概率论与数理统计期末总复习小结

第二、三、四章随机变量的分布及数字特征

习题课

一、小结

1.一维随机变量的概率分布

⑴随机变量X 的分布函数{}()()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念与性质

⑵离散型随机变量的概率分布与性质 ⑶连续型随机变量的概率密度与性质

⑷重要分布（01-分布、二项分布、超几何分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）

2.二维随机变量的概率分布

⑴分布函数的概念与性质、边缘分布函数

⑵二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布 ⑶二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度 ⑷重要分布（二维均匀分布、二维正态分布） ⑸随机变量的独立性 3.随机变量的函数的概率分布 ⑴离散型随机变量函数的概率分布 ⑵连续型随机变量函数的概率分布 4.随机变量的数字特征 ⑴数学期望定义、公式与性质 ⑵方差的定义与性质 ⑶原点矩与中心矩

⑷协方差定义与性质 ⑸相关系数的定义与性质 ⑹不相关的充要条件 5.极限定理 ⑴切比雪夫不等式 ⑵大数定律 ⑶中心极限定理

二、习题

1.每次试验成功的概率为p （01p <<），重复进行试验直到 第n 次才取得r （1r n ≤≤）次成功的概率是【B 】

(A)(1)r r n r n C p p --(B)11(1)r r n r n C p p ----

(C)(1)r n r p p --(D)11

1(1)r r n r n C p

p -----

2.设随机变量2

(,)X N μσ，则随着2σ的增大，概率

{}

P X μσ-<【C 】

(A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 3.设两个独立的随机变量X 与Y 的分布函数分别

(),()X Y F x F y ，则{}max ,Z X Y =的分布函数是【C 】

(A)()max{(),()}Z X Y F z F z F z =

(B)()max{(),()}Z X Y F z F z F z =

(C)()()()Z X Y F z F z F z =?(D)都不是

4.设随机变量129,,X X X 相互独立且同分布，1i EX =，

1i DX =，（1,2,

,9i =）

，令9

1

i

i S X

==∑，则对任意的0ε>，有

【B 】

(A){}

2

1

11P S εε

-<≥-

(B){}

2

9

91P S εε

-<≥-

(C){}21

91P S εε-<≥-(D)211

119P S εε??-<≥-????

5．某事件的概率为1/4,如果试验8次,则该事件就【D 】

(A)一定出现两次(B)一定出现6次

(C)至少出现1次(D)出现次数不能确定

6.设两个相互独立的随机变量X 与Y 的方差分别是4DX =，2DY =，则随机变量34X Y -的方差是.【68】

7.设有5枚1分硬币、3枚2分硬币和2枚5分的硬币，从中任取5枚.求取出金额超过1角的概率为.【0.5】

8.设X 与Y 相互独立且都服从(1,0.5)B ，则{}P X Y ==.【0.5】

9.设随机变量X 的概率密度为1

,[0,1],32,[3,6],

()90,x x f x ?∈??

?∈=???

??

其他.若

{}2

3

P X k ≥=，则k 的取值范围是.【[1,3]】

10.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.5，0EX EY ==，222EX EY ==，则2()E X Y +=.【6】

11.盒中放有6个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时，从中任取2个来用，比赛后放回盒中；第二次比赛时再从盒中任

取2个.

（1）求第二次取出的两球都是新球的概率；

（2）若已知第二次取出的两球都是新球，则第一次取出的两球是一新一旧的概率.

【⑴0.16；⑵0.67】

12.设X 服从区间(0,1)上的均匀分布，求 ⑴e X

Y =的分布密度；⑵2ln Y X =的分布密度. 【⑴

⑵()21,0,

20,y

Y e y f y ??<=???

其它.】

13.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克，

⑴设每100个螺丝钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100克的概率；

⑵若这样的螺丝钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重量超过5100克的概率.已知(2)0.9772Φ=，(2.59)0.995Φ=.

【⑴0.02275；⑵0.995】

14.假定到某服务单位办事的等待时间X （单位：分钟）服从以

10

1

为参数的指数分布，而某人等待时间超过15分钟就会离去.

设此人一个月要去该处10次，试求：

⑴此人离去的概率；

⑵一个月里至少有两次离去的概率.

【0.2231；⑵0.6899】

15.设(X，Y)在区域D内服从均匀分布，D为0≤y≤1，y≤x ≤1，

⑴求关于X和Y的边缘分布密度；

⑵X与Y是否相互独立，为什么？

⑶求X与Y的协方差Cov(X，Y).

⑵()2,01 0,

X x x

f x

<<

?

=?

?其它

；

22,01,

()

0,

Y

y y

f y

-<<

?

=?

?其它.

⑵不独立；⑶()1

,

36 Cov X Y=】

第五、六、七章习题课

一、小结

（一）样本与抽样分布 1.基本概念

△总体、个体、样本、样本容量

△简单随机样本：若样本n X X X ,,,21 满足：它们相互独立，且与总体X 具有相同的分布.

△统计量：样本n X X X ,,,21 的函数12(,,,)n g X X X ，且不含任何未知参

数.

△样本数字特征：

⑴样本均值1

1n

i i X X n ==∑；

⑵样本方差2

211()n i i S X X n ==-∑，修正样本方差*2

21

1()1n i i S X X n ==--∑； ⑶样本k 阶原点矩11n k k i i A X n ==∑；样本k 阶中心矩1

1()n

k k i i B X X n ==-∑.

定理 若总体X 的期望为μ，方差为2σ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则2

*22

,,EX DX ES n

σμσ==

=.

2.抽样分布

定理1（生成原理）

⑴独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量；

⑵独立的标准正态变量的平方和21n

i i X =∑服从自由度为n 的2χ分布；

⑶设U ，V 相互独立，且~(0,1)U N ，2~()V n χ

，则T =服从自由度为n 的t 分布；

⑷设U ，V 相互独立，且2~()U m χ，2~()V n χ，则//U m

F V n

=服从自由度为(,)m n 的F 分布.

△ 若2~()X n χ，则EX n =，2DX n =.

定理2（一个正态总体抽样分布）

设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，则 ⑴2

~(,

)X N n

σμ；

⑵~(0,1)X U N =

； ⑶*2

2

22

(1)~(1)n S n χχσ

-=

-；

⑷X 与2S 相互独立；

⑸~(1)X T t n =

-. 定理3（两个正态总体抽样分布）设112,,

,n X X X 与212,,,n Y Y Y 是分别来自

正态总体211(,)N μσ和2

22(,)N μσ的简单随机样本，且这两个样本相互独立，则

⑴*22

1112*2222

/~(1,1)/S F F n n S σσ=--；

⑵当22

212σσσ==

时，12)~(2)X Y T t n n =

+-，其中

*2*222

2

11221122

1212(1)(1)22w

n S n S n S n S S n n n n -+-+==

+-+-. 3.分位数

△设{}P X x αα≤=，称x α为X 的α下侧分位数；设{}P X x αα>=，称x α为

X 的α上侧分位数.

△它们的关系是：x α（上）＝1x α-（下）.

△会画2(0,1)N t F χ、、、分布的密度曲线，会查它们的分位数表，其中

112211

(,)(,)

F n n F n n αα-=

（颠倒自由度，查表取倒数）.

（二）参数估计 1.点估计方法

△矩估计法：用样本原点（中心）矩及其函数估计总体相应原点（中心）矩及其函数.

例如 估计一个参数θ，令X EX =，解出θ；

估计两个参数12,θθ，令2

21

1,n i i X EX X EX n ===∑，解出12,θθ.

△最大似然估计法：选取参数，使样本12,,,n X X X 取值12,,,n x x x 的概率

（密度）最大. 其步骤如下：

⑴写出似然函数

{}{}{}1122()n n L P X x P X x P X x θ====（离散型）

， 12()(,)(,)

(,)n L f x f x f x θθθθ=（连续型）

； ⑵取对数ln ()L θ；

⑶求出ln ()L θ（即()L θ）的最大值点?θθ=； ⑷θ的最大似然估计为?θ. 2.点估计的评价标准

⑴无偏性：?E θ

θ=； ⑵有效性：12??E E θθθ==且12??D D θθ<，则称1?θ比2

?θ有效； ⑶一致性（相合性）：若{}

?lim 1n n P θθε→∞

-<=，则称?n

θ是θ的一致估计量. 3.区间估计

△概念 若{}

12??1P θθθα<<=-，则称12

??(,)θθ为参数θ的置信概率为1α-的置信区间.

△概率意义 等式{}

12??1P θθθα<<=-表示随机区间12

??(,)θθ包含参数θ的概率为1α-.

△置信概率1α-反映可靠性，越大越好；置信区间12??(,)θθ的长度21

??θθ-反映精确度，越小越好.

△求置信区间的原则：对于给定的置信概率1α-，使置信区间12

??(,)θθ的长度21

??θθ-越小越好. 4.一个正态总体2(,)N μσ均值与方差的置信区间（其中分位数均为下侧分位

数）：

⑴2σ已知，μ

的置信区间为12

X u

α-

±

⑵2

σ未知，μ

的置信区间为*

12

(X t n α-±-；

⑶μ已知，2σ的置信区间为2211

22

122

()(),()

()n n

i i i i X X n n ααμμχχ==-??-- ?

? ? ???

∑∑； ⑷μ未知，2σ的置信区间为*2*2

22122(1)(1),(1)(1)n S

n S n n ααχχ-??-- ? ?

-- ???

. （三）假设检验

1.小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生.

2.假设检验的步骤：

⑴提出待检假设0H 和备择假设1H ；

⑵选择检验统计量并确定其分布；

⑶根据给定的显著水平α，查概率分布表，确定否定域；

⑷利用样本值计算统计量的值并判断其是否落入否定域，若是，则拒绝0H ，否则接受0H .

3两类错误

△0H 真而拒绝0H ，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率

{}0P T W H α=∈，

△0H 假而接受0H ，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率记作

{}1P T W H β=?.

4.一个正态总体2(,)N μσ参数的假设检验（拒绝域均采用下侧分位数） ⑴2σ已知，关于μ的检验（U 检验） 检验假设00:H μμ=

统计量X U =

拒绝域12

U u α->

检验假设00:H μμ>

统计量X U =

拒绝域1U u α-<- 检验假设00:H μμ<

统计量X U =

拒绝域1U u α-> ⑵2σ未知，关于μ的检验（t 检验） 检验假设00:H μμ=

统计量X t =

拒绝域12(1)t t n α->- 检验假设00:H μμ>

统计量X t =

拒绝域1(1)t t n α-<-- 检验假设00:H μμ<

统计量X t =

拒绝域1(1)t t n α->- ⑶μ未知，关于2σ的检验（2χ检验） 检验假设2

2

00

:H σσ= 统计量*2

2

20

(1)n S χσ

-=

拒绝域2212

(1)n αχχ->-或者

22

2

(1)n αχχ<-

检验假设2

200

:H σσ> 统计量*2

2

20

(1)n S χσ

-=

拒绝域22

(1)n αχχ<-

检验假设2

2

00

:H σσ< 统计量*2

2

20

(1)n S χσ-=

拒绝域221(1)n αχχ->-

5.两个正态总体21(,)N μσ、22(,)N μσ均值的假设检验（t 检验，拒绝域均采用下侧分位数）

检验假设012:H μμ=

统计量X Y

t =

拒绝域1212

(2)t t n n α->+-

检验假设012:H μμ>

统计量X Y

t =

拒绝域112(2)t t n n α-<-+-

检验假设012:H μμ<

统计量X Y

t =

拒绝域112(2)t t n n α->+-

6.两个正态总体211(,)N μσ、2

22(,)N μσ方差的假设检验（F 检验，拒绝域均

采用下侧分位数）

检验假设2

201

2

:H σσ= 统计量*2

1*22S F S = 拒绝域1212

(1,1)F F n n α->--或者

122

(1,1)F F n n α<--

检验假设2201

2

:H σσ> 统计量*2

1*22

S F S = 拒绝域12(1,1)F F n n α<--

检验假设2201

2

:H σσ< 统计量*2

1*22

S F S = 拒绝域112(1,1)F F n n α->--

注 检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.

二、习题

1. 10部机床独立工作，因检修等原因，每部机床停机的概率为0.2，则同时有3部机床

停机的概率为（）.【733

108.02.0??C 或0.201】

2. 设总体X 服从(,1)N μ 分布，12,X X 是一个样本，则两个无偏估计量

11211?22X X μ

=+，21213

?44

X X μ

=+中有效的是（）. 【1?μ】 3.若总体X 服从(,1)N μ ，由来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则μ的双侧0.95置信区间（0.975 1.96u =）为（）.【（4.804，5.196）】

4. 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有{2}P X EX -≥≤．【1/2】 5．在假设检验问题中，显著性水平α的意义是（） A.原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率； B.原假设0H 成立,经检验不能拒绝的概率； C.原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率； D.原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率．【A 】

6．设总体2

~(,)X N μσ，其中μ已知，2

σ未知，123,,X X X 是取自X 的一个样本，则下列表达式中不是统计量的是（）

A.123X X X ++；

B.123max(,,)X X X ；

C.

2

3

2

1

i i X σ

=∑； D. 12X μ-．【 C 】

7. 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布(0,1)N ，则下列各式中正确的是（） A 22

/X Y 服从F 分布； B.2

2

X Y +服从2χ分布；

C ．2

X 和2

Y 都服从2χ分布； D.X Y +服从正态分布．【C 】 8. 设12,,

,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2

DX σ=，记1

1n

i i X X n ==∑，

*2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑，下列命题中正确的是（） A.*

S 是σ的无偏估计量； B.*

S 是σ的极大似然估计量； C. *S 与X 相互独立； D.*2

S 是2

σ的无偏估计量．【D 】

9．设4DX =，2DY =且X 与Y 不相关，则(32)D X Y -=（） A. 6； B. 16； C. 28； D.44．【 D 】

10.袋中装有N 只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为n ，试求从该袋中任取一球为白球的概率．

解 用X 表示袋中的白球数，则

1

()N

k EX n kP X k ====∑

设A ={取出白球}，由全概率公式

()()()()

N N

k k k

P A P X k P A X k P X k N

=======∑∑

11()N k n k P X k N N

==?==∑. 11．设总体X 的分布密度为(1),01()0,x x p x θθ?+≤≤=??其它，其中0θ>是未知参数，

1,

,n X X 是来自X 的样本．求（1）似然函数；

（2）极大似然估计量．

解（1）似然函数θ

θθ

θθθn

n n

i i

X X X L 11

)1()1()(+=+=

∏= （2）∑=++=n

i i

X

n L 1

ln )1ln())(ln(θ

θθ，

令0ln 1))((ln 1

=++=∑=n

i i X n

d L d θθθ，

得 1

1ln n

i

i n

X

θ==-

-∑ ，

故极大似然估计量1ln ?1

--=∑=n

i i

X

n

θ

.

12.设连续型随机变量Y 服从(0,5)上的均匀分布，求关于x 的一元二次方程

24420x xY Y +++=有实根的概率．

解 令A ={方程有实根}，则

}1{}2{}0)2(44)4{(2-≤≥=≥+??-=Y Y Y Y A

因为~(0,5)Y U ，故52

(2)0.65

P Y -≥=

=，(1)0P Y ≤-= 所以 6.0}1{}2{)(=-≤+≥=Y P Y P A P ．

13.中药厂从某种中药材中提取某种有效成分．现对同一质量的药材，用两种方法各做

了10次试验，两种方法下的总体分别用X 与Y 表示，2

11~(,)X N μσ,2

22~(,)Y N μσ，

且X 与Y 相互独立，从观测值得 *2

*276.23, 3.325,79.43, 2.225x y x s y s ====，现取

0.01α=. 问（1）两种方法方差有无差异；（2）两种方法均值有无差异．

（F 0.995(9,9)=6.54, t 0.995(18)=2.8784）

解（1）检验2

2

21122210:,:σσσσ≠=H H 统计量

*2

*2 3.325 1.492.225

x y S F S ===，

拒绝域W ：0.995(9,9) 6.54F F >=或者0.0050.99511

(9,9)(9,9) 6.54

F F F <=

=

， 因为

1 1.49 6.546.54

F <=<，故接受假设0H ，即认为 2

221σσ=； （2）检验211210:,:μμμμ≠=H H

统计量 4.2954x y T =

==-，

拒绝域W ：8784.2)18(995.0=>t T ，

由于 4.2954 2.8784T =>，故拒绝假设0H ，即认为两种方法均值有差异.

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

大学概率论与数理统计的复习资料

第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 )()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+=Y ) ,,() ()(2111有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ΛY ∑===) ,(0)()() ()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==)()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-)() ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,() ()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式Λ) ,,()] (1[1)(2111相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ΛY ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) ()/()()/()()/()7(1逆概率公式∑==n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==

应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P Y ，则= k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P Y 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P Y （ ）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B -U 与A 的关系 是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3 张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明： 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段 5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计心得体会

概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <

我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

概率论与数理统计 知识点总复习

随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 (4)一些常见排列 ① 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 ② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题 2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：B A ? 如果同时有 B A ?，A B ?，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为 A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A 、 B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事 件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A 不发生的事 件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∞ =∞==1 1 i i i i A A B A B A =，B A B A = 3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义 设Ω为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，若满足下 列三个条件：

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题 一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为 解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155 {(,)|,1,,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= =L 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ?＝ 。 解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p :， 3191{1}1{0}1(1),273 P X P X p p ≥=-==--= ∴= 9.设(),0X P λλ>:，则X 的分布律为

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19