相似三角形动点问题

相似三角形动点问题

相似三角形动点问题是高中数学中的经典问题之一，在解决这类

问题时，需要具备一定的数学知识和思维能力。本文将介绍相似三角

形动点问题的基本概念和解题方法，以及一些注意事项。

首先，我们来了解一下相似三角形动点问题的基本概念。相似三

角形是指两个三角形的三个角分别相等，并且两个三角形的对应边成

比例。相似三角形动点问题是指，在一个给定的相似三角形中，其中

一个点在某个定点上以一定速度运动，而另一个点在另外一个定点上

以相同的速度运动，求这两个点之间的距离随时间变化的函数关系。

解决相似三角形动点问题的关键是找到这两个点之间的关系。在

相似三角形中，如果我们知道其中一个点到三角形的某个定点的距离，以及该点的速度，那么我们就可以用类似于比例的方法来求出另一个

点到定点的距离，并且通过这个距离计算出两个点之间的距离。

在具体解决问题时，我们需要确定两个点的位置以及它们到对应

定点的距离。通常情况下，我们可以将一个点标记为位置变量，并用

变量表示到定点的距离，并将另一个点表示为速度变量，用变量表示速度大小和方向。

尤其需要注意的是，在解决相似三角形动点问题时，需要仔细分析每一个信息，确定其对最终结论的影响。有时候，我们必须结合多个信息才能得到正确的方程式或结论。

下面，我们来看一个实例来解决相似三角形动点问题。假设有一个三角形ABC和一个点D，点D沿着边AB运动，初始时D到A的距离为2厘米，速度为每秒1厘米，求当D到达B点时，点D和点C之间的距离。

首先，我们需要确定点D的初始坐标和速度，以及ABC三角形上另外一个点C的坐标。可以假设点D的位置为(x, y)，速度为(1,0)，点C的坐标为(p,q)，因为ABC是一个相似三角形，所以我们可以将三角形ABC中每一个点到A点的距离表示为x倍的AC的长度。

假设C到A的距离为k，则有以下公式：

AD = 2

BD = x*AB

BC = x*AC

而因为BD和BC成比例，所以我们可以得到以下等式：

BD/BC = AB/AC

即：x*AB/(x*AC) = AB/AC

同理，我们可以得到以下等式：

AD/AB = BD/BC

即：2/AB = x*AB/(x*AC)

将以上等式联立，可以消除x的影响，得到以下方程式：

2/AB = AB/AC

解得：

AC = sqrt(2)*AB

现在我们可以计算出点C的坐标了，因为BC = x*AC，所以BC =

x*sqrt(2)*AB，又因为BD = x*AB，所以点D的坐标可以表示为(x, 0)。

接下来，我们考虑两个点之间的距离随时间的变化关系。因为点D 的速度为(1,0)，所以点D的坐标可以表示为(x+t, 0)，而点C的坐标

可以表示为(p, q)。因为ABC三角形与ACD三角形相似，所以我们可以得到以下等式：

((p-x)/sqrt(2)*AB) = (x+t)/AB

即：

p = x+((sqrt(2)*x+t)/2)

同理，我们可以得到：

q = sqrt(2)*x/2

现在我们已经确定了点C和点D的坐标，我们可以计算它们之间的距离了。可以使用以下公式来计算：

sqrt((p-x-t)^2 + q^2)

将上述方程式带入可以得到：

sqrt(2)*t/2

因此，当点D到达边AB的另一端点B时，点D和点C之间的距离是sqrt(2)厘米。

相似三角形动点问题精选

动点问题答案： 1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ． （1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，） ，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）； ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？ iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．答案 解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有 240b k b =⎧⎨ +=⎩ 解得122 k b ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为1 22 y x =-+ ··················· （3分） （2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫= ==--+ ⎪⎝⎭ △·· 2 1244 x x = -+ 当E 与O 重合时，1 2242 CE BO x = =∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO . （第26题图）

初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总

初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总 这节课我们学什么 1.动点函数型----横竖型问题 2.动点函数型----斜线型问题 3.动点几何型----二次相似问题 4.动点几何形----A-A问题

知识点梳理 1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型. 题型分为横竖型和斜线型两大类： 横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上. （等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.） 注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解. 2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何． 题型分为A-A和两次相似两大类： A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比； 两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．

典型例题分析 1、动点横竖型问题 例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数2 14 y x bx c =- ++的图像经过点()4,0A 、()0,2C ． （1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，试求点E 的坐标． 【答案：（1）∵c bx x y ++- =2 4 1过点40A （，）、02C （，） ∴2,21== c b ∴211242y x x =-++ ∵当2x =-时，0y = ∴点(2,0)B -在该二次函数的图像上； （2）∵二次函数的对称轴为直线1x = ∴ D ∵点 E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 ∴OCD CDE ∠=∠ 又6AB =，AC =CD =2OC =，1OD = 易得OCD OAC ∆∆∽∴OCD OAC ∠=∠， 从而CDE OAC ∠=∠ 若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似 则有以下两种情况： ． A ． C ． O x y 1

相似三角形复习专题相似与一次函数,动点问题

相似三角形复习专题一 ——相似形三角形与一次函数 一、例题讲解 二、练习巩固 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x 轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形， 90OPM MQN ∠=∠=。试求： （1）AN ∶AM 的值； （2）一次函数y kx b =+的图象表达式。 四边形OABC 是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将BC 边折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知 43DA AE ,55CE == 是否相似？说明理由与判断DAE COD 1.∆∆2、根据相似和已知条件你能求解出那些结论？ 3、求直线CE 与x 轴的交点P 的坐标 4、是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，试写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，试说明理由。

三、自我提高 .如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2310OB OA -+-=． （1）求点A ，点B 的坐标． （2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 设一次函数y=12x+2的图象为直线l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，如图： （1）求点A 和点B 的坐标； （2）直线m 过点P （-3，0），若直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似，求直线m 与y 的交点N 的坐标． 相似三角形复习专题二 动态型问题（一）动点题 例题讲解： 1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解y x A O C B

(学生)九年级相似三角形动点问题

相似三角形动点问题 一．选择题（共1小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（） A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5 解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形． 因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=， 所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：， 又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1， 故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B． 二．填空题（共10小题） 2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三 角形与△ABC相似，当= 或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的． 解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2， ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC， ∴， ②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC， ∴， ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=

∴， ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且， ∴=， ∴=， ∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的， 故答案为：或或． 3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=， ∵BM=x，∴CM=1﹣x， ①当CN与BM是对应边时，=， 即=解得x=， ②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=． 综上所述，x的值是或．故答案为：或．

相似三角形中的动点问题讲课教案

相似三角形中的动点问题 1.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

3.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 4.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4

(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)

相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

专题20 因动点产生的相似三角形问题(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)

专题20 因动点产生的相似三角形问题（提优） 1．如图，在△ABC 中，AB ＝12cm ，BC ＝9cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边以4cm /s 的速度向点B 运动；动点Q 从点B 开始沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 运动．点P 和点Q 同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．设动点的运动时间为ts ，请问当△QBP 与△ABC 相似时，t 的值是多少？ 【分析】分两种情形：当BP BA = BQ BC 时，两三角形相似，当 BP BC = BQ BA 时，两三角形相似，分别构建方程求 解即可． 【解答】解：由题意AB ＝12cm ＜BC ＝9cm ，AP ＝4t ，BQ ＝2t ，则BP ＝（12﹣4t ）cm ． 当BP BA = BQ BC 时，两三角形相似， ∴ 12−4t 12 =2t 9 ， 解得t =9 5． 当BP BC = BQ BA 时，两三角形相似， ∴ 12−4t 9 = 2t 12 ， 解得t = 24 11 ， 综上所述，当△QBP 与△ABC 相似时，t 的值是9 5 或2411． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒√3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ． （1）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值． （2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值． 【分析】（1）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值； （2）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD ＝t ．四边形

浙教版九年级上学期第四章相似三角形动点问题分类讨论(包含答案)

由动点产生的相似三角形的解题方法和策略： 1.寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件） 2.注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况： 3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件） 4.注意三个易忘定理：线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。 例1.如图，在Rt △ABC 中， ︒=∠90ACB ，CE 是斜边AB 上的中线，10=AB ，4 3 tanA =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作CB PQ ⊥，交CB 延长线于点Q ，设EP x =， BQ y =。 （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）过点B 作AB BF ⊥交PQ 于F ，当BEF ∆和QBF ∆相似时，求x 的值。 【解答】（1）在Rt △ABC 中，90ACB ︒ ∠=， ∵4 tan 3 BC A AC = =，10AB = ∴8,6BC AC ==．

∵CE 是斜边AB 上的中线，∴1 52 CE BE AB == = ∴,PCB ABC ∠=∠∵90PQC ACB ︒∠=∠= ∴△PQC ∽△ABC ∴ 484 ,555 CQ BC y PC AB x +===+即 ； ∴4 45 y x = -，定义域为5x >． （2）∵90,Q ACB QBF A ︒ ∠=∠=∠=∠ ∴△BQF ∽△ABC 当△BEF 和△QBF 相似时，可得△BEF 和△ABC 也相似． 分两种情况： ①当FEB A ∠=∠时， 在Rt △FBE 中，90FBE ︒ ∠=，5BE =，53 BF y = ∴544 45353 x ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，解得10x =； ②当FEB ABC ∠=∠时， 在Rt △FBE 中，5 90,5,3 FBE BE BF y ︒∠=== ∴543 45354x ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭ ，解得12516x = 综合①②，125 16 x = 或10． 练习1.已知如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=CD ，AD=3，BC=9， 3 4tan =∠ABC ，

相似三角形培优学案(动点问题)(学)

相似三角形培优导学案 精典例题 1.已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ， 是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值； 若不存在，请说明理由。 2.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形． 变式练习1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3 1=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。 由S △BCQ ：S △ABC=1：3得知：QC=(1/3)AC=10,且S △ BCQ=(1/3)S △ABC 所以：Q,P 的运动时间为10/3 由（1）题知，此时PQ 与BC 恰好平行。 所以：△ABC ∽△APQ 所以：S △APQ/S △ABC=(20/30)^2=4/9 即：S △APQ=(4/9)S △ABC 所以：S △PBQ=S △ABC-S △APQ-S △BQC=S △ABC-(4/9)S △ABC-(1/3)S △ABC=(2/9)S △ABC 所以：S △BPQ ：S △ABC=2：9 （3）能。 当△APQ ∽△CQB 时，有AP/CQ=AQ/BC=4/3 由于：BC=20, 所以：可求得AQ=80/3 所以：QC=30-(80/3)=10/3 所以：P,Q 两点运动的时间为(10/3)/3=10/9 所以：此时AP=4*(10/9)=40/9 即AP 的长是40/9厘米 问题二图 P C

沪教版九年级数学第二学期专题复习三 动点产生的相似三角形问题

九年级专题复习三动点产生的相似三角形问题知识梳理 动点问题是中考卷压轴题中的常客.常见的动点有-个或者两个,动点运动的路线是线段、射线、直线或者折线，动点的速度也不尽相同.随着点的运动图形发生着巨大的变化，根据题目给出的条件结合常见的基本图形解题规律是解决此类问题常用的策略. 【典型例题】 [例1]如图，在▱ABCD中，∠C= 60°，BC=6cm，DC= 7cm。点M是边AD上一点,且DM:AD=1:3.点E,F分别从A，C同时出发,以1cm/s的速度分别沿AB, CB向点B运动(当点F运动到点B时,点E随之停止运动),EM, CD的延长 线交于点P, FP交AD于点Q.设运动时间为xs,线段 PC的长为y cm. (1)求y与x之间函数关系式,并写出自变量x的取值 范围; (2)当x为何值时，PF⊥AD. [思路分析]平行四边形中一般都有A字形或者8字形等基本图形,抓住这一规律,y 与x之间函数关系式便可轻松建立. 解

[点评]点E和F在运动过程中始终满足第(1)题的y与x的一般关系.而第(2)题中PF⊥AD这一条件下y 与工一定还存在一个特殊关系,将两种关系所对应的兩数解析式联立方程便可求得x的值. [例2]如图,在矩形ABCD中, AB= 12cm, BC = 6cm，点P沿AB边从A向B以2 cm/s的速度移动点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动时间(0≤1≤6),那么: (1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形? (2)求四边形QAPC的面积;你有什么发现? (3)当t为何值时,以点A, P, Q为顶点的三角形与△ABC相 似? [思路分析]随着P、Q两点的移动,四边形QAPC的形状不断地发生变化.题中问四边形QAPC 的面积有什么发现,估计面积是一个定值. 解 [点评] 动中的不变性，动中取静是解题的巧妙之处. [例3] 如图,已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P, Q同时从A, B两点出发,分别沿AB, BC匀速运动,其中点P运动的速度是1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C,时,P, Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t= 2s时,判断△BPQ的形状，并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;

[教师]九年级相似三角形动点问题

WORD格式整理 相似三角形动点问题 一．选择题（共1小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（） A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5 解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形． 因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=， 所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：， 又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1， 故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B． 二．填空题（共10小题） 2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的． 解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2， ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC， ∴， ②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC， ∴， ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=

∴， ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且， ∴=， ∴=， ∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的， 故答案为：或或． 3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=， ∵BM=x，∴CM=1﹣x， ①当CN与BM是对应边时，=， 即=解得x=， ②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=． 综上所述，x的值是或．故答案为：或．

相似三角形与动点问题

相似三角形与动点问题 1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点． （1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长； （2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数； （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上求出此时□DPBQ的面积． D A C B

2、（2011浙江省舟山）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点 P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒． （1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标； ② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． B A O P C x y 11 D （第24题图1）

3、（2011江苏扬州，）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB0） （1）△PBM与△QNM相似吗以图1为例说明理由； （2）若∠ABC=60o，AB=43厘米。 ①求动点Q的运动速度； ②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式； （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

相似与动点问题专题

动态几何中的相似三角形 例1、如图，在梯形ABCD中，AD BC ∥，3 AD=，5 DC=，10 BC=，梯形的高为4．动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）． （1）当MN AB ∥时，求t的值； （2）试探究：t为何值时，MNC △为直角三角形． 变式练习1：如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以 每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动， 设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当 3 1 = ∆ ∆ ABC BCQ S S ，求 ABC BPQ S S ∆ ∆的值；（3） ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。 变式练习2：如图，已知直线l的函数表达式为 4 8 3 y x =-+，且l与x轴，y轴分别交于A B ， 两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P 从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设 点Q P ，移动的时间为t秒． （1）求出点A B ，的坐标； （2）当t为何值时，APQ △与AOB △相似？ （3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ所在直线的 函数表达式． O P A Q B y x N C M B

变式练习1：已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，∠A ＝30º，点P 在AC 上，且∠MPN ＝90 当点P 为线段AC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 、BC 上时（如图 1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证t △PME ∽t △PNF ，得出PN ＝3PM ．（不需证明） 当PC ＝2PA ，点M 、N 分别在线段AB 、BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN 、PM 之间的数量关系，并任选取一给予证明． 变式练习2（备用）：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围. （3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2 ＋ CE 2=DE 2. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2 ＋CE 2 =DE 2 立,请说明理由. G y x 图2 O F E D C B A G 图1 F E D C B A

相似三角形动点问题

相似三角形动点问题 相似三角形动点问题是高中数学中的经典问题之一，在解决这类 问题时，需要具备一定的数学知识和思维能力。本文将介绍相似三角 形动点问题的基本概念和解题方法，以及一些注意事项。 首先，我们来了解一下相似三角形动点问题的基本概念。相似三 角形是指两个三角形的三个角分别相等，并且两个三角形的对应边成 比例。相似三角形动点问题是指，在一个给定的相似三角形中，其中 一个点在某个定点上以一定速度运动，而另一个点在另外一个定点上 以相同的速度运动，求这两个点之间的距离随时间变化的函数关系。 解决相似三角形动点问题的关键是找到这两个点之间的关系。在 相似三角形中，如果我们知道其中一个点到三角形的某个定点的距离，以及该点的速度，那么我们就可以用类似于比例的方法来求出另一个 点到定点的距离，并且通过这个距离计算出两个点之间的距离。 在具体解决问题时，我们需要确定两个点的位置以及它们到对应 定点的距离。通常情况下，我们可以将一个点标记为位置变量，并用

变量表示到定点的距离，并将另一个点表示为速度变量，用变量表示速度大小和方向。 尤其需要注意的是，在解决相似三角形动点问题时，需要仔细分析每一个信息，确定其对最终结论的影响。有时候，我们必须结合多个信息才能得到正确的方程式或结论。 下面，我们来看一个实例来解决相似三角形动点问题。假设有一个三角形ABC和一个点D，点D沿着边AB运动，初始时D到A的距离为2厘米，速度为每秒1厘米，求当D到达B点时，点D和点C之间的距离。 首先，我们需要确定点D的初始坐标和速度，以及ABC三角形上另外一个点C的坐标。可以假设点D的位置为(x, y)，速度为(1,0)，点C的坐标为(p,q)，因为ABC是一个相似三角形，所以我们可以将三角形ABC中每一个点到A点的距离表示为x倍的AC的长度。 假设C到A的距离为k，则有以下公式： AD = 2 BD = x*AB

相似三角形中动点问题

相似三角形中动点问题 1、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ A B D C E N M 2、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 3、如图，已知△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点E 是边AB 上一动点，且EF ∥BC 。 （1） 在AB 上是否存在点E 运动到某一位置时，使△AEF 的面积与四边形 EBCF 的面积相等？如果存在，求出AE 的长；如果不存在，简要说明理由。 （2） 在AB 上是否存在点E 运动到某一位置时，使△AEF 的周长与四边形 EBCF 的周长相等？如果存在，求出AE 的长；如果不存在，简要说明理由。 4、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。 5、如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度 N M E B D C A

向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3 1=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请 说明理由。 6、如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD ，垂足为H ，P 点是AD 上的一个动点（P 与 A 、D 不重合），CP 与BD 交于E 点。已知CH ＝1360 ，DH ∶CD ＝5∶13，设AP ＝x ，四边形ABEP 的面积为y 。（1）求BD 的长；（2）用含x 的代数式表示y 。 7、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 H E D C B A P

相似三角形中的动点问题(

2020-2021学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练 专题09相似三角形中的动点问题 【典型例题】 1．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=8,AD=3,BC=4，点P为边AB上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2.如图，在RtΔABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）含x的代数式表示BQ、PB的长度； 相似时，求此时x的值 （2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当和CBA

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动， 同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜10 3 ），连接MN． （1）若△BMN与△ABC相似，求t的值； （2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【专题训练】 一、选择题 1．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ( ) A．3B．3或4 3 C．3或 3 4 D． 4 3 2．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，

相似三角形中的动点问题含答案

相似三角形中的动点问题含答案 一．解答题（共40小题） 1．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C． （1）证明：△BDA∽△CED； （2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O 出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t． （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标． （2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C 以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 5．在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，同时点Q从点C出发，以v个单位每秒的速度向B运动．当有一个点到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t． （1）若v＝2，t＝1，求△PQB的面积． （2）若在运动过程中，PQ始终平行于AC，求v的值． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当PQ∥AC时，求t的值；

(学生)九年级相似三角形动点问题

实用标准文档 相似三角形动点问题 一．选择题（共1小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（） A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5 解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形． 因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=， 所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：， 又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1， 故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B． 二．填空题（共10小题） 2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的 三角形与△ABC相似，当= 或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的． 解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2， ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC， ∴， ②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC， ∴， ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=

∴， ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且， ∴=， ∴=， ∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的， 故答案为：或或． 3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=， ∵BM=x，∴CM=1﹣x， ①当CN与BM是对应边时，=， 即=解得x=， ②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=． 综上所述，x的值是或．故答案为：或．