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高中数学椭圆知识点总结及经典习题

圆锥曲线与方程--椭圆

知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；

这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 2

22c

a b =-

①焦点在x 轴上：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）；焦点F （±c ，0）

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）；焦点F （0, ±c ）

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：22

1x y m n

= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

（1）椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b

（2）椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a

2.对称性

椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）

（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

22c a ，即a

称为椭圆的离心率，记作e （10<

1()b e a a

==-c e 0=是圆；

e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;

e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

小结一：基本元素

（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的内部22

00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

1(0)x y

a b a b +=>>的外部2200

221x y a b

?+>.

6.几何性质

（1）点P 在椭圆上，最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠ （2）最大距离，最小距离 7.直线与椭圆的位置关系

（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法

例题讲解：一.椭圆定义：１．方程

()()10222

2=+++

+-y x y x 化简的结果是

2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是

3.已知椭圆22

169

x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为

二．利用标准方程确定参数

1.若方程25x k -+2

3y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .

（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .

2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是，离心率等于 ,

3．椭圆22

14x y m

=的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为

4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

四．焦点三角形

1．椭圆22

1925

x y +

=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ?的周长是。 2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ?的周长是多少？21F PF ?的面积的最大值是多少？

3．设点P 是椭圆22

12516

x y +

=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ?的面积为。

变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点．若?=∠6021PF F ，求21F PF ?的面积．

五．离心率的有关问题

1.椭圆1422=+

m y x 的离心率为2

，则=m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．

六、最值问题：

1、已知椭圆2

214

x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。

2.椭圆2

214

x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，

七、弦长、中点弦问题

1、已知椭圆1422=+y x 及直m x y +=线．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5

2，求直线的方程．

2已知椭圆12

=+y x ，

(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程

（2）求过点??

??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；

同步测试

1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )

A 圆

B 椭圆

C 线段

D 直线

2、椭圆

1169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则?CDF 1的周长为______ 3已知方程

111x y k k

+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -10 C k ≥0 D k>1或k<-1

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)

5.椭圆22

221(0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。

若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为_________

6已知椭圆的方程为22

143

x y +

=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=?,求12PF F ?的面积

7.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为

8.椭圆

136

1002

2=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是 9．已知椭圆)5(1252

22>=+a y a

x 的两个焦点为1F 、2F ，且821=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长

10、椭圆32x ＋2

2y =1与椭圆22

x ＋32y =λ(λ>0)有

(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对

11、椭圆192522=+y x 与125922

=-+-λ

λy x （0

(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴

12.点P 为椭圆116

252

2=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF ?的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.

感受高考

1．分别过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A ．(0,1)

B.? ????

0，22 C.? ??

??22，1

D.?

????

0，22

2．椭圆x 2100＋y 2

64＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )

A.643

B.9133

C.1633

D.643

3．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )

4已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，

则椭圆的离心率等于( )

A.3＋1

B.5－12

C.3－1

D.5＋12

5．已知椭圆x 24＋y 2

2＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝8

3；正确结论的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

6．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．

8若椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)与曲线x

2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范

围是________．

9．已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x2

25＋

9＝1上，则

sin A＋sin C

sin B＝

________.

10．已知椭圆C：x2

a2＋

b2＝1(a>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；.

11．椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝1

2. (1)

求椭圆E的方程；

高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1)

椭圆题 1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、已知1 F 、2 F 是两个定点，且4 2 1=F F ,若动点P 满足4 2 1 =+PF PF 则动点P 的轨迹是（） A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、线段 3、已知1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1 F P 到Q ,使得2 PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、点 4、已知1 F 、2 F 是平面α内的定点，并且) 0(22 1>=c c F F ，M 是α 内的动点，且a MF MF 221 =+,判断动点M 的轨迹. 5、椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1 F 的距离为2，N 为1 MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。 6、若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围. 7、轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件

8、已知方程 11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 . 9、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 10、方程2 31y x -= 所表示的曲线是 . 11、如果方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 12、已知椭圆0 6322 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 13、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点) 2,3(),1,6( 21 --P P ,求椭圆方程. 15、以)0,2(1 -F 和)0,2(2 F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为。 16、如果椭圆：k y x =+22 4上两点间的最大距离为8，则k 的值为。 17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆 36 94:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C

高中数学椭圆经典例题(学生+老师)

（教师版）椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．

例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得．故．例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标

椭圆典型题型归纳(供参考)

椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；练习： 1.6=对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>

高中数学椭圆大题之向量综合

高中数学椭圆大题之向量综合题型一：单一共线型例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当?? ? ???∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围. 例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆13 22 =+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMF OME S S ??= λ，求λ的取值范围.

练1、椭圆12322 22=+c y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率. 练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆13 22 =+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若F F 215=，求点A 的坐标.

题型二、点在曲线上例1、已知椭圆2 2 2 33b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且 OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值. 练1、椭圆C:12 32 2=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有 +=成立？若存在，求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.

练2、设动点P 满足OM 2+=，其中M,N 是椭圆C:12 42 2=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为2 1 - ，求P 的轨迹.

(完整版)椭圆知识点复习总结

椭圆知识点总结复习 1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB 上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程 2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 例二：设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP 平行，求离心率e

2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求）（1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；（3）相离：0?>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2 e = （1）求椭圆的方程（2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：2 121 2 AT AF F =. ?4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。例五：已知椭圆22 221x y a b +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：10/3）；例六：椭圆1342 2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3 6 2( -）； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：0||S c y =，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；

高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M

椭圆的常见题型及解法一

椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴ ，证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 11 PF e d ，又，所以，而。 ∴ ，。

2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为，则、、。 ∵ ，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。例2.12,F F 是椭圆22 14x y + =的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，则1020332,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P Q 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。解：由已知可得，所以直线AB 的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。