泛函分析解答(张恭庆)第四章

第四章习题

1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1

上的距离？ [解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则

ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1

上的距离。

而?x , y , z ∈ 1

，

ρ2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )；

所以ρ2是 1上的距离．

2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) = n y x ),(ρ，?x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空间．

[证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明ρ1满足三角不等式即可．

实际上?x , y , z ∈X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤=

n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤

),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=．

3. 设(X , ρ)是距离空间，证明

| ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，?x , y , z ∈X ；

| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，?x , y , z , w ∈X ． [证明] ?x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有

- ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式：

| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )．

4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1 |2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，?i = 1, 2, ..., n 即可．

5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做．

6. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集．

[证明] 若A = ?，则int(A ) = ?，结论显然成立． 若A ≠ ?，则?x ∈ A ，?r > 0使得S (x , r ) ? A ．

对?y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ? S (x , r ) ? A ； 所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ? int(A )，从而int(A )是开集．

7. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A ≠ ?．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并． [证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集．

若A 是开集，?x ∈A ，存在r (x ) > 0，使得S (x , r (x )) ? A ． 显然A = x ∈A S (x , r (x ))．

8. 举例说明对于一般的距离空间X ，并不是总有),(),(r x S r x S =，?x ∈X ，r > 0． [例] 设X = {a , b }，定义d : X ? X 为d (a , a ) = d (b , b ) = 0，d (a , b ) = 1． 则(X , d )是距离空间．

当r = 1时，不论x 为a 还是b ，总有),(}{),(r x S X x r x S =≠=．

9. 设(X , d )是距离空间，X B A ?,．证明：B A B A ?=?，B A B A ???． [证明] 由于A A ?，B B ?，故B A B A ???．

由于A 和B 都是闭集，所以B A ?也是闭集，所以B A B A ???．

另一方面，由B A B A ??,，得B A B A ??,，所以B A B A ???； 这样就证明了第一个等式．

由B A B A ,??得B A B A ,??，所以B A B A ???。

10. 证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并． [证明] 由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可． 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A 是闭集． 若A = ?则结论显然成立，下面设A ≠ ?．

?n ∈ +

，定义A n = x ∈A S (x , 1/n )，则A n 是开集，且A ? A n ．因此A ? n A n ．

若x ? A ，则由于A 是闭集，?N ∈ +

，使得S (x , 1/N ) A = ?； 即x ? A N ，，所以x ? n A n ．这样就证明了A = n A n ． 因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交．

11. 设(X , d )是距离空间，}{n x 是基本列，且有收敛子列x x k n →．证明x x n →． [证明] 0>?ε，由于}{n x 是基本列，存在自然数N ，当N n m >,时2

),(ε

由于子列x x k n →，存在自然数K ，当K k >时，N n k >且2

),(ε

当N n >时，因N n K >+1，故2

),(1ε

<

+K n n x x d ，2

),(1ε

<

+x x d K n ，从而ε<),(x x d n ．

12. 设在非空集合X 上定义了两种距离d 和1d ，且存在正数a 和b ，使得对任意的x , y ∈X 总有a d 1(x , y ) ≤ d (x , y ) ≤ b d 1(x , y )．证明：在距离空间(X , d )和(X , d 1)中，基本列与收敛点列是共同的．并举出这种空间的例子． [证明] 设{ x n }是(X , d )中的基本列，则

对?ε > 0，?N ∈ +

，当m , n > N 时d (x m , x n ) < a ε．

此时有d 1(x m , x n ) ≤ d (x m , x n )/a < a ε /a = ε，所以{ x n }也是(X , d 1)中的基本列． 相反方向的证明是类似的．关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似． 一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X , d )中定义新的距离d 1， 使得d 1 = 2d ．

13. 设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | x – y |，，证明(X , d )是完备距离空间．

[证明] 首先从距离定义看，(X , d )实际上是 1

的子空间，当然是距离空间．

因 1是完备的，而X 又是 1中闭集，所以(X , d )是完备距离空间．

14. 设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | 1/x – 1/y |，证明(X , d )不是完备距离空间． [证明] 首先直接验证可知(X , d )是距离空间．

?n ∈ +

，设x n = n ．则{ x n }是(X , d )中的基本列．

若{ x n }收敛于x ∈ X ，则d (x n , x ) 0，即| 1/x n – 1/x | 0 (当n ∞时)． 由此推出1/x = 0，而这是不可能的．

所以基本列{ x n }不收敛，因此(X , d )不是完备距离空间．

15. 证明：离散距离空间(X , d )是完备距离空间． [证明] 设}{n x 是(X , d )中的基本列，

则存在自然数N ，当N n m >,时1),(

由离散距离空间定义知，0),(=n m x x d ，所以应有n m x x =； 即从1+N 项开始}{n x 为常序列，因此}{n x 必为收敛列．

所以(X , d )是完备距离空间。

16. 证明：c 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明c 是完备距离空间．

设}{n x 是基本列，0>?ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，则εξξ<-||)()(m i n i ，（1≥?i ）． 可见对1≥?i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，

因此设i n n i ξξ??→?∞

→)(，并记)(i x ξ=．

显然当N n >时，1≥?i 有εξξ≤-||)(i n i ，取1+=N n 则1≥?i 有εξξ≤-+||)1(i N i ． 由于)()1(1++=N i N x ξ是收敛列，存在N M >使得当M n m >,时，

εξξ<-++||)1()1(N m N n ．

此时εξξξξξξξξ3||||||||)1()1()1()1(<-+-+-≤-++++m N m N m N n N n n m n ．

故)(i x ξ=是1R 中的基本列，所以c x ∈．

由前面可见，0>?ε，存在自然数N ，当N n >时1≥?i 有εξξ≤-||)(i n i ， 故有εξξ≤-≥||sup )(1

i n i i ，即ε≤),(x x d n ，所以基本列}{n x 是收敛的．

下面证明c 是可分的．

在c 中，令}|)({N i i i N i N x A ξξξξ=≥?==有使得为有理数，存在自然数． 则A 显然为可数集，且A 在c 中稠密，所以c 是可分的．

17. 证明：s 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明s 是完备距离空间．

设}{n x 是基本列，0>?ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，容易看出1≥?i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，

因此设i n n i ξξ??→?∞

→)(，并记)(i x ξ=．

注意εξξξξ<-+-?∑∞

=1)()()()(||1||21i m i n i m i n i i ，故εξξξξ<-+-?∑=M

i m i

n i m i n i i 1)

()()()(||1|

|21 (对任意自然数M )．

令∞→m 得到εξξξξ≤-+-?∑=M

i i n i i n i i 1)

()(||1|

|2

1，(对任意自然数M )． 所以有ε≤),(x x d n ．即基本列}{n x 是收敛的． 下面证明s 是可分的．

在s 中构造A 如下：}0|)({不为为有理数，只有有限项i i x A ξξ==． 显然A 为可数集，且A 在s 中中稠密，所以s 是可分的．

18. 从集合的角度看，m ? s ，但s 是可分的而m 不是可分的，这能给我们什么启迪？

[答] 距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的．

19. 证明：)1(∞<

1）存在0>K ，使得对任意的A x i ∈=)(ξ有K i p i <∑∞

=1

||ξ，

2）对任意的0>ε，存在自然数N ，使得对任意的A x i ∈=)(ξ有

p N i p i

εξ

<∑∞

+=1

||．

[证明] 若A 是列紧集，则A 是全有界集，第一个条件显然成立． 设}1|)({)(m n x n i n ≤≤=ξ是A 的有限-2ε网，

则存在自然数N 使p N i p n i

)2(||1

)(ε

ξ

<∑∞

+=，对m n ,,2,1 =?．

对A x i ∈=?)(ξ，存在m n n ≤≤001:，使得2),(0ε

那么εε

ξ

ξ

ξξ<+

<+-≤∑∑∑∞

+=∞

+=∞

+=2

),()||(

)||(

)||(

00011

)

(11

)(11

x x d n p

N i p

i

n p

N i p n i

i p

N i p

i ，

从而第二个条件成立．

反过来，假设集合A 满足这两个条件， 设},2,1|)({)( ==n x n i n ξ是A 中任意一个点列， 由第一个条件，对任意的 ,2,1=i ，数集}{)(n i ξ有界，

存在自然数列的子列}{1k n 使}{)(11

k n ξ收敛于1ξ．

又存在}{1k n 的子列}{2k n 使}{)(11

k n ξ收敛于2ξ，等等如此下去．

令)()

(j j j j

n i

n x ξ

=，利用第二个条件容易证明}{j j

n x 是基本列．

令)(i x ξ=，利用第一个条件可以证明p l x ∈，并且}{j j

n x 收敛于x ．

即可在},2,1|)({)( ==n x n i n ξ中选出收敛子列，所以集合A 是列紧集．

20. 证明：s 中的集合A 是列紧集的充要条件是：对任意自然数i ，存在0>i c 使得，对任意的A x i ∈=)(ξ有i i c ≤||ξ．

[证明] 若存在自然数i ，对任意的0>M ，存在A x i ∈=)(ξ使得M i >||ξ． 这样就可以做一个A 中的序列)()

(n i n x ξ=使得n n i >||)

(ξ． 若}{n x 有子列}{k n x 收敛，设其极限为)(i y η=，

则因021||1||21)()

(≠→-+-?i

i n i i n i i k k ηξηξ，所以),(y x d k n 不收敛于零，得到矛盾，

所以}{n x 没有收敛子列，即A 不是列紧集，必要性得证． 下面证明充分性．

设对任意自然数i ，存在0>i c 使得，对任意的A x i ∈=)(ξ有i i c ≤||ξ． 设}{n x 是A 中任一序列，存在}{n x 的子列)}({)1,(1,n i n x ξ=使1)1,(1ηξ→n ，

下一步，存在}{1,n x 的子列)}({)2,(2,n i n x ξ=使得2)

2,(2ηξ→n ，依次做下去；

然后考虑}{n x 的子列}{,n n x ，则它的第i 个坐标收敛于i η．

令}{i y η=，显然}{,n n x 收敛于s y ∈．所以A 是列紧集．

21. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，令f (x ) = A

y ∈inf d (x , y )，?x ∈X ．证明f 是连续函数．

[证明] ?x 1, x 2∈X ，?ε > 0，? y 1, y 2∈A ，使得

d (x 1, y 1) - ε < f (x 1)，d (x 2, y 2) - ε < f (x 2)．

由于d (x 1, y 1) - ε < f (x 1) ≤ d (x 1, y 2)，d (x 2, y 2) - ε < f (x 2) ≤ d (x 2, y 1)，我们有

f (x 1) - f (x 2) < d (x 1, y 2) - ( d (x 2, y 2) - ε ) ≤ | d (x 1, y 2) - d (x 2, y 2) | + ε ≤ d (x 1, x 2) + ε， f (x 2) - f (x 1) < d (x 2, y 1) - ( d (x 1, y 1) - ε ) ≤ | d (x 2, y 1) - d (x 1, y 1) | + ε ≤ d (x 1, x 2) + ε， 所以| f (x 2) - f (x 1) | ≤ d (x 1, x 2) + ε，由ε的任意性，| f (x 2) - f (x 1) | ≤ d (x 1, x 2)． 所以f 是(X , d )上的连续函数．（由证明可见，实际上是一致连续函数）．

22. 设(X , d )是距离空间，F 1, F 2? X ，F 1, F 2是闭集且F 1 F 2= ?．证明存在开集G 1, G 2? X ，使得F 1? G 1，F 2? G 2且G 1 G 2= ?． [证明] 对任意闭集F ，定义f F (x ) = inf y ∈F d (x , y )， 由21题结果知f F 是(X , d )上的连续函数．

显然当x ∈F 时，f F (x ) = 0，而当x ?F 时，f F (x ) > 0．

令)()()

()(211x f x f x f x g F F F +=则g 是(X , d )上的连续函数，且g (F 1) = 0，g (F 2) = 1．

令G 1 = g -1(-∞, 1/2)，G 2 = g -1(1/2, +∞)，则容易看出它们就是满足条件的开集．

23. 举例说明全有界集不一定是列紧的．

[例] 最为熟悉的例子是考虑 1

中的开区间I = (0, 1)；

作为 1

的子空间，显然它是全有界的距离空间，但不是列紧的距离空间．

24. 证明距离空间(X , d )中紧集的闭子集也是紧集

[证明] 设E 为(X , d )中紧集，F 是(X , d )中闭集，F ? E ．

设A = {A α | α∈Λ }是F 的一个开覆盖，则B = A {X \ F }是E 的一个开覆盖． 由E 紧，B 有有限子覆盖C ，则可得到F 的有限覆盖C \{X \ F }， 实际上它也是A 的一个有限子覆盖．所以F 是紧集．

25. 证明：距离空间(X , d )中列紧集F 的闭包是紧集． [证明] 由F 列紧，知F 自列紧，因此F 是紧集．

26. 设(X , d )为紧距离空间，{ F n }是闭集列，F 1 ? F 2 ? ... ? F n ? ...，并且F n ≠ ?．证

明： n F n ≠ ?．这个结论在一般的距离空间是否成立？

[证明] 若 n F n = ?，则{ F n c }是X 的一个开覆盖，它存在有限的子覆盖． 由于F 1c ? F 2c ? ... ? F n c ? ...，故存在自然数N 使得F N c = X ，此即F N = ?． 这与题目假设相矛盾．

在一般的距离空间显然没有这样的结论．

例如，在 1

上考虑闭集列{ F n }，其中F n = [ n , +∞)．

27. 设(X , d )为距离空间，F 是X 中的紧集，f : F 1

连续．证明f 一致连续． [证明] 若不然，存在0>ε，及F 中的序列}{n x ，}{n y ，使得

n

y x d n n 1),(<，但ε≥-|)()(|n n y f x f ．

由于F 是X 中的紧集，故也是自列紧集；

存在自然数列的一个子列}{k n 使得}{k n x ，}{k n y 皆收敛于F 中点．

设x x k n →，y y k n →，由k

n n n y x d k k 1

),(<，ε≥-|)()(|k k n n y f x f ， 知y x =，但ε≥-|)()(|y f x f ，此为不可能．

28. 设]1,0[C f ∈，求证方程?+=t

ds s x t f t x 0)()()(λ，]1,0[∈t 有连续解．

[解] 因0=λ时方程是平凡的，不妨设0≠λ，记n a 1=，n 满足||2λ>n ． 考虑映射],0[],0[:a C a C T →，?+=t

dt s x t f t Tx 0)()()(λ．注意到

),(2

1

),(|||)()(|m a x ||),(0]1,0[y x d y x ad ds s y s x Ty Tx d t

t ≤

≤-=?∈λλ，

所以T 为压缩映射，故有唯一不动点],0[1a C x ∈，此x 即为方程的局部解．

同理方程??++=t

a

a

dt s x dt s x t f t Tx )()()()(0

λλ有解]2,[2a a C x ∈，

如此下去，直到],)1[(na a n C x n -∈．

则)()(t x t x i =，],)1[(ia a i C t -∈即为所求的整体的连续解．

29. 设A = (a ij )n ?n 为实矩阵，满足

1)(1

,12<-∑==n

j i ij ij

a

δ．

证明：对?b = (b 1, b 2, ..., b n )T ，方程组Ax = b 有唯一解．

[证明] 定义T : n n 为Tx = x - Ax + b ．则x ∈ n

为方程组的解等价于x 是T 的不动点，实际上，||))((||),(y x A I Ty Tx d --= 21

12

1))))((((∑∑==--=n

i n

j j j ij ij y x a δ

21

11

212

)))()()(((∑∑∑===--≤n

i n

j j j n j ij ij y x a δ

∑∑∑===--=n

i n

j j j n

j ij ij y x a 12

1

1

221

1

2

)

)(())((δ

),())((

21

1

,12y x d a n

j i ij ij ∑==-=δ．

所以T : n

n

为压缩映射，故有唯一不动点x ，此x 即为方程组的唯一解．

30. 设(X , d )为完备距离空间，T : X X 满足1)

,()

,(sup inf 0<=≠y x d y T x T d n n y x n α．证明T

有唯一不动点．

[证明] 存在自然数N 使得21),(),(sup 0

α+<

≠y x d y T x T d N N y

x ， 因此对?x , y ∈X ，有d (T N x , T N y ) ≤ 2

10

α+d (x , y )．

所以T N 为压缩映射，故T N 有唯一不动点x ∈X ．

因为T N (Tx ) = T (T N x ) = Tx ，所以Tx 也是T N 的不动点．

由于T N 的不动点是唯一的，所以Tx = x ，即x ∈X 是T 的不动点． 因为T 的不动点必是T N 的不动点，所以T 的不动点是唯一的．

博士生入学考试泛函分析考试大纲

博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理

4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。

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2002年北京国际数学家大会

2002年北京国际数学家大会 （ICM 2002 北京） 一 ICM2002 我国做45分钟报告的数学家 第24 届国际数学家大会于2002 年8 月20 日至28 日在北京举行，有101 个国家和地区的4270 余名数学家参加了会议，其中1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。 ICM2002大会其间，马宁（）领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告，代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。作1小时大会报告的20 名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国，他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19 个学科组，学术交流内容涵盖十分广泛，有174名学者在各学科组作了邀请报告。 此外，为了充分利用这个4年一次的难得的大聚会，大会提供一切可能的学术交流条件。凡已注册登记者均可报名作15分钟的专题报告，大会予以安排。1114人作了15 分钟的小组分组报告，张贴了93 篇墙报，报告（含张贴墙报者）总人数超过1400 人。 在往届国际数学家大会上，我国大陆被邀请作45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、张恭庆、马志明等。陈省身、丘成桐等华人数学家曾被邀请作1小时大会报告。 ICM2002大会有3名华裔数学家作1 小时大会报告，他们分别是：美国麻省理工学院教授、北京大学“长江学者”田刚，华人数学家美国哈佛大学教授肖荫堂和普林斯顿大学教授张圣容，有12位我国大陆数学家作45分钟邀请报告，他们分别是：丁伟岳、王诗宬、龙以明、曲安京、严加安、张伟平、陈木法、周向宇、洪家兴、郭雷、萧树铁和葛力明，ICM2002会议是历史上华人数学家作大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。 二 ICM2002 卫星会议、公众报告情况 ICM2002举行了46 个卫星会议，为大会增添了风光。这些卫星会议分布在中国的26个城市以及日本、俄罗斯、新加坡、韩国和越南的6个城市。几乎每一个卫星会议都是国际合作的成果，一些菲尔兹奖、沃尔夫奖（Wolf Prize）和诺贝尔奖获得者的参与使得这些卫星会议更加引人注目。尽管举办卫星会议一直是国际数学家大会的惯例，但2002年国际数学家大会扩大了卫星会议的规模，并使之对国际数学家大会的圆满成功更有意义。

泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)

第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空 间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}．首 先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有 A F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示．

设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m 0，m 1． 若∑=m n n n t c 0 = 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2) 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的 线性子空间． [证明] x , y cl(L )，a ，存在L 中的序列{ x n }, { y n } 使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0 M ．证

Banach延拓定理及其应用(精)

Hahn - Banach延拓定理及其应用 [论文摘要]本文首先概述Hahn - Banach延拓定理发展的历史、其对泛函分析及微分方程乃至物理学的重要意思，然后介绍了Hahn - Banach延拓定理包括它的推论和推广，最后以例题的形式给出了Hahn - Banach延拓定理的一些应用。 [关键字]Hahn - Banach定理Zorn引理延拓 [Abstract]In this passage,we introduce the history of Hahn-Banach theorem.Then we introduce the Hahn-Banach theorem and the deduction.At the end,we introduce some application of the Hahn-Banach theorem. [Key Word]Hahn-Banach theorem Zorn lemma application

目录 摘要 1目录 2 1 引言 3 1.1 选题背景 3 1.2 本文的主要内容 3 2 Hahn—Banach定理 5 2.1 Hahn—Banach定理的定义 5 2.2 Hahn—Banach定理的推论 6 3 Hahn—Banach定理的推广 13 4 Hahn—Banach定理的应用 43参考文献45

1引言 1.1 选题背景 Banach空间理论是由波兰数学家S.Banach在192O年创立的，数学分析及泛函分析中许多常用的空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。以Banach空间为基础的Hahn - Banach定理跟共鸣定理及闭图象定理是 泛函分析的三大基本定理。其应用十分广泛, 而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。其中Hahn - Banach延拓定理，在泛函分析中扮演着重要的角色。该定理保证了赋范线性空间上具有“足够多”的连续线性泛函，并且还刻划了连续线性泛函的值可以事先被指定的程度，这就使得建立共轭空间具有实质性的意义。而这些理论也是赋范空间一般理论的根本部分。从这个意义上来说，Hahn－Banach定理是关于有界线性算子最重要的定理之一。 Hahn - Banach定理是1923年S.Banach在研究不变测度时，首先提出来的。在1929年S.Banach又得出了定理的一般形式。而Hahn在1927年及Ascoli在1932年也相互独立的得出了一般定理。随后H．F．Bahnenblust与Sobczyk(1938)将其推广到复向量空间上。从几何上看该定理表现成凸集的分离性质，而这个分离性质是研究与凸集有关的Banach空间几何学的基本出发点。由Hahn—Banach定理可以导出一些很有用的结果，如短量定理、最佳逼近的对偶关系和凸集分离定理等等，这些结果在泛函分析理论、远近论、控制论和数学规划中均有重要作用。而且Hahn - Banach延拓定理在偏微分方程及概率论等方面有着广泛的应用，而在确信一般的局部凸线性拓扑空间中非平凡连续线性泛函的存在时也要用到它。 1.2 本文的主要内容 本文拟对Hahn - Banach定理进行一点探讨, 分为三大部分。第一部分首先给出Hahn - Banach延拓定理，然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式。第二部分给出本定理的推广。第三部分则以例题的形式给出Hahn - Banach定理的一些应用。值得注意的是, Hahn-Banach 定理的推广实际上也是Hahn - Banach定理的重要应用。

泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆).doc

精 品 资 料 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的 图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈}也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ，

_泛函分析_中两个定理的教学与应用

第31卷第2期2001年3月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE A ND T HEORY V ol.31　N o.2　 M arch,2001　 《泛函分析》中两个定理的教学与应用 刘迎东 (北方交通大学理学院应用数学所,北京　100044) 摘要:　本文讨论《泛函分析》中S chauder 不动点定理和Arzela -Ascoli 定理的教学方法并把它们用于互助生态模型得到两物种共存的一个充分条件. 关键词:　列紧集;不动点;周期解 1　引 言收稿日期:2000-10-27 《泛函分析》是研究生的一门重要的基础课,但由于它的抽象性使学生学起来有一定的困难.首先可能基本的定理和结论大家就很难掌握,其次即使掌握了抽象的定理和结论也不知道如何去用.正如张恭庆先生在[1]序言中所说,给人以“如入宝山而空返”的感觉.所以他们在写书时注意结合上了在偏微分方程上的应用.笔者在北方交通大学讲授工科硕士研究生泛函分析时,在这方面作了进一步的探讨.鉴于工科硕士研究生对偏微分方程知之甚少,笔者尝试了《泛函分析》中Schauder 不动点定理和Arzela-Ascoli 定理在常微分方程上的应用,发现不仅有助于学生理解和掌握这两个定理,而且对把他们带入规范的科学研究有一定的作用.笔者有一点点体会,愿与大家进行一下讨论. 我们先回顾一下这两个定理. Schauder 不动点定理:设B 是B * 空间X 中的一个闭凸子集,T :B →B 连续且T (B )列紧,则T 在B 上必有一个不动点[1]. Arzela-Ascoli 定理:设K 是一个紧的度量空间,则为了F 0为常数,则u E 0.

泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=? =?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...), n n x y ξξξηηη==1|| 1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑(,)S d (,)sup |()()| t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t () g t |()()|1 1|()()|f t g t f t g t -<+-|()()| (,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()| a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞ ={}n x {}n x

泛函分析简介。汉语

泛函分析 西安建筑科技大学理学院数学系 摘要：泛函分析是一门新兴学科，作为一个重要的数学分析学科，它拥有丰富的历史。泛函分析的发展主要分为三个阶段，本文将介绍它的起源及发展历史，以及发展现状。还介绍了一些国内泛函方向的主要人物。 关键词：泛函分析；数学；发展历史 1. 泛函分析的起源 泛函分析是一门新兴学科，1932年才被正式列入德国《数学文摘》。“泛函分析”这个词首先出现于列维(P．Lévy，1886—1971)的1922年出版的《泛 函分析教程》中．它是一门分析学科，但与传统的分析学科不太一样，后者强调演算，而前者强调概念．它们的对象也有所不同，后者主要讨论个别函数(类)的性质，而前者主要讨论函数空间及其上算子的集合，特别是其上的拓扑、代数及序结构。不过很难说它有一个统一的对象及目标。 泛函分析大致可分为四大块：一是函数空间理论，从希尔伯特空间、巴拿赫空间到一般拓扑线性空间的理论．二是函数空间上的分析，这是最先发展的一部分，即所谓泛函演算．三是函数空间之间的映射及算子理论，发展最成熟的是希尔伯特空间中的线性算子理论．四是算子(或函数)集合的代数结构，如巴拿赫代数、冯·诺伊曼代数、 C代数以及算子半群等理论。 泛函分析的来源可以追溯到18世纪变分法的产生。正如微积分研究函数的极值一样，变分法研究函数集(空间)上的函数——泛函的极值。而泛函分析的直接推动力则是19世纪末兴起的积分方程的研究。它导致线性泛函分析的诞生。 2. 泛函分析的发展历史 泛函分析的发展可分三个时期： (1)第一阶段是创始时期。 大约从19世纪80年代到20世纪20年代．开始是意大利一些数学家引进泛函演算，特别是他们引进原始泛函以及线性算子的概念．后来法国数学家发展了泛函演算，这反映在阿达马(J．Hadamard)在1897年第一次国际数学家大会

泛函分析解答(张恭庆)第四章

第四章习题 1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1 上的距离？ [解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则 ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1 上的距离。 而?x , y , z ∈ 1 ， ρ2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )； 所以ρ2是 1上的距离． 2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) = n y x ),(ρ，?x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空间． [证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明ρ1满足三角不等式即可． 实际上?x , y , z ∈X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , ρ)是距离空间，证明 | ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，?x , y , z ∈X ； | ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，?x , y , z , w ∈X ． [证明] ?x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有 - ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1 |2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，?i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集． [证明] 若A = ?，则int(A ) = ?，结论显然成立． 若A ≠ ?，则?x ∈ A ，?r > 0使得S (x , r ) ? A ． 对?y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ? S (x , r ) ? A ； 所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ? int(A )，从而int(A )是开集． 7. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A ≠ ?．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并． [证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集．