初三数学总复习专题 将军饮马

第6周初三数学总复习专题——线段和差最值

探究一：线段和最小

（1）如图：定点A、B在直线l上方，

P为直线l上的一个动点，请画

出P A+PB最小时点P的位置。

（2）点A、B在直线l两侧，动点

P、Q在直线l上且PQ = 2cm，

请画出P A+QB最小时点Q的位置。

探究二：线段差最大

（1）如图：定点A、B在直线l的两侧，P为

直线l上的一个动点，请画出PB PA

-

最大时点P 的位置。

（2）定点A、B在直线l的上方，动点P、Q在

直线l上且PQ=2cm，请画出BQ PA

-最大

时点Q的位置。

运用:

1．已知：如图B、Q分别是等腰三角形、菱形、正方形边上及抛物线上的点，点P是AC上的一个动点，请分别画出PB+PQ最小时点P的位置。

2．小明做折线跑游戏：如图从A点出发跑到直线m上一点

P处插一面小旗，再跑到直线l上一点Q处插第二面小

旗、最后跑到终点B，请你帮忙找到使小明奔跑路程最

小的P、Q的位置。

3．小溪南北平行的岸边有两村庄A、B，为方便

两村村民来往，欲建一桥PQ（桥垂直于两平

行岸，Q在m上）如图请画出使来往路程最

短的桥PQ的位置。

4.(2013泉州市质检题)已知：在平面直角坐标系中，A(1，5)、B(3，2)若动点P的坐标为（0，m),求△P AB的周长最小时m的值.

变式1：若动点P的坐标为（0，m),求m为何值时，PB PA

-值最大

变式2：已知：在平面直角坐标系中，A(1，5)、B(3，2)，

若点C、D的坐标分别为(0，a)、(0，a+4)，

求四边形ABCD的周长最小值时a的值。

5.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，F为AB上的一点，P为AC上一个动点，?若BE=1，AF=2，则PF+PE的最小值为．

?若E、F也是动点，则PF+PE的最小值为．

6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP 平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON

P E

F

的面积为 ．

7．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A ，B ，D 均在格点上，点E 、F 分别为线段BC 、DB 上的动点，且BE=DF ．

（Ⅰ）如图①，当BE=时，

计算AE+AF 的值等于

（Ⅱ）在如图②所示的网格中，

AE+AF 的最小值为 ．

8.如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系中，90OAB ∠=?，2OA =，

把△OAB 沿x 轴

的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE . （1）若过原点的抛物线2y ax bx c =++经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；

（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连结OP .

若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；

（3）若点(4,)M n -在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对就点为'M ，点B 的对应点

为'B .当抛物线向左或向右平移，是否存在某个位置，使四边形''M B CD 的周长最小？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

9.已知:A (-2,2), B (3,7）,在抛物线2y ax c =+上，P (5,0)在x 轴上，平移抛物线，记平移后点A 的

对应点为1A ，点B 的对应点为1B ,当抛物线向左或向右平移时是否存在某个位置，

①使11-PA PB 最大；②使11A B P ?周长最小？

若存在，请求出此时抛物线的解析式；

若不存在，请说明理由。

9.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A (m -2，0)和B (2m +1，0)（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为P ，对称轴为l ：x ＝1．

（1）求抛物线解析式．

（2）直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与抛物线相交于两点M （x 1，y 1），N (x 2，y 2)

（x 1＜x 2），当12||x x -最小时，求抛物线与直线的交点M 和N 的坐标．

（3）首尾顺次连接点O ，B ，P ，C 构成多边形的周长为L ．若线段

OB 在x 轴上移动，求L 最小值时点O ，B 移动后的坐标及L 的最小值． 32AB =

中考最值专题--将军饮马

【例1】【两点间距离】 如图，一个底面圆周长为24cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 的最短路线长为_______ 【练习1】 如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则葛藤的最短长度是＿＿＿尺． 【例2】【两定一动】 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1 3S 矩形ABCD ，则PA ＋PB 的最小值为_______ 模型总结： 【练习2】 （1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为_________ 方法提炼

（2）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4， 点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为. 【例3】【两定两动】 已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．M、N分别是直线a,b上的动点，且MN⊥a，当满足AM+MN+NB的长度和最短时，AM+NB= 模型总结：

已知直线 3 : 3 l y x =，CD是该直线上的一条动线段，且CD=2，点A() 23,1 +，连接AC、AD， 则△ACD周长的最小值为___________ 【例4】【一定两动】 如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 模型总结：

将军饮马问题讲定稿版

将军饮马问题讲 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短? 4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小 5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.

7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______. 练习 1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由． 2、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓 库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 3、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|| -最小． AM BM 4、如图，正方形ABCD中，8 AB=，M是DC上的一点，且2 DM=，N是AC上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值． 5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。 6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

将军饮马

将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

初中数学之将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 类型一、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH= 在直角△BHE中，BE

2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。∴AN = 1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N 类型二、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。 即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是10

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

第 6 页 共 10 页 初中数学将军饮马问题的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

第 6 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4

初中数学：将军饮马问题习题

l A l l B A l l B A l P l l A 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA+PB 最小。 作点B 关于直线l 的对称点 B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。 当两定点A 、B 在直线l 同侧 时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的最大值为AB 。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB ′。

P E D C B A P D C B A E D C B A 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。

将军饮马的六种模型

第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页

将军饮马问题

将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

将军饮马强方法

将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)

例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短

将军饮马问题例题及应用

射频神经疼痛治疗仪 页脚内容1 将军饮马问题例题及应用 一， 简介 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一 个有 趣的数学问题． 诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？” 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． 二，例题 1， 基本类型问题 问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？ 解答：作B 点与河面的对称点B ′，连接AB ′，可得到马喝水的地方C ，如图所示，由对称的性质可知AB ′=AC+BC ，根据两点之间线段最短的性质可知，C 点即为所求． 2， 与其他类型问题相结合 问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得P A +PB 的值最小．解法：作 点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A ′B ．请利用上述模型解决问题 如图1，等腰直角三角形A B C 的直角边长为2，E 是斜边A B 的中点，P 是A C 边上的一动点， 则P B+P E 的最小值为（ ）； 解答：作点B 关于A C 的对称点B ′，连接B ′E 交A C 于P ， 此时PB+P E 的值最小．连接A B ′． A B ′=A B=√A C 2+BC 2=√22+22=2√2 A B=√2∵∠ B ′A C=∠BA C=45°∴∠B ′A B=90°∴PB+PE 的最小值 =B ′E=√B ′A 2+A E 2=√(2√2)2+(√2)2=√10

初中数学将军饮马

初中数学将军饮马 第六章将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点模型作法结论当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+ PB的最小。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P 即为所求作的点。 PA+PB的最小值为AB′。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最大值为AB。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。

作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最大值为AB′。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最小值为0。 模型实例例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4， ∠BCD=15°，P为CD 上的动点，则的最大值是多少？热搜精练 1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC+ED的最小值是。 2．如图，点C的坐标为（3，），当△ABC的周长最短时，求的值。 3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一

初中将军饮马问题题型总结(全)

初中涉及将军饮马问题题型总结 题型一：将军饮马之单动点 1. 三角形中的将军饮马 【真题链接1.】（2017?天津） 如图，在ABC ?中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ?的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( ) A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC 【解析】 解：如图连接PC ， AB AC =，BD CD =， AD BC ∴⊥， PB PC ∴=， PB PE PC PE ∴+=+， PE PC CE +， P ∴、C 、E 共线时，PB PE +的值最小，最小值为CE 的长度，故选：B ． B B

【真题链接2.】（2020?天津一模） 如图，ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为( ) A ．1 B ．2 C D ． 【解析】 解：如图， 连接BE 交AD 于点P '， ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点， AD ∴、BE 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 的垂直平分线， P B P C ∴'='， P E P C P E P B BE '+'='+'=， 根据两点之间线段最短， 点P 在点P '时，PE PC +有最小值，最小值即为BE 的长． BE == 所以P E P C '+' 故选：C ． B B

【真题链接3.】（2019秋?东至县期末） 如图，在ABC ?中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ?周长的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【解析】解：连接AD ，AM ． ABC ?是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， AD BC ∴⊥， 11 41622 ABC S BC AD AD ?∴= =??=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线， ∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ， MA MC ∴=， AD AM MD +， AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴?的周长最短11 ()84821022 CM MD CD AD BC =++=+ =+?=+=． 故选：C ． A A

将军饮马问题地11个模型及例题

将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

2018年数学中考专题复习—— 将军饮马

l A l B A B' l l B A l P 第六章 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB 。

l l A P E D C B A A 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB ′。 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角 线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？

初中数学：将军饮马问题习题

将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。 A B l 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使PA PB 最大。 A 作点 B 关于直 线l 的 对称点 B′，连 接AB′ 交直线 于点 P，点P 即为所 求作的 点。 连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。 模型 1 定直线与两定点 模型 A l 作法结论 PA+ PB 的最 小。 PA+PB 的最小 值为AB′。 PA PB 的最大 值为AB。

l B 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。 作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。 PA PB 的最 大值为AB′。B

模型实例 例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。 例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为 CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。 D C B

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函

数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点 D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______°

中考数学动点问题之将军饮马问题

中考数学“将军饮马”类题型大全 一．求线段和最值 1（一）两定一动型 例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt⊥A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m． 变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则⊥BPG周长的最小值为_________．

分析： 考虑到BG为定值是1，则⊥BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度． 解答： 连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即⊥BPG周长最短为3. 2 （二）一定两动型 例2： 如图，在⊥ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC 上任意一点，求PC＋PE的最小值． 分析： 这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于⊥ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．

《将军饮马问题》教案 (2)

《将军饮马问题》教案 一、问题背景： 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？ B·营地 A·山峰 河流 这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了 二、引用“饮马问题”： 将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题： 如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ B·镇 A·镇 L 三、教学方法的探究：

当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。 设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计： 甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。连接A′C与BC，探究： B A L C C′ A′ B′ （1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。 （2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。 （3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。 这样设计探究活动，能充分体现轴对称性质，使复杂问题简单化，难点分解，由浅入深，通过实际生活中的镜面反射原理使得问题通俗化、趣味化，能调动学生学习的兴趣，易于学生掌握和理解。 四、妙用饮马问题： 利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编) 1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小 4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边 形 PAQB 的周长最小。

5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小 6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小

二、常见题型 三角形问题 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值 A 解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B ， ∴连接 BE ，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H ， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 = (3 3)2 + 12 = 2 7 C C 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点， 则 BM+MN 的最小值是 ． 解：作点 B 关于 AD 的对称点 B'， 过点 B'作 B'E ⊥AB 于点 E ，交 AD 于点 F ， 则线段 B'E 的长就是 BM ＋ＭＮ的最小值 在等腰 Rt △AEB'中， 根据勾股定理得到，B'E = 4 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值 C 解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'， 过点 B'作 B'N ⊥AB ，垂足为 N ，交 AC 于点 M ， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N 的长就是 MB+MN 的最小值 则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。 ∴AN = 1 在直角△AB'N 中，根据勾股定理 B'N = 3 A A N 2

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇 以微课堂 初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。 一、模型展现 (1)直线型 模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长． 模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短． 模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长． 模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边． 变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同． 模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．

原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等． (2)角型 模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小． 原理：作两次对称，两点之间，线段最短． 模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．

原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短． 模型8：在OA，OB上求作点M，N， (1)使PM＋MN最小． (2)使PN＋MN最小． 原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短． 模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小． 原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．

(3)平移型 模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小． 原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．) 模型11(造桥选址)： 直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小． 原理： 将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．) 二、典型例题