42
1 B ．42
C ．
2
1 D ．1－
42
1 解：根据密度函数的非负可积性得到：
⎰⎰=∞+=>dx x a
dx x f a a x P 341
)()( ⎰
⎰⎰⎰===∞-=<43
1332
1:4,4,,4)()(a dx x dx x o a dx x o a dx x f a a x P a 解之得联立
2．设F 1X 与F 2X 分别为随机变量X 1与X 2的分布函数,为使FX ＝aF 1x －bF 2x 是某一随
机变量的分布函数,在下列给它的各组值中应取 A A ．a=
53, b =－52 B ．a=
32, b=32
C ．a=－21, b=2
3
D ．a=21, b=－2
3
F+∞=a F 1 +∞-BF 2 +∞=11=-⇒b a
适合5
2
,53-==∴b a
3. 已知随机变量的分布函数为Fx= A + B arctgx ,则： B A 、A=
21 B=π B 、A=21 B=π1 C 、 A=π B=21 D 、A=π
1
B=21 解：要熟悉arctgx 的图像
联立求解即可。
;2
0),()(;2
1),()(π
π
⨯-=∴-∞+=-∞⨯+=∴+∞+=+∞B A Barctg A F B A Barctg A F
4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2,而且X 1< X 2,X 取值X 1的概率为0.6,
又已知EX ＝1.4,DX ＝0.24,则X 的分布律为
p 0.6 0.4 p 0.6 0.4
C. D.
① 1.4=EX=0.6X 1+0.4X 2
② DX=EX 2-EX 2
22
2214.1)4.0*6.0*(24.0-+=x x
联系①、②解得X 1=1,X 2=2
5．现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,今某人从中随机地无放回取3张,则此人得奖金额的数学期望为 A ．6元 B ．12元 C ．7.8元 D ．9元 设ξ表示得奖金额,则其分布律为：
ξ 6 3张2元的 9 2张2元,1张5元的 121张2元,2张5元的
P 31038c c 3101228c c c 310
2
218c c
c
故期望值为： 7.8
6. 随机变量X 的概率分布是： X 1 2 3 4 P
61 a 41
b 则： D A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122 C 、a=121, b=125 D 、a=41, b=3
1
D b a 故选）（⇒=+-=+12
7
41611
7. 下列可作为密度函数的是： B
A 、=)(x ϕ 0
11
2x + 0
≤>x x
B 、=)(x ϕ 0
)
(a x e -- 其它a x >
C 、=)(x ϕ 0sin x
其它],0[π∈x
D 、=)(x ϕ 0
3
x 其它11<<-x
依据密度函数的性质：⎪⎩⎪
⎨⎧=≥⎰∞+∞
-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案
8. 设X 的概率密度为)(x ϕ,其分布函数F x ,则 D 成立; A 、)()(x F x P =+∞= B 、1)(0≤≤x ϕ C 、P )()(x x ϕ=+∞= D 、P )()(x F x ≥+∞<
9. 如果)(~x x ϕ,而=)(x ϕ 02x x - 其它
211
0≤<≤≤x x ,则P x 5.1≤= C
A 、⎰
-5
.10
)2(dx x B 、⎰-5.10
)2(dx x x C 、0.875 D 、⎰∞
--5
.1)2(dx x
875.08
7
25
.11
1
==
-+⎰⎰
dx x xdx ）（ 10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿,那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数; B A ．0,π B ．0.5π, π C ．0, 1.5π D ．π, 1.5π
依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞
-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案
11. 某厂生产的产品次品率为5%,每天从生产的产品中抽5个检验,记X 为出现次品的个数,则EX 为＿＿＿＿; D A ．0.75
B ．0.2375
C ．0.487
D ．0.25
此题X 服从二项分布b5,0.05,EX=np=50.05=0.25
12. 设X 服从二项分布,若n ＋1P 不是整数,则K 取何值时,PX ＝K 最大 D
A ．K ＝n ＋1P
B ．K ＝n ＋1P －i
C ．K ＝nP
D ．K ＝n ＋1P
解：根据二项分布的正态近似知,当X 接近于EX=np 时取到最大值,由于n ＋1P 不是整数,因此需要寻找最接近np 的整数;
13．设X 服从泊松分布,若λ不是整数,则K 取何值时,PX ＝K 最大 B A ．λ B ．λ C ．λ－1 D ．λ＋1 解：根据二项分布的泊松近似,以及泊松分布的正态近似知：
当EX=λ时取到最大值,因为λ不是整数,而K 必须为整数,因此需要对λ取整
14. )1,0(~N X ,Y=2X －1,则Y~ C
A 、N0,1
B 、N1,4
C 、N-1,4
D 、N-1,3
112124412-=-=-===-=EX X E EY DX X D DY ）（，）（
15. 已知随机变量X 服从参数为2的指数分布,则其标准差为： C A ．2
B ．1/4
C ．1/2
D ．
2
2 随机变量的参数为2,即方差为1/4,标准差则为1/2
16．当满足下列 条件时,二项分布以正态分布为极限分布更准确; D A ．n λ→∞→np , 二项分布的泊松近似 B ．0,→∞→p n
C ．λ→→np p ,0
D ．∞→n
17. 设X ～(10,25)N ,已知8413.0)1(0≈Φ,97725.0)2(0≈Φ,则}{5p X <和}
{20p X >的概率分别为 C
A. 0.0228 , 0.1587
B. 0.3413 , 0.4772
C. 0.1587 , 0.0228
D. 0.8413 , 0.97725
0228.02
1510
201201201587.08413.011115
10
5500000
=Φ-=-Φ-=≤-=>=-=Φ-=-Φ=-Φ=<）（）（）（）（）（）（）（）（X P X P X P
三、计算题：
1. 设随机变量X 的密度函数是连续型函数,其密度函数为：
AX 0＜X ≤1 B －X 1＜X ≤2
0 其它
试求：1常数A 、B;2分布函数Fx3P 21＜2
3
≤X 解：1由X 为连续型随机变量,
)1()(1
:),1()(1f X B x im
f x f x im =-→=→+
+ 即 A B =-⇒1①
同时：⎰=∞
-∞
+1)(dx x f 52=+⇒B A ② ①、②式联系解得：A=1,B=2 2⎰∞-=
,)()(dt t f x
x F
;0)(0=≤x F x 时，则当
当⎰==
≤<22
10)(,1x tdt x x F x o ; 当⎰⎰--=-+=-+=≤<12
1
21)212(21)2(101)(,2122x x x t t dt t x
xdx x F x ;
当x>2时,Fx=1.
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=∴112122
10
)(22
x x x x F 221100>≤<≤<≤x x x x
34
3)21(211)23(21232)21()23()2321(22=⨯--⨯-⨯=-=≤2. 设已知X~)(x ϕ= 0
2x 其它10<② F x
解：① 4
1255
.00
=
=≤⎰
xdx X P ）（ ②
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=∴===⎰⎰∞
-111
00
0222
x x x x x F x tdt dt t x F x
x ，，，）（）（）（ϕ
③
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=∴⋅-='=-=-≤
=≤+=≤=⎩⎨
⎧≤≤=其他）
（
其他）
(0)419
192
)(3
1
)31(
)()()3
1
()31()13()()(~(0)
10(1)(~y y y y y F y y F y X p y X p y Y p y F Y x x X Y X Y Y X Y X φφφφ
3. 设随机变量X 的密度函数为：
ax 0f x= cx + b 2≤x≤4
0 其他
已知 EX ＝2, P14
3
,求a 、b 、c 的值 解：1①⎰⎰=++=++1262)(2
4
02b c a dx b cx axdx
②263
56
38)(240222=++=++=
⎰⎰b c a dx bx cx dx ax EX ③⎰⎰=++=++=<<4
3
2523)(2312)31(b c a dx b cx axdx X p
4
1
,1,41-=
===c b a 联系解得
4．假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X 单位：t,已知X
服从2000,4000上的均匀分布,设每出售这种商品1t,可为国家挣得外汇3万元,但假如销售不出而囤积于仓库,则每吨需浪费保养费1万元,问应组织多少货源,才能使国家的收益最大 解：Y ：每年该商品的出口量 R ：收益
X 的密度函数：-⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=其他,04000
2000,20001)(x x f ,
⎩⎨
⎧
∈<≥--=]4000,2000[,)
(33)(y x y
x y x x y x y x R
⎰∞-∞
+=
dx x f x R ER )()(
⎰⎰+-=
dx y y dx y x y 2000
134********)4(2000 )1047000(1000
1
62⋅-+-=
y y ])3500(825000[1000
12--=y ∴y=3500时,利益最大
5． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 10,30上均匀分布,而经销商店进货量为 10,30 中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求,则可从外部调剂供应,此时一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最小进货量 解：设进货量为a, 则利润为： ⎩⎨
⎧≤≤≤≤----=a
x x a x a x a x a Ma 1030100
)(500300)(500
⎰⎰++-=
dx a x a dx x a EMa )200300(201
30)100600(20110α
52503505.72++-=a a
9280≥EMa 若 即：-7.5α2+350α+5250≥9280
解得：20
3
2
≤α≤26 ∴取最小α=21
上式：其他
30100
20
1)(≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧=-x x f x
6. 某高级镜片制造厂试制成功新镜头,准备出口试销,厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距,为此,厂方面临一个决策问题：① 直接进口,② 租用设备,③ 与外商合资;不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表：
自制 进口 租赁 合资 固定成本万元 120 40 64 200 每件可变成本元 60 100 80 40
已知产品出口价为200元/件,如果畅销可销3.5万件,中等可销2.5万件,滞销只售0.8万件,按以往经验,畅销的可能性为0.2,中等的为0.7,滞销的为0.1,请为该厂作出最优决策; 解：设 =B 销量 ,自制=1A ,进口=2A ,租赁=3A ,合资=4A
总成本=固定成本+销售量可变成本 万件53.2)(=B E
8
.204)4053.2200(20053.2)(6.239)8053.264(20053.2)(213)10053.240(20053.2)(2
.234)6053.2120(20053.2)(4321=⨯+-⨯==⨯+-⨯==⨯+-⨯==⨯+-⨯=A E A E A E A E
∴ 3A 为最优方案,即租用设备;
7. 某书店希望订购最新出版的好书,根据以往的经验,新书销售量规律如下：
的数量;
解：分析：当订货量大于需求量时,则多出的每本处理后亏损2元；当订货量小于需求量的时候,则卖出去一本就可以获利2元;
针对不同的需求量和订货量的收益表如下：
60
1.04003.02004.00
2.020041401.0300
3.0300
4.01002.01003160
1.02003.02004.0200
2.0021001.0100
3.0100
4.01002.01001=⨯+⨯+⨯+⨯-==⨯+⨯+⨯+⨯-==⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=Ey Ey Ey Ey
故订100本较合理;
8. 若连续型随机变量X 的概率是
⎩⎨⎧<<++=)
(010)(2其他）
（x c bx ax x ϕ
已知EX ＝0.5,DX ＝0.15,求系数a, b, c; 解：
⎰
+∞
∞
-=1)(dx x φ
⎰
+∞
∞
-=5.0)(dx x x φ
⎰
+∞
∞
-=+=4.0)(2
2）（ξξφE D dx x x
解方程组得：12=a 12-=b 3=c
9. 五件商品中有两件次品,从中任取三件;设ξ为取到的次品数,求ξ的分布律、数学期望和方差;
解：ξ的分布律为
E ξ= 1.2 ；D ξ= 0.36
10. 某次抽样调查结果表明,考生的外语成绩百分制近似服从正态分布,平均成绩72
分,96分的以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率; 解： X~N72,σ 2
%3.2023.0)24
(
1)72
96(1)96(00==Φ-=-Φ-=≥σ
σ
X P s
即：12224
,977.0)24
(
=⇒=⇒
=Φσσ
σ
o
)12,72(~2
N X ∴
682.0)1()1()12
72
60()127284(
)8460(00=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤≤o o X P 11. 假设一电路有3个不同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服
从参数为λ> 0的指数分布,当三包元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作的时间的概率分布;
解：设Xi 表示第i 个电气之元件无故障工作的时间,i=1,2,3,则X 1X 2X 3独立且同分布,分布
函数为：⎩⎨
⎧<≥-=-0
00
1)(x x e x F x
λ
设Gt 是T 的分布函数; 当t<0时,G t=0
{}{}{}{}{}{}
⎩⎨
⎧<≥-=∴-=-=-----=>-=>>>-=>>>-=>-=≤=≥----)
0(,0)0(,1)(1)(1)]1(1[1)](1[1)]([11,,11)(0333333321321t t e t G e e e t F t X P t X P t X P t X P t X t X t X P t T P t T P t G t t t t t λλλλ时，当
的指数分布服从参数为λ3T ∴
12. 设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度X~N200,182
,求：① 取出的该材料的强度不低于180的概率；② 若某项工程要求所用的材料强度要以99%的概率保证不低于150,问这批材料是否合乎要求 解： ① 8665.0)180(=≥X P ②
9973.0)150(=≥X P 大于0.99,故这批材料合要求;
13. 生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,则这20件产品中,废品不少于3件的概率为多大
解： =“20件产品中废品数目”,)1.0,20(~b l
“初步检查已发现有2件废品”=“ ≥2” “废品数不少于3件”=“ ≥3”
p=0.1 q=0.9 n=20.
%
1.531
.09.020
19.01.020
019.01.020
211920018
2=---
=C
C
C
k
k k k k
C k k
C
k p p p --===≥≥=
≥≥∑
∑
20209.01.020
2
209.01.020
3
20
)
2()3()23(
14. 某公司作信件广告,依以往经验每送出100封可收到一家定货;兹就80个城市中的每一城市发出200封信;求1无一家定货的城市数；2有三家定货的城市数;
解：设发出200封信后有ξ家定货,则ξ∽B200,0.01 ξ近似服从参数为np =λ=2的泊松分布
P ξ=0=1353.0!022
20≈=--e e ,P ξ=3=1804.03
4!32223≈=--e e （1） 无一家定货的城市数为80⨯0.1353=10.82 （2） 有三家定货的城市数为80⨯0.1804=14.43
15. 某企业准备通过考试招收300名职工,其中招正式工280人、临时工20人,报考人数为1657人,考试满分是400分;考后得知,考试平均成绩为166分,在360分以上的高分考生有31人;求：
1为录取到300人,录取分数线应设定到多少 2某考生的分数为256分,他能否被录取为正式工
设成绩服从正态分布,835.0)97.0(0≈Φ,819.0)91.0(0≈Φ, 981.0)08.2(0≈Φ 解：1
9
.25091.03
.93166819.03
.93166
181.03.93166116573003.93166~3.9308.2194981.01941657
31
166
36013601360166~0
02
2=⇒=-⇒=-Φ⇒=-Φ-⇒=>=⇒=⇒=Φ⇒=
-Φ-=≤-=>a a a a a X P N X X P X P N X ）（）（）（）
，（）（）（）（）（）
，（σσ
σσ
σ
因此,分数线应定在250.9分;2
1657
280
165.0835.013.93166256125612560
<=-=-Φ-=≤-=>）（）（）（X P X P 故该考生能被录为正式工;
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 04. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案 同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！ 标红表示正确答案标蓝表示解析 1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。 A普查 B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】 C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】 D统计报表 2、人口普查规定标准时间是为了（）。 A确定调查对象和调查单位 B避免资料的重复和遗漏。 C使不同时间的资料具有可比性 D便于登记资料 【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】 3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。 A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查 4、分布数列反映( )。 A总体单位标志值在各组的分布状况 B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】 C总体单位标志值的差异情况 D总体单位的差异情况 5、与直方图比较，茎叶图( )。 A没有保留原始数据的信息 B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。课本P38】 C更适合描述分类数据 D不能很好反映数据的分布特征 6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。 A大于该组上限的次数是多少 B大于该组下限的次数是多少 C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。课本P33】 D小于该组下限的次数是多少 7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。 A. 200 B. 250 C. 500 D. 300 【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】 8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。 A条形图B直方图 C线图 D饼图
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 031 ) ， 则 a = , b = ??? +=+?==+∞ ∞ -101 33 1 3 1311 dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（?联立解得： 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝()??? ??≥) (0100100 2其他x x ，某 一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
概率论习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=1 1105 .000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数. 解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 ?? ? ??>=<≤<=1 1103 /100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ?? ?≥<=a x a x x F 1 0)(, 它的图形为 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)
P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1 解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为 )3,2,1(27 1)(3=?= =-i i P i ξ 或列表如下: 5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律. 解: 基本事件总数为4 20C n =, 有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为i i i C C n -=4155, 则 001 .017 3191 1718192051234)4(031.017195 2121545171819201234)3(2167.017181914 15231212141545171819201234)2(4696.017181913 14151231314155171819201234)1(2817 .0171913 7123412131415171819201234)0(4 454 20 1 15354 202 15254 203 1515420415=??=???????====??=??????????====?????=?????????????====????=????????????====??=?????????????===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有 ),3,2,1(1331310)(1 Λ=? ? ? ???===-i pq i P i i ξ 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已
概率论第二章练习答案
概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?02x 其它 1 ???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 031 ) ， 则a = , b = ??? +=+?==+∞ ∞ -101 33 1 3 1311 dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（?联立解得： 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则?+∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ? ??≥<≤<=2,110,4/0, 0)(2x x x x x F ，则 P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－? ?=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。 EX = np = DX = npq = ，解之得：n = 8 ，p = 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二 项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 随机变量X ～N （2， σ2），且P （211. ＜X ＜4）=，则P （X ＜0）=＿＿＿＿＿ 12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望)(2X e X E -+= ___4/3________ 13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X －2的期望 E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。 14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________. 3 1,3294)0(9 4 )1(95)1(2 ==?=∴===??=≥p q q X p X p X p
第二章-概率论解析答案习题解答
第二章-概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,) F F ω=、2 (,) T F ω =、3 (,) F T ω =、4 (,) T T ω = 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10 ω→、2 1 ω →、3 1 ω →、4 2 ω →；
(2) 1 2(1)(1)2(1) p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函 数？ (1) 0 21()2021 x F x x x <-???=-≤
概率论第二章习题答案
第二章 条件概率与统计独立性 1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则 42)(,52)(121== A A P A P ，2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 所以题中欲求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1121314252=⋅⋅⋅⋅= 2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两 件都是废品}，显然B A ⊃，则 () 2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 2 2/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂， 则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=()) 1()12(/2 211---=+-M M m M m C C C C M m m M m 4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 ) ()(b a a A P += 甲取出的球可为白球或黑 球，利用全概率公式得 ) |()()|()()(A B P A P A B P A P B P += b a b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得 ) |()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=
(完整版)概率论第二章答案
习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
没有成功的概率是 278. 即278)1(3 =-p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有103 5 =C 种取法. {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =10 1 ; {X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10 3 3523=C C ; {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5 3 3524=C C . X 的分布律是 1. 设X 求分布函数解 (1) F (x )=0, 1,0.15,10,0.35,01,1, 1. x x x x <-??-
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概率论与数理统计第二章习题 1. 试用概率的可加性证明，若时间B 蕴含A ，即B A ì，则必成立 P A B P A P AB -=-（）（）（） 而对任意的两个事件A ，B ，必成立 P A B P A AB P A P AB -=-=-（）（）（）（） []） （）（）（）（）式，有利用（显然） （）（则 若））（（）（）（从而） （）（）（）（的可加性，有： 互不相容，因此由概率与而） （则解：AB P A P AB A P B A P A AB AB A P B A P A B B P A P B A P B A P B P B A B P A P B A B B A B A A B -=-=-?-=-?-=--+=-=--=?**.1 2.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.1，试求 1234()P A B ()P A |B ()P(B |A)()P(A |B)U （）， （）， ， 3 2 )(1)()()(1)()()()|()4(2 .05.01 .0)()()|()3(25 .04.01 .0|)2(8.0)1(.2= --=--== =======-+=B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P A P AB P A B P B P AB P B A P AB P B P A P B A P ）（）（）（）（）（）（）（解： 2. 已知A,B 是独立事件，P(A)=0.3，P(B)=0.6，试求 1234P(A |B)()P(A B)()P(B |A)()P(A |B)U （）， ， ， 7 .0)(1)|()4(4.0)(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3 .0)()|(1.3=-==-==?-+=-+===A P B A P B P A B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A P B A P ）解：（ 3. 设P(A)>0, P(B)>0，求下列四个 P A P AB P A P B P A B +U （），（），（）（），（）数 按由小到大的顺序用不等号“￡ ”连接起来，并分别对每个不等号指明何时为等号？
概率论第二章练习题答案
第二章 练习题 1、设随机变量ξ的分布函数 ⎩⎨ ⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ )0(>λ， 则ξ的密度函数()f x = ⎩⎨ ⎧≤>-0, 00,x x e x λλ 2、~(0,1)N ξ，已知ξ的分布函数{}() (0) P x F x x ξ≤=≤<+∞， 0b >，用分布函数F x ()之值表示概率{}P b ξ>=____[]21()F b -________________. 3、设随机变量ξ的分布函数为()()112F x arctgx x π= +-∞<<+∞则{01}P ξ<<=__14 4、设~(0.8,0.16)N ξ，且有0,1F (2)=0.97725，0,1F (4)=1，0,1F (1.6)=0.9452，则： {0 1.6}P ξ<<=_____0.9545_______。 5、要使函数()() 40 10 0 Ax x x x x ϕ⎧>⎪ +=⎨⎪≤⎩ 是某个随机变量的概率密度，则 A 的值应是 ______6______。 6、设~(3,4)X N ，若{}{}P X C P X C ≥=<，则C=_______3_________ 7、若~(1,4)X N ，则Y=2X+1～____(3,16)N ____ ____ 8、设随机变量X 在[1,4]上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立实验，则至少有两次观察值大于2的概率是 27 20 9、已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为 ,162,85,43,21c c c c 则c = 2 10、设随机变量X 的概率密度⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧<<=其他 0, 102)(x Ax x f 常数A = 1 11、设ξ服从泊松分布，且已知)2()1(===ξ ξP P ，则= =)0(ξP 2 -e 。 12、若连续型随机变量)10,10(~2N X ,则10 10 -= X Z ,服从)1,0(N 分布。 13、设随机变量X 的分布律为：
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布 基础训练Ⅰ 一、选择题 1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。 A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2 P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2 C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1 P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1() 1( =+= k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布。 A ）2 B ）1 C ）1/2 D ）3 3、设⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ） A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数 4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ） A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/2 5、设随机变量),(~2 σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ） A) 0 B) μ C) μ- D) σ 二、填空题 1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。 2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛5.03.02.0210 ，则P (X ≤1.5) = 0.5 。 3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩ ⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2 x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1, 1/2）内 的概率为 1 / 4 。 4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442 =+++K Kx x 有实根的概率为 0.6 。 5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案） 一、单项选择题 1．已知连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0, 0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ） （A ）0,1== b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π 21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ） A. f （x ）={x a e −x 22a ,x ≥01, x <0 (a ＞0); B. f （x ）={1 2cosx, 0< x <π0, 其他 C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他 D. f （x ）={sinx, −π2< x < π 2 0, 其他 3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续 4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --= 5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ， ()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）. （A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10 }P X （ C ） A.递增 B.递减 C.不变 D.不能确定
概率论与数理统计-第二章习题附答案
概率论与数理统计-第二章习题附答案
习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
{P Y ≥3 2191}1{0}1() . 3 27 P Y =-==-= 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278 ) 1(3 = -p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且 {1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 X 的分布律是 X 3 4 5 P 110 310 3 5 习题2-3 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},
(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（一） 一．选择题： 1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ] （A ） 1234111124816 X x x x x p （B ） 123411112488 X x x x x p （C ） 123411112 3 4 12 X x x x x p （D ） 1234 11112 3 412 X x x x x p - 2．设随机变量ξ的分布列为 0123 0.10.30.40.2 X p )(x F 为其分布函数，则)2(F = [ C ] （A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题： 1．设随机变量X 的概率分布为 012 0.20.5 X p a ，则a = 0.3 2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35; P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/35 3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k k k C -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7) 三、计算题： 1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X > (1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18; P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9; P{X=6}= P{X=8}=5/36; P{X=7}=1/6 (2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=0 2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
《概率论与数理统计》第二章习题解答
第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 所以X 的分布律为： 2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=⨯= === ⨯==== ⨯= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 3522 )0(315 313===C C X P 3512)1(3 152 13 12=⨯==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ⨯= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0
概率论与数理统计-第二章习题附答案
概率论与数理统计-第二章习题附答案 LT
习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
{P Y ≥3 2191}1{0}1() . 3 27 P Y =-==-= 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278 ) 1(3 = -p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且 {1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 X 的分布律是 X 3 4 5 P 110 310 3 5 习题2-3 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},
第二章 概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 、 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X = 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数 (1) 021()2021 x F x x x <-⎧⎪⎪ =-≤<⎨ ⎪≥⎪⎩； (2) 2 1 ()1F x x = + ()x -∞<<+∞. : 解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=； (0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数. (2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为
(1)0 ()00 x A e x F x x -⎧-≥=⎨ <⎩ 求常数A 及(13)p X <≤ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 > 2 00()0111 x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩ 求常数A 及(0.50.8)p X <≤ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N = 求常数a 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 > 11N k a N ==∑ 1a ⇒=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且
