数学人教A版必修3第二章2.1.3分层抽样

2．1.3　分层抽样

1．理解分层抽样的定义及其步骤．

2．掌握分层抽样的适用条件，能利用分层抽样抽取样本．

分层抽样

(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的____，从各层____地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体________作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．

(2)步骤：

①分层：按________将总体分成若干部分(层)；

②按______确定每层抽取个体的个数；

③各层分别按____________或________的方法抽取样本；④综合每层抽样，组成样本．

分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，遵循不重复、不遗漏的原则．

(2)分层抽样为保证每个个体都等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样或系统抽样，每层样本数量与每层个体数量的比和样本容量与总体容量的比相等．

(3)当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层抽样．

【做一做】 有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽取二等品的件数应该为__________．答案：(1)互不交叉　比例　独立　合在一起　(2)①某种特征　②抽样比　③简单随机抽样　系统抽样

【做一做】 5　因为＝＝，

样本容量

总体容量810＋25＋515所以抽取二等品的件数应该为×25＝5.

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1．确定分层抽样中各层入样的个体数

剖析：当总体由差异明显的几部分组成时，应将总体分成互不交叉的几部分，其中所分成的每一部分叫层，然后按照各部分所占的比例，从各部分中独立抽取一定数量的个体，再将各部分所抽出的个体合在一起作为样本，这就是分层抽样．

由于层与层之间有明显的区别，而层内个体间的差异不明显，为了使样本更能充分地反

映总体的情况，抽取样本时，必须照顾到各个层的个体．抽样比＝.这样抽取能使所样本容量

总体容量得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．

在实际操作时，应先计算出抽样比k ＝，获得各层入样数的百分比，再按抽样

样本容量

总体容量比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝×该层个体数目．

样本容量

总体容量2．选择抽样方法的原则

剖析：(1)若总体由差异明显的几部分组成，则选用分层抽样．

(2)若总体所含个体没有差异，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．

当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样．

(3)采用系统抽样时，当总体容量N 能被样本容量n 整除时，抽样间隔为k ＝；当总体容

N n 量N 不能被样本容量n 整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k ＝.[N n ]

题型一 如何选择分层抽样

【例题1】 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )

A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B ．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C ．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D ．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

反思：只要总体中个体有明显差异，那么就必须用分层抽样抽取样本．

题型二 确定各层抽取的个体数

【例题2】 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )

A ．12,24,15,9

B ．9,12,12,7

C ．8,15,12,5

D ．8,16,10,6

反思：一个总体中有m 个个体，用分层抽样方法从中抽取一个容量为n (n ＜m )的样本，

某层中含有x (x ＜n )个个体，在该层中抽取的个体数目为y ，则有＝y ，该等式中含有4个量，nx m 已知其中任意三个量，就能求出第四个量．

题型三 分层抽样的应用

【例题3】 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所有职工中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选用分层抽样来抽取样本．

反思：分层后，各层的个体数较多时，可采用系统抽样或随机数法取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．

题型四 易错辨析

【例题4】 某单位有老、中、青年人各32人，50人，20人，现用分层抽样从三个群体中共抽取20人进行某项调查，问：老、中、青每组应各抽取多少人？每人被抽中的机会是否相等？

错解：按分层抽样的要求，可先从老年人中用随机抽样法剔除2人，使三个群体的人数

比为3∶5∶2，则共抽20人进行调查，三组中各抽取人数为6人，10人，4人；但由于老年组中先剔除2人，没有参与后面的抽取，因此每人抽中机会不相等．

错因分析：由于剔除的2位老人是随机剔除的，因而老年人中每人被抽中的机会仍相等．

答案：

【例题1】 B A 项中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 项和D 项中总体所含个体无差异且个数较多，适合用系统抽样；B 项中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．

【例题2】 D 抽样比是＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，408001201602032020＝10，＝6.

2002012020【例题3】 解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工．

(2)确定每层抽取个体的个数，抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取

10050015125×＝25(人)；

15在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；

15在50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．

15(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本．

(4)综合每层抽样，组成样本．

【例题4】 正解：先从老年人中随机剔除2人，余下的三个群体人数比为3∶5∶2，从三组中各抽取人数分别为6人，10人，4人．每人被抽中的机会相等．

1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有( )①简单随机抽样　②系统抽样　③分层抽样

A ．②③

B ．①③

C ．③

D ．①②③

2．从某地区15 000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示．

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )

A ．60

B ．100

C ．1 500

D ．2 000

3．在学生人数比例为2∶3∶5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n ＝__________.

4．(2011·陕西宝鸡高三教学质量检测，文11)两个志愿者组织共有志愿者2 400人，现用分层抽样的方法，从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本．已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150，那么乙志愿者组织中的人数有__________．

5．一个单位有职工160人，其中业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的家庭收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请确定抽样方法，并简述抽样过程．

答案：1．D 由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．

2．A 由分层抽样方法知所求人数为

×15 000＝60.2321500

-3．30　A 学校学生人数占总人数的＝，2235++15

则n ＝＝30.61

54．150　在乙志愿者组织中抽取的人数为160－150＝10，

则在乙志愿者组织中抽取的人数占总容量的

＝，10160116故乙志愿者组织中的人数为2 400×＝150.116

5．分析：由于不同层次人员的收入有着较大的差异，因此宜采用分层抽样抽取样本．解：用分层抽样抽取样本，步骤是：

(1)分层，分成三层：业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．

(2)确定各层抽取的样本个数，抽样比为

＝.2016018则从业务人员中抽取120×

＝15(人)．18从管理人员中抽取16×＝2(人)．18

从后勤服务人员中抽取24×＝3(人)．18

(3)在各层中分别用简单随机抽样或系统抽样抽取样本．

(4)综合每层抽样，组成样本.