2008年高考文科数学试卷中的数列题浅析

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2008年高考文科数学试卷中的数列题浅析
河南 木山
文章来源：2008年下半年度《试题与研究》

数列
在高中数学教学大纲中只有12课时
在考纲中也只是要求
理解数列的概念
了解数列通项公式的意义
了解递推公式是给出数列的一种方法
并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念
掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
并能解决简单的实际问题；理解等比数列的概念
掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
并能解决简单的实际问题
等等．但是
在历年的高考中
都把数列当作重要的内容来考查
题目有一定的难度、深度和综合程度
在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用．
纵观2008年全国各省的高考文科数学试卷
涉及数列的题目大都是"一小一大"
分值17分左右
约占试卷总分值的
难度大都为中低档
但也有少数省份将数列题作为把关、压轴题
如安徽卷、上海卷的第21题
重庆卷的第22题等．下面
我们仅对其中的一些题目进行简要的分析．
例1设{an}是等差数列
若a2=3
a=13
则数列{an}前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题）
略解：∵ a2 +a= a+a=16
∴{an}前8项的和为64
故应选C．
例2 已知等比数列满足
则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243 （全国Ⅰ卷第7题）
答案：A．
例3 已知等差数列中


若
则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186 （北京卷第7题）
略解：∵a-a=3d=9
∴ d=3
b=
b=a=30
的前5项和等于90
故答案是C．
例4 记等差数列的前项和为
若
则该数列的公差（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7 （错误！链接无效
第4题）
略解：∵,故选B.
例5在数列中


,其中为常数
则 ．（安徽卷第15题）
答案：－1．
例6 在数列中


则（ ）
A． B．
C． D．（江西卷第5题）
答案：A．
例7 设数列中

则通项 ___________．（四川卷第16题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式
抓住中系数相同是找到方法的突破口．
略解：∵ ∴





．将以上各式相加
得
故应填+1．
例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列
则展开式中x4项的系数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆卷第10题)
答案：B．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题
充分考虑到文、理科考生在能力

上的差异
侧重于基础知识和基本方法的考查
命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主
如
例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题
浙江卷第4题
陕西卷第4题
天津卷第4题
上海卷第14题
全国Ⅱ卷第19题等
都是关于数列的客观题
可供大家作为练习．
例9 已知｛an｝是正数组成的数列
a1=1
且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1
bn+1=bn+
求证：bn·bn+2＜b2n+1. （福建卷第20题）
略解：（Ⅰ）由已知
得an+1-an=1
又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项
公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知
an=n
从而bn+1-bn=2n
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+...+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+...+2+1=2n-1．∵. bn?bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ bn·bn+2＜b．
对于第（Ⅱ）小题
我们也可以作如下的证明：
∵ b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=...=2n（b1-2）=-2n<0
∴ bn-bn+2 例10 在数列中

．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．（全国Ⅰ卷第19题）
略解：（Ⅰ）====1
则为等差数列


．
（Ⅱ）
．两式相减
得=．
对于例10第（Ⅰ）小题
基本的思路不外乎推出后项减前项差相等
即差是一个常数．可以用迭代法
但不可由b2-b1=1
b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论
犯"以偏盖全"的错误．第（Ⅱ）小题的"等比差数列"
在高考数列考题中出现的频率很高
求和中运用的"错项相减"的方法
在教材中求等比数列前n项和时给出
是"等比差数列"求和时最重要的方法．一般地
数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身
而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．
例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型
类似的题目还有浙江卷第18题
江苏卷第19题
辽宁卷第20题等
其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识
考查转化与化归思想
考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异
与理科试卷侧重于理性思维
命题设计时以一般数列为主
以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查
以考查具体思维、演绎思维为主．
例11 等差数列的各项均为

正数

前项和为
为等比数列,
且．(Ⅰ)求与； (Ⅱ)求和：．（江西卷第19题）
略解：(Ⅰ)设的公差为
的公比为
依题意有解之
得或(舍去
为什么？)故．
（Ⅱ）
∴ ．
"裂项相消"是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题
其内容还往往是一般数列的内容
其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法
并且往往不单一考查数列
而是与其他内容相综合
以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求
有一定的难度
对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
例12 设数列的前项和为
（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．（四川卷第21题）
略解：（Ⅰ）∵
所以．由知
得
①

．
（Ⅱ）由题设和①式知

是首项为2
公比为2的等比数列．
（Ⅲ）

此题重点考查数列的递推公式
利用递推公式求数列的特定项
通项公式等．推移脚标
两式相减是解决含有的递推公式的重要手段
使其转化为不含的递推公式
从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时
首项是否可以被吸收是易错点．同时
还应注意到题目设问的层层深入
前一问常为解决后一问的关键环节
为求解下一问指明方向．
例13 数列满足（I）求
并求数列的通项公式；（II）设


求使的所有k的值
并说明理由．（湖南卷第20题）
略解：（I）
一般地, 当时

即
所以数列是首项为0、公差为4的等差数列
因此当时
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列
因此故数列的通项公式为
（II）由（I）知

=
于是
.
下面证明: 当时
事实上, 当时
即又所以当时
故满足的所有k的值为3,4,5.
例12、例13代表了另一种重要的题型
从比较抽象的数列入手
给定数列的一些性质
要求考生进行严格的逻辑推证
找到数列的通项公式
或证明数列的其他一些性质．这些试题对恒等证明能力提出了很高的要求
要求考生首先明确变形目标
然后根据变形目标进行恒等变形．在变形过程中
不同的变形方法也可能简化原来的式子
也可能使其更加复杂
所以还存在变形路径的选择问题．
从以上例子不难看出
在考查相关知识内容的基础上
高考对数列的考查把重点放在对数学思想和方法的考查
放在对思维能力以及创新意识和实践能力的考查上．往往突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想等数学思想和方法
除了考查教材中学习的等差数列与等比数列外
也考查一般数列
考查由一般数列

入手
构造等差数列与等比数列的推理和论证方法．
同学们如果有兴趣
可以陕西卷第20题
天津卷第20题
山东卷第20题
广东卷第21题等作为数列综合题的练习．
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