数列高考题汇总
数列高考专题
考试内容：
数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．§ 03. 数列知识要点
1.⑴等差、等比数列：
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① a n a n 1 d （n 2,d 为常数 ）
②2
a n a n 1 a n 1（ n 2）
③ a n kn b （n,k 为常数 ）. ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① a n a n 1q （n 2, q 为常数 , 且 0）
2
②
a n a n 1 a n 1（ n 2 ， a n a n 1a n 1 0）
注①： i. b ac ，是 a 、b 、c 成等比的双非条件，即 b ac a 、b 、c 等比数列 .
ii. b ac （ ac >0）→为 a 、b 、c 等比数列的充分不必要 iii.
b a
c →为 a 、b 、 c 等比数列的必要不充分
iv. b ac 且 ac 0 →为 a 、b 、c 等比数列的充要 注意：任意两数 a 、 c 不一定有等比中项，除非有 ac >0，则等比中项一定有两个
③ a n cq n
（c,q 为非零常数 ）.
④正数列 { a n }成等比的充要条件是数列 { log x a n }（x 1）成等比数列 s 1 a 1 （n 1）
⑷数列 {
a n }的前 n
项和 S n 与通项 a n 的关系： an
s s （n 2）
s n s n 1（n 2）
代入 n 到2n 1得到所求项数 .
3. 常用公式：① 1+2+3 ?+n =
nn 1
［注］： ①a n a 1 n 1d nd a 1 d （ d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也
是 等差数列） d 不为 0 ，则是等差数列充分条件）
a 1 d
a
1
2
d 不为零，则是等差数列的充分条件 . .（不是非零，即不可能有等比数列）
k 倍 S k ,S 2k S k ,S 3k S 2k ...；
n 项和 S n An 2 Bn d
n 2
则是等差数列的充分条件；若 ③非．零．常数列既
可为等比数列，也可为等差数列 2. ①等差数
列依次每
②等差 { a n }前 件→若 d 为零，
→d
可以为零也可不为零→为等差的充要条
2
k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 ②若等差数列的项数为
S 奇
2n n N ，则 S 偶 S 奇 nd ，
S
a
n
a
n 1
；
③若等差数列的项数为
2n 1n N
，则 S 2n 1 2n 1a n ，且 S 奇 S 偶 a n ，
S 奇 n S 偶 n 1
数列高考题汇总
a m 1 0
②1
2 2
2 3
2 n
2 nn 1 2n 1
6
2
③ 13 23 33 n 3
n n 1
n 5 n
［注 ］：熟悉常用通项： 9，99，999，? a n 10n 1 ； 5， 55，555，? a n 10n 1 .
9
4. 数列常见的几种形式：
⑴ a n 2 pa n 1 qa n ( p 、 q 为二阶常数) 用特证根方法求解 .
具体步骤：①写出特征方程 x 2 Px q(x 2
对应a n 2，x 对应 a n 1 )，并设二根 x 1, x 2 ②若 x 1 x 2可设 a n. c 1x n 1 c 2x n 2 ，若 x 1 x 2可设 a n (c 1 c 2n)x n 1；③由初始值 a 1,a 2确定 c 1,c 2 .
⑵ a n Pa n 1 r ( P 、r 为常数) 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为 a n 2 Pa n 1 qa n 的形式，再用特征根方法求 a n ；④a n c 1 c 2P n 1 (公式法)， c 1 ,c 2由a 1 ,a 2确定.
r
①转化等差，等比： a n 1 x P(a n x)
a n 1 Pa n Px x x .
P1
rr
②选代法： a n Pa n 1 r P(Pa n 2 r) r a n (a 1
)P n 1 (a 1 x)P n 1
x P 1 P 1
P n 1
a 1 P n 2
r Pr r .
④由选代法推导结果： c 1
r
，c 2 a 1 r
，a n c 2P n 1
c 1 (a 1
r
)P
n 1
r
.
1 P P 1 P 1 1 P
5. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前 n 项和为 S n ，在d 0时，有最大值 . 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值，有两种方法：
一是求使 a n 0,a n 1 0，成立的 n 值；二是由 S n d
n 2
(a 1 d
)n 利用二次函数的性质求 n 的值.
22 ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比
数列的对应项乘积，求此数列前 n 项和可依照等比
1 1 1
数列前 n 项和的推倒导方法：错位相减求和 . 例如： 1 1
,31
,...(2n 1) 1
,...
2 4 2
n
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相 同项，公差是两个数列公差 d 1，d 2 的最小公倍数 .
2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：
(1)定义法 :对于 n ≥ 2 的任意自然数 ,验证
a
n
a n a n 1 ( n
) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 a
n 1
2
2a n 1 a n a n 2(a n 21 a n a n 2)n N 都成立。
a m 0
3. 在等差数列｛ a n ｝中,有关 S n 的最值问题： (1)当a 1 >0,d<0时，满足 m 的项数 m 使得 s m
③用特征方程求解：
a n 1 Pa n r
a
n
Pa
n 1 r
相减，
a n 1 a n Pa n Pa n 1 a n 1 ( P 1)
a n Pa n 1 .
a m 0
取最大值 . (2)当a 1<0,d>0时，满足 m
的项数 m 使得s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值
a m 1 0
问题时 ,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法
1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
c
2.
裂项相消法 :适用于 其中｛ a n ｝是各项不为 0 的等差数列， c
为常数；部分无理数
a n a n 1
列、含阶乘的数列等。
3. 错位相减法 :适用于 a n b n 其中｛ a n ｝是等差数列， b n 是各项不为 0的等比数列。
4. 倒序相加法 : 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 .
5. 常用结论
n(n 1)
1): 1+2+3+...+n =
2
2
2) 1+3+5+...+(2n-1) = n
2 2 2 2 1
4) 12 22 32
n 2 n(n 1)(2n 1)
6
1 1 1 1
6)
( ) (p q)
pq q p p q
D1 数列的概念与简单表示法
1. [2014 江·西卷] 已知首项都是 1的两个数列 ｛a n ｝，｛b n ｝(b n ≠0，
n ∈N *
)满足 a n b n ＋1－a n ＋ 1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.
(1)令 c n ＝
a b n n
，求数列 ｛c n ｝ 的通项公式； (2)若b n ＝3n －1
，求数列｛a n ｝
的前 n 项和 S n .
2．[2014 ·新课标全国卷Ⅰ ] 已知数列 ｛a n ｝ 的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，a n ≠ 0，a n a n ＋1＝λn S － 1，其中 λ为常数．
(1)证明： a n ＋
2－ a n ＝λ.
3) 13
23
3
3
12
n(n 1)
1 1 1
5)
n(n 1) n n 1 1 1 1 1 n(n 2) 2(
n n 2)
(2)是否存在λ，使得｛ a n｝为等差数列？并说明理由．
3．[2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 已知数列｛ a n｝满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1.
(1)证明a n＋12是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；
1 1 1 3
(2)证明＋＋?＋ < .
a1 a2 a n 2
4．［2014 ·重庆卷］设a1＝1，a n ＋1＝a n2－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列｛ a n｝的通项公式．
(2)若b＝－1，问：是否存在实数 c 使得a2n D2 等差数列及等差数列前n 项和 1．［2014 ·北京卷］若等差数列｛a n｝满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_______________________________________________________ 时，｛a n｝的前n 项和最大． 2. (2009 安徽卷文)已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 3．［2014 ·湖北卷］已知等差数列｛a n｝满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列｛ a n｝的通项公式． (2)记S n为数列｛a n｝的前n 项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． n* 4．［2014 ·湖南卷］已知数列｛a n｝满足a1＝1，|a n＋1－a n|＝p n，n∈N*. (1)若｛ a n｝是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值； 1 (2)若p＝2，且｛a2n－1｝是递增数列，｛ a2n｝是递减数列，求数列 ｛a n｝的通项公式． 5．［2014 ·辽宁卷］设等差数列｛ a n｝的公差为 d.若数列｛2 a1a n｝为递减数列，则( ) A ．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 6．［2014 ·全国卷］等差数列｛a n｝的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4. (1)求｛ a n｝的通项公式； 1 (2)设b n＝，求数列｛b n｝的前n 项和T n. a n a n＋1 7．［2014 ·山东卷］已知等差数列｛ a n｝的公差为2，前n 项和为 S n，且S1，S2，S4 成等比数列． (1)求数列｛ a n｝的通项公式； (2)令b n＝(－1)n－1 4n，求数列｛ b n｝的前n 项和T n. a n a n＋1 8．［2014 ·陕西卷］△ ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C) ；(2) 若a，b，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 9．［2014 ·天津卷］设｛ a n｝是首项为a1，公差为－ 1 的等差数列，S n 为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1 的值为． 10.（2009 宁夏海南卷文）等差数列a n 的前n 项和为S n，已知a m 1 a m 1 a m20，S2m 1 38, 则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 11. （2009 安徽卷理）已知a n 为等差数列，a1+a3+a5=105，a2 a4 a6 =99，以S n 表示a n 的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D）18 12.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列a n的前n项和为S n，若S9 72,则a2 a4 a9= 。 D3 等比数列及等比数列前n 项和 1．［2014 ·重庆卷］对任意等比数列｛ a n｝，下列说法一定正确的是（） A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列 2．［2014 ·安徽卷］数列｛ a n｝是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5 构成公比为q 的等比数列，则q＝. 3．［2014 ·广东卷］若等比数列｛a n｝的各项均为正数，且a10a11＋ a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2 ＋?＋ln a20＝． 4．［2014 ·全国卷］等比数列｛ a n｝中，a4＝2，a5＝5，则数列｛lg a n｝ 的前8项和等于（） A ．6 B．5 C．4 D． 3 2 5.（2009 年广东卷文）已知等比数列｛a n｝的公比为正数，且a3 · a9 =2 a52，a2 =1 ，则a1= 12 A. B. C. 2 D.2 22 6.（2009 广东卷理）已知等比数列｛a n｝满足a n 0,n 1,2, ，且a5 a2n 5 22n（n 3），则当 n 1时，log 2 a1 log2a3 log2a2n 1 2 2 2 A. n（2n 1） B. （n 1） C. n D. （n 1） 7．［2014 ·湖北卷］已知等差数列｛a n｝满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列｛ a n｝的通项公式． （2）记S n为数列｛a n｝的前n 项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 8．［2014 ·四川卷］设等差数列｛ a n｝的公差为d，点（a n，b n）在函数f （x）＝2x的图像上（n∈N*）．（1）若a1＝－2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图像上，求数列｛ a n｝的前n 项和S n； 1（2）若a1＝1，函数f（x）的图像在点（a2，b2）处的切线在x 轴上的截距为2－ln12，求数列b an n的前n 项和T n. 9．［2014 ·浙江卷］已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3?a n＝（ 2）b n （n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1 ＝2，b3＝6＋b2. （1）求a n 与b n. （2）设c n＝a1n－b1n（n∈N*）．记数列{c n}的前n 项和为S n. （i）求S n； （ii）求正整数k，使得对任意n∈均有S k≥S n. D4 数列综合 1. （2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12 分）（注．意．：．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．） 1 n 1 在数列{a n}中，a1 1,a n 1 （1 ）a n n n n 2 a （I）设b n n，求数列{b n} 的通项公式 n （II ）求数列{a n} 的前n 项和S n 2. （2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12 分） 设数列{a n} 的前n 项和为S n, 已知a1 1, S n 1 4a n 2 （I）设b n a n 1 2a n ，证明数列{b n} 是等比数列（II ）求数列{a n} 的通项公式。 3.（2009 山东卷文）（本小题满分12 分） x 等比数列{ a n}的前n项和为S n，已知对任意的n N ，点（n, S n），均在函数y b x r（b 0 且b 1,b,r 均为常数）的图像上. （1）求r 的值； n1 （11）当b=2时，记b n （n N ）求数列{b n} 的前n项和T n 4a n 2015 数列全国高考 1．【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若， 则（） （A）（B）（C）（D） 2．【2015 高考陕西，文13】中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 _______ ． 3．【2015 高考广东，文13】若三个正数，，成等比数列，其中，，则． 4．【2015 高考福建，文16】若是函数的两个不同的零点， 且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 5．【2015 高考浙江，文10】已知是等差数列，公差不为零．若， ，成等比数列，且，则 6．【2015 高考新课标1，文13】数列中为的前n 项和，若，则． 7．【2015 高考安徽，文13】已知数列中，，（），则数列的前9 项和等于 8．【2015 高考福建，文17】等差数列中，，． Ⅰ）求数列的通项公式； Ⅱ）设，求的值． 9．【2015 高考北京， 文16】（本小题满分13 分）已知等差数列满足，． Ⅱ）设等比数列 满足 ， ，问： 与数列 的第几项相等？ 11．【2015 高考广东， 文 19】（本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ， ．已知 ， ， ，且当 时， ． 1）求 的值； 2）证明： 为等比数列； 12．【 2015高考湖北，文 19】设等差数列 的公差为 d ，前 n 项和为 ，等比数列 的公比为 q ．已 知 ， ， ， ． （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）当 时，记 ，求数列 的前 n 项和 ． Ⅰ）求 的通项公式； 10．【 2015 高考安徽，文 18】已知数列 是递增的等比数列，且 Ⅰ）求数列 的通项公式； Ⅱ）设 为数列 的前 n 项和， 的前 n 项和 ． 3） 求数列 的通项公式． ，求数列 13 分）设数的前项和为 13．【2015 高考湖南，文19】（本小题满分，已知， 且， （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求 。 14．【2015高考湖南， 文 21】 （本小题满分 13分）函数 ，记 为 的从小到大的第 个极值点。 （Ⅰ）证明：数列 是等比数列； （Ⅱ）若对一切 恒成立，求 的取值范围。 15．【2015 高考山东，文 19】已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和 为． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ． 16．【 2015 高考陕西，文 21】设 17．【2015 高考四川，文 16】设数列 {a n } （n ＝1，2，3?）的前 n 项和 S n 满足 S n ＝2a n －a 3，且 a 1， a 2＋1，a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前 n 项和为 T n ，求 T n ． 18．【2015 高考天津，文 18】（本小题满分 13 分）已知 是各项均为正数的等比数列 , 是等 Ⅱ）证明： 在 内有且仅有一个零点（记为 差数列 ,且 , 20．【2015 高考重庆，文 16】已知等差数列 满足 =2，前 3 项和 = ． Ⅰ）求 的通项公式， 21．【2015高考上海，文 23】（本题满分 16分）本题共 3小题．第 1小题4分，第 2小题 6分，第 3 小题 6 分． 已知数列 与 满足 ，． （ 1）若 ，且 ，求数列 的通项公式； （ 2）设 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是最大项； （ 3）设 ， ，求 的取值范围，使得对任意 ， ， ，且 ． Ⅰ）求 的前 n 项和． 19 ． 2015 高 考浙 江， 文 17】（本题 满分 15 分 ）已 知数 列 满足， 2）记数列 的前 n 项和为 Ⅱ）设等比数列 满足 = ， = ，求 前 n 项和 ． 和 的通项公式 Ⅱ）设 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a == 所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 海南历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列 试题 1、4．（5分）（2008海南）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n ，则=（ ） A．2B．4C ．D ． 2、7．（5分）（2009宁夏）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（ ） A．15B．7C．8D．16 3、16．（5分）（2009宁夏）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，则m= ． 解答题 1、17．（12分）（2008海南）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5． （Ⅰ）求{a n}的通项a n； （Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值． 2、17．（12分）（2010宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3?22n﹣1 （1）求数列{a n}的通项公式； （2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n． 1 答案 1、解：由于q=2， ∴ ∴； 故选：C． 2、解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1， ∴4a1+a3=2×2a2， 即4+q2﹣4q=0， 即q2﹣4q+4=0， （q﹣2）2=0， 解得q=2， ∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8， ∴S4=1+2+4+8=15． 故选：A 3、解：∵2a m﹣a m2=0， 解得a m=2或a m=0， ∵S2m﹣1=38≠0， ∴a m=2； ∵S2m﹣1=×（2m﹣1）=a m×（2m﹣1）=2×（2m﹣1）=38， 解得m=10． 故答案为10． 解答题 1、解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d ，由已知条件，， 解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5． （Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2． 所以n=2时，S n取到最大值4． 2、解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1 =3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1． 而a1=2， 所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1． （Ⅱ）由b n=na n=n?22n﹣1知S n=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1① 从而22S n=1?23+2?25+…+n?22n+1② 2 历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=，所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ） 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时， 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. （Ⅱ）由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ． . 4、（辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 数列 1（2017山东文）（本小题满分12分） 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 3（（2017新课标Ⅲ文数）12分） 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4（2017浙江）（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n N *∈）． 证明：当n N *∈时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1? x n ≤12 n n x x +； （Ⅲ）112 n -≤x n ≤212n -． 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N ． 5（2017北京理）（本小题13分） 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???， 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时， n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列． 6（2017新课标Ⅱ文）（12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 7（2017天津文）（本小题满分13分） 已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于 0， 1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ， 高考数学经典试题分类汇编一一数列 、选择题 1. （2009福建卷理）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 3 =6,印=4,则公差d 等于 5 A . 1 B - 3 【答案】：C 2.（2009年广东卷文）已知等比数列｛a n ｝的公比为正数，且 a 3 1 2 c A. B. C. . 2 D.2 2 2 【答案】B 【解析】设公比为 q ，由已知得 2 8 4 2 2 2 ag 4 ,即q 2,又因为等比数列｛a .｝的公 比为正数，所以q 2,故 a 1 02 q 1 J 2 2,选B 2 3. ( 2009 广: 东卷理）已 知等 比 数 列{a n } 满足 a n 0,n 1,2,L ,且 a s a 2n 5 ?2 n （n 3），则当n 1 时， log 2 a 1 log 2 a 3 L log 2 a 2n 1 v A. n (2 n 1) B. (n 1)2 C. 2 n D. (n 1)2 【 解 析】 由 2n a 5 a 2n 5 2 (n 3) 得 2 a n 22n , a n 0 ,则 a n 2n , log 2 a 】1 log 2 a 3 log 2 a 2n 1 1 3 (2n 1) 2 n , 选C C.- 2 6 2佝 a 3) 且a 3 a ! 2d 印=4 d=2 .故选C 2 a 9 =2 a s , a 2 =1，则 a i = 4. （2009安徽卷文）已知’妆'为等差数列, 曲］+^3 +门上=105, +说斗+ 口总=99 a ，则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】???a i a3 a5 105即3a3 105 /?a3 35同理可得a4 33 :丿公差d a4 & 2 /? a20 a4 (20 4) d 1 .选B。 【答案】B 5. （2009江西卷文）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a?与a?的等比中项,S832，则S|0等于 A. 18 B. 24 C. 60 D.90 答案：C 【解析】由a：a3a7得佝3d)2佝2d)(a16d)得2a1 3d0 ,再由S8 856d 32 得2a17d8则d2,ai3,所以S10 10a1叫60,. 2 2 故选C 6.（2009湖南卷文）设S n是等差数列a n的前n项和，已知a2 3，a6 11，则S?等于【C】 A . 13 B . 35C. 49D. 63 解：S y 7(a1a?)7(a2a6)7(3 11) 49.故选C. 222 或由a2a1 d 3a 1 1 ,a7 6 2 a6a15d 11d2 所以缶哼49.故选C. 7. (2009辽宁卷文)已知a n为等差数列，且a z — 2 a4 = —1, a3 = 0,则公差d= 1 1 (A)—2 (B)——(C) - (D) 2 2 2 1 【解析】a7 —2a4= a3 + 4d—2(a 3+ d) = 2d=—1 d = -------- 2 【答案】B 8. （2009辽宁卷理）设等比数列{ a n }的前n项和为S n，若 t=3，则 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、（2010新课标卷理） 2020年高考试题分类汇编（数列） 考法1等差数列 1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心由一块圆心石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一层多 9块， 已知每层的环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 2.（2020·全国卷Ⅱ·文科）记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，若12a =-，262a a +=，则10S = . 3. （2020·山东卷）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 ． 4.（2020·上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910 a a a a +++= . 5.（2020·浙江卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠， 11a d ≤．记12b S =，122n n n b S S ++=-，n N *∈，下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =? D.2428b b b =? 6.（2020·北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12n n T a a a =（1,2,n =），则数列{}n T A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 山东历年高考试题 --------数列 20.（本小题满分12分）2013 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2S 2，a 2n =2 a n +1. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n +n n a 2 1 +=λ(λ为常数)，令c n =b 2n n ∈N ﹡，求数列{c n }的前n 项和R n 。 2014年 19.(本小题满分12分） 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 2015年 18．（12分）（2015?山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． （2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且 1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1 (1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 5(2014课标2理)17.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+. 6(2014四川文)19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）. （Ⅰ）证明：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2 -，求数列 2{}n n a b 的前n 项和n S . 8(2014四川理)19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（* n N ∈）. （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2 -，求数列 {}n n a b 的前n 项和n T . 高考数列选择题部分 （2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 （2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条 件中，使得() * ∈ 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2 {}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ， 4a ，8a 成等比数列，则（ ） A. 一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184 B ．174 C ．188 D ．160 2．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 3．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010? B ．20191010? C ．20202020? D ．20192019? 4．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 5．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n n n a a n +=+?，则15a =（ ） 2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 山东历年高考试题 --------数列 20.（本小题满分12分）2013 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2S 2，a 2n =2 a n +1. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n +n n a 21 +=λ(λ为常数)，令c n =b 2n n ∈N ﹡，求数列{c n }的前n 项和R n 。 2014年 19.(本小题满分12分） 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 2015年 18．（12分）（2015?山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． （2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且 1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1 (1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 5(2014课标2理)17.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+. 6(2014四川文)19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）. （Ⅰ）证明：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2 -，求数列 2{}n n a b 的前n 项和n S . 8(2014四川理)19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（* n N ∈）. （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2 -，求数列 {}n n a b 的前n 项和n T . 历年数列高考题大全答 案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113 a =，公比1 3q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =++ +，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)3 1 (311 n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2 ) 1(+- =n n 所以}{n b 的通项公式为.2 ) 1(+- =n n b n 2、(2011全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21 9 q = 。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ?）111111log log ...log n b a a a =+++ 故 1211 2()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21 n n -+ 3、（2010新课标卷理） 设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= 数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1， ， ，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列 满足=1， . （Ⅰ）证明是等比数列，并求 的通项公式； （Ⅱ）证明： . (2015·I)（17）（本小题满分12分） 为数列的前项和.已知， （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)（4）等比数列 满足 ，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 (2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列 前9项的和为27， ，则 （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 (2016·I)（15）设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)（17）（本题满分12分） S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记 ，其中表示不超过的最大整数， 如 . （I ）求，， ； （II ）求数列的前1 000项和. (2016·III)（12）定义“规范01数列” 如下： 共有项，其中项为0，项为1，且对任意， 中0的个数不少于1的个数.若 ，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 (2016·III)（17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和 ，其中 （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求. (2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 (2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 近几年山东高考数列真题 1、2016文理同（19）已知数列{}n a 的前n 项和2 38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）令1 (1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 2、2015山东文科19．已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{ }n n a a +的前n 项和为1 2+n n 。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设b (1)2n a n n a =+，求数列}{n b 的前n 项和n T . 3、2015山东理科（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T . 4、2014山东理科（19）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1 1 4(1)n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 5、2014山东文科(19)在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设(1)2 n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T . 6、2013山东理科（20） 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1 （1） 求数列｛a n ｝的通项公式； 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项 2015《数列》高考真题总结 1．(2015·新课标I 卷13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________. 1.【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 2．(2015·浙江卷10)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________________，d ＝__________________. 2.【答案】2,13-【解析】由题可得，2 1 11(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=， 又因为 1221a a +=，即131a d +=，所以 121,3d a =-= . 3．（2015·安徽卷13）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1 2(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 3.【答案】27【解析】∵2≥n 时，21 ,21121+ =+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，21 为公差的等差数列 ∴ 2718921 289199=+=??+ ?=S 4．(2015·新课标I 卷7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19 2 C ．10 D ．12 4.【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +??=+??，解得数列历年高考真题分类汇编
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