相似的判定 (2)

27．2．1相似三角形的判定

第一课时

教学目标

(一)知识与技能

1、了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和

其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；

2、掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定

理。

(二)过程与方法

培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

（三）情感态度与价值观

让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕

教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1

教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程

教学过程

新课引入：

1．复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义

相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义

2．回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）

相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。

提出问题：

如图27·2-1，在?ABC中，点D是边AB的中点，

DE∥BC，DE交AC于点E ，?ADE与?ABC有什么

关系？

分析：观察27·2-1易知AD=1

2

AB，AE=

1

2

AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，

只需引导学生证得DE=1

2

BC即可，学生不难想到过E作

A

B

D E

C

F

EF ∥AB 。?ADE ∽?ABC ，相似比为12

。 延伸问题：

改变点D 在AB 上的位置，先让学生猜想?ADE 与?ABC 仍相似，然后再用几何画板演示验证。

归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 探究方法： 探究1

在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）

在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。 分析：作A 1D=AB ，过D 作DE ∥B 1C 1，交A 1C 1于点E ? ?A 1DE ∽?A 1B 1C 1。用几何画板演示?ABC 平移至?A 1DE 的过程

? A 1D=AB ，A 1E=AC ，DE=BC ??A 1DE ≌?ABC ? ?ABC ∽?A 1B 1C 1

归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

A

B

C

A 1

B 1

C 1 D

E A B

C

A 1

B 1

C 1

符号语言：若11AB A B =11BC B C =11

CA

k C A = ，则?ABC ∽?A 1B 1C 1

运用提高：

1． P 47练习题1（2）。 2． P 47练习题2（2）。

课堂小结：说说你在本节课的收获。 布置作业：

1． 必做题：P 55习题27·2题2（1），3（1）。 2． 选做题：P 55习题27·2题4，5。 3． 备选题：

如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延

长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） A 、1对 B 、2对

C 、3对

D 、4对

设计思想：

本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”?“类比”?“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。

配套课时练习

1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是

2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是。

3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形

4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽，∠ADE= ，DE/BC= ，若AE=3，

EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为

5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为。6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是；△DEF与△ABC 的相似比是

7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC= cm

8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。

10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。

11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（）A．1 B．2 C．1．5 D．2．5

12．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度 .

13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。若点E、F 在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。

参考答案：

1、1：1；

2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF

3、相似；

4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：5

5、△OCD，△OAB；

6、1：2，2：1；

7、12；

8、C

9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三

角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似

10、作图略；11、B；12、FC=14；

13、成立，

理由：因为FH∥EG∥AC，所以 BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC 所以BE/AB+ BF/AB = EG/AC + FH/AC

即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC

又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1

所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC

27．2．1相似三角形的判定

第二课时

教学目标： (一)知识与技能

1、 掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；

2、 掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。 (二)过程与方法

会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。 (三)情感态度与价值观

1、 从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法

展开思维；

2、 通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发

学生探索知识的兴趣。

教学重点：

掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似 教学难点：

1、 探究两个三角形相似的条件；

2、 运用两个三角形相似的判定定理解决问题。 教学过程 新课引入：

1、 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1） 2、 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程 探究两个三角形相似判定方法2的途径 提出问题：

利用刻度尺和量角器画?ABC 与?A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，

11AB A B 和11

AC

A C 都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和

B 1

C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？

（学生独立操作并判断）

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。 延伸问题：

改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 探究方法： 探究2

改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。） 归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）

符号语言：若∠A=∠A 1，

11AB A B =11

AC

A C =k ，则?ABC ∽?A 1

B 1

C 1

辨析：对于?ABC 与?A 1B 1C 1，如果11AB A B =11

AC

A C ，∠B=∠

B 1，

这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。） 应用新知：

例1：根据下列条件，判断 ?ABC 与?A 1B 1C 1是否相似，并说明理由： （1）∠A ＝1200

，AB=7cm ，AC=14cm ， ∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。 （2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ， ∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。

A

B

C

A 1

B 1

C 1

分析: （1）

11AB A B =11AC A C =73

,∠A=∠A 1＝1200

?ABC ∽?A 1B 1C 1

（2）

11AB A B =11AC A C =14

,∠B=∠B 1＝1200

但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1的夹角， 所以?ABC 与?A 1B 1C 1不相似。 运用提高：

1、P 47练习题1（1）。

2、P 47练习题2（1）。

课堂小结：说说你在本节课的收获。 布置作业：

1、 必做题：P 55习题27·2题2（2），3（2）。

2、 选做题：P 56习题27·2题8。

3、 备选题：

已知零件的外径为25cm ，要求它的厚度x ，需先求出它的 内孔直径AB ，现用一个交叉卡钳（AC 和BD 的长相等） 去量（如图），若OA ：OC=OB ：OD=3，CD=7cm 。求此零

件的厚度x 。

设计思想：

本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。

配套课时练习

1．如果两个三角形的三组对应边，那么这两个三角形相似。

2．下列命题中正确的有（）

⑴△ABC的边长分别是5 cm、6 cm、8 cm，△DEF的边长分别2．5 cm，3 cm，4 cm，则

△ABC∽△DEF。

⑵过△ABC的边AB上点D作DE∥BC交AC于E，则△ABC∽△ADE。

⑶△ABC的边长分别是2 cm、4cm、6 cm，△DEF的边长分别1 cm，3 cm，2 cm，则△ABC

∽△DEF。

⑷有一个角相等的两个菱形一定相似。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

⑴AB=3 cm，BC=4 cm，AC=6 cm；

DE=9 cm，EF=12 cm，FD=16 cm。

⑵

4．如图，要使△ABC∽△AEF，应补充的条件是或。

5．根据下列条件，回答问题：

⑴如图，已知△ABC与△DEF，判断两个三角形是否相似，并说明理由。

⑵已知一个三角形的三边长分别是8 cm、10cm、6 cm，要制作一个三角形使其与之相似，

且其中一边长是3 cm，求另外两边的长度是多少？判断两三角形的形状，并说明理由。

6．在□ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC =4∶5，则BF ∶FD 等于（ ）

A.4∶5

B.5∶4

C.5∶9

D.4∶9

7.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC=3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )

A.5∶3

B.3∶2

C.2∶3

D.3∶5

8.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB=2，BC=3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )

A.1.5

B.3

C.2

D.1

9.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( )

A.

2

2

B.2

C.2

D.22

10．如图O 是△ABC 内的一点，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，试猜想△ABC 与△DEF 的关系，并证明你的结论。

11．下列命题中，真命题是（）

A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似

C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似

12、如图，A、B两点被池塘隔开，在 AB外选一点 C，连结 AC和 BC，并分别找出它们的

中点 M、N．若测得MN＝15m，求A、B两点的距离。

13．如图在正方形方格中，△ABC与△DEF都是格点三角形：

⑴∠ABC= ，BC=

⑵判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。

参考答案：

1、的比相等；

2、D；

3、(1)不能；(2)能，三边对应成比例的两个三角形相似

4、EF∥BC或AE：AB＝AF：AC；

5、(1)相似，三边对应成比例的两个三角形相似

(2)4cm，5cm，直角三角形

6、D；

7、D；

8、A；

9、C

10、DE＝1

2

AB；DF＝0.5AC；EF＝0.5BC；证明略。

11、D；12、AB＝30；13、(1)135°；(2)BC＝2；相似

27．2．1相似三角形的判定

第三课时

教学目标

(一)知识与技能

掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(二)过程与方法

培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

(三)情感态度与价值观

让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕

教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用

教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程

教学过程：

新课引入：

复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）

提出问题：

观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？

延伸问题：

作?ABC与?A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别

度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11

AC

A C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断）

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C 1，

11AB A B =11BC B C =11

AC

A C 。 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 探究方法： 探究3

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）

归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形

相似。（定理的证明由学生独立完成）

符号语言：

若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 ，则?ABC ∽ ?A 1B 1C 1

应用新知：

例2 如图27·2-7，弦AB 和CD 相交于⊙O

内一点P ，

求证：PA ·PB=PC ·PD 。 分析：欲证PA ·PB=PC ·PD ，只需

PA PC PD PB =，欲证PA PC

PD PB

=只需?PAC ∽?PDB ，欲证?PAC ∽?PDB ，只需∠A=∠D ，∠C=∠B 。

C

B

A

B

C

A 1

B 1

C 1

运用提高： 1、 P 49练习题1。 2、 P 49练习题2。

课堂小结：说说你在本节课的收获。 布置作业：

1、 必做题：P 55习题27·2题2(3)。

2、 选做题：P 57习题27·2题11。

3、 备选题：

如图AD⊥AB 于D ，CE⊥AB 于E 交AB 于F ， 则图中相似三角形的对数有 对。

设计思想：

本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。

配套课时练习

一、选择题：

1.下列判断正确的是（ ）

A. 两个直角三角形相似

B.两个相似三角形一定全等

C.凡等边三角形都相似

D.所有等腰三角形都相似 2.下列各对三角形中一定不相似的是（ ） A. △ABC 中，∠A =54°，∠B =78°

△A ′B ′C ′中，∠C ′=48°，∠B ′=78°

C

B.△ABC 中，∠C =90°，AC =4cm ，BC =3cm

△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=12cm ，B ′C ′=15cm C. △ABC 中，∠B =90°，AB =5，AC =13 △A ′B ′C ′中，∠B ′=90°，A ′B ′=2.5a ，B ′C ′=6a D.△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =5 △A ′B ′C ′中，∠A ′=45°，A ′B ′=5

3. 如图，AB ∥CD ，AC 、BD 交于O ，BO =7，DO =3，AC =25，则AC 长为（ ） A.10 B.12.5 C.15 D.17.5

4. 在△ABC 中，MN ∥BC ，MC 、NB 交于O ，

5. 则图中共有（ ）对相似三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题

1. 如图16，已知△ABC 中D 为AC 中点，AB =5，AC =7，∠AED =∠C ，则ED = 。

2. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，DC ：AB =1：1.5， 则AD ：BC = 。

3. 如图18在Rt △A B C 中∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =6，AD =3.6，则BC = ，BD = 。

4. 已知：图19中AC ⊥BD ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC =3，FC =1，BD =5，则AC = 。

三、解答题

1.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。 求：AM ：AC 。

2.已知：如图21在△ABC 中EF 是BC 的垂直平分线，AF 、BE 交于一点D ，AB =AF 。 求证：AD =DF 。

3. 已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE 。 求证：MN =MB

4. 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证：BM ·AC =MN ·AB 参考答案

一、1.C ；2.D ；3.D ；4.B 。

二、1. 0.1；2. 1：1.5；3. 8，6.4；4. 6。

三、 1. 1：8；

2. △DBF ∽△ACB ，1

2

BF DF BC AB ==；

3.

MN DC EM

ED

M

D

MB DA EM

ED

MB

DA

MN

DC

MB

DA

DC DA

MN MB

∥∥?=

?=

?

?

??

?

?

?

?

=

=

?

?

?

??

?=；

4.略。

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

相似三角形的判定2教案

相似三角形的判定（二）教案 学习目标： 1.掌握相似三角形的判别定理1,2 2.理解并掌握相似三角形的判别方法并能用它们解决问题。 3.进一步体会转化，类比的数学思想 学习重点： 判别方法的掌握及应用 学习难点： 判别方法的灵活应用 学习方法：类比法 学习过程 一、回顾旧知识 1、复习提问：我们已掌握了判定三角形相似的方法有哪些？ (1)定义：对应角相等，对应边的比相等 (2)平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），截得的三角形 与原三角形相似 2、回顾三角形全等的判定方法：SSS SAS ASA AAS 二、导入新课 类比三角形全等的方法（SSS ，SAS），能不能用三边或两边及其夹角来判别两个三角形相似呢？

二、探索新知 已知：如图ΔA'B'C'和ΔABC中， 求证：ΔA'B'C'∽ΔABC。 （2）分析思路：写完已知、求证后，放手让学生探寻证明思路。转化→将证明两个三角形相似转化为证明两个三角形全等 可能出现以下问题： 问题1：我们证明这两个三角形相似的思路是什么呢? 由于学生能用的只有定义或预备定理,因此思路容易受阻。思维受阻时，请学生再演示拼置的方法：把ΔA'B'C'移到ΔABC上来。由学生发现证明的思路。 问题2：怎样用几何语言表述“把ΔA'B'C'移到ΔABC上来”并证明ΔA'B'C'∽ΔABC呢？ 学生在独立思考的基础上，小组讨论交流, 让学生随时展示自己的想法，可能得出下面的证法：

⑴①在AB上截取AD=A’B’，过点D做DE∥BC交AC于点E得⊿ADE∽⊿ABC ②再证⊿ADE≌⊿A’B’C’③据第①②得出⊿A’B’C’∽⊿ABC ⑵①在AC上截取AE= A’C’, 过点E做DE∥BC交AB于点D得⊿ADE∽⊿ABC②再证⊿ADE≌⊿A’B’C’③据第①②得出⊿A’B’C’∽⊿ABC 同学们找到了猜想证明方法，如果你还能从不同角度研究，或许还有新的方法。下面请大家选一种你喜欢的证法，写出证明过程。 （3）证明：学生写证明过程，抽取学生的证明在实物投影仪上展示。 (4）学生读书P44-45页，形成判定定理1：“如果两个三角形的三组边的比相等，那么这两个三角形相似” 在△ABC和△A’B’C’中, ∴△ABC∽△A’B’C’（三边对应成比例，两三角形相似） 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A`` ,A`B`:AB=A`C`:AC.求证:△ABC∽△A`B`C`

相似三角形的判定练习题

… 相似三角形的判定练习题 1、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加 条件，可判定△ADB 与△ABC 相似。 2、如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形有 。 3、如图，在?ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是 。 4、如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于E ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形 有 。 & 5、如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论： ①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ．正确的有 。 6、如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是 ①∠EAF=45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2 +DC 2 =DE 2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB 上，A′B′交AC 于F ，则图中与△AB'F 相似的三角形有（不再添加其它线段）是 。 8、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF= 4 1 CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的为 。 、 9、在△ABC 中，∠C=90°，D 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条。 10、在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 11、如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求PD 的值。 ？ # 12、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，求证：①△ BEA ∽△ACD ；②△FED ∽△DEB ；③△CFD ∽△ABG # 13、如图，△ABC 与△AFG 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC 分别与AF ，AG 相交于点D ，E ．找出图中所有不全等的相似三角形并证明。 ！ % 14、如图，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分 别交于点G 、H ． （1）写出图中所有不全等的两个相似三角形（并选择一种情况证明）； （2）除AB=CD ，AD=BC ，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段， 请选出其中一对加以证明． ]

相似三角形的判定巩固练习(基础带答案)

相似三角形的判定--知识讲解（基础） 【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】要点一、相似三角形 在和中，如果我们就说与 相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B 的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换： 【典型例题】 类型一、相似三角形 1. 下列能够相似的一组三角形为( ). A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C. 【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 举一反三：【变式】下列图形中，必是相似形的是（）．

相似三角形的判定定理3

第3课时相似三角形的判定定理3 1.掌握相似三角形的判定定理3. 2.了解两个直角三角形相似的判定方法. 3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题. 阅读教材P35-36，自学“例2”与“思考”，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形. ③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似. ④如图所示，已知∠ADE=∠B,则△AED∽.理由是. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？ 要根据已知条件选择适当的方法. 活动1 小组讨论 例1 如图，在△ABC中，∠C=60°,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D. 求证:△CDE∽△CAB. 证明:∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°, ∴∠CAD=∠CBE. 又∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBE.

∴CA CB = CD CE . 又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB. 在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点. ①求证:△BCF∽△DCE； ②若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG∶GC的值. 求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似. 2.如图所示，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽，若AC=12，AE=8，则AD= . 3.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似. 要考虑到线段的对应分两种情况. 活动1 小组讨论 例2 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?

完整版相似三角形的判定方法

（一）相似三角形 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. ①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ?所以全等三角形是相似三角形的特例?其 区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0 △ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1 ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小 的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ?/ DE // BC ,???△ ABC ADE ; ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的 应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似 （二）相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADE A （双A型）

(完整版)人教版初三数学相似三角形的判定基础练习题(含答案)

相似三角形的判定(基础） 一、选择题 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为、、2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A. B. C. D. 3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）． ①②③④ A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④ 4. 在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ) A. 只有① B. 只有② C. ①和②分别都是 D. ①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（） A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ) A. B. 8 C. 10 D. 16 二、填空题 7. 如图所示，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件___使△ADE∽△ACB.

8. 如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 10. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11. 如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为____. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.

相似三角形的判定定理2

A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲

A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠

《相似三角形的判定(3)》

27.2.1 相似三角形的判定（3） 一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 2．难点：三角形相似的判定方法3的运用． 3．难点的突破方法 （1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法． （2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据． （3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是教材P35的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课的学习打基础． 四、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC 相似吗？说说你的理由．

（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题． 五、例题讲解 例1（教材P35例2）． 证明：略（见教材P35例2）． 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长． 分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似． 解：略（DF= 3 10）． 六、课堂练习 1．教材P36的练习1、2． 2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 3．下列说法是否正确，并说明理由． （1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 七、课后练习 1．已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF ．

相似三角形的判定教案

《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，

∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有

相似三角形的判定(3)

桐城市吕亭初中 教 案 吕亭初中: 鲍俊

2012年10月25日

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似． 课堂教学预设 师生互动 【活动一】 一、情景导入 让我们以热烈的掌声欢迎各位老师的光临指导下面将是你们展示自己，积极思考，实现自我价值的时间﹗大家有没有信心﹗ 二、回顾：说出三角形相似的方法。 师：复习提问： 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 生：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）两角对应相等的两个三角形相似（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【活动二】新课讲授 三、思想：数学上有一种思想叫类比思想：在三角形全等判定方法中，除了 ASA AAS SAS 外，还有什么判定方法？ 还有SSS ，那么三角形相似呢？ 是不是有相似的结论呢？ 是否有△ABC ∽△A ’B ’C ’？ 师：1、提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能 否判定这两个三角形相似呢？ 2、带领学生画图探究； 3、【归纳】 三角形相似的判定方法： 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似． 师：1、提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ 2、教师带领学生探求证明方法． 生：已知:如图在△ABC 和△A ’B ’ C ’中 A ’B ’:AB= A ’C ’ :AC=B ’C ’:BC. 求证:△ABC ∽△A ’B ’C ’ B' C'A' A B C A'B'B'C'A'C'AB BC AC ==

(完整版)初三数学相似三角形的判定

【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例1. 如图，△ABC中，∠A= 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB 于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？

相似三角形的判定练习题(1)

相似三角形判定练习题（1） ◆基础练习 1．（1）已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，图（1）中各三角形中与 △ABC相似的是________． （1）（2） （2）如图2，锐角△ABC的边AB、AC上的高CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：________________________________（用相似符号连接）．2．（1）具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）． A.有一个角是40°的两个等腰三角形; B.两个等腰直角三角形; C.有一个角为100°的两个等腰三角形; D.两个等边三角形 （2）如图3，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD 于点F，图中的相似三角形有（）． A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 （3）（4） （3）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．?下列结论正确的是（）． A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．△ABC与 △BDC相似吗？请说明理由． 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC． ◆能力提高 5．如图，已知正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的边长比为1：2，?请你利用这两个正方形，通过割补的方法，得到两个相似三角形，且相似比是1：3． 要求：（1）借助原图拼图； （2）简要说明方法；

（3）指明相似的两个三角形． 6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF=45°． ⑴求证:△ACF ∽△BEC ；⑵设△ABC 的面积为S ，求证:AF·BE=2S． 7．如图，O 是△ABC 的内角平分线的交点，过O 作DE ⊥AO 交AB ，AC 于D ，E ． 求证:BD·CE=OD·OE． 聚焦中考 8.如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． ． 45° A E F B C O E D C B A

《相似三角形的判定》教案2

相似三角形的判定 一、授课目的与考点分析： 相似三角形的判定 二、授课内容： (一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 强调： ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 强调： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相 似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调： ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可

(完整版)相似三角形的判定基础训练及答案

、选择题 1.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（） （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似. A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个 2 .下列命题中正确的有（） ①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似； ③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似. A. 0个 B . 1个C . 2个D . 3个 3.如图，△ ABC中，AE交BC于点D,/ C=Z E, AD=4, BC=8 BD DC=5 3，贝U DE的长等于（ ） fl 20 B 15 c16D17 A. C 3434 4 .如图，给出下列条件：① B ACD :② ADC 其中单独能够判定△ ABC ACD的个数为（） A、1 B 、2 C 、3 D 、4 P为AB上一点，连结CP,不能判断厶ABS A ACP的是( AC AB ./ APC=/ ACB C . = - AP AC 相似三角形的判定基础训练 ABC相似的是（） 5.如图小正方形的边长均为I，则下列图中的三角形（阴影部分）与厶 6 .下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ） L ABC 中, 在厶 r ■ L r D 7 .如图, D为AC边上一点，/ DBC=/ A, BC= .6 , AC= 3，贝U CD的长为（ ACB :③ AC AB:④ AC2 AD AB . CD BC ) AC = Cp AB BC B 2 ABC A. / ACF^Z B B

9 .如图，在△ ABC中, 10 C DE// BC,若 AB .11 D . 12 AD 1 —=-,DE= 4,贝U BC的值为( 3 10.如图，在△ A . 9 B 那么下列条件中，不能判断△ AD AB ABC 中, DE与BC不平 行, A.Z ADE N C .上AED玄B AD AE AC AB DE D BC ) 正方形都相似; 11.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( (1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似； A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 12 .如图，已知Z 仁Z 2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ A A B A C D A . = B AB BC (3) (4)矩形都相似. ABC ADE的是( C . Z B=Z D D .Z C=Z AED AD DE A.些 AD AC B AE 那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ AB AD ABC^A ADE的是( 14 .如图, 在厶ABC中, DE// BC, BC C . DE .AD 1 AED B . 10 C 1 1 AB D 3 .12 DE= 4,贝 U BC的值为( E分别在边AB , AC 上，DE // BC ,AE=6 ,

相似三角形的判定

相似三角形的判定 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 相似三角形的由来 两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答． 有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自

语起来． 想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！ 在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法． 例题精讲 模块一 相似三角形的判定 ?角对应相等、边对应成比例，三角形相似 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠， ''''''AB BC AC A B B C A C == ，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于” ． A ' B ' C ' C B A 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△． M F E D C B A

相似三角形的判定练习题1

相似三角形判定练习题 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形． 5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由． 9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．

10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在 ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ． （1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求 FN NE 的值． 14．在△ABC 中，M 是AB 上一点，若过M 的直线所截得的三角形与原三角形相似，?试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明． 15．为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m ，他与镜子的距离是2.1m 时，刚好能从镜子中看到楼顶B ，已知他的眼睛到地面的高度CD 为1.6m ，结果他很快计算出大楼的高度AB ，你知道是什么吗？试加以说明．

初三数学-相似三角形的判定知识讲解

初三数学-相似三角形 的判定

【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？