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向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其扩展应用详解

一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

一、问题的提出及证明。

1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：

.O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=。

那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：设 O A xOB yOC =+

且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线则存在两个不全为零的实数m 、n

O A m O B n O C =+

且1m n +=

则 OA mOB nOC λ=+

OA OB OC λ

?=+

x λ

∴=

、n

y λ

m n

x y λ

++=

（1）1λ> 则 1x y +< 则 11

OA OA OA λ

∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]）（2）0λ<,则1

01x y λ

+=<<，此时OA 与1OA 反向

A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） B

A 1

A A

图[1]

图[2]

（3）1o λ<<，则1x y +>

此时 111

OA OA OA λ

∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）

图[3]

2、如图[4]过O 作直线平行AB ，

延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区

域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：

（Ⅰ）区：0001x y x y ??<+??>??<+??

（Ⅳ）区：0011x y x y >??

010

x y x y

>??-<+

（证明略）

二、用扩展定理解高考题。

（1）[2006年湖南（文）10] 如图[5] OM AB ，点P 在由射线OM ,线段OB 及AB

的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+，则实数对（x 、y ）

可以是……（） A.（14，34） B.（23-，23） C.（14-，34） D.（15-，7

5）

解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 0x <，且1O x y <+<，则选C

（2）[2006年湖南（理）15] 如图[5]OM AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB

的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值

范围是。当1

x =-时，y 的取值范围是。

解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：

A 1

O A

Ⅲ Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅰ Ⅱ

图[4]

x<，且当

x=-，有：1

O x y

<+<，即

113

222

O y y

<-+

答案为：0

x<，（1

，

）

图[5]

二、向量共线定理的几个推论及其应用

人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b 与非零向量a 共线?有且仅有一个实数λ，使b =λa 。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。

一、定理的推论

推论一：向量b 与向量a 共线?存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。

推论二：三个不同点A 、B 、C 共线?存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b 可能含O 。

推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线?x+y=1。这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线?存在一组全不为0的实数123

,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0

证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；

② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线?存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则AB AC =，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：

()()s OB OA t OC OA O -+-=，即：()s OB tOC s t OA O ?+-+=。显然s+t+[-(s+t)]=0

令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。

推论五：设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线?若存在实数123,,λλλ，使

123OA OB OC O λλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。

推论五实质是推论四的逆否命题。

推论六：点P 在ΔABO 的内部（不含边界）?存在正实数12,λλ，使得12OP OA OB λλ=+，且121λλ+<。

证：：如图，必要性：若点P 在ΔABO 的内部（不含边界），则

12OP OA OB λλ=+，延长OP 交AB 于P 1，过P 作OA 、OB 的平行线，分别交

OA ，OB 于M ，N 点，过P 1作OA ，OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M 1，N 1点，显然 11||||PM PM <，11||||PN PN <，12OP OM ON OA OB λλ=+=+。

其中12||||

,||||

OM ON OA OB λλ==

显然120,0λλ>>。由于111112||||||||||||||||||||||||

PM OM ON PN PM OA OB OA OB OA OB λλ+=

+=+<+ 11||||||1||||||

PB AP AB AB AB AB =

+==.而充分性由上述各步的可逆性易知。

事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七：推论七：

已知平面内不共线向量AB ，AC 且12AP AB AC λλ=+。分别记过点A 且与BC 平行的直线为1l ，

直线BC ，AB ，AC 分别为234,,l l l .则：

P 点在直线2l 上121λλ?+=；P 点在直线2l 不含A 点一侧121λλ?+>； P 点在直线2l 与1l 之间?1201λλ<+<；

P 点在直线1l 上120λλ?+=；P 点在直线1l 不含直线2l 一侧?120λλ+<；

P 点在直线3l 不含C 点一例?20,R λλ<∈；P 点在直线3l 含C 点一侧210,R λλ?>∈； P 点在直线4l 不含B 点一侧?120,R λλ<∈，P 点在直线4l 含B 点一侧120,R λλ?>∈。

证：设直线AP 与直线BC 相交于点P '，则设BP tBC '=，则

()(1)AP AB BP AB tBC AB t AC AB t AB t AC

''=+=+=+-=-+故P 若在直线BC 上，则121λλ+=,又∵,AP AP '共线，则AP k AP '=,故：12[(1)]AB AC k t AB t AC λλ+=-+,则

12()()kt k AB kt AC λλ-+=-,∵AB、AC 不共线，则120

kt k kt λλ--=??

-=?. ∴122()k kt λλλ=+=

（1）若P 在①区域内，则01，则20λ>，10λ<，且1201λλ<+<

;

l 2 l 1

⑦

（3）若P 在③区域内，则k<0，120,0λλ<>，且120λλ+<; （4）若P 在④区域内，则k<0，120,0λλ<<，且120λλ+<; （5）若P 在⑤区域内，则k<0，120,0λλ><，且120λλ+<; （6）若P 在⑥区域内，则0

（7）若P 在⑦区域内，则k>1，则121,0λλ><，121λλ+>; （8）若P 在⑧区域内，则k>1，则120,0λλ>>，121λλ+>; （9）若P 在⑨区域内，则k>1，则120,1λλ<>，121λλ+>.

综上：当P 点位于1l 上方，120λλ+<;当P 点位于1l 下方2l 上方，12(0,1)λλ+∈;当P 点位于2l 下方121λλ+>;当P 点位于3l 左边，20λ<，3l 右边，20λ>;当P 点位于4l 左边，10λ>，4l 右边10λ<从而得证。

注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。

二、应用举例

例1 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上。BN=1

BD ，求证：M 、N 、C 三点共线。

证：设1AB e =，2AD e =，（1e 与2e 不共线），则21BD e e =-. ∵N 为BD 的三等分点，∴2111()33BN BD e e =

=-,而111

BM BA e ==-, ∴21212111211212()333323333BN e e e e e BM BC BM =-=+?-=+=+,∵12

,33

m n ==，且m+n=1，

且B 、M 、C 三点不共线，则点M 、N 、C 三点共线。

例 2 设M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点，且

AM CN

AC CE

λ==，若B 、M 、N 三点共线，求λ的值。分析：要求λ的值，只需建立f(λ)=0即可，而f(λ)=0就隐含在直线方程的向量形式中。解：延长EA ，CB 交于点P ，设正六边形的边长为1,易知ΔECP 为Rt Δ，

PB=2,A 是EP 之中点，1

CE CN λ

∴11113()322222CA CE CP CN CB CN CB λλ=

+=+?=+, 又∵AM CN AC CE λ==，∴11CA CM λ

=-；

A M

B C

C D

E F

M N

∴

11313(1)12222

CM CN CB CM CN CB λλλλλ--=+?=+-；∵B、M 、N 三点共线.由推论（三）

知，

13(1)122λλλλ--+=?=即为所求例3 （06年江西高考题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、

C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200= A ．100 B ．101

C ．200

D ．201

解：易知a 1+a 200=1,∴1200200200()

1002

a a S +=

=,故选A 。

例4 （06年湖南高考题）如图OM∥AB，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+，则实数对（x ，y ）可能的取值是

A ．13

(,)44

B ．22(,)33

C ．13(,)44

D ．17(,)55

解：由P 点所处的区域，利用推论（七）的结论

我们不难判定OP xOA yOB =+中的线性组合系数对（x ，y ）应满足

00。从而应选C 。

例5 （梅涅劳斯定理）若直线l 不经过ΔABC 的顶点，并且与ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线分别交于P 、Q 、R ，则

BP CQ AR PC QA RB

??=1 证：如图，设P 、Q 、R 三点分有向线段BC 、CA 、AB ，

所成的比分别为123,,λλλ，则

1231||||||1BP CQ AR PC QA RB

λλλ??=???=，又P 、Q 、R 三个分点中有一个或三个外分点，所以1230λλλ??<，因而只需证明1231λλλ??=-。

任

取

一

点

，

则

由

定

比

分

点

的

向

量

公

式

得

：

1212,11OB OC OC OA

OP OQ λλλλ++=

++,33

1OA OB OR λλ+=+, ∵P、Q 、R 三点共线,∴由推论4知存在全不为0的实数k 1，k 2，k 3使

312123123

123

(

)()()01110OA OB OB OC OC OA

k k k k k k λλλλλλ?+++++=?+++??++=

? 即333221112233112

(

)()()0111111k k k k k k

OA OB OC λλλλλλλλλ+++++=++++++,

A Q

B L

且333221112233112

(

)()()0111111k k k k k k

λλλλλλλλλ+++++=++++++,而A 、B 、C 三点不共线，由推论5得 333221112233112

0111111k k k k k k

λλλλλλλλλ+=+=+=++++++,∴1231λλλ??=-，原命题得证。例6 （塞瓦定理）若P 、Q 、R 分别是ΔABC 的BC 、CA 、AB 边上的点，则，AP 、BQ 、CR 三线共点的充要条件是

1BP CQ AR PC QA RB

??=。证：必要性：如图，设P 、Q 、R 分有向线段BC 、CA 、AB 所成的比分别为123,,λλλ，则

12311BP CQ AR PC QA RB

λλλ??=???=. 在平面ABC 内任取一点O ，令AP 、BQ 、CR 三线交点为M ，则A 、M 、P 三点共线，由推论4知，存在实数k 1使

111111

(1)(1)1OB OC

OM k OA k OP k OA k λλ+=+-=+-?

+1111111111k k k OA OB OC λλλ--=++++

①

同理存在实数k 2，k 3使22

2222

(1)111k k OM OA k OB OC λλλ--=

++?++,

②

3333

1111k k OM OA OB k OC λλλ--=

?++++ ,

③

①-②得:2112

122121121111()()()01111k k k k k OA k OB OC λλλλλλ-----

?+-+-=++++； ①-③得:3311

13133131

1111()()()01111k k k k k OA OB k OC λλλλλλ-----

+-+-=++++. 又∵A、B 、C 三点不共线，且2112

12212112

1111()()()01111k k k k k k λλλλλλ-----

+-+-=++++, 及3311

13133131

1111()()()01111k k k k k k λλλλλλ-----

+-+-=++++,∴由推论5得 3211212211211231111111111k k k k k k k k λλλλλλλ------

=-=-=-+++++311

313131

1110111k k k k λλλλλ---=-=-=+++ ∴32112121231123213111111k k k k k λλλλλλλλλλλλ---=

==??=+++,∴1231λλλ??=，即1BP CQ AR

PC QA RB

??=

. C

充分性：设AP 与BQ 交于点M ，且直线CM 交AB 于R′，R′分有向线段AB 所成比为3

λ'，则由必要性和123

1λλλ'??=，又1231λλλ??=,∴33λλ'=，∴CR CR '=,∴R 与R′重合，故AP 、BQ 与CR 三线交于一点M 。

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量中三点共线定理探究

平面向量中“三点共线向量定理”探究三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在. () 0.a b b a b a b λλ≠=r r r r r r r r 向量共线定理：对平面内的任意两个向量、， // 的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理： ()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 三点共线定理：已知平面内一组基底，及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1. ()() ()1122121,,1,=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=?-=-?=-+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 证明：如图，三点共线，当且仅当有唯一一个实数，，且使令则 1. ()()()()()() 1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ?-===-+?-=-?=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u ur 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图，且1征：向量，的系数点P 的位置是随着令，当点P 在线段AB 内()() ()() ()() 12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110 =1=10 1. λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时，，点P 在线段AB 反向延长线上时，，当点P 与点A ，，当点P 与点B 重合时，时此时此时此时，，，重合时, 111AP PB OP OA OB λλλλ ?==+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则 O 1()

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明. 1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是： .O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=. 那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明. 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：设 O A xOB yOC =+ 且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线则存在两个不全为零的实数m 、n 1 O A m O B n O C =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+ m n OA OB OC λ λ ?=+ m x λ ∴= 、n y λ = 1 m n x y λ λ ++= = （1）1λ> 则 1x y +< 则 11 1 OA OA OA λ = < ∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]）（2）0λ<,则1 01x y λ +=<<，此时OA 与1OA 反向 A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]）图[2] B C A 1 O A O A 1 B C A 图[1]

（3）1o λ<<，则1x y +> 此时 111 OA OA OA λ => ∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）图[3] 2、如图[4]过O 作直线平行AB ，延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001x y x y ??<+??>??<+?? ????-<+

向量证三点共线 (1)

利用共线向量巧解三点共线例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+ （1-λ）PB．证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证=λ+-λ?-=λ（-）? =λ?∥．这样证明思路有了。证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．或叙述为：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μ PB ，且λ+μ=1，则A ， B ， C 三点共线．三点共线性质在解题中的应用：例1 如图，在ABC ?中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为．解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21=，由性质1，

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y 　 Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时

向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用蒋李萍 201１年１0月2４日平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛．应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N

(完整版)平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r () D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底，则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为 21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标． 4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有： OM =________________，M 点的坐标为_____________． 5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//?≠ρ ρρρb b a ；坐标形式： _____________)0(//?≠ρ ρρρb b a ．

平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广南昌外国语学校梁懿涛邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校电话：电子信箱：一．问题的来源平面向量三点共线定理:对于共面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论问题2.x 、y 有什么特定的意义吗问题3.上述问题可以推广到空间吗三．问题的解决推论1. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则（1）点C 在直线AB 外侧（不含点O 一侧）的充要条件是1x y +>．（2）点C 在直线AB 内侧（含点O 一侧）的充要条件是1x y +<．证明：（1）必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>u u u r u u u u r ，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=u u u u r u u u r u u u r ，OC x OA y OB λλ''∴=+u u u r u u u r u u u r ，,x x y y λλ''==， ()1x y x y λ''∴+=+>．充分性：1x y +>Q ，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，C 'Q 在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧．同理可证（2）．进一步分析，得：推论1'. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则（1）连接AB 得直线1l ，过点O 作平行于1l 的直线2l ，则1l 、2l 将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：1x y +>；（Ⅱ）区：01x y <+<；（Ⅲ）区：0x y +<．特别地，当点C 落在1l 上时，1x y +=；当点C 落在2l 上时，0x y +=．（2）直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：00x y >??>?；（Ⅱ）区：00x y ?；（Ⅲ）区：00x y ??>，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线上．证明：OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r Q 且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，xCA yBC =u u u r u u u r ， ||||||||AC y BC x ∴=。当0,0x y >>时，CA u u u r 与BC uuu r 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．

平面向量中“三点共线定理”妙用教学文稿

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数，使 b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且 1x y 。特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200= （） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选 A 。点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则 y x 4 1

向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N

平面向量补充讲义----三点共线定理(修改版)

平面向量补充讲义----三点共线定理班级：__________姓名：___________ 三点共线定理：若平面内，向量12,OP OP 不共线，向量12OP OP OP λμ=+，则12,,P P P 三点共线的等价条件是1λμ+=．（如图，共线时λ满足：221P P P P λ=）说明1：若12,,P P P 三点共线，设221P P P P λ=，则11OP OP PP =+，则例1．如图，在△ABC 中，13 AN NC =，点P 是BN 上的一点，若211 AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211 练习例2．，点在边上，，设，则（）例3．如图，点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，求：的值推论：如图，若平面内，向量12,OP OP 不共线，点P 为直线12P P 的平行线上任意一点，且向量 12OP OP OP λμ=+，则λμ+为定值．（这条平行线称为等和线）例4 ．已知点G 为ABC ?重心，P 为GBC ?内动点（不包括边界），且AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是__________________；2λμ+的取值范围是_______________________. OAB ?P AB 3AB AP =,OA a OB b ==OP =12.33A a b +21.33 B a b +. C 1233a b -. D 2133a b -G OAB P Q OA OB P G Q x =y =y x 11+2 12P 1

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．例1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立．证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=．若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2．证明：三角形的三条中线交于一点．证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1

点．设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得所以则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G

(完整word版)高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设OA u u u r 、OB uuu r 、OP uuu r 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r ．【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线?m+n=1，且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r 成立；（2）上述条件成立?A 、B 、P 三点共线．【证明】（1）由三点共线?m 、n 满足的条件．若A 、B 、P 三点共线，则AP u u u r 与AB u u u r 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=u u u r u u u r ，即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴(1)OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ．令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1．（2）由m 、n 满足m+n=1?A 、B 、P 三点共线．若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r ．则()OP OB m OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BP mBA =u u u r u u u r ． ∴BP u u u r 与BA u u u r 共线，∴A 、B 、P 三点共线．由（1）（2）可知，原命题是成立的．【总结升华】本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．举一反三：【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r ， 12BC e e =+u u u r ，1269CD e e =-u u u r ，求证：A ，C ，D 三点共线．【解析】因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC u u u r 与CD uuu r 共线．

平面向量三点共线基本关系运用

三点共线向量基本关系运用平面上任意一点O ，求证：平面上A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数μλ,使 OC OA OB λμ=+，且 1=+μλ . 若DF AB ，11OE OD OF λμ=+，则 11λμ+= 若DF AB ，22OE OA OB λμ=+，则 22λμ+= 例1 . 已知O 是ABC ?内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ?的 A. 重心； B. 垂心 C. 外心 D. 内心例2 已知O 是ABC ?内一点，230OA OB OC ++=，则问ABC ?的面积与AOC ?的面积的比是多少？ () 20OA OC OB OC +++=，OF ON =

例3 设点O 是ABC ?内一点，满足230OA OB OC ++=，则A B C ?的面积与OBC ?的面积之比为 5：1 . 解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则2=+，()OE OC OB 42=+，故可得： OC OB OA 32++()022=+=OE OD ，即

2-=，故2:3:=??AO C AEC S S ，则1:3:=??AO C ABC S S （二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是''C AB ?的重心， '''9 131C AB AOC AOC S S S ???==，例4已知O 是ABC ?所在平面内一点，342OA OC OB +=，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比为法一：342'777 OA OC OB OB +==，则,,'A C B 三点共线.

再议平面向量中三点共线定理

再议平面向量中三点共线定定理三点共线向量定理：已知平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OB OA OP 21λλ+=, ()12,R R λλ∈∈，则A,B,P 三点共线，当且仅当121=+λλ.如图（1）所示. 提出问题：当121≠ +λλ时，点P 应在什么位置呢？预备知识：点P 的位置是随着1λ，2λ的变化而变化的.如图（2）所示，点P 在直线AB 上，等价于,AP AB R λλ=∈u u u r u u u r ,所以，OP OA OB OA λλ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以()1OP OA OB λλ∴=-+u u u r u u u r u u u r 所以11=λ12=1,λλλλ∴-=，（1）当 0<λ，即12=11,0λλλλ->=<时点P 在线段AB 的反向延长线上；（2）当 0=λ，即12=1=1,=0λλλλ-=时点P 与点A 重合；（3）当 10<<λ，即()()12=10,1,0,1λλλλ-∈=∈时点P 在线段AB 的内部；（4）当 1=λ，即12=1=0,=1λλλλ-=时点P 与点B 重合；（5）当 1>λ，即12=10,1λλλλ-<=>时点P 在线段AB 的延长线上. 问题分析（1）当OP 在直线AB 的同侧且AB OP //时，如图（3）所示，OP AB OB OA λλλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r , 此时，1212=,+=0λλλλλλ-=，.

（2）当OP 在直线AB 的同侧且0P AB OP =I 时，如图（4）所示 () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,121+=1λμμ<，且此时，()11221212=,+=+=1λλμλλμλλλμμλ=< ，. 过点O 直线OE//AB ①当点P 位于直线OE 与直线AB 之间时，如图（5）所示， () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1201+=1λμμ<<，且，此时，()()11221212=,+=+=0,1λλμλλμλλλμμλ=∈ ，. ②当点P 位于直线OE 上方时，如图（6）所示， () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，120+=1λμμ<，且，此时，()11221212=,+=+=0λλμλλμλλλμμλ=< ，. （3）当OP 在直线AB 的两侧且0P AB OP =I 时，如图（7）所示 () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,121+=1λμμ>，且，此时，()11221212=,+=+=1λλμλλμλλλμμλ=> ，综上讨论可知，已知平面内一组基底,及任一向量,21λλ+=，

平面向量三点共线定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广一．问题的来源平面向量三点共线定理: 对于共面向量,,OA OB OC ,OC xOA yOB =+，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论？问题2.x 、y 有什么特定的意义吗？问题3.上述问题可以推广到空间吗？三．问题的解决推论1. 对于不共线向量,OA OB ,若OC xOA yOB =+，则 (1)点C 在直线AB 外侧(不含点O 一侧)的充要条件是1x y +>． (2)点C 在直线AB 内侧(含点O 一侧)的充要条件是1x y +<．证明：(1)必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>， (1)OC x OA y OB x y '''''=++=，OC x OA y OB λλ''∴=+，,x x y y λλ''==，()1x y x y λ''∴+=+>．充分性：1x y +>，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=，C '在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧．同理可证(2)．推论1'. 对于不共线向量,OA OB ,若OC xOA yOB =+，则 (1)连接AB 得直线1，过点O 作平行于1的直线2，则1、2将平面OAB 分成三个区域，如图1-2 点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：(Ⅰ)区：1x y +>；(Ⅱ)区：01x y <+<；(Ⅲ)区：0x y +<．特别地，当点C 落在1上时，1x y +=；当点C 落在2上时，0x y +=． (2)直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：(Ⅰ)区：00x y >??>?；(Ⅱ)区：00x y ?；(Ⅲ)区：00x y ??>,则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线上．

平面向量基本定理及共线向里之应用(精)

平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－ b的和的运算叫做a与 b的差三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb

P C A B Q 【例4】若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA → |，则△ABC 的形状为________．【例5】在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示AG → . 【课堂巩固】 1．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋1 4 AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．1 5 B ． 45 C ． 14 D ．13 3．如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=?，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若 AM AB BC λμ=+，则λμ+= . 3、向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则 λ μ =_________. 3、ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m 的值是多少？ A B C H ?M b c a

平面向量中三点共线

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理（一）、对平面任意的两个向量a,b（b O）,a〃b的充要条件是：存在唯一的实数使a b由该定理可以得到平面三点共线定理: （二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面 uuv uv uuv 任意一点的0 ,存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB且 uuv u uuv OP xOA yOB。特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y 0 当点P在线段AB之外时，xy 0 典例剖析例1、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.y ——的最小值是______ x y 分析：Q点P落在VABC的边BC上B，P,C三点共线 uuu uuu uuur Q AP xAB yAC x y 1 且x>0,y>0 —4(——) —(——) (x y) 1 V 44 5 y 4 x y x y x y x y x y Q x>0,y>0 y c 4x 小 0, 0 由基本不等式可知：y 4x 2“ 4x 4 ，取等号x y x y ■ x y 时y 4x 2 2 y 4x y 2xQ x 0, y 0 y 2xQ x y 1 1 x - ,y 2 2，符 x y 3 3 合所以—4的最小值为9 x y R，则

点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功例2、在△ ABC 中， uuur AN 1 uuir -NC ，点P 是BC 上的一点 3 ，若 uuu uuu AP mAB 2 uuur AC ， 11 则实数m 的值为（ ) r 木 A . —B.- C. 3 D.- 11 11 11 11 0 \ B _ \ 分析： Q B ,P, N 二占八、共线，又 uuu uuu 2 uuur uuu 2 uuur uuu 8 uuir 8 AP mAB AC mAB 4AN mAB AN m - 1 11 11 11 11 m 3 —，故选C 11 :Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知： uuir AO 1 uuu — (AB 2 uiur AC) uuu uuu u uuir uuur Q AB = m AM ，AC nAN 例3、在△ ABC 中，点0是BC 的中点，过点 0的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若 m + n 的值 uuu AB = m AM ， AC = n AN ，则为 ________