八年级数学将军饮马问题专题练习汇总

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总

1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。

2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。

3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。

4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。

5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。

6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函

数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。

7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm

的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜

相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．

拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题

如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点

D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是

_________。

拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题

如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点

Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为

_________。

拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题

如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上

分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠

ANM=_______°

拓展④：三条直线上三个动点组成的线段距离和最短问题

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°。点P，Q，K分别

为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为

_______。

拓展⑤：利用平移性质构造模型，解决组成的四边形周长最短问题

1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF周长最小时，求点E、F坐标。

2如图长方形ABCD中，AB=4,BC=8，点E为CD中点，点P\Q为BC边上两个动点，且PQ=2。当BP=______时，四边形APQE周长最小。

中考数学必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点 模型 作法 结论 l B A 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小． l P A B 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB ' l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线 l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l P A B 连接AB 并延长交直线l 于点 P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最大值为 AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l B' A B P 作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点 P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最大值为 AB '

l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小． l P A B 连接AB ，作AB 的垂直平分线 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最小值为0 模型实例 例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ． E B C A D P 解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称， ∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3 例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动 点，则PA PB - 的最大值是多少？ D P P A' B 解答：

中考数学压轴题专题复习：将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练知识链接 几何中最值问题的解题思路 轴对称最值图形 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点， 求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求 |AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直 线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线 l的对称点 折叠最值图形 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 例题精讲 例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C． （1）直线的解析式为_______； （2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标； （3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

题型强化 1、在平面直角坐标系中，已知 2 12 y x bx c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的 坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过 A 、 B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为 2时，试证明：平移后的抛物线与 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为 Q ，取BC 的中点N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

将军饮马

将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

初中数学之将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 类型一、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH= 在直角△BHE中，BE

2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。∴AN = 1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N 类型二、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。 即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是10

轴对称将军饮马问题

将军饮马问题教案 教学设计 【教材分析】 本节内容的地位与作用 最短路径问题是中考热点问题之一，本课是在初二上学期，学生学完了轴对称、勾股定理、位置与坐标、一次函数等章节后以课本上数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合和思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。 【学情分析】从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功． 教学目标： 【知识技能】 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感 悟转化思想． 2.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。 【过程与方法】．培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。 【情感与态度】进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点：在实际题目中会运用最短路径模型灵活解决问题。 【教学关键】 运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。 【教学策略】利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

初中数学：将军饮马问题习题

l A l l B A l l B A l P l l A 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA+PB 最小。 作点B 关于直线l 的对称点 B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。 当两定点A 、B 在直线l 同侧 时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的最大值为AB 。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB ′。

P E D C B A P D C B A E D C B A 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

第 6 页 共 10 页 初中数学将军饮马问题的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

第 6 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4

将军饮马的六种模型

第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页

几何最值之将军饮马(知识点总结)

几何最值之将军饮马 一、将军饮马问题背景 诗中隐含着一个有趣的数学问题，如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出 1.两点之间线段最短 2.垂线段最短 通常在求最值的时候我们会借助于几何三大变化，轴对称、平移、旋转变换进行线段的转移，从而转化成两大核心原理进行最值求解。

二、 将军饮马问题题型 1. 将军饮马--单动点求最值 问题1：如图，在直线l 上找一点P ，使得PA PB +的值最小？ 问题解决：如下图，由两点之间线段最短可知，当点A P B 、、三点共线时，PA PB +最小，即线段AB 的长度。 问题2：如图，A B 、两点在直线l 上方，在直线l 上找一点P ，使得PA PB +的值最小？ 问题解决：当A B 、两点在直线l 同侧时，PA PB +的长度是一条折线，要求PA PB +的最小值必须通过一定方法化折为直。如下图，作点B 关于直线l 的对称点'B 。PA PB +的长度转化为'PA PB +的长度。

故点'A P B 、、三点共线时，PA PB +最小，即线段'AB 的长度。 问题3：如图，A B 、两点在直线l 上方，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最大？ 问题解决：||PA PB -的值最大如何求，可以联想到三角形三边关系。利用两边之差小于第三边可知，||PA PB AB -≤。如下图，故点A B P 、、三点共线时，||PA PB AB -=，此时取到最大值，即线段AB 的长度。 问题4：如图，A B 、两点在直线l 的异侧，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最大？ 问题解决：这种情况||PA PB -的最大值和之前的解决方案是一样的，如下图，通过作点B 关于直线l 的对称点'B ，将||PA PB -转化成|'|PA PB -。

将军饮马强方法

将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)

例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总(20200708010955)

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函

数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 在BC,CD上 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°， 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______°

人教版数学八年级上册将军饮马—最短路径最值问题教学设计

将军饮马—最短路径最值问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问 题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题—— “将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历 将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作， 经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间， 数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的 理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与 能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作 用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的 两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题一一线段和最短 1.如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 2.如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 3.如图，点P 是ZMON内的一点，分别在0M , ON上作点A, B。使△PAB的周长最小。

离之和最小 4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在OM, ON上作点A, B。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A是/MON外的一点，在射线 离之和最小。 OM上作点P , 使PA与点P到射线ON的距 6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距

、常见题目 Parti、三角形 1.如图，在等边厶ABC中，AB=6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点, 且AE=2，求EM+EC的最小值 2 .如图，在锐角厶ABC中，AB=42 , Z BAC= 45。，启AC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN的最小值是_____ 。 3 .如图，△ ABC 中，AB=2 , Z BAC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小，则这个最小值

Part2、正方形1.如图，正方形ABCD的边长为8 , M在DC上，丐DM = 2 , N是AC上的一动点, DN + MN的最小值为_________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。 2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. 23 B . 26 C . 3 D . 6

初中数学将军饮马

初中数学将军饮马 第六章将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点模型作法结论当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+ PB的最小。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P 即为所求作的点。 PA+PB的最小值为AB′。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最大值为AB。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。

作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最大值为AB′。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最小值为0。 模型实例例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4， ∠BCD=15°，P为CD 上的动点，则的最大值是多少？热搜精练 1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC+ED的最小值是。 2．如图，点C的坐标为（3，），当△ABC的周长最短时，求的值。 3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一

2018年数学中考专题复习—— 将军饮马

l A l B A B' l l B A l P 第六章 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB 。

l l A P E D C B A A 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB ′。 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角 线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？

初中将军饮马问题题型总结(全)

初中涉及将军饮马问题题型总结 题型一：将军饮马之单动点 1. 三角形中的将军饮马 【真题链接1.】（2017?天津） 如图，在ABC ?中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ?的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( ) A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC 【解析】 解：如图连接PC ， AB AC =，BD CD =， AD BC ∴⊥， PB PC ∴=， PB PE PC PE ∴+=+， PE PC CE +， P ∴、C 、E 共线时，PB PE +的值最小，最小值为CE 的长度，故选：B ． B B

【真题链接2.】（2020?天津一模） 如图，ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为( ) A ．1 B ．2 C D ． 【解析】 解：如图， 连接BE 交AD 于点P '， ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点， AD ∴、BE 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 的垂直平分线， P B P C ∴'='， P E P C P E P B BE '+'='+'=， 根据两点之间线段最短， 点P 在点P '时，PE PC +有最小值，最小值即为BE 的长． BE == 所以P E P C '+' 故选：C ． B B

【真题链接3.】（2019秋?东至县期末） 如图，在ABC ?中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ?周长的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【解析】解：连接AD ，AM ． ABC ?是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， AD BC ∴⊥， 11 41622 ABC S BC AD AD ?∴= =??=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线， ∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ， MA MC ∴=， AD AM MD +， AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴?的周长最短11 ()84821022 CM MD CD AD BC =++=+ =+?=+=． 故选：C ． A A

将军饮马问题

将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

初中数学：将军饮马问题习题

将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。 A B l 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使PA PB 最大。 A 作点 B 关于直 线l 的 对称点 B′，连 接AB′ 交直线 于点 P，点P 即为所 求作的 点。 连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。 模型 1 定直线与两定点 模型 A l 作法结论 PA+ PB 的最 小。 PA+PB 的最小 值为AB′。 PA PB 的最大 值为AB。

l B 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。 作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。 PA PB 的最 大值为AB′。B

模型实例 例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。 例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为 CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。 D C B

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总

2020 年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总 ---- 将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？ 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： 1. 定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题． 2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． 3. 定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． 4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径． 问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。 涉及知识】“两点之间线段最短” ，“垂线段 最短” ，“三角形三边关系” ，“轴 对称” 平移”． 出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正 方形、 圆、坐标轴、抛物线等． 解题思 路】 “化曲为直” 题型一：两定一动，偷过敌营。

例1：如图， AM⊥ EF， BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝ 4m， P 是 EF 上任 意一点，则 PA＋ PB的最小值是 m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题， A， B是定点， P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A关于 EF的对称点 A'，根据两点之间，线段最短，连接A'B，此时A'P＋PB即为 A'B，最短．而要求 A'B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点 A关于 EF的对称点 A'，过点 A'作A'C⊥BN的延长线于 C．易知A'M＝AM＝NC ＝5m，BC＝9m，A'C ＝MN＝ 12m，在 Rt△A'BC中， A'B＝15m，即PA＋PB的最小值是 15m． 例2：如图，在等边△ ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC，E是AC 上的一点， M是AD 上的一点， 且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值 解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△ BHE 中，BE = BH2 + HE2 = (3 3)2 + 12 = 2 7

中考数学动点问题之将军饮马问题

中考数学“将军饮马”类题型大全 一．求线段和最值 1（一）两定一动型 例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt⊥A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m． 变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则⊥BPG周长的最小值为_________．

分析： 考虑到BG为定值是1，则⊥BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度． 解答： 连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即⊥BPG周长最短为3. 2 （二）一定两动型 例2： 如图，在⊥ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC 上任意一点，求PC＋PE的最小值． 分析： 这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于⊥ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．