专题10 圆锥曲线的方程与性质(原卷版)
专题10 圆锥曲线的方程与性质
【要点提炼】
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；
(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；
(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系
①在椭圆中：a 2
＝b 2
＋c 2
；离心率为e ＝c a ＝1－b 2
a 2.
②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2
；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，
0).
②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a
b x ，焦点坐标F 1(0，－
c )，F 2(0，
c ).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ? ??
??
p 2，0，准线方程x ＝－p 2.
②抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点F ? ????0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1
k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. (2)过抛物线焦点的弦
抛物线y 2
＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2
＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .
考点
考向一 圆锥曲线的定义及标准方程
【典例1】 (1)(2020·浙江卷)已知点O (0，0)，A (－2，0)，B (2，0).设点P 满足|P A |－|PB |＝2，且P 为函数y ＝34－x 2图象上的点，则|OP |＝( ) A.222 B.4105 C.7
D.10
(2)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2
＝1 B.x 23＋y 2
2＝1 C.x 24＋y 2
3＝1
D.x 25＋y 2
4＝1
解析 (1)由|P A |－|PB |＝2＜|AB |＝4，得点P 的轨迹是双曲线的右支.又a ＝1，c ＝2，知b 2
＝c 2
－a 2
＝3.故点P 的轨迹方程为x 2
－y 2
3＝1(x ≥1)①，由于y ＝34－x 2
②，联立①②，得x 2＝134，y 2＝27
4，故|OP |＝x 2＋y 2＝10.
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0).连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，
|BF 1|＝3m .
由椭圆定义，4m ＝2a ，得m ＝a
2，
故|F 2A |＝|F 1A |＝a ，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点. 如图，不妨设A (0，－b )，依题意，AF 2→＝2F 2B →
，得B ? ??
??32，b 2.
由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 2
4
b 2＝1，
得a 2
＝3，b 2
＝a 2
－c 2
＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 2
2＝1.
答案 (1)D (2)B
探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【拓展练习1】 (1)(2020·天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2
4＝1 B.x 2
－y 2
4＝1
C.x 24－y 2
＝1
D.x 2－y 2＝1
(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M (x 0，66)? ?
?
??x 0＞p 2是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝p 2交于A ，B 两点(A 在
B 的上方)，若sin ∠MF A ＝5
7，则此抛物线的方程为________.
解析 (1)由y 2＝4x ，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b )的直线方程为x ＋y
b ＝1.
易知x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －y
b ＝0.
由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1.故双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.
(2)如图所示，过M 点作CM ⊥AF ，垂足为C ，交准线于D ，
∴sin ∠MF A ＝57＝|MC |
|MF |.
由抛物线定义|MF |＝|MD |＝x 0＋p
2， ∴|MC ||MF |＝
x 0－p 2x 0＋p 2＝57， 得x 0＝3p .
∵点M (x 0，66)? ?
???x 0＞p 2是抛物线上一点，
∴(66)2＝2px 0，36×6＝6p 2，∴p ＝6，∴y 2＝12x . 答案 (1)D (2)y 2＝12x 考向二 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.
(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →
＝0，则C 的离心率为________.
解析 (1)设B (c ，y B )，因为B 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，所以c 2a 2－y 2B
b 2＝1，
所以y 2
B ＝b 4a 2，则y B ＝b 2a . 因为AB 的斜率为3，
所以b 2a c －a
＝3，则b 2＝3ac －3a 2.
所以c 2－a 2＝3ac －3a 2，所以c 2－3ac ＋2a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或c ＝2a . 所以C 的离心率e ＝c
a ＝2.
(2)因为F 1B →·F 2B →
＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图.
所以|OF 1|＝|OB |， 所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ， 所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .
因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点， 又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2， 所以F 1B ⊥OA .
因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线， 所以tan ∠BF 1O ＝1tan ∠AOF 1
＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .
因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b
a ＝2×a
b 1－? ???
?a b 2，
所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c . 所以双曲线的离心率e ＝c
a ＝2. 答案 (1)2 (2)2
探究提高 1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB 的斜率为3”，由
y 2
B ＝b 4a
2
得y B ＝±b 2
a ；二是将双曲线中a ，
b ，
c 的关系式与椭圆中a ，b ，c 的关系式搞混. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求c
a 的值.
3.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或a
b 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·青岛统测)已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则下列结论正确的是( )
A.若a ＝2b ，则椭圆Ω的离心率为22
B.若椭圆Ω的离心率为12，则b a ＝3
2
C.若点F 1，F 2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l 过点F 1且与椭圆Ω交于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为4a
D.若点A 1，A 2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P 为椭圆Ω上异于点A 1，A 2的任意一点，则直线P A 1，P A 2的斜率之积为－b 2
a 2
(2)(多选题)(2020·德州质检)双曲线C ：x 24－y 2
2＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( ) A.双曲线C 的离心率为62
B.双曲线y 24－x 2
8＝1与双曲线C 的渐近线相同 C.若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2 D.|PF |的最小值为2
解析 (1)若a ＝2b ，则c ＝3b ，所以e ＝32，A 不正确；若e ＝1
2，则a ＝2c ，b
＝3c ，所以b a ＝32，B 正确；根据椭圆的定义易知C 正确；设点P (x 0，y 0)，则x 20
a 2
＋y 20
b 2＝1，易知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以直线P A 1，P A 2的斜率之积是y 0x 0＋a ·
y 0x 0－a
＝y 2
0x 20－a 2＝b 2? ?
???1－x 20a 2x 20－a 2＝－b 2
a 2，D 正确.故选BCD. (2)对于A ，因为a ＝2，
b ＝2，所以
c ＝a 2＋b 2＝6，所以双曲线C 的离心率为62，所以A 正确；对于B ，它们的渐近线都是直线y ＝±2
2x ，所以B 正确；对于C ，结合PO ⊥PF ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，不妨设点P 在渐近线y ＝2
2x 上，则直线PF 的方程为y －0＝－2(x －6)，即y ＝－2(x －6)，
由???y ＝－2（x －6），
y ＝2
2x ，
解得?????x ＝26
3，y ＝23
3，
所以点P ? ????263，233，所以△PFO 的
面积S ＝12×6×23
3＝2，所以C 正确；对于D ，因为点F (6，0)，双曲线C
的一条渐近线为直线y ＝2
2x ，所以|PF |的最小值就是点F 到渐近线的距离，为2，所以D 错误.故选ABC. 答案 (1)BCD (2)ABC
考向三 有关弦的中点、弦长问题
【典例3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP
→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l ：y ＝3
2x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ? ??
??
34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.
又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝5
2.
由?????y ＝32x ＋t ，y 2＝3x
可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0，即t <12， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）
9
.
从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－
78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －7
8. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2
.① 由?????y ＝32x ＋t ，y 2＝3x
可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2.②
由①②联立，得y 1＝3，且y 2＝－1. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝1
3.
故|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝413
3
.
探究提高 1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求解.
2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
【拓展练习3】 (2020·衡水质检)已知椭圆C ：x 26＋y 2
5＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. (1)若△F 1AB 的面积为203
11，求直线l 的方程； (2)若BF 2→＝2F 2A →
，求|AB |.
解 (1)当直线l 斜率为0时，不满足题意. 当直线l 斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆C 的方程消去x ， 得(5m 2＋6)y 2＋10my －25＝0， Δ＞0?m ∈R ，
由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－10m
5m 2＋6，①
y 1y 2＝－25
5m 2＋6
，②
则S △F 1AB ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝1
2×2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝
100m 2
（5m 2＋6）2－4×（－25）5m 2＋6
＝20311.
整理得50m 4－m 2－49＝0， 解得m 2＝1或m 2＝－49
50(舍去)， 故直线l 的方程为x ±y －1＝0.
(2)若BF 2→＝2F 2A →，则(1－x 2，－y 2)＝2(x 1－1，y 1)， 所以y 2＝－2y 1. 代入上式①②得y 1＝
10m 5m 2
＋6，2y 21＝25
5m 2＋6
， 消去y 1，得2? ????
10m 5m 2＋62
＝255m 2＋6
，解得m ＝±2，
所以|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝3|y 1－y 2|＝33|y 1|＝33×1025×2＋6＝156
8.
考向四 与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题
【典例4】 (2020·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b . (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点B (－4，0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝ －4于点P ，Q ，求|PB |
|BQ |的值.
解 (1)由椭圆过点A (－2，－1)，得4a 2＋1
b 2＝1. 又a ＝2b ，∴44b 2＋1
b 2＝1，解得b 2＝2， ∴a 2
＝4b 2
＝8，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2＝1.
(2)当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意. 设直线l ：y ＝k (x ＋4)，
由???y ＝k （x ＋4），x 2＋4y 2
＝8
得(4k 2＋1)x 2＋32k 2x ＋64k 2－8＝0. 由Δ＞0，得－12＜k ＜1
2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋1，x 1x 2＝64k 2－8
4k 2＋1
.
又∵直线AM ：y ＋1＝
y 1＋1
x 1＋2
(x ＋2)， 令x ＝－4，得y P ＝－2（y 1＋1）
x 1＋2－1.
将y 1＝k (x 1＋4)代入，得y P ＝
－（2k ＋1）（x 1＋4）
x 1＋2
.
同理y Q ＝－（2k ＋1）（x 2＋4）
x 2＋2.
∴y P ＋y Q ＝－(2k ＋1)?
????
x 1＋4x 1＋2＋x 2＋4x 2＋2 ＝－(2k ＋1)·2x 1x 2＋6（x 1＋x 2）＋16
（x 1＋2）（x 2＋2）
＝－(2k ＋1)·2（64k 2－8）4k 2＋1＋6×（－32k 2）
4k 2＋1
＋16
（x 1＋2）（x 2＋2）
＝－(2k ＋1)·128k 2－16－192k 2＋64k 2＋16
（4k 2＋1）（x 1＋2）（x 2＋2）＝0.
∴|PB |＝|BQ |，∴|PB |
|BQ |＝1.
探究提高 1.求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.
2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
【拓展练习4】 (2020·天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点. (1)求椭圆的方程；
(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程. 解 (1)由已知得b ＝3.记半焦距为c ，
由|OF |＝|OA |，得c ＝b ＝3. 由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝18. 所以椭圆的方程为x 218＋y 2
9＝1.
(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP . 依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的方程为y ＝kx －3. 联立????
?y ＝kx －3，x 218＋y 29
＝1，
消去y ，可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝
12k
2k 2＋1
. 依题意，可得点B 的坐标为? ????12k
2k 2
＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)， 所以点P 的坐标为? ????6k
2k 2
＋1，－32k 2＋1. 由3OC
→＝OF →，得点C 的坐标为(1，0)， 故直线CP 的斜率k CP ＝－3
2k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝3
2k 2－6k ＋1.
又因为AB ⊥CP ，所以k ·3
2k 2－6k ＋1＝－1，
整理得2k 2－3k ＋1＝0， 解得k ＝1
2或k ＝1.
所以，直线AB 的方程为y ＝1
2x －3或y ＝x －3. 即直线AB 的方程为x －2y －6＝0或x －y －3＝0.
【专题拓展练习】
一、单选题
1．双曲线和椭圆2
215
x y +=0y -=，则此双曲线方程
是（ ）
A ．2
213
x y -=
B ．2
213
y x -=
C ．2
2
13
y x -=
D ．2
213
x y -=
2．抛物线2
14
x y =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1)
3．若双曲线C ：2
21x y m
+=的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C 的离心率为（ ）
A B C D 4．已知()0,1A ，()0,3B ，C 在抛物线24y x =上，且到焦点的距离为5，则ABC 的面积为（ ） A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
5．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,2?? ???
B ．10,4?? ???
C ．10,8?? ???
D ．()0,1
6．已知双曲线22
221x y a b
-=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（ ）
A ．y =
B ．2y x =±
C ．y x =
D ．12
y x =±
7．已知椭圆22
134
x y +=的上焦点为F ，以F 点为圆心，且与一条坐标轴相切的圆的方程
为（ ）
A ．2220x y y +-=
B ．2220x y x +-=
C ．22
1
08
x y y +-
= D ．22
1
08
x y x +-
= 8．设F 1，F 2分别是双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若|HF 1|=3|HF 2|，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
B C D ．
2
9．圆2
2
3(1)4
x y -+=的一条切线y kx =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>无交点，则双
曲线C 的离心率的取值范围为（ ）
A ．
)
+∞
B ．(
C ．[2,)+∞
D ．(1,2]
10．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，
||PF 1，且存在点P ，使得OPF △（点O 为坐标原点）为正三角形，则
椭圆C 的焦距为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
11．抛物线1C ：()2102y x p p =>的焦点与双曲线2C ：2213
x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）
A
B C D 12．若双曲线221:149
x C y -=与双曲线22
222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 有公共点，
则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．1,2? ??
B ．1,3? ??
C ．,2??
+∞ ? ???
D ．3??
+∞ ? ???
二、解答题
13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y ，F 为抛物线的焦点，且||10PF =． （1）求0y 的值；
（2）点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段 FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．
14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
，左、右焦点分别为1F 、2F .设P
是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，21
2
PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积.
15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线l ：y ＝kx ＋与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．
高考数学(精讲+精练+精析)专题10_4 圆锥曲线的综合应用试题 文(含解析)
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练 10圆锥曲线综合问题（2） -最值、范围、证明问题 一、考点传真： 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想． 二、知识点梳理： 1.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 3.圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证 法证明. 三、例题： 例1.（2020年江苏卷，18）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22 :143 x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B . （1）求 12AF F 的周长； （2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ?的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB 的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求M 的坐标. 【解析】（1）设椭圆22 :143 x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===. 所以12AF F 的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ， 则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 在2x =时取等号. 高中数学复习：圆锥曲线的方程与性质 1.已知A 为抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p 2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p 2＝12，解得p ＝6.故选C. 答案 C 2.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.? ????14，0 B.? ?? ??12，0 C.(1，0) D.(2，0) 解析 将x ＝2与抛物线方程y 2 ＝2px 联立， 可得y ＝±2p ， 不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )， 由OD ⊥OE ，可得OD →·OE → ＝4－4p ＝0，解得p ＝1， 所以抛物线C 的方程为y 2 ＝2x .其焦点坐标为? ?? ??12，0.故选B. 答案 B 3.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△ PF 1F 2的面积为( ) A.72 B.3 C.52 D.2 解析 法一 由题知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝(2c )2 ＝16. 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2 ＋|PF 2|2 －2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6， 所以△PF 1F 2的面积为1 2 |PF 1||PF 2|＝3.故选B. 法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则?????x 20－y 2 03＝1，x 20＋y 20 ＝2，解得|y 0|＝32. 所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×3 2＝3.故选B. 答案 B 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点 重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝4 3|AB |. (1)求C 1的离心率； (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程. 解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2 ＝4cx ，其中c ＝a 2 －b 2 . 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2 a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ， －2c ，故|AB |＝2b 2 a ，|CD |＝4c . 由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 2 3a ，即3×c a ＝2－2? ?? ??c a 2 . 解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝1 2 . 所以C 1的离心率为12 . (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 2 3c 2＝1. 设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 2 0＝4cx 0， 故x 20 4c 2＋4x 03c ＝1.① 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 专题10 圆锥曲线 易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程” 如图，已知点0(1 )F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?，求动点P 的轨迹． 【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP QF FP FQ ?=?，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP QF FP FQ ?=?，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线． 【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线． 1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有: （1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性． （2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程． （3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点 (),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表 示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程． （4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点 ,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这 种求轨迹方程的方法叫做参数法. 2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等． 1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||2 PA d = . （1）求动点P 的轨迹C 方程； （2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点 (3,0)D ,求直线AM 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）(1)2 y x =+. 【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+， 2 = ， ∴22 21 (1)(2)2 x y x ++= +， ∴2 2 22x y +=， ∴点P 的轨迹方程为2 212 x y +=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>， 高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。 两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线: 考点10 圆锥曲线 椭圆 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）已知曲线 22 1 x y a b +=和直线10 ax by ++=(,a b为非零实数)在同一坐标系 中，它们的图形可能是（） A．B． C．D． 【答案】C 【详解】考点：直线与圆锥曲线的关系． 分析：可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数a，b的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项 解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对； B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对； C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选； 选项中不正确，由C 选项的判断可知D 不正确．故选C 二、填空题 2．（2021·上海高三专题练习）已知F 1，F 2是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的 一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =________． 【答案】3 【分析】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义得到1 22r r a +=，根据12PF PF ⊥，得到222124r r c +=， 进而求得2 122r r b =，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义可得12122PF PF r r a +=+=， 又由12PF PF ⊥，可得222 124r r c +=， 可得222222 1212122()()444r r r r r r a c b =+-+=-=，即2 122r r b =， 所以12PF F △的面积为12 221211 222 PF F S r r b b = =?=， 又因为12PF F △的面积为9，即29b =，解得3b =.故答案为：3 3．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）在在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是 椭圆22 124 x y + =上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为-2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF +为定值，则该定值为_______________. 【答案】【分析】先设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用坐标表示求动点P 轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果. 【详解】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2， ∵点M ，N 在椭圆22 124x y +=上，所以2211241x y +=，2 22224 1x y +=， 故2x 2+y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）+（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2+y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =-2， 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA 题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切, 求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若 1、（2012济南一中模拟）过双曲线2222x y a b -=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆222 4 a x y +=的 切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为 . 2、（2012滨州二模）设抛物线y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA⊥l ，A 为垂足，如果AF 的斜率为－3，那么｜PF ｜＝＿＿＿＿ 3、（2012德州二模）设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直 的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若 (,)OP OA OB R λμλμ=+∈，3 16 λμ= ，则该双曲线的离心率为 A ． 322 B ．355 C ．233 D ．9 8 答案：C 解析：双曲线的渐近线为：y ＝b x a ± ，设焦点F （c ，0），则 A （c ，bc a ）， B （c ，－bc a ），P （c ，2 b a ），因为OP OA OB λμ=+ 所以，（c ，2b a ）＝（()c λμ+，()bc a λμ-），所以， λμ+＝1，λμ-＝b c ，解得：,22c b c b c c λμ+-== ，又由3 16 λμ=，得： 3 2216 c b c b c c +-?=，解得：2234a c =，所以，e ＝233，选C 。 4、（2012德州二模）设斜率为1的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为8，则a 的值为 。 5 、（2012德州一模）已知抛物线2 40y px(p )=>与双曲线22 22100x y (a ,b )a b -=>>有相同 的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( ) A ． 51 2 B 21 C 31 D ．2212 答案：B 解析：依题意，得F （p ，0），因为AF x ⊥轴，设A （p ，y ）， 2 2 4y p =，所以y ＝2p ，所以，A （p ，2p ），又A 点在双曲线上，所以，22 224p p a b -＝1， 又因为c ＝p ，所以，22222 4c c a c a --＝1，化简，得：4224 6c a c a -+＝0，即：42 610c c a a ????-+= ? ? ???? ，所以2 322e =+e 21，选B 。 6、（2012济南三模）若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 的取值范围 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由圆锥曲线大题专题训练答案和题目
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