运筹学模型与数学建模竞赛Word版
运筹学模型与数学建模竞赛
一、引言
一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表
下面重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式
))(m ax ()(m in x f or x f
??
?
??≤≤=≤==ub x lb m j x g l i x h t s j i ,,2,1,
0)(,,2,1,0)(.
. 线性规划： 整数规划： 非线性规划：
三、数学规划问题举例
1 下料问题
现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？
解：先设计几个裁剪方案
记 A---------40×
注：还有别的方案吗？
显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。共用原材料f 件。则根据题意，可用如下数学式子表示：
???
??=≥≥++≥+++=)3,2,1(0305325
2.
.min 321213
21j x x x x x x t s x x x f j
，整数 这是一个整数线性规划模型。
2 运输问题
现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）
方案1
方案2
方案3
解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设ij x 表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费.则运输模型为：
??????
?????
??==≥?
??
??=+=+=+???
≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 32121025154030504223223
1322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为
?????
??????==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1
1
11
n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij m
i j ij n
j i ij m i n
j ij
ij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位
运价。 特别当
∑∑===m i n
j j
i b
a 1
1
时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的
∑=≤n
j i ij
a x
1
可改为等式：
),...2,1(1
m i a x
i n
j ij
==∑=
3 选址问题
某地区有m 座煤矿，i #
矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。现规划新建一个发电厂，
m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有n 个备选的厂址。若在j #备选
厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #
备选厂址的运费为c ij
元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。每吨原煤从i #
矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。
试问：
[1] 应把新电厂厂址选在何处？
[2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？
才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小？
模型的建立
(1) 变量的设置为了解决问题[1]，我们使用0-1变量
n j j y j ,2,10
#1=??
?=否则
备选厂址选中
为了解决问题[2]，设从i #
煤矿运到j #
备选的厂址的运量为x ij 吨（i=1,2,…m，j=0,1,2,…,n）
(2)目标函数的表达 总运费：
ij m i n
o
j ij
x c
∑∑==1（对不被选中的备选厂址运费x ij,将由约束条件限制为0）.
固定费用 h 0+
∑=n
j j j
y h
1
每年总费用 z =
01
1
h y h x c
n
j j j m
i n
j ij ij
++∑∑∑===
(3)约束条件的表达 （i ）煤矿产量约束
m ,,i a x
i
n
j ij
210
==∑=
（ii ）旧电厂用煤量约束
1
b x
m
i i =∑=
（iii ）新电厂用煤量约束 记 01
b a
b m
i i
-=
∑=，当j #
备选厂址被选中时∑==m
i ij b x 1
，
当j #
备选厂址没被选中时
∑==m
i ij
x
1
0，综合表达为n j y b x j
m
i ij ,...2,11
==∑=
（iv ）选址约束 由于只选一个厂址，所以
11
=∑=n
j j
y
(v)非负及整数约束
n
j y n
j m
i x j ij ,2,11
0,2,1,0,2,10====≥或
综合得数学规划模型：
10
1
00011
11
min ,1,...,,1,...,..10,1,...,;0,...,0,1;1,...,m n n
ij ij j j i j j n
ij i j m
i i m
ij j i m i i n
j j ij
j z c x h y h x a i m x b x by j n s t b a b y x i m j n y j n =========++?==???=???==????
=-???=???≥==??==????
∑∑∑∑∑∑∑∑ 4布点问题
某市有6个区，每个区都可建消防站，为了节省开支，市政府希望设置的消防站最少，但必须保证在该市任何地区发生火警时，消防车能在15分钟内赶到现场。假定各区的消防站要建的话,就建在区的中心，根据实地测量,各区之间消防车行使的最长时间如下表:(单位:分钟)
请你为该市制定一个设置消防站的最节省的计划。建模并求解。
解：本题实际上是要确定各个区是否要建立消防站，使其既满足要求，又最节省。这自然可引入0-1变量，故设
）
（区建消防站时
当不在第区建消防站时
当在第621 0 1,,,j j ,j ,x j =???= 目标是∑==
6
1
j j
x
f 最少。以下考虑约束条件。
若1区发生火警，按照“消防车要在15分钟内赶到现场”的要求，则l 区和2区至少应有一个消防站，即121≥+x x 。同理得：
1 1 1 1 165265454343621≥++≥++≥++≥+≥++x x x ,x x x ,x x x ,x x ,x x x
从而得模型为：
621101*********
5454343621216
1
?
?????
???
??==≥++≥++≥++≥+≥++≥+=∑=)
,,,j (,,x x x x x x x x x x x x x x x x x .t .s x f min j j j
再仔细观察知，若满足第一、三个约束条件，则必然满足第二、四个约束条件，故后者是多余的，可省略。从而化简得：
621101
11
16
5265443216
1
?????
??
??==≥++≥++≥+≥+=∑=)
,,,j (,,x x x x x x x x x x x .t .s x f min j j j
此模型当然可用软件求解，但由于比较简单,故可直接试算。若要求只有一个1=j x ，则显然不可行；若要求只有两个1=j x ，则有唯一可行解0
1653142======x x x x ,x x
，故这就是最优解，即只需在2区和4区建立消防站。
附程序：
c=[1 1 1 1 1 1]
a=-[1 1 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0;0 0 0 1 1 1;0 1 0 0 1 1]
b=-[1 1 1 1]
v=zeros(1,6)
u=[1 1 1 1 1 1]
[x fval]=linprog(c,a,b,[],[],v,u)
Optimization terminated.
x =
0.0000
1.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
fval =
2.0000
5 配套问题
设有n个车间要生产m种产品，第j车间每天生产第i种产品至多a ij件（即全天只安排生产产品i而不安排生产其他产品时的最大产量），假设这m种产品每种一件配成一套，问如何安排生产任务才能使生产出的成套产品最多？（i=1,2,...,m；j=1,2,...,n）
（1） 建模方法（一）
设x ij ——车间j 安排用于生产产品i 的数量，Z ——每天生产的成套产品数目，
原问题可以转化为以下数学模型：
11
max min n
ij i m
j f z x ≤≤===∑
..0(1,
,;1,,)
ij ij
ij f z s t x a x i m j n ?≥?≤??
≥ ==?
模型改进为：
max f z =
1(1,,)..0(1,,;1,,)
n
ij j ij ij
ij x z i m s t x a x i m j n =?≥ =???≤??
≥ ==???
∑
模型问题：没有将一天的生产时间约束考虑到！
2、建模方法（二）
设 x ij ——车间j 安排用于生产产品i 的时间（占全天的比例）
Z ——每天生产的成套产品数目
则a ij x ij ——车间j 每天生产产品i 的数目。例如：车间2每天至多生产某产品6件，若安排1/3天时间去生产，则可产出2件），而
x
a ij
n
j ij
∑=1
——每天全厂产出产品i 的总量。
于是则有模型
max Z ( 11min n
ij i m
j z x ≤≤==∑)
(*) ??????
?????≥==≥=≤=≥∑∑==整数
02121 0211211
1
Z )n ,...,,j ;m ,...,,i (x )n ,...,,j ()m ,...,,i (Z .t .s ij m i ij n
j ij ij x x a
其中常数1表示1天。
注：(1)此模型着重考虑安排生产的时间；(2)从实际情况考虑，安排生产的时间必须是
每件产品耗用生产时间的整数倍才合适。例如，每3分钟生产一件产品，安排5分钟，也只能生产1件，不能认为生产了1.67件。模型（*）没有考虑到这些因素，故是不合适的。
（2）建模方法（二）——改进（*）
显然，
ij
a 1
——车间j 生产每件产品i 的耗用时间（天）。从以上分析应有 ?
??
?
??=a x ij ij 1? (?是非负整数)
从而令 y ij =a ij x ij , y ij 是非负整数,表示车间j 每天生产产品i 的数目，将它代入（*）后得
max Z
(**) ?????
???
?
??
≥==≥=≤???
? ??=≥∑∑==整数整数02121021112111
Z )n ,...,,j ;m ,...,,i ()n ,...,,j ()m ,...,,i (Z .t .s y y a y ij m i ij ij
n
j ij 这是一个整数线性规划模型。
注：此模型着重考虑安排生产产品的数目。
四、数学规划在数学建模中的应用举例
1． 钻井布局
勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。
进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻
探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元.
设平面上有n个点P i，其坐标为(a i,b i),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点P i与某个网格结点X i的距离不超过给定误差ε（=0.05单位），则认为P i处的旧井资料可以利用，不必在结点X i处打新井。
为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：
1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。
2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。
3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。
数值例子n=12个点的坐标如下表所示：
①问题重述（略）
②问题分析
布局问题是在一定约束条件下的最优化问题，勘探部门要求尽可能多地利用旧井，因此我们必须围绕这个问题来移动网格。
问题（1）：网格的横向和纵向是固定的，网格只能平移。如果考虑网格上所有的结点通过平移后与旧井位的距离，由于网格结点数较多，运算量较大，虽然可以解决问题，但并非一个好的解法。因此我们从旧井位考虑，通过四舍五入法找到与其相邻的网格结点（相互关系如图所示），然后我们通过两个控制变量（角度与距离）对这些结点进行平移，使网格结点尽可能多的与旧井位重合。
问题（2）：网格不固定移动，需要我们考虑平移和旋转，对于旋转我们同样从旧井位出发，通过旧井位与网格结点的相对关系，不难得出：旧井位的旋转是网格旋转的逆过程，因此我们利用旧井位旋转来替代网格的旋转问题，然后，根据问题（1）的方法，再解决网格平移问题，这样就将网格的移动问题简化成为旧井位的旋转问题和网格的平移问题。
问题（3）：以上两个问题都是在正方形网格情况下进行的求解，在此问中我们不妨假设网格是长方形的，通过调整长和宽的比例关系使n个旧井位都可以被利用。因此问题（3），就是在问题（2）的基础上，使n个旧井位都可以被利用的长方形的长、宽比例问题。具体实现方法如下：把目标函数值定为12，通过对问题（2）的反向求解来确定长方形的长、宽比例。
③模型假设和符号说明
模型假设：
1． 若一个旧井位与某个网格结点不超过0.05单位，则视为重合； 2． 网格是足够大且平铺的；
3． 模型采用直角坐标系，在网格未移动时，网格的横向和纵向就是直角坐标系的两坐
标轴方向。
4． 逆时针旋转为正，顺时针方向为负； 5． 长方形网格的长是1单位。
符号说明：
i…i 旧井位,i=1,2,…,12; Pi…第i 个旧井位;
ai,bi…第i 个旧井位的横坐标、纵坐标; Ai,Bi…第i 个旧井位旋转的横坐标、纵坐标; W i…与第i 个旧井位相邻的网格结点;
xi,yi…与第i 个旧井位相邻的网格结点的横坐标、纵坐标;
xli,yli…与第i 个旧井位相邻的网格结点移动后的横坐标、纵坐标; di…第i 个旧井位与其相邻的网格结点距离; s…网格平移长度; an…网格平移角度; bn…旧井位点旋转角度;
pi…第i 个旧井位到坐标原点的距离; qi…第i 个旧井位与坐标原点连线的倾角; T …可被利用的旧井位数;
ti…第i 个旧井位数是否被利用的函数(1表示可被利用;0表示不可被利用); c…长方形的宽与长的比例;
um, tm…分别为宽与长之比的上、下线. ④模型的建立
我们的目标是使旧井位利用数最多的T, 它由ti(d)决定，即T=
∑=12
1
)(i d ti 。而由要求知
ti(d)=otherwise
i d 05.0)(00
1≤≤??
? (1)
d(i)的表达式在下面给出。
由于问题（1）是问题（2）的特殊情况，所以这里只给出问题（2）的模型。我们先将旧井位进行旋转。
第i 个旧井位到坐标原点的距离为
p(i)=2
2
)()(i b i a +. (2)
第i 个旧井位与坐标原点连线的倾角为
q(i)=arctan(b(i)/a(i)). (3)
所以第i 个旧井位旋转的横坐标、纵坐标分别为
A(i)=p(i)cos[q(i)+bn(i)], B(i)=p(i)sin[q(i)+bn(i)] (4)
(bn 旧井位点旋转角度)。然后用四舍五入法求旧井位的相邻网格结点坐标：
x(i)=[A(i)+0.5], y(i)=[B(i)+0.5] (5)
由此得出网格结点平移后的坐标为
xl(i)=x(i)+s*cos(an), yl(i)=y(i)+s*sin(an) (6)
所以，网格结点与旧井位的误差距离为
d(i)=22)]()([)]()([i B i yl i A i xl -+- (7)
综上所述，本问题的数学模型可表示为：
目标函数： maxT= ∑=12
1
)(i d ti
约束条件是满足(1)-(7)式。
注：以上模型说明：当bn=0, d(i)=max{|xl(i)-A(i)|, |yl(i)-B(i)|}时，目标函数
的解即为问题（1）的解。 ⑤模型的求解
我们的目标是使目标函数最大化，这是一个有约束的优化问题，我们采用穷举法来求它的极值。所谓穷举法就是逐点确定寻优方向，然后利用固定的步长，进行搜索的方法。为使目标函数值最大，我们列出主要步骤如下：
1．定一个能包含所有解的初始范围与固定的搜索步； 2．据运行时间，再对搜索步长用穷举法进行精度调整。 根据这种方法我们得到了问题答案：
问题（1）：最多可利用的旧井位数t=4, 网格的平移方向an0=5.400000(弧度)，网格的平移距离s0=0.583000(单位)；
问题（2）：最多可利用的旧井位数t=6, 网格的平移方向an0=2.760000(弧度)，网格的平移距离s0=0.230000(单位), 网格旋转角度：bn0=-0.780000(弧度)（旧井点的相对旋转角度为：5.500000弧度）。 ⑥模型的改进
降落伞的选择
一、问题的重述：
为向灾区空投一批救灾物资共2000kg ，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20m /s ，降落伞的伞面是半径为r 的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：
每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用C 1由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用
23面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r =3m ，载重m =300kg 的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x 见下表：
试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大（在给定半径的伞中选），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
二、问题的分析：
根据题意，每种伞的价格是确定的。要确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大（在给定半径的伞中选），在满足空投要求的条件下，使费用最低。首先，必须知道每种伞在满足空投要求的条件下最大的载重量M (r )，然后就是一个线性整数规划了。欲得到M (r )，必须先求出空气阻力系数k ，然后根据运动方程得出M (r )。最后运用分支定界法求解线性整数规划，得出问题要求的解。
三、基本假设：
1．救灾物资2000kg 可任意分割；
2．降落伞落地时的速度不能超过20m /s ； 3．降落伞与绳索的质量可以忽略；
4．降落伞下落过程中，只受到重力和空气阻力的作用； 5．空气阻力的阻力系数k 是定值，与其他因素无关。
四、符号说明：
M (r )------ 半径为r 的伞在满足空投要求的条件下最大的载重量； t ------ 降落伞从开始下降开始记时的时间； k ------空气阻力系数
H (t )------降落伞从降落位置到t 时刻所下降的距离； m ------降落伞负重重量； g------重力加速度； s------降落伞伞面面积；
n r ------选购的半径为r 的降落伞的个数
五、模型的建立与求解
1、计算每种伞的单价如下：单位为元，C 2=4162??r
对给定的r=3m ，m=300kg ，取g=9.8m/s 2，s=2πr 2
，有数据
H(m)5003075128183236285340392445499作出H(m)~t(s)的关系图1:
图1
从图1可看出：一方面，H(m)~t(s)在后阶段基本是线性关系，即降落伞作匀速运动。从
mg=kVs
有又由于若在500米的物体做匀速运动，则
500
17/
30
s
v m s
t
==，代回mg=kVs中，估算出k=2.9。
另一方面，根据题意，物体在降落过程中一直做匀速直线运动是不可能的。
题中注意到：降落伞在下降过程中只受到重力和空气阻力的作用，而且初速度为0，由牛顿第二定理知：
()
dV t
F ma m mg kvs
dt
===-，
()
dV t kvs
g
dt m
? =-
??
?
?
?
=
-
=
)0(
)(
V
m
kvs
g
dt
t
dV
（1）
解得:
ks
mge
ks
mg
t
V
m
kst
-
-
=
)(（2）
由（2）式，并代入k=2.9，r=3m，m=300kg，取g=9.8m/s2，s=2πr2，作出下图2
图2
从图2可以看出当09t ≤≤时，V (t)迅速增长，但由于负项是成负指数衰减的，所以
很快就接近极限值mg/ks 。当9t ≥时，0,kst m
kst m
mge mg ks
kse
-
-
=-
→(),mg
v t ks
→
所以9秒以后可以看作近似的匀速运动。下面就9秒以后的数据运用最小二乘法进行线性拟合。
设H (t)=V t+b+δ，其中δ服从正态分布。Matlab 程序如下： x=[9 12 15 18 21 24 27 30];
H=[128 183 236 285 340 392 445 499]; P=polyfit(x,H,1)
从而得到p=[17.5794 –29.2976]，所以V=17.5794(m/s)，并由mg =kVs 得到k=2.9575。
3、 瞬时速度与高度
设降落伞从降落位置到t 时刻所下降的距离为H (t)，则有
t
（3）
积分求得
2222
22
)(s
k g
m s k ge
m ks mgt t H m
kst
-+
=-
（4）
4、求半径为r 的降落伞在满足空投要求的条件下最大的载重量M (r ).
V(t)
V(t) S 0 t 0 t S=H(t 0)=0
()t v t dt ?
数学建模 运筹学模型(五)
运筹学模型（五） 3. 试求如表4所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用： 表4 单位：百元/吨 解：易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题.我们有 （1） 利用最小元素法可得初始方案如表5， 表5 （2）使用闭回路法可得负检验数为12λ= -1，故令12x 进基 （3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表6 表6 （4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图2：
图2 最小费用为385（百元）. 4.从城市s到城市t可经城市1-6到达，其间有直达客车的城际乘车费用依次为 1s l= 4， 2s l=1， 3s l=3， 14 l=2， 25 l=6， 36 l=1， 12 l=3， 23 l=5， 45 l=5， t l 4 =6， 56 l=3， t l 5 = 4， t l 6 =7 单位是拾元.试建立图模型以确定乘直达车从城市s到各城市间的最小乘车费用及相应的乘车路线. 解：本题属于图模型中较为简单的最短路问题.为使用图理论求解，首先要建立其图模型，然后才能使用相应的解法求解之.根据题设，除去始点和终点，中间点应为6个.分别以t s,为始点、终点，根据各点之间通车情况（注意下标），从左到右画出其图模型如图3： 再根据 到城市1：s 到城市2：s 到城市3：s 到城市4 到城市5：s 到城市6：s 到城市t s?②?⑤? s③?⑥? s③?⑥?⑤?t 其最小乘车费用均为110元. 注意：要求写出所有路线，每少写一条都要扣除相应的分数. 图4 11 2 A1 B3 B2 5 15A2 B2 B1 10 5A3 B4 B2 10 15
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学建模常用方法
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
运筹学课设 doc(1)
西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书 一、本次课程设计应达到的目的 1. 掌握运筹学知识在管理问题中应用的基本方法与步骤； 2. 巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握； 3. 培养与锻炼学生从管理实践中提炼问题、分析问题、构建模型求解问题的综合应用能力； 4. 上机练习，了解与掌握几种常用的运筹学计算软件及其使用与操作方法； 5. 锻炼并初步掌握运筹学模型求解程序的编写方法与技术。 6. 初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通过设计报告的撰写，了解学术报告的写作方法。 二、本次课程设计任务的主要内容和要求 1. 结合专业知识，对某一实际管理问题进行分析，调查收集相关数据，并整理出符合问题特征的数据，包括目标因素、约束因素以及必须的参数与系数等等； 2. 在上一步分析基础上，按照运筹学建模的基本方法与要求，通过抽象处理，建立所研究问题的运筹学模型，判断模型的类型并选择求解方法； 3. 上机练习，学习常用运筹学计算软件的使用与基本操作方法，并选择其中一种对所建运筹学模型进行求解，得出最优解、灵敏度计算等相关计算结果； 4. 结合理论课以及计算机程序设计课程所学的基本知识，编写线性规划单纯形法的计算程序，别用所编写程序和已学习的某种运筹学计算软件，并分求解相关课后习题，对所编写的算程序进行验证； 5. 总结设计过程，整理与记录设计中的关键工作与成果，撰写设计报告。 三、应收集的资料及主要参考文献： 1. 应收集的资料： ［1］研究对象的现状数据材料 ［2］与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 2. 主要参考文献： ［1］杨茂盛.运筹学(第三版).陕西科学技术出版社，2006 ［2］运筹学编写组. 运筹学(第三版).清华大学出版社，2005 ［3］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［4］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［5］陈汝栋，于延荣. 数学模型与数学建模(第2版).国防工业出版社，2009 ［6］刘建永.运筹学算法与编程实践：Delphi实现.清华大学出版社，2004 ［7］谢金星，薛毅.建优化建模LINDO/LINGO软件.清华大学出版社，2005
数学建模 选修课策略模型
科技大学 题目：选课策略数学模型 班级： 姓名： 学号：
摘要 本问题要求我们为了解决学生最优选课问题，本文利用0-1规划模型先找出目标函数，再列出约束条件，分三步得出对最终问题逐层分析化多目标规划为单目标规划，从而建立模型，模型建立之后，运用LINGO软件求解，得到最优解，满足同学选修课程的数量少，又能获得的学分多。 特点：根据以上分析，特将模型分成以下几种情况，（1）考虑获得最多的学分，而不考虑所选修的课程的多少；（2）考虑课程最少的情况下，使得到的学分最多；（3）同时考虑学分最多和选修科目最少，并且所占比例三七分。在不同的情况下建立不同的模型，最终计算出结果。 关键词0-1规划选修课要求多目标规划 模型一：同时要求课程最少而且获得的学分最多，并按3:7的重要性建立模型。 模型二：要求选修课的课程最少，学分忽略；约束条件只有，每人至少学习2门数学，3门运筹学，2 门计算机，和先修课的要求建立模型一。 模型三：要求科目最少的情况下，获得的学分尽可能最多，只是目标函数变了，约束条件没变。 一．问题的重述 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学过两门数学课，三门运筹学课,两门计
算机。这些课程的编号，名称，学分，所属类别和选修课的要求如表所示。那么，毕业时最少可以学习这些课程中的哪些课程。 如果某个学生即希望选修课程的数量最少，又希望所获得的学分最多，他可以选修哪些课程？ 二．模型的假设及符号说明 1．模型假设 1)学生只要选修就能通过； 2）每个学生都必须遵守规定；
2. 符号说明 1)xi:表示选修的课程（xi=0表示不选，xi=1表示选i=1,2,3,4,5,6,7,8,9）； 三．问题分析 对于问题一，在忽略所获得学分的高低，只考虑课程最少，分析题目，有先修课要求，和最少科目限制，建立模型一，计算求出结果； 对于问题二，在模型一的条件下，考虑分数最高，把模型一的结果当做约束条件，建立模型二，计算求出结果； 对于问题三，同时考虑两者，所占权重比一样,建立模型三； 四．模型的建立及求解 模型一 目标函数： min=0.7*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9)-0.3*(5*x1+4*x2+4*x3+3*x4+4*x5+3*x6+2*x7+2* x8+3*x9) 约束条件： x1+x2+x3+x4+x5>=2; x3+x5+x6+x8+x9>=3;
系统的描述与数学建模
系统的描述与数学建模 [摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。 [关键词]系统的建模数学建模 数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。 为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。 根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。 再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。 在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布 F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指 数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。 M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且
数学建模 运筹学模型(一)
运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 或更简洁地表为 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 或更简单地写为 3.运输问题模型 运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j j i b a 11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为 4.目标规划模型 某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表 表4-1 工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标. 问题分析与模型假设 经与工厂总经理交谈，确定下列几条： p 1： 检验和销售费每月不超过4600元； p 2： 每月售出产品I 不少于50件；
运筹学模型
第5章 运筹学模型 5.2 图论模型 图论是运筹学的一个重要分支，它是建立和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法难于解决的问题。图论的发展可以追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方法直观形象，富有启发性和趣味性，深受人们的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使用了图论模型方法。本章将在介绍图的一些基本概念的基础上，着重介绍最小生成树、最短路、最大流及最小费用最大流问题。 5.2.1 图的基本概念 城市之间的交通关系，家族成员之间的关系，工厂、企业、事业单位内部，部门之间的上下关系，工程中各个工序之间的先后关系等等，用图形来描述往往是很有益的。图论是研究某种特定关系的一门学问。 1.图 图 (graph) 由若干个点 (称作顶点，vertex) 和若干条连接两两顶点的线段（称edge ）组成。通常，顶点可用来表示某一事物，边用来表示这些事之间的某种关系。如图5-1中的五个顶点可以代表五个城市。如果两个顶点之间有一条边连接，就表示这两个城市之间有一条铁路。同样，它也可以代表五个人。如果两个人认识，则用一条边把这两个顶点连接 起来。 图5-1 由于图是用来表示某些事物之间的联系，因而在画图时，顶点位置，边的长短、曲直是无关紧要的。只要两个图的顶点可以一一对应，并且 使得对应的顶点之间是否有边相连完全相同，就可以认为是同一个图。例如：图5-1也可以画成图5-2的形式。 图 5-2 设图的顶点集合V ={n v v v ,...,, 21}, 边的集合 E ={m e e e , ... ,,21} 把图记作 ) , (E V G =。这里大括号 { } 内的元素是没有顺序的，而小括号（ ）内的元素是有顺序 的。如果边e 连接顶点u 和v ，则记作e = {v u ,}。u 和v 称作e 的端点，e 称作u 和v 的关联边。如果u 和v 之间有一条边，即{v u ,}∈E ，则称u 和v 相邻。如果两条边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。没有关联边的顶点称作孤立点。两个顶点之间可以有不止一条
运筹学定义
1.运筹学定义：用数学的方法研究各问题的变化。 2.线性规划：数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不 等式，故此模型称之为线性规划 3.可行解：把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 4.最优解：把目标函数值最大（即利润最大）的可行解称为该线性规划的最优解。 5.最优值：在最优解条件下的目标函数值为最优目标函数值，简称最优值。 6.松弛量：在线性规划中，一个“≤”约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量 7.松弛变量：为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的资源或能力的变量，诚挚 为松弛变量。 8.标准化: 把所有约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化。所得结果称为线性 规划的标准形式。 9.剩余变量：对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的超过量，称之为剩余 变量。 10.灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数Ci,Gij,bj的 变化对最优解产生的影响。 11.对偶价格：在约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之 为这个约束条件的对偶价格 12.单纯形法的基本思路：一，找出一个初始基本可行解二，最优性检验三，基变换 13.线性规划的基本解：由线性规划的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一 个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。 14.基本可行解：一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，他们之间的主要区别在于 其所有变量的解是否满足非负的条件，我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行解，并把这样的基叫做可行基。 15.初始可行基：在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或由单位矩阵的各列向量 所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行解。 16.最优性检验：判断已求得的基本可行解是否是最优解。 17.最优性检验的依据-----检验数σj:目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数， 把变量xi的检验数记为σi,显然所有基变量的检验数必为零。 18.最优解判别定理：在求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果所有检验数 σj≤0,则这个基本可行解是最优解，这就是最优解判别定理。 19.确定基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方程 中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵中可以确保新得到的bj值都大于等于零。 20.大M法:像这样，为了构造初始可行基得到初始可行解，把人工变量“强行”地加到原 来的约束方程中去，又为了尽力地把人工变量从基变量中替换出来，就令人工变量在求最大值的目标函数里的系数为-M的方法叫做大M法，M叫做罚因子。 21.几种特殊情况：一，无可行解，二，无界解，三，无穷多最优解，四，退化问题。 22.一般的运输问题：就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地 的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总得运输费用最小的方案的问题。 23.纯整数规划问题：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称之为纯整数规划 问题。 24.混合整数规划问题：如果只有一部分变量为非负整数，则称之为混合整数规划问题
数学建模 自习室管理系统
一．问题重述： 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。 1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…， 41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。 假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
《运筹学》期末复习题
《运筹学》期末复习题 第一讲运筹学概念 一、填空题 1.运筹学的主要研究对象就是各种有组织系统的管理问题,经营活动。 2.运筹学的核心主要就是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。 3.模型就是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件,它可以表示成一个等式或不等式的集合。5.运筹学研究与解决问题的基础就是最优化技术,并强调系统整体优化功能。运筹学研究与解决问题的效果具有连续性。 6.运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7.运筹学研究与解决问题的优势就是应用各学科交叉的方法,具有典型综合应用特性。 8.运筹学的发展趋势就是进一步依赖于_计算机的应用与发展。 9.运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10.用运筹学分析与解决问题,就是一个科学决策的过程。 11、运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力与财力的最佳方案。 12.运筹学中所使用的模型就是数学模型。用运筹学解决问题的核心就是建立数学模型,并对模型求解。 13用运筹学解决问题时,要分析,定议待决策的问题。 14.运筹学的系统特征之一就是用系统的观点研究功能关系。 15、数学模型中,“s·t”表示约束。 16.建立数学模型时,需要回答的问题有性能的客观量度,可控制因素,不可控因素。 17.运筹学的主要研究对象就是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18、1940年8月,英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组,该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时,考虑可以由决策者控制的因素就是( A ) A.销售数量 B.销售价格 C.顾客的需求 D.竞争价格 2.我们可以通过( C )来验证模型最优解。 A.观察 B.应用 C.实验 D.调查 3.建立运筹学模型的过程不包括( A )阶段。 A.观察环境 B.数据分析 C.模型设计 D.模型实施 4、建立模型的一个基本理由就是去揭晓那些重要的或有关的( B ) A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数 5、模型中要求变量取值( D ) A可正B可负C非正D非负 6、运筹学研究与解决问题的效果具有( A ) A 连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性 7、运筹学运用数学方法分析与解决问题,以达到系统的最优目标。可以说这个过程就是一个(C) A解决问题过程B分析问题过程C科学决策过程D前期预策过程8、从趋势上瞧,运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段,其中最主要的就是 ( C )
运筹学
课程设计（论文） 课程名称：运筹学 题目：企业钢管下料问题 院（系）： 专业班级： 姓名： 学号： 指导教师： 2010年7 月12日
课程设计（论文）任务书 一、本次课程设计（论文）应达到的目的 1. 掌握运筹学知识在管理问题中应用的基本方法与步骤； 2. 巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握； 3. 培养与锻炼学生从管理实践中提炼问题、分析问题、构建模型求解问题的综合应用能力； 4. 上机练习，了解与掌握几种常用的运筹学计算软件及其使用与操作方法； 5. 锻炼并初步掌握运筹学模型求解程序的编写方法与技术。 6. 初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通过设计报告（论文）的撰写，了解学术报告（论文）的写作方法。 二、本次课程设计（论文）任务的主要内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等） 1. 结合专业知识，对某一实际管理问题进行分析，调查收集相关数据，并整理出符合问题特征的数据，包括目标因素、约束因素以及必须的参数与系数等等； 2. 在上一步分析基础上，按照运筹学建模的基本方法与要求，通过抽象处理，建立所研究问题的运筹学模型，判断模型的类型并选择求解方法； 3. 上机练习，学习常用运筹学计算软件的使用与基本操作方法，并选择其中一种对所建运筹学模型进行求解，得出最优解、灵敏度计算等相关计算结果； 4. 结合理论课以及计算机程序设计课程所学的基本知识，编写线性规划单纯形法（或自选一种学过的运筹学问题的计算方法）的计算程序，别用所编写程序和已学习的某种运筹学计算软件，并分求解相关课后习题，对所编写的算程序进行验证； 5. 总结设计过程，整理与记录设计中的关键工作与成果，撰写设计报告。 三、应收集的资料及主要参考文献： 1. 应收集的资料： ［1］研究对象的现状数据材料 ［2］与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 2. 主要参考文献： ［1］杨茂盛.运筹学(第三版).陕西科学技术出版社，2006 ［2］运筹学编写组. 运筹学(第三版).清华大学出版社，2005 ［3］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［4］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［5］陈汝栋，于延荣. 数学模型与数学建模(第2版).国防工业出版社，2009
数学建模-运筹学2013
最优化建模和计算 1、Lindo和Lingo基本程序 生产100套钢架，长2.9、2.1、1.5米各1根/套，原料长7.4米，如何下料？
下料的所有方案 1 2 3 4 5 6 7 8 2.9 2 1 1 1 0 0 0 0 2.1 0 2 1 0 3 2 1 0 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 料头0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
给出下料问题的计算程序： Lindo程序： !min 0.1x1+0.3x2+0.9x3+0x4+1.1x5+0.2x6+0.8x7+1.4x8 min 1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6+1x7+1x8 subject to 2x1+1x2+1x3+1x4+0x5+0x6+0x7+0x8>100 0x1+2x2+1x3+0x4+3x5+2x6+1x7+0x8>100 1x1+0x2+1x3+3x4+0x5+2x6+3x7+4x8>100 end gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 gin x7 gin x8
Lingo程序： model: sets: E/1..8/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))>100); @for(E(j):x(j)>0); @for(E(j):@gin(x)); data: !c=0.1,0.3,0.9,0,1.1,0.2,0.8,1.4; c=1,1,1,1,1,1,1,1; a=2,1,1,1,0,0,0,0, 0,2,1,0,3,2,1,0, 1,0,1,3,0,2,3,4; enddata end
运筹学教学大纲
《运筹学》教学大纲 学时：72 适用专业：物流管理、工商管理等经济管理类专业 一、课程的性质与任务 课程的性质： 《运筹学》是20世纪40年代开始形成的一门应用性学科。它主要应用定量分析的方法，研究现实系统的运行规律，从而提出具有共性、典型意义的优化模型，寻求解决模型的方法，最终形成决策方案。其目的是提高管理者统筹规划、纵揽全局的能力，帮助管理者科学地确定行动方向和行动方案，使之既合乎客观规律，又能获得尽可能好的结果。 课程的任务： 本课程将通过系统地讲授《运筹学》的基本原理和基本方法、指导学生解题、个人研究与小组讨论相结合的案例分析等环节，培养学生全局优化的思想，使学生掌握若干类常用的运筹学模型，了解运筹学模型在解决经济管理领域中的问题所起的作用；使学生初步掌握对实际问题建模的方法和技巧，运用计算机软件求解所学运筹学模型，并能够对求解结果进行误差分析和改进处理。 通过本课程的学习，培养学生面对实际背景运用运筹学知识提出并解决问题的能力，使学生在理论与实践结合的能力方面有明显提高。 前导课程：经济数学、管理学概论 二、教学基本要求 1 ．掌握线性规划、运输模型、动态规划、网络计划、存储模型，排队论等几种重要而成熟的运筹学模型，包括模型条件、结构特点、基本方法步骤及应用范围等； 2 ．通过对具体方法与模型的学习，认识运筹学在经营管理决策中作为提高决策水平的方法和工具的作用； 3 ．了解其它相关的经营管理数量方法与模型以及发展方向； 4 ．领会运筹学在分析与解决实际问题过程中的基本思想和的基本思路，并进行以实际应用为导向的训练。 三、教学条件 多媒体教学设备，必要的运筹学工具软件 四、教学内容及学时安排
__运筹学概述
第一讲运筹学概述 一、运筹学是什么 ----------------------晕愁学 其实，这绝对一种误解，事实上运筹学方法及应用早在中小学就比较系统地学过，并且在我们每时每刻的生活过程中都在利用。 北师大版小学语文第六册教材中就有一篇课文《田忌赛马》，在座的各位应该都不陌生。这是战国时期运筹学思想成功应用的典型实例。孙膑同志合理地利用当时的现有资源、条件和比赛规则，只建议田忌调换了赛马的出场顺序，就使得原来屡战屡败的战局得到了彻底的扭转，以获胜而告终。形成了本文主题中“初战失败”、“孙膑献计”、“再赛获胜”的三部分内容。 运筹学思想体现的是，将现有资源的作用得到充分发挥，以获得最优的结果。运筹让生活得更有条理的艺术。 谈起运筹学，是否会想到很通俗的例子——沏茶水。沏茶，看起来是一件日常生活中再小不过的事情，却包含着运筹学的道理。让我们来看一看，沏茶的过程可以分为烧开水、洗茶壶、放茶叶多道“工序”。其中，烧开水所需的时间最长，洗茶壶、放茶叶的时间则较短。善于运筹的人，应该是先将水烧上，在烧水的过程中，从从容容地把茶壶洗净，把茶叶放好。而不善运筹的人，可能会先把茶壶洗净，把茶叶放好，才想起来水还没有烧；或者先把水烧开了，才急急忙忙去洗茶壶、放茶叶，搞得手忙脚乱。 另外还有一个例子我们外地生到上海的路线选择，虽然条条大路都能通到上海，但我们都有一个明确的目标，有些人的目标是准备用最短的时间到达，有些人的目标是用最少费用到达，这样基于不同的目标，就会选择不同的最佳路线。 这两个生活中的运筹学实例说明了运筹学应用的思想并不神秘，而现实的生活中，从沏茶、选择路线这样一件小事，到规模宏大的建设项目，都能运用运筹学的原理。在人生大事的安排上，也同样需要下功夫好好运筹一番。 从技术是，也就是运筹学解决决策问题的工具方面，在初中的数学教材中有一个重要的内容是《线性规划》，其中比较详细地讲述了线性规划的数学表述形式和求解方法。只不过没有详细介绍在实际决策过程中的应用。而线性规划是运筹学的主要决策工具，并且我们
办公室电话系统模拟(数学建模)
排队论在电话问题中的应用 摘要 本文建立一个模拟办公室电话系统模型，解决由三个电话机占线而可能打不进电话的问题。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，则应用排队论知识建立模型。 用)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统占线条数为n ）的概率。通过输入过程（顾客打进电话），排队规则，和服务机构的具体情况建立关于)(t Pn 的微分差分方程求解。令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程，而不再含微分了， 把)(t Pn 转化为与t 无关的稳态解。关于标准的M/M/s 排队模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同 .==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs 。令ρ=λ/su 只有当时λ/su<1时才不会排成无限的队列，成这个系统为服务强度，各顾客服务时间服从相同的负指数分布 ' 通过模型我们可以得到：无占线、一条占线、两条占线、三条占线的概率分别 是%，%，%，%。 · 关键词：泊松分布，指数分布，概率，期望，Little 公式
… 一、问题重述 一个办公室有三条电话线可打进，也就是说在任意时刻最多能接待三个顾客，顾客打电话是随机的，其时间服从上午9点至下午5点的均匀分布，每次电话持续时间是均值为6分钟的随机变量。 经理关心由于三个电话机占线而可能打不进电话的顾客数。他们当中部分人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。 请你建立一个模型模拟办公室电话系统，帮助经理在休息时思考这个问题，用你的模型做下述估计： （1）} （2）无电话占线、有一条、两条占线和三条都占线的时间百分比; （3）未打进电话的顾客所占百分比。 二、问题的分析 这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K，顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布，系统的空间为K。求平稳分布，考虑系统处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。 三、基本假设 ①顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布； ②服务时间服从参数μ的负指数分布； ③顾客选择打进哪一条线是随机的而且是等可能的； ④， ⑤某条线接通时，其他顾客不能接通，则称为占线 四、符号定义及变量说明 ①：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务时间服从参数μ的负指 数分布； ②：) Pn表示在时刻t服务系统的状态为n（系统中顾客数为n）的概率，(t
运筹学模型与数学建模竞赛
运筹学模型与数学建模竞赛 1、引言 一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划(线性规划和非线性规划)，网络优化(含网络计划技术)，排队模型，动态规划等，请看下表 注：从年起，全国大学生数学建模竞赛开始设置专供大专院校学生做的题。 下而重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式 nin f(x) (ornnx f(x)) /l, (x) = 0, i = 1,2,…丿 s.t.<0, ) = 12…，加 lb 解：题意即要确立从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设X”表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费?则运输模型为： min f = 2x H +X|2 +3^13 + 2x 2| + 2x 22 + 4x 23 ■ x H +x [2 +X13 S 50 x 21 + x 22 + x 23 < 30 X 11+X 2I =40' s 』：X [2+X 22 =15需求量约束 + AS j =25 列no 仃= 1,2；丿? = 123丿运输量非负约束 一般地，对于有m 个发点和门个收点的运输模型为 n 工? 5q(7 = h2,3,??m) m /=i Xq nO(j = 12??〃;J = 12??n) 其中q 为i 号发点的运出量，bj 为j 号收点的需求咼，5为从i 号发点到j 号收点的单位运 价。 m n n 特别当工％ =工耳时，存货必须全部运走.故上述约朿条件中的工耳可改为等式: r-1 j-1 n 工七=￡（，= 1,2,...w ） 3选址问题 某地区有m 座煤矿，尸矿每年产量为q 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 。吨, 每年运行的固左费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为ho 元。现规划新建一个发电厂, m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有门个备选的厂址。若在尸备 选厂址建电厂，每年运行的固左费用为％元，每吨原煤从严矿运送到严备选厂址的运费为 5元（口j=1,2 -n ）o 每吨原煤从厂矿运送到原有电厂的运费为细（i=1,2,...m ）。 试问： [1] 应把新电厂厂址选在何处？ [2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？ 才能使每年的总费用（电厂运行的固左费用与原煤运费之和）为最小？ 运岀量受存量约束 min m n f = H C u X U 数学建模A题系泊系统 设计 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 系泊系统的设计 摘要 本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。求解的具体流程如下： 针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。 ?时能够正常工作。为针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在36m m 了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。 针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。 关键词：悬链线多目标非线性规划 一、问题重述 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。数学建模A题系泊系统设计完整版