(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：

)()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο

这样当1<

x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量

)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1 Taylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …

n a 如何确定呢？

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=

于是得：)(00x f a =

第2章 预备知识

2

求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!

2)

(02x f a ''= 这样进行下去可得：

!

3)

(03x f a '''=

，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k n

k k n

n x x k x f x x n x f

x x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(00

0)(00)

(000-=-+

+-'+=∑= （2.2） 即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)(...)(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+=

称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数

!

)

(0)

(k x f

k ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

2.2 Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0

x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)

假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一

],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

10)1(00)

(000)()!

1()()(!)(...))(()()(++-++-+

+-'+=n n n

n x x n f x x n x f

x x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令

)0()()1(!

)

()(1

01)

1(>--?=

+-++p x x n p f

x R n p n n n θξ

则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0

x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日

型余项．若令1=p ，则得

)0()()1(!

)

()(1

0)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,

此式称为柯西余项公式．

当00=x ，得到泰勒公式：

1

1)(2)!

1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式） 若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有

∑

=-=n

k k k n x x k x f

x P 000)

()(!

)

()(， )()()(x P x f x R n n -=．

则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有

))(()(!

)

(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）

定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=， 称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中00=x 时，可得到

)(!

)0(...!2)0()0()0()()(2n n

n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．

第2章 预备知识

4

定理３ 设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，

)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为

10,)!

1()(!)(...)()()(1

0)

1(0)

(000<<++++

+'+=+++θθn n n n h n h x f

h n x f

h x f x f h x f （2.7）

则2

1

lim 0

+=

→n h θ． 证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

)()!

2()()!1()(!)(...)()()(22

0)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο

将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

)()!

2()()!1()

(-)(22

0)

2(1

0)

1(0)

1(++++++++=

++n n n n n n h h n x f

h

n x f

h x f

οθ，

从而

2

20)2(0)1(0)

1()

()!2()()()()!

1(+++++++=-+?

+n n n n n h h n x f h x f h x f

n οθθθ

，

令0→h ，得

)!

2()

()(lim )!1(1

0)

2(0)

2(0

+=

??+++→n x f

x f n n n h θ，

故2

1

lim 0

+=

→n h θ． 由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．

第3章 泰勒公式的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，

)(0x f ''，…，)(0)

(x f

n ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公

式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．

3.1 应用Taylor 公式证明等式

例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈?，使得

3))((24

1

))(2(

)()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)

设k 为使下列式子成立的实数：

0)(24

1

))(2(

)()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1） 这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈?，使得：

)(c f k '''=

令3)(24

1

))(2(

)()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ． 根据罗尔定理，),(b a ∈?ξ，使得0)(='ξg ，即：

0)(8

2)()2()2(

)(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2

ξ

+a 处的泰勒公式：

2))((8

1

2)()2()2(

)(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈?，比较可得原命题成立．

例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈?，使得

3))((24

1

)2(

)()(a b c f b a f a b dx x f b

a

-''++-=?

． （3.2） 证明：记2

0b

a x +=

，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2

)

())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）

对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈?，使得

第3章 泰勒公式的应用

6

3202

0))((12

1

)()())((a b c f dx x x c f dx x x f b

a

b

a

-''=

-''=-''??

ξ 因此原命题式成立．

因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．

3.2 应用Taylor 公式证明不等式

例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤?...21，

0≥i k ，11

=∑=n i i k ，∑∑==>n

i i i n i i i x f k x k f 1

1

)()(．

证明：取∑==n

i i i x k x 1

0，将)(i x f 在0x x =处展开

))(()()(2

)

())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+

-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．

以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11

=∑=n

i i k

()001

1

0=-=-∑∑==x x k x x

k n

i i i n

i i

i

得：

)()()(1

01

∑∑===

i i i n

i i i

x k f x f x f k

．

例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．

证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：

2)(!

2)

())(()()(x t f x t a f x f t f -''+

-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：

2)1(!2)

()1)(()()1(x f x x f x f f -''+

-'+=ξ （3.4） 2)(!

2)

())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）

所以（3.4）式减（3.5）式得：

2

2!

2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+

'=- 从而，

312)1(2)(2

1

)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''+

+≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈?ξ，有

|)()(|)(4

|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ．

证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：

21)(!2)

())(()()(a x f a x a f a f x f -''+

-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)

())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ

令2

b

a x +=

，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1b

a a +∈ξ （3.6）

4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2

(2b b a +∈ξ （3.7） （3.7）－（3.6）得：

[]0)()(8

)()()(122

=''-''-+

-ξξf f a b a f b f 则有

[])()(8

)()()(8)()()(122

122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤

''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有

|)()(|)

(4

|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ． 例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 1

0=≤≤x f x ，试证：

16)(min 1

0-≤''≤≤x f x ．

证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 1

0=≤≤x f x ，

0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈?x 使得

)(max )(1

00x f x f x ≤≤=

于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，

在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈?ηξ使得：

第3章 泰勒公式的应用

8

2

002)()()0(0x f x f f ξ''+

==， （3.8） 200)1(2)

()()1(0x f x f f -''+==η． （3.9）

因此

{}??

?

???????---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而??

?

???∈1,210x 时，

16)

1(4)1(4,4min 2

02020-≤--=??????????---x x x ， ??

?

???∈21,00x 时，

164)1(4,4min 20

2020-≤-=??????????---x x x ． 所以，16)(min 1

0-≤''≤≤x f x ．

由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．

3.3 应用Taylor 公式求极限

例3.3.1求4

2

2

cos lim

x

e

x x x -

→-．

解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有

)(2421cos 54

2x x x x ο++-=

)(8

2154

22

2x x x e

x ο++-=-

)(12

cos 542

2x x e

x x ο+-=--

所以，121

)

(12lim cos lim

45402

4

2-=+-=-→-

→x

x x x

e

x x x x ο． 像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．

例 3.3.2 设函数)(x ?在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ?+∞

→存在，且)(x ?''在

[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞

→x x ?．

证明：要证明0)(lim ='+∞

→x x ?，即要证明：0>?ε，0>?δ．当M x >时()ε?<'x ． 利用Taylor 公式，0>?h ，

2)(2

1

)()()(h h x x h x ξ????''+'+=+ （3.10）

即

[]h x h x h x )(2

1)()(1

)(ξ????''--+=

' （3.11） 记)(lim x A x ?+∞

→=，因)(x ?''有界，所以0>?M ，使得

M x ≤'')(?， )0(≥?x

故由（3.11）知

[]h x A A h x h x |)(|2

1)()(1

)(ξ????''+-+-+≤

' （3.12） 0>?ε，

首先可取0>h 充分小，使得2

21ε

?δ，当δ>x 时

[]2

)()(1

ε??<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εε

ε

?=+

<

'2

2

)(x ．即

0)(lim ='+∞

→x x ?

例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程． （1）32)1)(2(+-=x x y ；

（2）)1(cos 2

21

5

x e x

x y --=．

解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 x

u 1

=

，则有：

第3章 泰勒公式的应用

10

0)(1lim )

()32

1)(321(lim )1()21(lim

])1)(2([lim 003

231

032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞

→u

u bu a u u bu a u u u

bu a u u b ax x x u u u x οο

从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．

（2）设b ax y +=，x

u 1

=

，则有 0

)

()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205

542

021

522

=+--?+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u x

x ο

从中解出：12

1

-

=a ，0,1==b a ． 所以有渐近线：x y 121

-=．

从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．

上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．

3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限

例3.4.1]4[ 设

(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；

(3)当δ<≠h 0时有

))(()

()(000h h x f h

x f h x f θ+'=-+． （3.13）

其中1)(0<

1

1)(lim -→=n h n

h θ． 证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈?θθ使得

()

)(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+， （3.14）

))(()!

1())(()())((20)

(1

100h h x f

n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--， （3.15）

于是（3.13）式变为

=++'-)(!

)(10)

(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)

(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+

'--

从而

120)(10)())

(()

()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．

因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得

1

1)(lim -→=n h n

h θ． 这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

3.5 应用Taylor 公式近似计算

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．

例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；

（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．

解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为：

10,)!

1(!...!2112

<<++++++=+θθn x

n x

x n e n x x x e

当1=x 时，有

)!

1(!1...!2111++++++=n e n e θ

故)!

1(3

)!1()1(+<+=n n e R n θ． 当9=n 时，有

第3章 泰勒公式的应用

12

69103628800

3!103)1(-<<=

R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!

91

...!31!2111≈++++

+≈e (2) 当2=m 时，

6

sin 3

x x x -≈，使其误差满足：

355

410!

5!5cos )(-<≤=x x x x R θ

只需6543.0

3.6 应用Taylor 公式求极值

定理3.1

]

12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且

)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)

(===x f

n ， 0)(0)

1(≠+x f

n

（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点． （2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)

1(>+x f n 时，0x 是f 的

严格极小值点；当0)(0)

1(<+x f

n 时，0x 是f 的严格极大值点．

证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：

))(()()!

1()

()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο

于是

1

01

0100)1(0)()())(()!1()()()(++++-??

????--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于

)!1()

()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=??

????--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>?δ，),(00δδ+-x x 中，1

0100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!

1()

(0)1(++n x f n 同号． （1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0

x 不是f 的极值点．

（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故

)()(0x f x f -与)!

1()

(0)1(++n x f n 同号．

若0)(0)

1(>+x f

n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈?x x x x x Y ，0x 为f 的严格极小值点．

若0)(0)

1(<+x f

n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈?x x x x x Y ，0x 为f 的严格

极大值点．

例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．

解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74

,1,0=x 是函数的

三个稳定点．f 的二阶导数为

)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，

由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在7

4

=x 时取得极小值．

求三阶导数

)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，

有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.

再求f 的四阶导数

)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，

有0)0()4(

综上所述，0)0(=f 为极大值，823543

6912

7374)74(34-

=-=）（）（f 为极小值． 由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．

3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态

定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)

1(0==='''=-x f

x f n ，0)(0)

(≠x f

n ．

（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．

（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，

0)(0)

(≠x f

n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B ο内的n 阶Taylor 公式为

第3章 泰勒公式的应用

14

))(()(!

)

())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x →

于是

[]???

??

?--+-=-'+-n

n n n

x x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于

!)

()())((!

)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =??????--+→ο 由此可见：0>?δ，),(0δx B X x οI ∈?，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与

n n x x n x f

)(!

)

(00)

(-同号． （1）当n 为偶数， 如果0)(0)(>x f n ，则

[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x οI ∈?

这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；

如果0)(0)(

[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x οI ∈?

因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．

（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则

[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x ο

I +∈?

[])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x ο

I -∈?

由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

3.8 应用Taylor 公式研究线形插值

例 3.8.1（线形插值的误差公式） 设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点

))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a

b a

x a f a b x b x l --+--=

，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．

如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．

应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈?ξ，),(b x ∈?η，使得

[][])

(2

))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(2

2ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f a b a x x f a f a b x

b x f x l ''--=??

?

???''--+''----=??

????''-+'---+??????''-+'---=---+---=

-

其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于

0>--a b x b ，0>--a

b a

x ． )}

(),(max{)()())}(

(),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f a

b x

b f a b a x a

b x

b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤

--+--''''=''''

以及Darboux 定理推得．

如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取 )(max ]

,[x f M b a x ''=∈）

，则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2

)(|)(|2))(()()(2

-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈?

这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．

3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式

例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：

)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）

试证：)(x f 是一次或二次函数．

证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有

)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）

从而

)()

()()()(h x f h

h x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）

令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即

第3章 泰勒公式的应用

16

)(2)(x f x f ''=''θ

若21

≠

θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数； 若21=θ，则（3.17）式变成：)2

1

(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端

同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．

实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题， 因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零

考研数学三大公式

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ

考研数学公式大全(考研同学必备)

考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

2019考研数学一大纲原文(完整版)

2019考研数学一大纲原文(完整版) 来源：文都教育 九月即来，2019考研数学一大纲在九月中旬正式公布了，需要考此科目的同学快来收藏此页面，我们先了解今年大纲考哪些内容，考试限定范围有多大，然后在九月十五日，来和文都数学大咖一起，共同分析考研数学一新大纲有何不同！鉴于2019考研数学一大纲还没有出来，同学们可以借鉴2018考研数学一大纲进行复习。 2018考研数学一大纲原文(完整版) 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等数学约56%

线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构 单选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题(包括证明题)9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项

泰勒公式及其应用

目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证

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最新最全版考研数学公式，奉献给大家 高等数学公式篇 ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

(完整版)考研数学公式推导

积化和差 积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。 公式 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意此公式前的负号） cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[-2sinαsinβ] 其他的3个式子也是相同的证明方法。 作用 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。 在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。 运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。 对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。 和差化积 正弦、余弦的和差化积 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

考研数学(三)公式大全

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 数学公式 导数公式： 基本积分表： 等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ? x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222? ? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ

考研数学公式大全(免费)

高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

考研高等数学常用公式以及函数图像

考研高等数学常用公式及函数图象 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学公式大全(数三)

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学二公式高数线代费了好大的劲技巧归纳

高等数学公式 一、常用的等价无穷小 当x →0时 x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1 a x -1~x ln a (1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数) 1-cos x ~ 2 1 x 2 增加 x -sin x ~ 61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 3 1 x 3 二、利用泰勒公式 e x = 1 + x + +！22 x o （2x ） ）　（33 o !3sin x x x x +-= cos x = 1 – +！22x o （2 x ） ln （1+x ）=x – +2 2x o （2x ） 导数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2222 11)(11)(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：

考研高数：泰勒公式求极限

考研高数：泰勒公式求极限

凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方

面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

考研数学公式大全

高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似? 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明： 只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。 【证明】 以与为端点的区间或记为，。 函数在上具有直至阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有