高中数学完整讲义——概率-古典概型与几何概型1.古典概型
版块一：古典概型
1．古典概型：
如果一个试验有以下两个特征：
⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义：
随机事件A 的概率定义为()P A =
A 事件包含的基本事件数
试验的基本事件总数
．
版块二：几何概型
几何概型
事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A
P A μμΩ
=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．
题型一 基础题型
【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一
位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先
到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____
【例2】 （2010崇文一模）
从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．
【例3】 （2010上海卷高考）
从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）．
典例分析
知识内容
板块一.古典概型
【例4】 （2010湖北高考）
投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是
A ．512
B ．12
C ．712
D ．3
4
【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ）
A ．12
B ．1
3
C ．14
D ．16
【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是
（ ）
A ．16
B ． 14
C ．1
3 D ．12
【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？
【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随
意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．
【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通
晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率．
【例10】 （2009江西10）
甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4
个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）
A ．16
B ．14
C ．1
3
D ．12
【例11】 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合
后，从中任取一个小正方体，求：
⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率．
题型二 中档题的常见载体模型
扔骰子硬币 【例12】 将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？
【例13】 将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？
【例14】 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是121110，，的概率依次是123P P P ，
，，则（ ） A ．123P P P =< B ．123P P P << C ．123P P P <= D ．123P P P >=
【例15】 （08江苏）
若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为 ．
【例16】 （广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数）
，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【例17】 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内
的概率是 ．
【例18】 同时抛掷两枚骰子，
⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率； ⑵求点数之和为8的概率；
⑶求至少出现一个5点或6点的概率．
【例19】 某中学高一年级有个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一
班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由．
05123456，，，，，X Y ，2log 1X Y =165361121
212
摸球
【例20】（2009重庆6）
锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）
A．8
91
B．
25
91
C．
48
91
D．
60
91
【例21】口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，
⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？
⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？
⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？
【例22】（2010朝阳一模）
袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,
c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．
⑴写出所有不同的结果；
⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
⑶求至少摸出1个黑球的概率．
【例23】 盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．
⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．
【例24】 有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，
求取出两个同色球的概率是多少？
【例25】 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴
3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，
⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．
【例26】 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码， 设号码为n 的球的重量为
244
433
n n -+
（克）． 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从袋里取出． ⑴ 如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．
⑵ 如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；
⑶ 如果同时任意取出2球， 试求它们重量相同的概率．
【例27】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次
摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）
A ．35
B ．23
C ．59
D ．1
3
【例28】 一个袋子中装有m 个红球和n 个白球（4m n >≥），它们除颜色不同外，其余都相同，现
从中任取两个球．
⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m 必为奇数； ⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足20m n +≤的所
有数组()m n ，．
【例29】 （2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；
乙袋装有2个红球，n 个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球． ⑴ 若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；
⑵ 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为3
4
，求n ．
数字计算 【例30】 用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
【例31】 任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（ ）
A ．1027
B ．13
C ．16
D ．754
【例32】 （08辽宁）
4张卡片上分别写有数字1234，
，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．1
3
B ．12
C ．23
D ．
3
4
【例33】 （2006年北京卷理）在12345，，
，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A ．36个
B ．24个
C ．18个
D ．6个
【例34】 （2007年上海卷文）在五个数字12345，，
，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．
【例35】 （全国）从数字中，随机抽取个数字（允许重复）
，组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为（ ）
0412345，，，，39
A ．
B ．
C ．
D ．
【例36】 从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，
组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率．
【例37】 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一
时刻的四个数字之和为23的概率为（ ）
A ．1180
B ．1288
C ．1360
D ．1480
【例38】 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1218，
，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）
A ．151
B ．168
C ．1306
D ．1408
【例39】 （2009浙江17）
有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，1k +，其中
0,1,2,,1k =．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之
和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）
不小于14”为A ，则()P A =_____________．
【例40】 在900张奖券（奖券号是100999-）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两
个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？
13125161251812519
125
【例41】 某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号对奖，若规定
从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．
【例42】 袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角
的概率是（ ）
A ．115
B ．215
C ．1315
D ．1415
【例43】 （2009江苏）
现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________．
【例44】 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．
【例45】 摇奖器摇出的一组中奖号码为825371，
，，，，，对奖票上的六个数字是从0129，，，，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖
器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（ ）
A ．17
B ．130
C ．435
D ．542
【例46】甲乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3．两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若抽取的两个小球
上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率．
【例47】（2010西城一模）
一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中
随机抽取卡片．
⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．
排列组合相关
【例48】一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为
______．
【例49】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支．求：
⑴A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
⑵A组中至少有两支弱队的概率．
【例50】 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：
⑴恰有一名参赛学生是男生的概率；
⑵至少有一名参赛学生是男生的概率；
⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．
【例51】 （2009上海文）
若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）．
【例52】 有十张卡片，分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、，
⑴从中任意抽取一张，
①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率；
⑵若从中抽出两张，
③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；
【例53】 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出
两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．（结果用分数表示）
【例54】 （06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数e A a
为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a p ，的值分别为（ ）
A ．510521a p ==，
B ．410521a p ==，
C ．521021a p ==，
D ．421021a p ==，
【例55】 （2009江西10）
为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）
A ．3181
B ．3381
C ．4881
D ．5081
【例56】 （2006上海）
两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．
【例57】 （2008四川延8）
在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）
A ．15
B ．12
C ．23
D ．45
【例58】 停车场有10个排成一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的
概率为_______；
【例59】 6个人坐到9个座位的一排位置上，则3个空位互不相邻的概率为 ．
【例60】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到
信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）
A ．445
B ．136
C ．415
D ．815
【例61】 （2009四川文）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司
组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34
是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡． ⑴ 在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
⑵ 在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
【例62】 （08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，
，，进行抽样，先将总体分成两个子总{}12m ，，，和{}12m m n ++，，， （m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P
i j n <≤≤的和等于 ．
题型三 结合其他知识的综合题及杂题
【例63】 已知ABC ∆的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，求ABC ∆是锐角三角形的
概率．
【例64】 （07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的
夹角为θ，则(0]2
θ∈π，的概率是（ ） A ．512 B ．12 C ．712 D ．56
【例65】 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中m n ，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出
现的点数，试求方程有实根的概率．
【例66】 （07四川） 已知一组抛物线2112
y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A ．112
B ．760
C ．625
D ．516
【例67】 （2009安徽）
考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A ．175
B ．275
C ．375
D ．475
【例68】 从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为
_____．
杂题
【例69】 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该
招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．
⑴共有多少个基本事件？
⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？
【例70】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，
⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？
⑵李明三次内打开房门的概率是多大？
【例71】张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率．
【例72】某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：
⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于2次；⑶恰好停车2次．
【例73】
【例74】（2010石景山一模）
为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，
B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合
施工，假设每家企业中标的概率相同．
⑴企业E中标的概率是多少？
⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？
高考数学 17.2 古典概型与几何概型
17、概率 17．2 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概 念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ．4 9 B ．29 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻
钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． [例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了． 某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”． 方案1：总点数是几就送礼券几十元． 方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元． 方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元． 如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决． 【课内练习】
高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解
高考总复习：古典概型与几何概型 【考点梳理】 知识点一、古典概型 1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征 （1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是 1n 。如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。 所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为： 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数n ； （2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ； （3）应用公式()m P A n =求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。 知识点二、几何概型
1. 定义： 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。 所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 类型一、古典概型 例1(2014 四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 错误!未找到引用源。 次，每次抽取 错误!未找到引用源。 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。． (1) 求“抽取的卡片上的数字满足 错误!未找到引用源。 ”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 不完全相同”的概率． 【解析】 (1) 由题意，错误!未找到引用源。 的所有可能为 共 错误!未找到引用源。 种．
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 一）古典概型 （1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ；P （A ）= n m 。 二）几何概型 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积） 的区域长度（面积或体 构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与 线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积 题型一 古典概型 类型1 骰子硬币型 1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ） A ． P1=P2 高中数学讲义 版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件A 的概率定义为()P A = A 事件包含的基本事件数 试验的基本事件总数 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量． 题型一 基础题型 【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一 位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先 到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】 （2010崇文一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______． 【例3】 （2010上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）． 典例分析 知识内容 板块一.古典概型 高中数学讲义 【例4】 （2010湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．512 B ．12 C ．712 D ．3 4 【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．16 【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C ．1 3 D ．12 【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？ 【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随 意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通 晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率． 课题 古典概型与几何概型 教学目标 1、理解古典概型及其概率计算公式。 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 3、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 4、了解几何概型的意义。 重 点 理解古典概型，几何概型的概念 难 点 掌握古典概型，几何概型的概率公式 【知识点梳理】 一、古典概型 1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等 可能性事件 3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等。 4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A 包含的基本事 件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n = 。 二、几何概型 1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。 2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。 3. 几何概型事件的概率计算公式： 积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( 作业 第01讲 事件与概率 高考《考试大纲》的要求： ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 ② 了解两个互斥事件的概率加法公式。 （一）基础知识： 1.事件的概念： （1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A ，B ，C ，…表示。 （2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。 （3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件 （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 （5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 2．随机事件的概率： （1）频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现 的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n n A f A n =)(为事件A 出现的频率。 （2）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动， 即随机事件A 发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事件A 的概率，记作)(A P 。 3．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤， 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 4.事件的和的意义: 事件A 、B 的和记作A+B ，表示事件A 和事件B 至少有一个发生。 5. 互斥事件: 在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 当A 、B 为互斥事件时，事件A+B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B) （A 、B 互斥）. 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++ 。 6．对立事件: 事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件. A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生 这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P (A +A )=P (A )+P (A )=1 当计算事件A 的概率P （A ）比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些，为此有P （A ）=1－P （A ） 7. 事件与集合：从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 事件A 的对立事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =?对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件 （二）典型例题： 例1．将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定 例2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至少有1个白球，都是红球 例3．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为 59％，则乙胜的概率为_____________． 例4．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心（事件A ）的概率为________， 取到方片（事件B ）的概率是 _______．取到红色牌（事件C ）的概率是_______,取到黑色牌（事件D ）的概率是________. （三）基础训练： 1．下列说法正确的是 ( ) A ．任一事件的概率总在(0，1)内 B ．不可能事件概率不一定为0 古典概型与几何概型 古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。 1. 古典概型 古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。 古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。 2. 几何概型 几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。 几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。在 几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。 3. 古典概型与几何概型的联系与区别 古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。 古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。 古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。 4. 古典概型与几何概型的应用举例 古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。以下举两个例子进行说明： （1）例子1：投掷两个均匀的骰子，求两个骰子之和为7的概率。这是一个典型的古典概型问题。由于每个骰子的点数出现的概率都是1/6，所以两个骰子之和为7的概率可以计算为1/6。 古典概型与几何概型 知识归纳 1.古典概型 （1）定义：如果某类概率模型具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有______；②每个基本事件出现的______均等。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型。 （2）古典概型的特点： ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有______； ②等可能性：每个基本事件出现的______均等。 （3）古典概型的概率计算公式： m P n =，其中m表示_________________，n表示 _________________ 2.几何概型 （1）如果某个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型。 （2）几何概型的特点： ①无限性：在一次试验中，可能出现的结果是无限的； ②等可能性：每个结果的发生的机会均等。 （3）几何概型的概率计算公式：_______________. p= 3.几何概型与古典概型的区别： 4.解答概率题的步骤： （1）弄清试验是什么，找出基本事件的构成。 （2）判断概率类型。 （3）找出所求事件，同时弄清所求事迹的构成，并用符号表示。 （4）求概率。 巩固基础 1.下列试验是古典概型的是（）。 A 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件； B为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件； C从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率； D抛掷一枚均匀的硬币到首次出现正面为止。 2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有的种数（）。 A 3 B 4 C 6 D 12 3.将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是（）。 古典概型与几何概型 【知识要点】 一、古典概型 1、基本事件 （1）基本事件的定义 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点 ①任意两个基本事件都是互斥的. ②任何事件都可以表示成基本事件的和. 2、古典概型 （1）古典概型的定义 我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征 古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个： ①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件. ②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的. 【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型. 3、基本事件数的探求方法 （1）列举法：此法适合于较简单的试验. （2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样 在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法： （1）有放回的抽样 每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样 每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次. 5、古典概型的概率计算公式 在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()A m P A n = 事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数. 【注1】()m P A n = 既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ； 一、古典概型 1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件. ２)基本事件得特点: ①任何两个基本事件就是互斥得; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与. ３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是: ①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。 ②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型. ４)基本事件得探索方法: ①列举法:此法适用于较简单得实验. ②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。 5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法: ①有放回得抽样 每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去. ②无放回得抽样 每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次. 二、古典概型计算公式 １)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是; 2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率. ３)事件与事件就是互斥事件 4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。 古典概型注意: ①列举法:适合于较简单得试验。 ②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、 三、几何概型 事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型. 四、几何概型得计算 １)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。 2)两种类型 线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。 面型几何概型:当基本事件受两个连续得变量控制时,一般就是把两个变量分别作为一个点得横坐标与纵坐标,这样基本事件就构成了平面上得一个区域,即可借助平面区域解决、 五、几何概型具备以下两个特征: 1)无限性:即每次试验得结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量得几何区域来表示; 2)等可能性:即每次试验得各种结果(基本事件)发生得概率都相等. 一、古典概型 古典概型就是基本事件个数有限,每个基本事件发生得概率相等得一种概率模型,其概率等于随机事件所包含得基本事件得个数与基本事件得总个数得比值、 【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜得概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇得概率为( ) A、Ｂ. ?? C、??Ｄ. 【答案】D。 【解析】甲、乙在同一组:、甲、乙不在同一组,但相遇得概率:. 【点评】 古典概型与几何概型 一、古典概型 1、定义 （1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。 比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。 2、古典概型中事件概率的计算 设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件 两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1 }{n i n P i ==ω 若事件A 包含m 个样本点，即{} ωωωi i i A m ,,,21 =， 则有 ： 中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数 发生的基本事件数使A = n m = 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.75 2．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 3.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 3.2.1 古典概型 一、学习目标 1．理解古典概型及其概率计算公式； 2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 二、新课感知 问题:单选题是标准考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？ 三、自学探究 考察两个试验，完成下面填空： 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币； 试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子。 (1)在试验一中，每次试验可能的结果有_______个，即_____________或________________；在试验二中，每次试验可能的结果有____个，即出现______、______、______、______、______、_______；它们都是随机事件，我们把这些随机事件叫做________，它们是试验的每一个结果。 (2)基本事件有如下的特点： （1）_______________________________; （2）_____________________________________。 问题1：从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同的字母的试验中，有几个基本事件？分别是什么？ 发现两个试验和问题1的共同特点： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。 探究2： 问题1: 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率是多少？ 问题2: 掷一枚质地均匀的骰子,出现各个点数的概率是多少？ 问题3: 掷一枚质地均匀的骰子,出现偶数点的概率是多少？ 四、知识总结 对于古典概型，任何事件A 发生的概率计算公式为： 五、典例探究 例1、一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中两个红球，记为21,A A , 四个黑球，记为4321,,,B B B B , 从中一次摸两个球。 （1）写出所有的基本事件； （2）求摸出的两个球的颜色不同的概率 版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件A 的概率定义为()P A = A 事件包含的基本事件数 试验的基本事件总数 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量． 题型一：一维情形 【例1】 在区间[010]，中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______． 【考点】几何概型:一维情形 【难度】1星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】几何概型，只能在(610]，取数，所求概率为1062 1005 -=-． 【答案】 25 ； 知识内容 典例分析 板块二.几何概型 【例2】 在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方 形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（ ） A ．56 B ．12 C ．13 D ．16 【考点】几何概型:一维情形 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】能在6~9cm 处取，几何概型，所求概率为961 186 -=． 【答案】D ； 【例3】 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距 离都大于1m 的概率为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．23 【考点】几何概型:一维情形 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】只能在绳子的中间那1m 处，因此概率为1 3． 【答案】B ； 题型二：二维情形 【例4】 某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各 点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A ．113 B ．19 C ．14 D ．12 【考点】几何概型:二维情形 【难度】1星 第五节 古典概型与几何概型 一、基础知识 1.古典概型 (1)古典概型的特征： ①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的. 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. (2)古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ； ②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ； ③利用古典概型的概率公式P (A )＝m n ，求出事件A 的概率. (3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计 算公式 频率计算中的m ，n 均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值m n 古典概型的 概率计算公式 m n 是一个定值，对同一个随机事件而言，m ，n 都不会变化 2.几何概型 (1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. (2)几何概型的基本特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式： P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型应用中的关注点 1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性. 考点一 古典概型 [典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23. 在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.1 12 B.114 C.115 D.118 (2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( ) A.736 B.12 C.1936 D.518 [解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝345＝115 . (2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ 1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *，所以a 和b 的组合有36种. 若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解， 则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a . 当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4时，a 可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6. 满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝1936. [答案] (1)C (2)C [题组训练] 1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( ) A.310 B.35 C.25 D.15 概率专题——古典概型与几何概型 4、盒中有9个球，其中4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色以外完全 相同。 （1） 从盒中随机取2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P （2） 从盒中一次取4个球，其中红球、黄球、绿球的个数记为 x1、x2、x3，随机 数学学院，其余7名来自物理、化学等其他各不相同的 7个学院，先从10名同学 一、 知识梳理： 1、 古典概型： 性质： 公式： 2、 几何概型： 性质： 公式： 二、 例题： 1、 花园小区有块三边长分别为5m 、5m 、6m 的三角形绿化地，有只小花猫在其内 部玩耍，若不考虑小花猫的大小，则在任意的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的 距离均超过2m 的概率是 ___________________ 2、 欧阳修《卖油翁》中写到：“翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油 沥之，自钱孔入，而钱不湿”。可见“行行出状元,卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜 钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上第一滴 油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为 0.2cm 的球）正好落入孔中的概 率是 _____________________ 中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （1） 求选出3名同学是来自不同学院的概率； （2） 设X 为选出同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列。 变量X 表示x1、x2、x3中的最大数，求X 的分布列及数学期望 3、某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中3名同学来自 5、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4个卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张。 6、求所取3张卡片上的数字完全相同的概率P 7、X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列及数学期望。 第66讲 古典概型和几何概型概率的解法 【知识要点】 一、古典概型 （1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型. (2)特点：①试验结果的有限性 ②所有结果的等可能性 (3)古典概型的解题步骤 ①求出试验的总的基本事件数n ;②求出事件A 所包含的基本事件数m ；③代公式 ()P A = n m A 总的基本事件个数包含的基本事件数。 （4）基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）. 二、几何概型 （1)定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。 （2）特点:①试验结果的无限性 ②每个结果发生的等可能性 （3）几何概型的解题步骤 首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）;接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度(角度、弧长等），最后代公式 构成事件A的区域长度P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度 ；如果是二维、三维的问题,先设出二维或三维变量，再列出试验的全 部结果和事件A 分别满足的约束条件,作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。 （4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置,再解答.一般与线性规划知识有联系。 三、求事件的概率 计算概率首先是读题审题,然后是概率定性(六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件)，再代公式. 【方法讲评】 第二节概率古典概型 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 第二节概率、古典概型 除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次实验中都有可能发生，也有可能不发生.人们常常希望了解某些事件在一次实验中发生的可能性的大小.为此，我们首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而我们再引出表示事件在一次实验中发生的可能性大小的数——概率. 1.频率 定义1.1设在相同的条件下，进行了n次实验.若随机事件A在n次实验中发生了k次，则比值k/n称为事件A在这n次实验中发生的频率 率fn高中数学完整讲义——概率_古典概型与几何概型1.古典概型
古典概型与几何概型
高中数学复习讲义——(19)概率
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
古典概型和几何概型
古典概型与几何概型
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高考数学讲义概率_古典概型与几何概型.板块二.几何概型.教师版
高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第五节 古典概型与几何概型)
古典概型与几何概型
2018年数学常见题型解法归纳第66讲古典概型和几何概型概率的解法
第二节概率古典概型