全等三角形证明——SSS

学生1对1个性化教案

第 6 次课学生姓名年级授课日期

教师科目数学时间段

授课内容全等三角形证明——SSS

出题依据初二预习

知识点一：SSS定理

（一）知识点精讲

①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F

思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△DEF吗？

2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△DEF吗?

探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时.

结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？

①两边；②一边一角；③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:

结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时

结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.

根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等

结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。

3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？

①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。

⑴三个角

已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？

结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

⑵三条边

已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？

探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？

画法:

1.画线段B’C’ =BC;

2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;

3. 连接线段A’B’，A’C’ .

上述结论反映了什么规律？

边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”

注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

如何用符号语言来表达呢?

在△ABC与△DEF中

AB=DE

AC=DF

BC=EF

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（二）典型例题剖析

例1 ：如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△

ABD≌△ACD

证明：∵D是BC的中点

∴BD=CD

在△ABD与△ACD中

AB=AC（已知）

BD=CD（已证）

AD=AD（公共边）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C，

归纳：证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

1.写出在哪两个三角形中

2.摆出三个条件用大括号括起来

3.写出全等结论

练习：已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：

△ABC≌△ADC

例2：填空题：

（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。

解：△ABC≌△DCB

理由如下：

AB = CD

AC = BD ==> △ABC ≌（）

=

（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件

（1）（2）

例3：已知：如图1，AC=FE，AD=FB,BC=DE，求证：（1）△ABC≌△FDE，（2）∠C=∠E，

（3）AC∥EF；DE∥BC

证明：（1）∵AD=FB

∴AB=FD（等式性质）

在△ABC和△FDE 中

AC=FE（已知）

BC=DE（已知）

AB=FD（已证）

∴△ABC≌△FDE（SSS）（2）∵△ABC≌△FDE（已证）

∴∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）

（3）

例4：已知:如图，AB=AC，DB=DC，请说明∠B =∠C成立的

理由

解：连接AD

在△ABD和△ACD中，

AB=AC (已知）

DB=DC （已知）

AD=AD （公共边）

∴△ABD≌△ACD (SSS)

∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）

例5：已知：如图，四边形ABCD中，AD=CB，

AB=CD，求证：∠A＝∠C。

分析：要证两角或两线段相等，常先证这两

角或两线段所在的两三角形全等，从而需构

造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

例6：已知：AC=AD，BC=BD，求证：AB是∠DAC的平分线.

证明:在△ABC和△ABD中

AC=AD(已知)

BC=BD（公共边）

AB=AB(已知)

∴△ABC≌△ABD（SSS）

∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）

∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）

- -.

小结:

1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成：“边边边”（SSS ）

2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)

3.边边边公理在应用中用到的数学方法:

证明线段(或角)相等转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.

两个三角形全等的注意点：

1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.

2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.

3. 有时需添辅助线(如:造公共边)

（三）随堂练习 一、填空

1、能够完全 的两个三角形叫做全等三角形.

2、全等三角形的 相等，全等三角形的 相等.

3、完成下面的证明过程：

如图，OA ＝OB ，AC ＝BC.

求证：∠AOC ＝∠BOC.

证明：在△AOC 和△BOC 中， OA ______,

AC ______,OC ______.?=?

=??=?

∴ ≌ （SSS ）.

∴∠AOC ＝∠BOC （ ）.

4、△ABC 和A B C '''△中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件 可得 到△ABC ≌A B C '''△．

5、如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，

则△ABD ≌△ACD ，根据是_______，AD 与BC 的位置关系是_______． 二、选择

1、如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．AE ＝DC

2、全等三角形是( )

A ．三个角对应相等的三角形

B ．周长相等的两个三角形

C ．面积相等的两个三角形

D ．三边对应相等的两个三角形

C

O

A B

（ ）

1全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础） 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．

【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】 证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM 在△RPM 和△RQM 中， ()(),, RP RQ PM QM RM RM ?=?=??=? 已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）． ∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）． 即RM 平分∠PRQ. 【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 2、（2016?泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ． 【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可． 【答案与解析】 证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CE=CD ，BC=AC ， ∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ECB=∠DCA ， 在△CDA 与△CEB 中 ， ∴△CDA ≌△CEB ．

全等三角形的判定证明题sss、sas

全等三角形的判定训练题(SSS 、SAS) 判定定理1: 简单的表示为：SSS 数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AC=A 'C ' （已知） BC=B 'C ' （已知） AB=A 'B ' （已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C ' （SSS ） 1、若AB=CD,AC=DB ，可以判定哪两个三角形全等？请证明。 2、△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠B 与∠C 有什么关系？请证明。 3、点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，则AB 和DE 有怎样的位置关系？请证明。 A C

4、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 5、如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=80o，∠F=60o，求∠ABC 6、如图，AC=AD，BC=BD，∠1=35o，∠2=65o，求∠C

. 7、如图，△ABC 中，AD=AE ， BE=CD ，AB=AC ，说明△ABD ≌△ACE 判定定理2: 简单的表示为：SAS 数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AB=A 'B ' （已知） ∠B=∠B ' （已知） BC=B 'C ' （已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C ' （SSS ） 8、如图，已知AC ，BD 相交于O ，AO=DO ，BO=CO ，证明：∠A=∠D 9．如图，AE 是，BAC 的平分线 AB=AC.证明 △ABD ≌△ACD C D E 1 2

10、已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD. 11、如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，求证：△ADB≌△AEC 12、如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证： BE=DC 13、如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。 D A B Q C P E A D A D B E C

《全等三角形的判定(SSS)》教案

《全等三角形的判定(SSS)》教案第一课时 一、内容和内容解析 1．内容 判定两个三角形全等的条件（SSS）． 2．内容解析 本节课的内容是探索三角形全等条件的第一课时，是在学习了全等三角形的概念，全等三角形的性质后展开的．它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法．因此本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位．边边边公理是通过学生探究获得的．用直尺、圆规画三角形，为了获得边边边公理，通过让学生动手作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，归纳出“三边对应相等的两个三角形全等”这一判定公理． 边边边公理也是证明线段相等、角相等的重要途径，关键是三角形全等条件的分析与探索． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）掌握边边边条件的内容；能初步应用边边边条件判定两个三角形全等． （2）会运用边边边条件证明两个三角全等． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过学生动手画一画，把所画的三角形剪下去与同伴所画的三角形进行比较，发现规律．得出判定两个三角形全等的条件（边边边公理），并运用它进行简单的说理和证明． 达成目标（2）的标志是：要求学生能够熟练利用边边边条件证明两个三角全等． 三、重点、难点 教学重点：能应用边边边条件判定两个三角形全等． 教学难点：探究三角形全等的条件． 四、教学过程设计 （一）知识回顾，提出问题 已知△ABC≌△A′B′ C′,找出其中相等的边与角：

思考：满足这六个条件可以保证△ABC ≌△A ′B ′C ′吗？ 师生活动：师提出问题，学生回答. 问题1：当满足一个条件时, △ABC 与△ABC ′全等吗？ 师生活动：让学生经历画图的过程后，总结经验． 达成共识：不一定全等． 如图所示： 一条边分别相等时： 一个角分别相等时： 问题2：当满足两个条件时, △ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？ 师生活动：让学生通过画图、展示交流后得出结论． 达成共识：不一定全等． 如图所示： 两条边分别相等时： 45° B C A A ’ B ’ C ’ 45° A B C 4cm A B C C ′ B ′A ′ A ’ C ’ B ’ 4cm 5cm A ’ 9cm 5cm A

12全等三角形判定一(SSS,SAS)(提高)知识讲解

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合， 故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.

【答案与解析】 证明：在△ABD 和△ACE 中， AB AC AD AE BD CE =??=??=? ∴△ABD ≌△ACE （SSS ） ∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）. 【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综 合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是 △BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等. 举一反三： 【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠ DBC. 【答案】 证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中 ()AD BC AC BD CD DC ?=?=??=? 公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ） ∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 2、（2016?济宁二模）已知：如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC ∥DF,求证：△ABC ≌△DEF ．

全等三角形证明sss,sas

全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→???? ??? ?? ?? ??? 对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 判定定理1: 简单的表示为：SSS 数学语言：在△ABC 和△A 'B ' ' 中 AC=A 'C ' （已知） BC=B 'C ' （已知） AB=A 'B ' （已知） ∴△ABC ≌△A 'B ' ' （SSS ） 1、若AB=CD,AC=DB ，可以判定哪两个三角形全等？请证明。 2、点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，则AB 和DE 有怎样的位置关系？请证明。

全等三角形证明——SSS

学生1对1个性化教案 第 6 次课学生年级授课日期 教师科目数学时间段 授课容全等三角形证明——SSS 出题依据初二预习 知识点一：SSS定理 （一）知识点精讲 ①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F 思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△ DEF吗? 探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时. 结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边；②一边一角；③两角。 ①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等. ②三角形的一条边为4cm,一个角为30°时: 结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等. ③如果三角形的两个角分别是30°，45°时 结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等. 根据三角形的角和为180度，则第三角一定确定，所以当三角对应相等时，两个三角形不一定全等 结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。 3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。 ⑴三个角 已知两个三角形的三个角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？ 结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？ 探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？ 画法: 1.画线段B’C’ =BC; 2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’; 3. 连接线段A’B’ ，A’C’ . 上述结论反映了什么规律？ 边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS” 注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 如何用符号语言来表达呢? 在△ABC与△DEF中 AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） （二）典型例题剖析 例1 ：如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD 是连接A与BC中点D的支架，求证：△ABD ≌△ACD

精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 如图，在ABC ?和DEF ?中?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点D 是对应点，?=∠26 BAC ，且?=∠20B ，1=?ABC S ，求 ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长． 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ A D

例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF 全等三角形（二） 【知识要点】 定义：SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示 如图，在ABC ?和DEF ?中， ABC EF BC E B DE AB ?∴?? ? ??=∠=∠=≌)(SAS DEF ? 【典型例题】 【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD. 【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明. 【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数 . C A D B E C

全等三角形证明方法

全等三角形的证明方法 一、三角形全等的判定： （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)； （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ； （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ； （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ； （5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 二、全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等； （2）全等三角形的周长相等、面积相等； （3）全等三角形的对应边上的高对应相等； （4）全等三角形的对应角的角平分线相等； （5）全等三角形的对应边上的中线相等； 三、找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。 ①积极发现隐含条件： 公共角对顶角公共边 ②观察发现等角等边: 等边对等角同角的余角相等同角的补角相等 等角对等边等角的余角相等等角的补角相等

③推理发现等边等角: 图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化 图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化 图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化 图11:等段转化

四、构造辅助线的常用方法： 1、关于角平分线的辅助线: 当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性； ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 关于角平分线常用的辅助线方法： （1）截取构造全等: 如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1、如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。 （2）角分线上点向角两边作垂线构造全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D 向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。 例2、如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180°

全等三角形证明——SSS

学生1对1个性化教案 知识点一：SSS定理 （一）知识点精讲 ①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F 思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△ DEF吗? 探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时. 结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边；②一边一角；③两角。 ①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等. ②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时: 结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等. ③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时 结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等. 根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等 结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。 3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。 ⑴三个角 已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？ 结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？ 探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？ 画法: 1.画线段B’C’ =BC; 2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’; 3. 连接线段 A’B’， A’C’ . 上述结论反映了什么规律？ 边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS” 注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 如何用符号语言来表达呢? 在△ABC与△DEF中 AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） （二）典型例题剖析 例1 ：如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△ABD

三角形全等的判定SSS练习题含答案

三角形全等的判定SSS练习题 1．如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC= 2．如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（） A．△ABD≌△ACD B．∠ADB=90° C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC 3．如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH。试用你所学的知识说明理由。 4．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C. 中考 1.（2009年怀化）如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180° 2.（2009年四川省宜宾市）已知：如图，在四边形ABCD中， AB=CB,AD=CD. 求证：∠C=∠A. 参考答案： 随堂检测： 1、②①③．解析：本题是利用SSS画全等三角形的尺规作图步 骤，“作直线BP，在BP上截取BC=a”也可表达为“画线段BC=a” 2、由全等可得 AD垂直平分BC 3、公共边相等是两个三角形全等的一个条件． 由于AC=AD，BC=BD，AB=AB，所以，△A BC≌△ABD(SSS)，所以，∠CAB=∠DAB，即AB平分∠CAD. 拓展提高： 解析：先证明全等，再利用全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理答案：1、760 . 2、C.解析：利用SSS证明两个三角形全等 3、由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH，这是两三 角形的公共边，于是，

在△DEH和△DFH中， DE DF EH FH DH DH = ? ? = ? ?= ? 所以△DEH≌△DFH（SSS），所以∠DEH=∠DFH（全等三角形的对应角相等）。 4、根据条件OA=OC,EA=EC，OA、EA和OC、EC恰好分别是△EAC和△EBC的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决 解:连结OE 在△EAC和△EBC中 ∴△EAC≌△EBC（SSS） ∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等） 体验中考： 1、由条件可构造两个全等三角形 证明：连结ＡＣ ∵AD=BC,AB=DC，ＡＣ＝ＣＡ ∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ ∴∠ＢＡＣ=∠ACD ∴ＡＢ∥ＣＤ ∴∠Ａ＋∠Ｄ＝180° 2、证明：连接BD. 在△ABD和△CBD中， ∵AB=CB,AD=CD，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD. ∴∠C=∠A.

全等三角形的判定sss sas 习题

全等三角形的判定 判定定理1: 简单的表示为：数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AC=A 'C ' （已知） BC=B 'C ' （已知） AB=A 'B ' （已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SSS ） 1、若AB=CD,AC=DB ，可以判定哪两个三角形全等？请证明。 2、△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠B 与∠C 有什么关系？请证明。 3、点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，则AB 和DE 有怎样的位置关系？请证明。 C

4、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 5、如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=80o，∠F=60o，求∠ABC 6、如图，AC=AD，BC=BD，∠1=35o，∠2=65o，求∠C 7、如图，△ABC中，AD=AE，BE=CD，AB=AC，说明△ABD≌△ACE

判定定理2: 简单的表示为：数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AB=A 'B ' （已知） ∠B=∠B ' （已知） BC=B 'C '（已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SSS ） 1、如图，已知AC ，BD 相交于O ，AO=DO ，BO=CO ，证明：∠A=∠D 2．如图，AE 是，BAC 的平分线 AB=AC.证明 △ABD ≌△ACD 3 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD. A D B E C

4 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，求证：△ADB≌△AEC 5 如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证： BE=DC 6 如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。 7 如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.证明：△ABC≌△BAD D A B Q C P E A D

全等三角形证明——SSS

学生1对1个性化教案 第 6 次课学生姓名年级授课日期 教师科目数学时间段 授课内容全等三角形证明——SSS 出题依据初二预习 知识点一：SSS定理 （一）知识点精讲 ①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F 思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△DEF吗? 探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时. 结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边；②一边一角；③两角。 ①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等. ②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时: 结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等. ③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时 结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等. 根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等 结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。 3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。 ⑴三个角 已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？ 结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？ 探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’,使A’B’= AB ,B’C’=BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？ 画法: 1.画线段B’C’ =BC; 2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’; 3. 连接线段A’B’，A’C’ . 上述结论反映了什么规律？ 边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS” 注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 如何用符号语言来表达呢? 在△ABC与△DEF中 AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） （二）典型例题剖析 例1 ：如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△