实变函数测试题与答案
实变函数试题
一，填空题
1. 设1,2n A n ??=????
, 1,2n =L , 则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为
3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0
x y x x ?
≠?=?? =?的图形上的点所组成
的 集合，则E '= ，E ?
= .
4. 若集合n
E R ?满足E E '?, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:
, .
6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则
mE = .
7. 若()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}
()n f x 在E 上
.
8. 设n
E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0
x 是E 的聚点.
9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是
E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有
, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{}
()j n f x , 使得 .
二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.
3. 点集11,2,,E n ?
?
=???
?
L L
的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.
5. 若n
E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题
1. 证明:()()()A B C A B A C --=-U I
2. 设M 是3
R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.
3. 设n
E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L .根据题意,
若有
()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.
4. 设P 是Cantor 集, (
)[]3
2ln 1,(),0,1x x P f x x x P
?+ ∈?=? ∈-??.
求1
0(L)()f x dx ?.
5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0
P
的余集中长为13n 的构成区间上取值为1
6
n , ()1,2n =L , 求
1
()f x dx ?
.
6. 求极限: 1
3230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.
实变函数试题解答
一 填空题 1. []0,2.
2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a
π
π???=--∈??-??
3. {}
1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??
=≠≤????
U ; ?.
4. 闭集.
5. (),.,.G G G αβαβ? ? ?
6. b a -.
7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对0
00,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.
9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞
?-≥?=?? 10. ()()n f x f x → a.e.于E . 二 判断题
1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但
1mA mB ==.
2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.
3. F . 由于{}0E E '=?.
4. F . 例如, 在1
R 中, 1
1,1n F n n ??=-????
, 3,4n =L 是一系
列的闭集, 但是3
(0,1)n n F ∞
==U 不是闭集.
5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,
使得E I ?, 则
**
,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ . 三, 计算证明题. 1. 证明如下:
()()()()()
()()()S S
S S S A B C A B C
A
B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-I ?U I
2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.
3. 令1
i i B B ∞
==U , 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故
()()**0i m B E m B E ≤-≤-,
令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而
()E B B E =--可测.
4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则
()1
320
221
1
30
(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()13
3
P
G
G
P
G
f x dx x dx x dx
f x dx
x dx x dx
f x dx
x
=++ =0+ =+ = =
=???????.
5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G ,
2G L , 其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为1
3
n
的构成区间(共有1
2
n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并
且注意到题中的00mP =, 可得
1
1
11
1
11
1()()()()()1
()6
1
12663111
2
916n
n P G P G n n
P G n n n n n
n
n n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞
=∞
=∞
=-∞
∞
==∞
==
+ =+ =
+
=0+=
? =?=
?
?
?
∑??
∑?
?
∑∑
∑U
6. 因为3
23
sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +?存在且与13
230(L)sin 1nx nxdx n x
+?的值相等. 易知
3
2
3
232323
211sin 111nx nx nx nx n x n x n x ≤≤≤+++
由于1
在()0,1上非负可测，
且广义积分10
1?收敛，则
1
在()0,1上(L)可积， 由于3
23
lim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到
1
133
23230013
2301
lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100
n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dx
n x dx →∞→∞
→∞=++?? = ?+?? ==????.
一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。 3. 若m E=0，则E 为可数集
4. 若 |f(x)| 在E 上可测，则f(x) 在E 上可测
5. 若f(x) 在E 上有界可测，则f(x) 在E 上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分） 1. ______可数集之并是可数集。
A. 任意多个
B. c 势个
C. 无穷多个 D 至多可数个 2. _____闭集之并交是闭集。
A. 任意多个
B. 有限个
C. 无穷多个 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是_____
A 开集
B 闭集
C F 型集
D G 型集
4.若 |f| 在E上可积，则_______
A. f在E上可积
B. f 在E上可测
C. f 在E上有界
D.
f在E上几乎处处有限
三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。
四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：
1.S-S=(S-S)
2.E[f a]=E[f>a-]
五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）
六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) 于E，且
|f|d|f|d，则对任意可测子集e E有
|f|d|f|d（7分）
七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）
1.sin(nx)d=
2.设f(x)=求d=
3.设f(x)= n=2,3,…, 求d=
一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)
1.非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所
有子集全体不可数，但其势大于c）。
2.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。
3.若m E=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测
度为0，但是C势集）。
4.若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！
如）
5.若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正
确！如有界可测，但不可积）
二、将正确答案填在空格内
1．至多可数个可数集之并是可数集。
A. 任意多个势个 C. 无穷多个 D 至多可数个
2.有限个闭集之并交是闭集。
A. 任意多个
B. 有限个
C. 无穷多个 D 至多可数个
3.可数个开集之交是 G型集
A开集 B闭集 C F型集 D G型集
4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限
A. f在E上可积
B. f 在E上可测
C. f 在E上有界
D. f 在E上几乎处处有限
三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。
四、证明下列集合等式
=(S-S)
解：
=(S-S)
2。E[f a]=E[f>a-]
证明：
所以，同理，故
五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。
证明：（分析法证明）设
要证为开集，只须证明
事实上，取时，自然有
。
故为开集。
无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则
=既不是开集，又不是闭集。
六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，
f(x)f(x) 于E，
且|f|d|f|d，
则对任意可测子集e E有
|f|d|f|d
证明：因为f(x)f(x) 于E，对任意由Fatou引理知
|f|d≤|f|d
而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：
一方面|f|d= |f|d≤|f|d
另一方面，|f|d= |f|d≤|f|d |f|d= |f|d= |f|d- |f|d |f|d
故|f|d≤|f|d≤|f|d
即|f|d=|f|d
七、计算下列各题：
1．sin(nx)d=？
解：因为sin(nx) 0于[0，1]
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且||≤1
则由Lebesgue控制收敛定理知：
sin(nx)d=sin(nx)d=0 2．设f(x)=求d=？
解：
所以
3．设f(x)= n=2,3,…, 求
d =？ 解：因为f(x)=
n=2,3,…,在
上非负可
测，所以由Lebesgue 逐块积分定理知：
d =
。
一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)
1.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的导集Q '是 【 】
(A) Q (B) φ (C) R (D)Q R - 2.设{}n F 是一列闭集，Y ∞
==1
n n
F F ，则
F
一定是
【 】
(A)开集 (B)闭集 (C) δG 型集 (D) σ
F 型集 3.设E
是
R
中有理数全体，则=mE
【 】
(A) 0 (B)1 (C)＋∞ (D)-∞
4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 【 】
(A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，
孤立点
(C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点
5.设
P
是Cantor 集，则
【 】
(A) P 与n R 对等，且P 的测度为0 (B) P 与n R 对等，且P 的测度为1
(C) P 与n R 不对等，P 的测度为0 (D)
P
与n R 不对
等，P 的测度为1
6. 设)
(x f 与
)
(x g 在
E
上可测，则[]g f E ≥是
【 】
(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集
(D) 无法判定
7. 设)(x f 在可测集E 上有定义，{}n x f x f n ),(m in )(=，则)(x f n 是
(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列
(D) 连续函数列
8. 设E 是任一可测集，则 【 】
(A) E 是开集 (B) E 是闭集 (C) E 是完备集
(D) 对任意0>ε，存在开集E G ?，使ε<-)(E G m 9
．
设
??
?-∈+∈=Q
Q ]1,0[21]1,0[2sin )(x,x x,x x f I ，则
=?
]
10[,f(x)dx
【 】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
10．设{}n f 是E 上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意
0>σ，有下面条件成立，则{})(x f n 依测度收敛于
)(x f ． 【 】
(A) []0)()(lim >≥-∞→σx f x f mE n n (B) []0)()(lim <≥-∞
→σx f x f mE n n (C) []0)()(lim ==-∞
→σx f x f mE n n (D) []0)()(lim =≥-∞
→σx f x f mE n n
二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)
1.鲁津定理 引理
三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分) 1. 若
E
与它的真子集对等，则
E
一定是有限
集． 【 】
2. 凡非负可测函数都是
L
可积
的． 【 】 3.设
A
为
1
R 空间中一非空集，若
.
a A ≤'则.a A ≤
【 】
4.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ?，且
0)(=-F E m ． 【 】
5.
)
(x f 在[]b a ,上
L
可积，则
)
(x f 在[]
b a ,R
可积且
(
【
】
四、证明题(共4题，每题10分，共40分)
1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．
2.n R 上全体有理数点集的外测度为零．
3.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E ，则h f ≤e
a .于E ．
4.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0)()(lim
0=-+?→dx x f t x f b
a t ．
判断题（每题2分，共20分） 1.
必
有
比
a
大的基数。
（ ） 2.
无
限
个
闭
集
的
并
必
是
闭
集
。
（ ） 3.若0
=mE ，则
E
是至多可列集。
（ ） 4.
无
限
集
的
测
度
一
定
不
为
零
。
（ ）
5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。 （ ）
6.若)(x f 在E 的任意子集上可测，则)(x f 在可测集E 上可测。 （ ）
7.
E
上可测函数列的极限函数在
E
上不一定可测。
（ ） 8.
)
(x f 是
E
上的可测函数，则
)
(x f 可积。
（ ）
9.若0)(≥x f 且?=E dx x f 0)(，则f ..0)(e a x =于E 。 （ ）
10.若
|
)(|x f 在
E
上可积，则)
(x f 在
E
上也可积。
（ ）
二、填空题（每题2分，共20分）
1.设Λ,2,1),,0(==n n A n ，则=?∞
=n n A 1 ，=?∞
=n n A 1 。 2.设{}1,,,3,2,1R n A ?=ΛΛ，则=0A ，='A 。 3.设B 是开区间)2,0(中有理点的全体，则=mB 。
4.单调函数的不连续点集的基数是 。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=E 。
6.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件
是 。 7. 狄利克雷函数函数
)
(x D 是 可积的，
=?dx x D )(]
1,0[ 。
三、计算题（每题10分，共20分）. 1.计算dx
x n x
n R n ?
+∞
→1
02
42
12
1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定
理） 2. 设
???∈∈=02
0\]1,0[,;,)(P x x P x x x f ，其中0P 是Cantor 集，试计算
?
]
1,0[)(dx x f 。
四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明：}1|{}0|{1n
x x x x n >=>∞
=Y
2. 设M 是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M 是是至多可列集。
3. 如果0=mE ，则E 的任何子集也可测且测度为零。
4.设)(x f 在E 上可积，且..).()(e a x g x f =于E ，证明：)(x g 也在E 上可积。
5. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ，集合])([r x f E <是可测集。 一、单项选择题（3分×5=15分）
1、1、下列各式正确的是（ ）
（A ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞=??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D)
P P =ο
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成
立的是( )
（A ）若()()n f x f x ?
, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n
f x 是可
测函数
（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?
,则()f x 可
测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）
(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数
（C ）)('
x f
在],[b a 上
L 可积 (D) ?-=b
a a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________
2、设
E
是[]0,1上有理点全体，则
'
E
=______,o
E =______,E =______. 3、设
E
是
n
R 中点集，如果对任一点集
T
都有
_________________________________，则称E 是L 可测的
4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使___________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.
1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。
2、若0=mE ，则E 一定是可数集.
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则
()0E
f x >?
四、解答题（8分×2=16分）.
1、（8分）设
2,()1,x x f x x ?=??为无理数
为有理数
，则()f x 在[]0,1上是否R -可
积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数论课后答案第五章1
实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可
测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章
。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
(0195)《实变函数论》网上作业题及答案
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数历年考试真题汇总
第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号
实变函数测试题与答案
实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余
第三版实变函数论课后答案
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈， 则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ， 则 有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈
实变函数复习题
1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e
9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且
11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明
卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限
1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ