 时，△ CDE 面积的最大值为 . 2

此时，点 E(0,0).如图，作 OF ⊥ BC 于 F ，∵ OB= 6，OC= 9，

∴ O F=

OB OC =

6 9 =

18

13.

BC

6

2

9

2

13

∴以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积为：(

18

13) 2

=

324

.

13 13

第 6 题分类讨论“程序化” ，“分离抗扰”探本质

例题（ 2011 贵州遵义， 27， 14 分）已知抛物线y ax2bx3(a 0)

经过 A(3， 0),B(4，

1)两点，且与 y 轴交于点 C。

（ 1）求抛物线y ax2bx 3( a0) 的函数关系式及点 C 的坐标；

（ 2）如图（ 1） ,连接 AB，在题（ 1）中的抛物线上是否存在点P，使△ PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（ 3）如图（ 2） ,连接 AC， E 为线段 AC 上任意一点（不与A、C 重合）经过 A、E、 O 三点的圆交直线 AB 于点 F ，当△ OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标。

【答案】（ 1）

2

A(3,0)、B(4,1)代入 y=ax +bx+3中

1 16a 4b3

a=

1

解得2

－

５

b=

２

２５

∴解析式为ｙ＝1ｘ－ｘ＋３

2２

令ｘ＝０时，ｙ＝３

∴C点坐标为 (0,3)

（2）若∠ PAB=90°，分别过 P、 B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E、 F。

图（ 1）

易得△ APE ∽△ BAF, 且△ BAF 为等腰直角三角形，∴△ APE 为等腰直角三角形。

设 PE=a ，则 P 点的坐标为（

a ， a － 3）代入解析式

3-a= 1

a

2

5

a 3

解得 a=0，或 a=3（与 A 重合舍去）

2

2

∴ P （ 0,3）

若∠ PBA=90°，如下图，直线与 x 轴交与点 D, 分别过 P 、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F 。

由图可得△ PED 、△ BAD 为等腰直角三角形， 设 PE=a ，则 DE=a ，AB=

2 ,所以 AD =2，

则 P 点坐标为（ 5－a ， a ）代入解析式，

a

1 (5 a)

2 5 (5 a)

3 解得， a=1，或 a=6 （与 B 重合）是

2

2

所以 P 点坐标（－ 1,6）

综上所述 P （ 0,3）或 P （－ 1,6）

（ 3）由题意得，∠ CAO=∠OAF =45°

利用同弧所对的圆周角相等，∠OEF=∠ OAF =45°

∠ EFO=∠ EAO=45 °

∴△ EOF 为等腰直角三角形， S △ EOF =

1

OE 2。

2

∴当 OE 最小时，面积最小。即

E 为 AC 中点（

3

, 3

)

2 2

变式一 （ 2011 山东枣庄， 25，10 分）如图，在平面直角坐标系

xoy 中，把抛物线 y x 2

向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线y ( x h)2k .所得抛物线与x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D .

（ 1）写出h、k的值；

（ 2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（ 3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由 .

y

Ａ

ＯＢx

Ｃ

Ｄ

解：（ 1）y( x h) 2k 的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

∴h 1， k =-4 .

（ 2）由（ 1）得y( x1)2 4 .

当 y 0 时， ( x1) 240 ．解之，得 x13， x2 1 ．

∴A( 3，0)， B(1，0) .

又当 x 0 时， y(x 1) 2 4 (0 1)243 ，

∴C 点坐标为0，- 3. ??????????????????????????4分

又抛物线顶点坐标 D 1， 4 ，作抛物线的对称轴x 1 交x轴于点E， DF y 轴于点 F ．易知

在 Rt△ AED 中， AD 222

24

在 Rt△ AOC 中， AC 222 331

在 Rt△CFD 中， CD 222

11

20；

8；

2；

22

D 2

∴ AC CDA．