8.10 向量在解析几何中的应用

§8.10 向量在解析几何中的应用

例1：△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。已知||=//,||,|?=?λλ，且直线DC 的方向向量为i =（1，2），求顶点C 的坐标。

例2：已知)0,3(),0,3(21=-=OF OF （0为坐标原点，动点M 满足.10||||21=+OF MF （1）求点M 的轨迹C ； （2）若点P 、Q 是曲线C 上的任意两点，且0=?,求2

2

2

OQ

OP ?的值。

例3：已知：过点A （0，1）且方向向量为),1(k a =的直线l 与⊙C:(x －2)2+(y －3)2=1相交于M 、N 两点。（1）求实数

k 的取值范围； （2）求证：?=定值。

例4：已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足,),,1(),0,1(MT FM t OT OF =-== ,,11FT M p FT M p ⊥⊥OF

T P //1。 （1）当t 变化时，求点P 1的轨迹C 。

（2）若P 2是轨迹C 上同于P 1的另一点，且存在非零实数λ，使得21FP FP ?=λ、 121=+

例5：设平面内两向量,满足：1||,2||,==⊥b a b a ，点M （x, y ）的坐标满足： b a x b y a x +--+与)4(2互相垂直。

求证：平面内存在两个定点A 、B ，使对满足条件的任意一点M 均有|||||||-等于定值。

例6：已知),1,3(=（O 为坐标原点），与且,1||=的夹角为60°，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足

λ

λ1

,=

=，点G 满足2

1

=

。 （1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程；

（2）求||的最小值。

【作业】

1、△ABC 中，A （2，3），B （4，6），C （3，－1），点D 满足?=? （1）求点D 的轨迹；（2）求||||+的最小值。

2、如图，点F(a, 0) (a>0), 点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且0,0=+=?PM PN PF PM 。 （1）求点N 的轨迹C ；

（2）过点F （a, 0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点， 设K(－a,0)，与的夹角为θ，求证2

0π

θ<<。

3

、已知y x ((),,1(),0,(-⊥+==。 （1）求点P （x, y ）的轨迹方程；

（2）若直线l : y=kx+m(km ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，－1）且||||=，求m 的取值范围。

4、已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且MQ PM PM HP 2

3,0-==?。 （1）当P 在y 辆上移动时，求点M 的轨迹C 。

（2）过点T （－1,0）作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0, 0），使||||=，且与的夹角为60°，求x 0的值。

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b

a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积

§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、

_向量在解析几何中的应用

_向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用第一章引言 1.1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具. 向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何． 1.2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用. 2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用. 3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用. 4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用. 5、向量在平

面其它方面的应用. 第二章向量法在有关平面问题中的应用 2.1 向量的基础知识 1.向量分解定理定理 1 如果向量,那么向量 与向量共线的充分条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合, 即,并且系数被,唯一确定. 定理 2 如果向量,不共线,那么向量与向 量,共面的充要条件是可以用向量,线性表示,或者说可以分解成,的 线性组合,即,并且系数, ,被,,唯一确定.这时,叫做平面上向量的基 底. 2.向量平行、垂直的条件及夹角公式设空间中两个非零向量为 和则(1) (2) ∥ (3)即 3.向量乘法运算的有关内容: 设则 (1)数 量积：1) 2) 3) 4) 即 (2)向量积：1) 2)若不平行, 则图 1 3)若∥即 (3)混合积：1) 2)若不共面,则 2.2向量在建立平面方程中的应用 2.2.1 平面的点 法式方程如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法 向量. 法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量. 已知平面上一 点和该平面的法向量. 设平面上的任一点则有 = 图 2 平面的点法 式方程为由点法式得到平面的一般是方程其中例1: 一平面过点和 且垂直于平面,求此平面的方程. 解: 平面的法向量设所求平面的 法向量∵在所求平面上∴从而有∵, 图3 ∴即 (1) 又∵所 求平面垂直于平面 , 从而有即即 (2) 由(1)(2)解得：∴∴所 求平面的方程为即另解：∵且∴该平面的法向量为图 4 ∴所 求平面的方程为即从以上两例可以看出,在用向量建立平面方 程时,首先要确定平面的法向量,熟记平面的几种特殊位置的方程,且 需注意两平面的位置特征. 2.2.2平面的参数式方程图5 在空间,

向量与解析几何相结合专题复习

向量与解析几何相结合专题复习 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系 【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥ ＝ （1，2）求顶点C 的坐标。 【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0 | |>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0 | |>DB ∴||CB =||DB ∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。 ∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。 ~ 又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x （注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题） 易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’ （4,－2）， （怎样求对称点） ∵A ’ （4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0 由?? ?=-+=01032y x x y 得C （2，4） 【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化

为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 \ 【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF ＋||2MF ＝10。 （1）求动点M 的轨迹C ； （2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求2 2 2 OQ OP ?的值 【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：116252 2=+y x \ （2）∵点P 、O 是1 16252 2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5) （注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ① 而2 、2 2 ?都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得： 2 2 2 PQ ?＝40041 【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~

高等数学空间解析几何与向量代数.docx

第七章空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空 间解析几何的意义和目的。 教学重点： 1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系 （三维）如图7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指 从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组 一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为： d 2 222 M1M 2M1NNM 2 222 M 1 p pNNM 2

而 M 1 P x 2 x 1 PN y 2 y 1 NM 2 z 2 z 1 所以 d M 1M 2 (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2 特殊地：若两点分别为 M ( x, y, z) ， o(0,0,0) d oM x 2 y 2 z 2 例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。 2 ( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14 证明 : M 1M 2 M 2M 3 2 7) 2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5 2 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 3M 1(5 由于 M 2M 3 M 3 M 1 ，原结论成立。 例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0, 2 ,3) 的距离为到点 P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍， 1 求点 P 的坐标。 解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0) PP 1 x 2 2 PP 2 x 2 1 2 x 2 11 32 2 x 2 2 12 PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2 2 x 1

空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））

应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）

旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；

(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为

(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）

()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）

平面向量及解析几何

六、平面向量 考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 1、已知向量与不共线，且0||||≠=，则下列结论中正确的是 A ．向量-+与垂直 B ．向量-与垂直 C ．向量b a +与a 垂直 D ．向量b a b a -+与共线 2．已知在△ABC 中，?=?=?，则O 为△ABC 的 A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC = ，则AD 用b a ,表 示为 。 4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→ →→ → +=-+=2121232)2 51(e e b e k e k a 与是两个共线 向量，则实数k = . 5、设→ i 、→ j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且 →→+=j i 24，→ →+=j i 43，则△OAB 的面积等于 ： A ．15 B ．10 C ．7.5 D ．5 6、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ， 将向量按逆时针方向旋转90°得到向量，则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是 A ． 2 3 B ．21- C ．－5 D ．31- 8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC ?==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，?的值为 . 9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量与的位置关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围

空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题

1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为

向量与空间解析几何讲解学习

向量与空间解析几何

第九章空间解析几何 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算. 5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.

难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形. （二）内容提要 1. 空间直角坐标系 在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限. 在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数),,(z y x 之间的一一对应关系。有序数组),,(z y x 称为点M 的坐标；z y x ,,分别称为x 坐标，y 坐标，z 坐标. 2. 向量的基本概念 ⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量． ⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用a 或 AB 表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.

空间解析几何与向量代数习题

第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0

第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 、OM 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a b c

－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0 = 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→ → ==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以 2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

高考数学解析几何和向量的结合专题

解析几何与向量的结合问题专题 1.教学目标 1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用 2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力； 3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。 2.教学重点、难点 2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力； 2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。 3.教学过程 喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。 试卷上刚做过得一题： 例1：已知双曲线C ：),0,0(12 2 >>=-n m n y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与 双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐 标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r ，求直线l 的斜率； 3.1学生分析题目 站在学生角度分析： （1）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，两个动M B 和， 无法下手。 （2）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ， B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y 然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2 2 1x y -=联立，用韦达定理

空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则 B （A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.

向量与解析几何交汇例题解析

向量与解析几何交汇例题解析 上海市新场中学 周青 教学内容：1.会用向量法解决解析几何问题 2.会解决与向量有关的解析几何问题 教学目标：1．灵活运用平面向量的运算的几何意义及圆锥曲线的定义； 2．掌握平面向量的坐标运算及解析几何的基本解题方法； 3．通过运用向量解题，培养学生生善于思考、乐于探究、敢于创新 的思想品质。 教学重点：平面向量的运算的几何意义及坐标运算 教学难点：灵活运用平面向量处理解析几何问题。 教学过程： 向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是高考命题改革的发展方向和创新的趋势之一。有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。上海二期课改教材注重于虽然利用向量解决解析几何问题，但课本上例题还不是很多，因此学生对于利用向量解决解析几何问题的能力还不高，本节课通过将向量与解析几何相结合处理问题，旨在使学生树立并增强应用向量的意识和能力。 回归课本 引例：（高二课本例题）已知椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，椭圆上的点P 的坐标(,)P P x y ，且∠F 1P F 2为钝角，求P x 点P 横坐标的取值范围 解：因为点(,)P P P x y 在椭圆上，所以22 4 49 P P y x =- 焦点12(F F ， 1,)P P PF x y =--（，25,)P P PF x y =-（ 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 12,),)0P P P P PF PF x y x y ?-?-<=（ 化简得22 5P P x y +< 2 24459 P P x x +-< 得259P x < 解得：P x << ∴点P 横坐标的取值范围是（5 5 3,553- ） 例题1：已知常数0m > ，向量(0,1),(,0)a b m = =，经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中R λ∈．求点P 的轨迹

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为

向量与解析几何结合解答题精选

向量与解析几何结合解答题精选 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算 的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求 2 2 2 OQ OP ?的值 【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆： 1 2 2=+y x （2）∵点P 、O 是 116 252 2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5) （注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ① 而2 、2 2 ?都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得： 2 2 2 ?＝ 400 41 2.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ： 1)3()2(2 2 =-+-y x 相交与M 、N 两点。（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值； （3）若O 为坐标原点，且OM · ON ＝12，求k 的值。 【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ） ∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(2 2 =-+-y x ，得：07)1(4)1(2 2 =++-+x k x k ①

解析几何中的向量表示(二轮复习)

（15湖南）已知抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设C 在A 处的切线与x 轴的交点为M 。证明：直线l 绕点F 旋转时，MFB ?总是钝角三角形. （15福建）已知椭圆E ：22 142x y +=，设直线1x my =-交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(,0)4 -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 1 .1向量的数量积 解析几何中的向量表示

已知椭圆 22 :1 41 x y C+=，直线(1)(0) y k x k =-≠与椭圆C交于,A B两点，点M是椭圆C的 右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点,P Q，试问以线段,P Q为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

1.2 向量共线型 （18北京）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ??→??→=，QN QO μ??→??→=，求证：1 1 λμ+为定值． 已知曲线C : 2228x y +=与y 轴的交点为A ，B (点A 位于点B 的上方)，直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A ，G ，N 三点共线

（16四川）已知椭圆E ：22 163 x y +=，直线l :3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点(2,1)T ，设O 是坐标原点，直线l’ 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P 。证明：存在常数λ，使得2 PT PA PB λ=?，并求λ的值.