泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用
目录
摘要..........................................................................................1 英文摘要....................................................................................2 第一章绪论..............................................................................3 第二章泰勒公式........................................................................5 1.1泰勒公式的意义........................................................................5 1.2泰勒公式余项的类型 (5)
1.3泰勒公式.................................................................................6 第三章泰勒公式的实际应用......................................................7 2.1利用泰勒公式求极限..................................................................7 2.2利用泰勒公式进行近似计算.........................................................8 2.3在不等式证明中的应用...............................................................9 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10)
2.5求曲线的渐近线方程..................................................................11 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用....................................13 2.7在广义积分敛散性中的应用.........................................................14 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15)
2.9泰勒公式展开的唯一性问题.........................................................15 结束语..........................................................................................16 致谢 (17)
参考文献 (18)
泰勒公式及其应用
(河南城建学院数理系河南平顶山 467044)
摘要
泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰
勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍.
关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项
1
Abstract
Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important
part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp-ression of t he calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema-tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the inflection point of the function to judge, Generalized Integral Converg-ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction.
Keywords: Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder
2
第一章绪论
1.1综述
近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，的.泰勒将函数展开成级数从而在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来
得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点x存在直到阶的导数，由这些导数
fn0
构成一个次多项式 n
()n,,,fxfxfx()()()2n000 Txfxxxxxxx()()()()(),,，,，,，，,n00001!2!!n
称为函数在点x处的泰勒多项式，若函数在点x存在直至阶导数，则有ffn00 nfxTxxx()()(()),,，,;即 0n
()n,,fxfx()()2n00, ;fxfxfxxxxxxxxx()()()()()()(()).,，,，,，，,，,00 00002!!n
称为泰勒公式.
众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.
1.2研究现状
关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.
1.3研究意义
泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.
1.4本论文所作的工作
3
泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍
一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去.
1.5研究目标
探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.
1.6本论文解决的关键问题
了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用.
1.7本论文的研究方法
将带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、渐近线等的解题应用上，得出最佳的解题方法.
1.8本论文的内容安排
根据论文的主要内容，将论文分为三章:
第一章为绪论
第二章简要给出了泰勒公式的定义和类型
第三章详细介绍了泰勒公式在数学各方面的实际应用
4
第二章泰勒公式 1.1泰勒公式的意义
泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简fn 单，易于计算等优点.
nRxoxx()[()],,泰勒公式由的次泰勒多项式Px()和余项组成，我们fx()n0nn 来详细讨论它们.
当=1时，有 n
,Pxfxfxxx()()()(),，,， 1000
(,())xfx是的曲线在点处的切线(方程)，称为曲线在点yfx,()yfx,()00
(,())xfx的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.
00
当=2时，有 n
,,fx()20,Pxfxfxxxxx()()()()(),，,，,， 200002!
(,())xfx(,())xfx是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点
yfx,()yfx,()0000
的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高
时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相
noxx(()),同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比0 3xn3()xx,x,0xx,(当时)高阶的无穷小.如sin()xxox,,，，表示当时，006 3x3sinx用近似，误差(余项)是比高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日x,x6 1(1)1nn，，xxx，,,()fxx,,型余项(也可以写成)、柯西余项(如在
()(),000n，(1)!
5
某些函数的幂级数展开时用).定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.
1.3泰勒公式的定义
(1)带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式
如果函数在点x的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有 fx()nx0
()n,,fxfx()()2n00, ;fxfxfxxxxxxxxx()()()()()()(()).,，,，,，，,，,00 00002!!n当x,0时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即0
()(1)nn，,,fff(0)(0)(0),21nn，,fxffxxxx()(0)(0)(01),，，，，，,, ,2! !(1)!nn，
(2)带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式
n，1x如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点, fx()x0 有
()n(1)n，,,fxfx()()f(),21nn，
00 ,fxfxfxxxxxxxxx()()()()()()(),，,，,，，,，,0000002!!(1)!nn，
x(介于与之间) ,x0
6
第三章泰勒公式的实际应用 2.1利用泰勒公式求极限
对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.
2x,2cosxe,lim例1 求 4x,0x
4分析:此题分母为，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚x
诺余项的泰勒公式解求较简单.
解: 因为
1x22exxox,，，，1() 2!
2x将换成有 ,x2
2x222,xxx1222,，,，,，,eo1()()(()) 22!22
又
24xx4cos1()xox,,，， 2!4!
2x,1114442xexoxox,,,，,cos()()()所以 2484
144,,，xox() 12
故
21x44,,，xox()2xe,cos112 ,,,limlim44,,,,xxxx12
2x,2cosxe,lim例2 求极限. 4x,0sinx
2x,2解: 因为分母的次数为4，所以只要把，展开到的4次幂即可. cosxxe
7
11244cos1()xxxox,,，， 2!4!
2x22,xx1242,,，,， eox1()()22!2
2x,2cosxe,lim故 4x,0sinx
1144,，xox()()4!8 ,lim4x,0x
1,, 12
带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用
得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算
x例1 用的10次泰勒多项式求的近似值i，并估计误差. ee
x解:在的泰勒公式中取,则有 xn,,1,10e
111e,，，，，，11,2.718281801 2!3!10!
,2.718281801由于的精确度值，可以看出这么算得的结果是比较准确的.ee 关于计算的误差，则有如下的估计
,e3118 . ,,,，dx()6.810x,111!11!
必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不x x能远离，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果. 0
ln2如在的泰勒多项式中令=1，取它的前10项计算的近似值，得ln(1)，xx到111111111ln21,,，,，,，,，, 2345678910
=0.645 634 92… ln2而=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如
1，xlnln(1)ln(1),，,,xx 1,x
232232nn，，，，xxxxxx2n 1(),,，,,,,,,,,，xxox,,,,232232nn，，，，
8
3521n,，，xxx2n ， 2()xox,，，，，，,,3521n,，，
1x,,令只取前两项便有 3
111，，30.69135…, ln22(),，,,,333，，
取前四项则可达到
1111111，，357=0.693 124 75…, ln22()()(),，，，,,3335373，，
效果比前面好得多.
3311，,xx,,,,x例2 当很小时，推出的简单的近似公式. ,,,,,,11,，xx,,,, x解: 当很小时，
111133331122，,xxxx,,,,,,,,,,，,,11 ,,,,,,,,1111,，,，xxxx,,,,,,,, 224xxx ,，,,,[1][1]23(1)3(1)3(1),,,xxx
4x, 3
2.3在不等式证明中的应用
关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.
例1 设在二次可导，而且，，试求存在
lim()1fx,,fx()[0,1]ff(0)(1)0,,01,,x
,,，使. ,,(0,1)f()8,,
x证: 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，fx()[0,1][0,1]1 ,fx()1,,fx()0,使，由费马定理知，. 11
又
,,f(),2,fxfxfxxxxx()()()()(),，,，, 11112!
9
,,f(),2,,，,1()xx (介于与之间) ,xx112!
x,1x,0由于，不令和，有 ff(0)(1)0,,
,,f(),210(0)1(0),,,，,fx 12所以
,2,,fxx()2(1)(1),,,,,, 1112
11,2,2,,,,1,,x,,x128x,2(1)8,,x当时，，而当时，，可见f(),与
f(),11111222
中必有一个大于或等于8.
2.4泰勒公式在外推上的应用
外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.
hah()若对于某个值，按参数算出的近似值可以展开成 a1
23ahachchch(),，，，， (*) 1123
hha()c(这里先不管的具体形式)，那么按参数算出的近似值就是1i22
h11123aachchch(),，，，， (**) 11232248
ha()ah()和与准确值的误差都是阶的. oh()a112
现在，将后(**)式乘2减去(*)式，便得到
h2()()aah,11232 ahadhdh(),,，，，22321,
也就是说，对两个阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却oh() 2ah()oh()得到了具有阶的近似值.这样的过程就称为外推. 2
ah()若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从出发再次外推， 2 h4()()aah,22342， ahaeheh(),,，，，33441,
3k,1ah()oh()得到阶的近似值.这样的过程可以进行步，直到 3
hk,12()(),aahkk,,11k2 ， ()(),,，ahaohkk,121,
10
满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种
非常重要的近似计算技术.
例 1 单位圆的内接正边形的面积可以表示为 n
1,,Shh()sin(2)， 2h
1h,这里,按照泰勒公式 n
35，，1(2)(2)hh,, Shh()2,,，,,,,23!5!h，，
246,，，，，,chchch 123
2n因此，其内接正边形的面积可以表示为
35，，hhh1()(),, Sh(),,，,,,,23!5!h，，
1246,，，，，,chchch123 ， 4
用它们作为的近似值，误差都是量级的. ,oh()
现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合:
hh4()()()()SShSSh,,h22 ShS()(),,，4123,
那么通过简单的计算就可以知道
46 Shdhdh(),，，，,23
2Sh()项被消掉了～也就是说，用近似表示，其精度可以大大提高. ,h
2.5求曲线的渐近线方程
若曲线上的点到直线的距离在x,，,或yfx,()(,())xfxyaxb,，
a,0时趋于零，则称直线是曲线的一条渐近线.当时x,,,yaxb,，yfx,()称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线是曲线的渐yaxb,，yfx,() 近线的充分必要条件为
lim[()()]0fxaxb,，, x,，,
或
lim[()()]0fxaxb,，, x,,,
11
如果是曲线的渐近线，则 yaxb,，yfx,()
fxaxb()(),，fxaxb()(),，lim0,lim0,(或). x,，,x,,,xx因此首先有
fx()fx(),,alimalim(或). x,，,x,,,xx其次，再由(或)可得
lim[()()]0fxaxb,，,lim[()()]0fxaxb,，,x,，,x,,,
(或) bfxax,,lim[()]bfxax,,lim[()]x,，,x,,,
b反之，如果由以上两式确定了和，那么是曲线的一条渐近ayaxb,，yfx,() 线.
a,0中至少有一个成立，则称直线是曲线的一条渐近线，当yaxb,，yfx,()时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果在趋于某个定值时趋fx()xa
，,于或，即成立 ,,
lim()fx,,,x,,
则称直线是的一条垂直渐近线. xa,fx()
注意，如果上面的极限对于成立，则说明直线关于曲线x,,yaxb,，
在和两个方向上都是渐近线. x,，,x,,,yfx,()
，,，,除上述情况外，如果当或时，趋于或，即 ,,fx()xa,a
lim()fx,,,，xa,
或
， lim()fx,,,,xa,
则称直线是曲线的一条垂直渐近线. xa,yfx,()
2(1)x,y,例1 求的渐近线方程. 3(1)x，
2(1)x,y,解: 设的渐近线方程为，则由定义 yaxb,，3(1)x，
2yx(1)1,a,,,limlim xx,,,,xxx3(1)3，
12
2(1)x, bax,,lim[]x,,3(1)x，
2(1)1x, ,,lim[]x x,,3(1)3x，
131,，xlim1,,= x,,31x，
2(1)x,xy,,1由此为曲线y,的渐近线方程。 3(1)x，3
2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用
泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用
泰勒公式来研究函数的凹凸性何拐点.
定理1 设在上连续，在上具有一阶和二阶导数.若在内fx()[,]ab(,)ab(,)ab
,,，则在上的图形是凹的. fx()0,fx()[,]ab
cd,xx,证明: 设为内任意两点，且足够小.为中的任意两[,]ab[,]cd[,]cd12 xxx,，()/2点，记由定理条件的泰勒公式 012
2,,fxxx()(),200, fxfxfxxxoxx()()()()(),，,，，,00002!
,,fx()20由
此， ,,fxfxfxfxxxfxxxxx()()2()()()()()()，,，,，,，,120010020102!
,,fx()2220，,，,，,oxxxxoxx()()() 1020202!
2()xx,[,]xx因为余项为的高阶无穷小，又为足够小，所以泰勒公式n12
,,fx()220,,()()xxoxx,，,fx()xxx,，()/2的符号与相同.又因，所以0000122!
,,fxxxfxxx()()()()0,，,,，可得: 010020
2()xx,22220 ,,fxfxfxfxxxoxxoxx()()2()()()()()0，,,,，，,，,,12001010 202!
fxfxfx()()2()0，,,fxfxfx()[()()]/2,，即，得. 120012
xx,由得任意性，可得在足够小的区间上是凹的.再由得任意fx()[,]cdcd,12
13
性，可得在内任意一个足够小的区间内部都是凹向的. fx()[,]ab
定理2 若在某个内阶可导，且满足 Ux(,),fx()n0
(1)n,n,,,fxfxfx()()()0,,,,fxn()0(2),,，且 0000
(,())xfx若(1)为奇数，则为拐点; n00
(,())xfx(2)为偶数，则不是拐点. n00
,,证明:写出在x处的泰勒公式 fx()0
nnn,,22,,,,,fxfxfxxxfxxxnoxx()()()()()()/(2)!(()),,,，，,,，, 000000 因为
(1)n,,,,fxfxfx()()()0,,,, 000
nnn,,22n,2,,fxfxxxnoxx()()()/(2)!(()),,,，,()xx,则，同样余项是的高阶无0000
穷小.
nn,2,,,fxxxn()()/(2)!,,x所以的符号在的心领域内与相同.当为fx()n000 nn,2,,fxxxn()()/(2)!,,x奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号
fx()000
(,())xfx相异，所以为拐点. 00
,,(,())xfx当为偶数时，则的符号相同，所以不是拐点. fx()n002.8在广义积分敛散性中的应用
，,，,1dxp,(0)在判定广义积分敛散性时, 通常选取广义积分fxdx()p,,aax ，,1dx进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的
fxx()(),，,p,ax
，,，,p值，从而简单地判定的敛散性(注意到:如果得收敛，
fxdx()fxdx(),,aa
，,则得收敛). fxdx(),a
，,例1研究广义积分的敛散性. (332)xxxdx，，,,,4
(1),,,22(1)1()，,，，，xxxox解 : ,,2!
fxxxx()332,，，,,
14
113322 ,，，,,x(1)(1)2xx
3191131911 ,，,,,，，,,,,，,xoo(1())(1())222222828xxxxxx
911 ,,,，o()3/23/24xx
，,fx()1319()x,，,dx因此，，即是的阶，而收敛，故
lim,fx()0,3/2,4x,，,1x2x43/2x
，,，,收敛，从而. fxdx()(332)xxxdx，，,,,,44
2.9泰勒公式关于界的估计
我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.
,,01,,x设在上有二阶导数，时，.试证:当例1 fx()[0,1]fx()1,fx()2,
,01,,x时，. fx()3,
12,,,,，,，,,ffxfxxfx(1)()()(1)()(1)证: 2
12,,,,，,，,,ffxfxxfx(0)()()()()() 2
所以
1122,,,,,,,，,,,,fffxfxfx(1)(0)()()(1)() 22
1122,,,,,,，，,，,,fxfffxfx()(1)(0)()(1)() 22
22,，,，,，,2(1)213xx
2.10泰勒公式展开的唯一性问题
泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当x,0时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性. 0 xx,例1 设是连续的阶导数，在处有展开式: fx()fx()n0
2nfxaaxxaxxaxxRx()()()()(),，,，,，，,， (1) 010200nn
15
且余项满足 Rx()n
Rx()n (2) ,lim0n,xx0,()xx0
()kfx()0则必有 (3) akn,,(1,2,,)kk!
(0)其中. fxfx()(),
证: 根据泰勒公式，在xx,处可以展开成 fx()0
()infx()in0,,，,fxxxoxx()()(()) (4) ,00i!,i0
让(1)式与(4)式联立可得
()innfx()iin0,，,,，,axxRxxxoxx()()()(()) ,,in000i!,,ii00
xx,afx,()()xx,此式令取极限，得.两边消去首项，再同时除以，然后0000 ,xx,afx,()令取极限，又得.继续这样下去则顺次可得式(3). 010
注1 该例具有重要理论意义，它表明:不论用何种途径、何种方式得到形如(1) 式的展开式，只要余项满足条件(2)式，则此展开式的系数必是唯一确定
的，它们是(3)式给出的泰勒系数.
x,0注2 该结论的情况自然也成立.由此可知，对于任何多项式0
nPxaaxax(),，，，而言，必有 01n
()kPx()(0)0PxPx()(),且. akn,,(0,1,2,,)kk!
结束语
文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关
于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.
16
致谢
此文得以完成，凝聚了许许多多老师、同事、朋友，亲人的心血和关爱～在
我即将完成学业之际，谨向四年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所
有老师、同事、朋友、亲人致以最诚挚的谢意～
感谢河南城建学院的李华老师，李老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过
程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在课题设计、研究方法、
论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助.
还衷心感谢徐刚老师、兰奇逊老师、刘常胜老师、屈鹏展教授等老师四年来在
学业上对我的辛勤培养、指导以及学习上给予的诸多帮助和支持.老师们严谨的学
习与工作态度使我受益匪浅，也将是我一生的表率.在此也感谢指导老师对我的指
导和关心.相信在以后的学习和实践中我们会更加努力，使泰勒公式在各个领域得
到更充分的利用.谢谢～
衷心感谢我的亲人在我四年的大学生涯中给予我的理解、支持和无私援助，是
你们的鼓励让我完成了学业.在此也感谢指导老师对我的指导和关心.
再一次感谢所有关心、支持和帮助过我的老师、同学、朋友和亲人们.
17
参考文献
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[6]王三宝.泰勒公式的应用例举[J].高等函授学报(自然科学版) ,
2005(03):3-19
[7]冯平; 石永廷. 泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J]. 新疆职业大学学报, 2003(04):4-11
[8]唐清干. 泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用[J]. 桂林电子工业学院学报,2002(02) :3-22
[9]严振祥,沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)～2007,8,:4-26
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泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项
《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc
《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极
限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）
泰勒公式及其应用
目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证
泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
泰勒公式及其应用
目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
泰勒公式及其应用 （河南城建学院数理系河南平顶山 467044） 摘要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍. 关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项
Abstract Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp -ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema -tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the in flection point of the function to judge, Generalized Integral Converg -ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction. Keywords：Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder
泰勒公式的应用
泰勒公式及其应用
摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用
一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：
(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)
第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得
泰勒公式及其应用典型例题
泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式
近似? 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：
于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：
这表明： 只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。 【证明】 以与为端点的区间或记为，。 函数在上具有直至阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有
三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有
泰勒公式及其应用
泰勒公式的应用 内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。 关键词：泰勒公式皮亚诺余项级数拉格朗日余项未定式
目录 内容摘要 0 关键词 0 1.引言 (2) 2.泰勒公式 (2) 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 (2) 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (2) 2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2) 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3) 3.泰勒公式的应用 (3) 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 (3) 3.2利用泰勒公式判断敛散性 (6) 3.3 利用泰勒公式证明中值问题 (11) 3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式 (13) 4. 结束语 (19) 参考文献 (20)
1.引言 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。 2.泰勒公式 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间至少?一个ξ使得： 当0x =0时，上式称为麦克劳林公式。 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数,则对此邻域内的点x 有: 2.3带有积分型余项的泰勒公式
浅谈泰勒公式及其应用
论文提要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。
浅谈泰勒公式及其应用 摘 要： 本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值. 关键词：泰勒公式 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明. 1 预备知识 定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+ ()0n o x x +,即 ()()()()()()()()()().! !20002 00000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+?+-''+ -'+=为⑴式. ⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()n x x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公 式. 当00=x 时，得到泰勒公式： ()()()()()()() n n x o n f x f x f f x f ++?+''+'+=! 0!20002. 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式. 定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得
泰勒公式及应用论文
泰勒公式及应用论文 Prepared on 22 November 2020
毕业论文 题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣 学生学号： 05 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届 指导教师：向伟
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言： (1) 1泰勒公式 (2) 带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2) 带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2) 带有积分型余项的泰勒公式 (2) 带有柯西型余项的泰勒公式 (3) 2 泰勒公式的应用 (3) 利用泰勒公式求极限 (3) 利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5) 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8) 利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11) 研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12) 结语 (12) 致谢 (13) 参考文献 (13)
泰勒公式及应用 学生：陆连荣 指导教师：向伟 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。 关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性 Taylor formula and its application Student: Lu Liangrong Instructor : Xiang Wei Department of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function. Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence
泰勒公式及其应用
第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()() () ()()()()(),1!2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+ +- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000() ()()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+ +-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方
法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间. 泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.
专题 泰勒公式及其应用
专题7 泰勒公式及其应用 (一) 泰勒公式 定理1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有 ],)[())((! 1 ))((!21))(()()(000)(200000n n n x x o x x x f n x x x f x x x f x f x f ?+?++?′′+ ?′+=L 常称n n x x o x R )()(0?=为皮亚诺型余项. 若00=x ，则得麦克劳林公式： ).()0(! 1 )0(!21)0()0()()(2n n n x o x f n x f x f f x f +++′′+ ′+=L 定理2（拉格朗日型余项泰勒公式） 设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有 200000))((! 21 ))(()()(x x x f x x x f x f x f ?′′+ ?′+= ),())((! 100) (x R x x x f n n n n +?+ +L 其中10)1()(1) ()(++?)! +(= n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 )(! !21)1(2n n x x o n x x x e +++++=L )()! 12()1(!3sin )2(12121 3???+??++?=n n n x o n x x x x L )()!2()1(!21cos )3(222n n n x o n x x x +?++?=L )()1(2)1ln()4(12n n n x o n x x x x +?++?=+?L )(! ) 1()1(! 2) 1(1)1()5(2n n x x n n x x x οααααααα++??+ +?+ +=+L L (二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点
泰勒公式及应用翻译(原文)
On Taylor’s formula for the resolvent of a complex matrix Matthew X. He a , Paolo E. Ricci b ,_ Article history:Received 25 June 2007 Received in revised form 14 March 2008 Accepted 25 March 2008 Keywords: Powers of a matrix Matrix invariants Resolvent 1. Introduction As a consequence of the Hilbert identity in [1], the resolvent )(A R λ= 1)(--E A λof a nonsingular square matrix A (E denoting the identity matrix) is shown to be an analytic function of the parameter λ in any domain D with empty intersection with the spectrum ∑A of A . Therefore, by using Taylor expansion in a neighborhood of any fixed D ∈0λ, we can find in [1] a representation formula for )(A R λ using all powers of )(0A R λ. In this article, by using some preceding results recalled, e.g., in [2], we write down a representation formula using only a finite number of powers of )(0A R λ. This seems to be natural since only the first powers of )(0A R λ are linearly independent.The main tool in this framework is given by the multivariable polynomials ),...,,(21,r n k v v v F (,...1,0,1-=n ;r m k ≤=,...,2,1) (see [2–6]), depending on the invariants ),...,,(21r v v v of )(A R λ); here m denotes the degree of the minimal polynomial. 2. Powers of matrices a nd n k F , functions We recall in this section some results on representation formulas for powers of matrices (see e.g. [2–6] and the references therein). For simplicity we refer to the case when the matrix is nonderogatory so that r m =. Proposition 2.1. Let A be an )2(≥?r r r complex matrix, and denote by r u u u ,...,,21 the invariants of A , and by ∑=--=-E =r j j r j j u A P 0)1()det()(λλλ.
泰勒公式的余项及其应用论
题目泰勒公式的余项及其应用 摘要 0 Abstract 0 1引言 (1) 2带积带皮亚诺余项的泰勒公式及其的应用 (1) 2.1带皮亚诺余项的泰勒公式 (1) 2.2带皮亚诺余项的泰勒公式的应用 (1) 3带积分型余项的泰勒公式及其应用 (4) 3.1带积分型余项的泰勒公式 (4) 3.2带积分型余项泰勒公式的应用 (4) 4带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用 (5) 4.1带拉格朗日余项的泰勒公式 (5) 4.2带有拉格朗日余项的泰勒公式的应用 (5) 结束语 (6) 参考文献 (7) 致谢......................................... 错误!未定义书签。
摘要：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆. 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难. 本文主要介绍了泰勒公式的一些基本内容，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目.给出了带皮亚诺型、拉格朗日型、积分型余项的泰勒公式.并分别例举这几种类型的泰勒公式在求极限、估计无穷小(大)量的阶、命题证明、定积分计算、近似计算中重要作用. 关键词：泰勒公式；皮亚诺型余项；拉格朗日余项；积分型诺型余项；应用 Abstract:Taylor's formula is a very important mathematics content, it said some of the complex function approximation to a simple polynomial function, which simplify the function of analysis and research to make it a powerful lever for other mathematical problems. but generally only the high number of teaching describes how to start the function with the Taylor formula, while the Taylor formula approach does not in-depth discussions, students in the teaching process from the often difficult for learning to use. This paper describes some of the basic content of Taylor's formula, used in some of the topics in the Taylor formula to achieve rapid problem-solving projects. Presented with a Renzo Piano-based, Lagrangian type, Integral Taylor formula. And were These types of examples in the Limit of the Taylor formula, it is estimated infinitely small (large) amount of the order, the proposition shows that to calculate the approximate calculation an important role. Key words:Taylor formula; Peano-type remainder; Lagrange remainder; Connaught Type remainder integral; Application.