数学期望与方差的实际应用论文

例说数学期望与方差的实际应用

【摘要】 数学期望作为概率分布中重要的数字特征之一，反应的是随机变量取值的平均水平，方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。利用概率论中数学期望与方差的思想可以计算出实际生活中的许多问题的最大可能值以及该事件发生的偏差的大小，从而为实际决策提供更具体的参考。 [关键词] 数学期望 方差 最佳决策

数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案。 在当前社会生产中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我将就现实生活中的种种问题，利用离散型随机变量的期望和方差的思想对实际问题进行分析计算，并通过各个方案的比较得出最佳方案。首先介绍一些基本概念知识： （1）概率分布

设离散型随机变量为i ξ，（i=1,2,3，、、、，ｎ，、、、，），离散型随机变量的概率为Ｐ

i

，其概率分布如下：

ξ

1χ 2χ 3χ

…

n χ

… P

1P 2P

3P …

n P

…

（1）数学期望

根据（1）的概率分布，即Ｐ（ξ=i χ）=i P ，i =1,2，…，n,…,称和数∑i

i χi

P 为随机变量ξ的数学期望，简称期望，记作E(ξ)，则E(ξ)=1χp 1+2χp 2+…+n χp n +…。 （3）方差

由（2）推出数学期望E （ξ）存在时，如果E[ξ-E(ξ)]2存在，则称E[ξ-E(ξ)]

2

为随机变量ξ的方差，记为D(ξ),有

D(ξ)=E[ξ-E(ξ)]2=E(2ξ)-E 2(ξ)。

1、数学期望与方差在投资风险程度分析中的应用

在市场经济条件下，要想获得较高的期望收益，必须把资金投向几种不同的

收益不同风险的金融资产上，而这将为投资者选择投资方案提供一定的理论依据和数字参考，以便于投资者选择可行的投资决策方案。下面以两个例子进行说明： 例1、某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元)。如果存入银行,假设年利率8%,即可得利息8000元。又设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者应该选择哪一种投资方案?

分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关，因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断。

解：设1ξ为购买股票收益，2ξ为存入银行收益， 购买股票： 状态 经济形势好 经济形势中等 经济形势不好 收益ξ1 40000 10000 -20000 概率

0.3

0.5

0.2

E （ξ1)=40000×0.3＋10000×0.5－20000×0.2=13000， D (ξ1)=4.41×108， 存入银行： 状态 经济形势好 经济形势中等 经济形势不好 收益ξ2 8000 8000 8000 概率

0.3

0.5

0.2

E （2ξ）=8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2=8000 D （2ξ）=0

由计算结果表明， E （2ξ）

2、数学期望与方差在经济决策中的应用

数学期望与方差在诸多经济管理或决策中的应用是指从数量上研究随机现象统计规律性的思想，企业家们往往是在考虑各种影响因素发生的概率下实施某种方案以达到最佳效果。

例 ： 某企业需要就是否与一家外企联营做出决策，经过调查做出评估，联营成功的概率为0.35，若联营成功可增加利润50万元/月；若联营失败将损失20万元/月；若不联营利润不变。企业该如何决策？

解：用X 表示选择联营能增加的利润值，则X 的概率分布为 P(X =50)=0.35，P(X =－20)=0.65，

所以，选择联营能增加的利润期望值为E(X)=50×0.35＋(－20)×0.65=4.5，D(X)=1135，

若不联营，增加的利润为零， 因此，该企业应该作出联营的决策。

3、数学期望与方差在销售利润问题中的应用

在销售行业中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,

供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道

的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望和方差的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。

例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，商场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元。9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40％。商场应该选择哪一种促销方式？

分析：因为天气有雨或无雨是一个不确定的因素，因此作出决策时要存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好效益，但必须使效益的期望值是最高的。如果选择商场外促销方式恰逢天气有雨，则带来经济损失4 万元，比商场内促销可获得经济效益2万元更不合算，这就是风险，这样的决策称为风险决。解：设商场为促销活动获得的经济效益为ξ万元，则

Ｐ(ξ=10)=0.6, Ｐ(ξ=－4)=0.4,

∴E(ξ)=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4(万元)

综上可知,商场外促销方式可获得经济效益的数学期望4.4 万元,高于场内促销可获得经济效益2万元,故应选择商场外促销方式。

4、数学期望与方差在委托售后服务问题中的应用

人们购买商品不仅要求质量，还要看售后服务，企业对售后服务的支出是必不可少的。企业的售后服务通常是委托给各地的维修部，那么如何选择与维修部签订售后服务合同，是企业要考虑的问题。

例1、某家电企业经调查预计明年向某地销售3000 台洗衣机，计划与当地的一家维修部签订保修合同，委托维修部承包维修业务，保修期一年。该企业与维修部对这批产品的保修有以下两个方案选择：

方案1：维修次数不限，一次性支付总维修费2000 元。

方案2：维修次数少于300次，支付维修费1 000 元；若超过，每增加一次加付维修费5元。

另根据过去的经验及产品的质量情况估计，今后一年内洗衣机可能出现维修的次数及发生的概率为:

维修次数≤300 400 500 600 700

概率0.5 0.25 0.1 0.07 0.03

问企业应选择哪种方案？

解：若选择方案1，企业将支出维修费2000元。

若选择方案2，则企业支出维修费X 的期望为:

E(X)=1000×0.5＋1500×0.25＋2000×0.15＋2500×0.07＋3000×0.03=1440（元），

可见方案2优于方案1，故该企业应与维修公司签订方案2。

5、数学期望与方差在求职决策问题中的应用

例：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A 、B 、C ，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职何种职位或拒绝提供职位。若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2 、0.3 、0.4，三家公司的工资数据如下：

公司职位

极好好一般

A 3500 3000 2200

B 3900 2950 2500

C 4000 3000 2500

李宏如果把工资数尽量大作为首要条件的话，那么他在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何对策？

解：由于面试有时间先后，使得李宏在A、B公司面试，作选择时，还要考虑到后面C公司的情况，所以应先从C公司开始讨论。C公司的工资期望值为：

E(C)=4000×0.2＋3000×0.3＋2500×0.4＋0×0.1=2700(元)；

现在考虑B公司，因为B 公司的一般职位工资只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好或好的职位，否则就到C公司应聘，如此决策时，他的工资

期望值为：

E(B)=3900×0.2＋2950×0.3＋2500×0.5=3015(元)；最后考虑A 公司。由于A 公司只有极好职位的工资超过3015 元,所以他只接受A 公司的极好职位，否则就到B 公司应聘。他的总决策是这样的：先去A 公司应聘，若A 公司提供极好的职位就接受，否则去B 公司应聘；若B 公司提供极好或好的职位就接受，否则去C 公司应聘，接受C 公司提供的任何职位。在这一策略下,他的工资期望值为： E(A)=3500×0.2＋3015×0.8=3112元。

6、数学期望与方差在仪器比较方面的应用

仪器的优劣，以及其使用价值对于生产家来说是很重要的一个因素，同时也是企业完成生产任务的保障，因此，数学期望与方差这一数字特征给商家在对仪器进行选购时提供了参考。

例：分别用A 、B 两种测量仪器多次测量某一零件的直径，结果如下：

A ξ

118 119 120 121 122

0.06

0.14

0.60

0.15

0.05

B ξ

118 119 120 121 122 P

0.09

0.15

0.52

0.16

0.08

试比较这两种仪器的优劣。

解：用随机变量A ξ和B ξ的数学期望与方差来做比较：

E(A ξ)=118×0.06＋119×0.14＋120×0.60＋121×0.15＋122×0.05=119.9；

D(A ξ)=E(2

A ξ)－E(ξ)2≈14398.3；

E(B ξ)=118×0.09＋119×0.15＋120×0.52＋121×0.16＋122×0.08=119.9；

D(B ξ)=E(2A ξ)－E(ξ)2≈14398.6,因为A 的方差小于B 的方差，说明A 仪器的

精确度比B仪器好，所以选择A仪器优于B仪器。

7、总结

以上从多个方面列举了数学期望与方差在实际生活生产中的应用，这一思想从理论的角度测出方案所能达到的预期效果和存在风险的大小等，给实际生活生产提供了指导性的建议，从而使决策者选择最佳方案。在当前实际生活中，还有更多能够用数学期望与方差这一思想解决的问题，掌握并利用好这一思想，便能给生活工作带来更多可靠的依据。

参考文献：

吴志高，《统计与概率》，高等教育出版社，79页至90页。

应用回归分析论文

贵州民族大学 实用回归分析论文 (GuizhouMinzu University) 论文题目：影响谷物的因素分析 年级：2014级 班级：应用统计班 小组成员： 姓名：黄邦秀学号：201410100318 序号：4 姓名：王远学号：201410100314 序号：26 姓名：陈江倩学号：201410100326 序号：11 姓名：吴堂礼学号： 时间：2016.12.06

目录 摘要： (3) 关键词： (3) 一、问题的提出 (4) 二、多元线性回归模型的基假设 (4) 三、收集整理统计数据 (5) 3.1数据的收集 (5) 3.2确定理论回归模型的数学形式 (6) 四、模型参数的估计、模型的检验与修改 (6) 4.1 SPSS软件运用 (6) 4.2 用SPSS软件，得到相关系数矩阵表 (8) 4.3 回归方程的显著性检验 (9) 4.4利用逐步回归法进行修正 (9) 4.5 DW检验法 (11) 五、结果分析 (11) 六、建议 (12) 七、参考文献 (12)

影响谷物的因素分析 摘要：在实际问题的研究中，经常需要研究某一些现象与影响它的某一最主要因素的关系，如影响谷物产量的因素非常多。本文采用多元线性回归分析方法,以1994—2014年中国谷物产量及其重要因素的时间序列数据为样本,对影响中国谷物生产的多种因素进行了分析。分析结果表明,近年来我国谷物生产主要受到单产提高缓慢、播种面积波动大、农业基础设施投入不足、自然灾害频繁等重要因素的影响。为提高谷物产量、促进谷物生产,首先应该提供一套促进谷物生产的政策措施,提高谷物种植效益,增加谷物收入是根本。在这个前提下,才有可能提高单产、稳定面积、加强基础设施建设、提高抗灾能力,增强我国谷物生产能力和生产稳定性。 关键词：谷物产量影响因素多元线性回归分析

数据分析论文

2011-2012学年度第二学期数据分析课程论文 院系数学与计算科学学院专业数学与应用数学 姓名xxx 学号xxxxxxxxxx 论文题目聚类分析和因子分析在就业人数案例中的应用 完成日期2012-6-26 评语： （评阅成绩：） 评定教师签名： 日期：2012 年月日

聚类分析和因子分析在就业人数案例中的应用 摘要：中国的就业问题是一个备受关注的热点问题。了解中国各地区各行业的就业情况，有利于更好地调整各地区更行业的就业情况，加快产业结构的转型。本文利用2011年《中国统计年鉴》的统计数据资料，在研究各地区各行业就业人数的现状及主要问题的基础上，运用聚类分析和因子分析方法发现全国就业情况分三个类型，东南部沿海地区就业情况最好，中东部就业一般，西部、北部和中部一些地区就业情况较差。针对这些情况对优化各地区各行业就业结构提出一些对策和建议。 关键词：就业人数；聚类分析；因子分析 一、引言 1、1 背景知识 中国是世界上人口最多的国家，就业问题成为中国政府面临的一个十分严峻的社会问题。就业情况的好与差与当地的经济发展水平有很大关系。了解中国各地区各行业的就业情况，有利于更好地调整各地区更行业的就业情况，加快产业结构的转型。在高等教育大众化的今天，就业难已经成为一个不争的事实，越来越引起社会的关注。作为当代大学生，我们很有必要了解当前的各地区各行业的就业就业情况。 1、2 聚类分析法 系统聚类法是聚类分析诸方法中用得最多的一种，其基本思想是：开始将n个样品各自作为一类，并规定样品之间的距离和类与类之间的距离，然后将距离最近的两类合并成一个新类，计算新类与其他类的距离；重复进行两个最近类的合并，每次减少一类，直至所有的样品合成一类。[1] 1、3 因子分析法 因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。它的基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较高，即联系比较紧密的分在同一类中，而不同类变量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就代表了一个基本结构，即公共因子。对于所研究的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。[2]

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。

数学期望与方差的运算性质

数学期望与方差的运算性质 教程 一：复习公式 离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑ 连续随机变量()()()2 ,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=?? 二：期望运算性质 ()E aX bY c aEX bEY c ++=++ 应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=?? １第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1 由于()()1101,111,n n i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n i EX m =--， ()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111 三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance ()()cov(,)X Y E X Y θμ=--???? ()()()()() ()()()()()()EY EX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ?-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμ θμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!i i j j j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-

数学期望和方差的应用

２ＱＱ２±：箜！塑工 －学术－理论现代衾案一 数学期望和方差的应用 陈奕宏张鑫 （武警广州指挥学院广东广州５１０４４０） 摘要：本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质，利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程： 关键词：对称性数学期望方差 在教学过程中，由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻，冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区，进一步影响了计算、证明能力。 性质ｌ对随机变量ｘ和ｙ，则有Ｅ（ｎｎ簟Ⅸ＋Ｅｙ①性质２设随机变量ｘ和ｙ相互独立，贝咿育层陇ｎ＝Ｅｘ?Ｅｙ②定义ｌ设Ｘ是一个随机变量，若ＥＩ肛删Ｉｚ存在，则称其为Ｘ的方差，记为Ｄｘ。即 Ｄｘ＝坦Ｉｘ—Ｅｘ】２③显然可得：们，－ＥｌＸ一以】２ ＝Ｅ瞄２—２ｘＥＸ＋（踊２］ ＝麟ｚ一（删）：④性质３设随机变量ｘ和ｙ相互独立，则有层孵ｙ：净Ｅ孵?Ｅｙ２⑤证明：设随机变量Ｘ和ｙ的联合分布密度为ｍ砂），｜ｊｌ《为ｘ和ｙ相互独立，有 “ｒ，ｙ）＝＾（掌）。，ｒ（ｙ） ．’．Ｅ（ｘ２ｙ２）＝Ｊ一。Ｊ一。工２ｙ２“ｒ，ｊ，）ｄ膏咖 ＝ｅｅｘ２ｙ２以（ｒ）厂ｒ（ｙ）如咖 ＝Ｃｘ２＾（工）如Ｃｙ２加）咖 ：Ｅｘ２Ｅ】，２⑥性质４设随机变量ｘ和ｌ，，ｎ和西为常数，则有Ｅ（口Ｘ２＋６ｙ２）＝ｎ露ｘ２＋６曰ｙ２（Ｄ证明：设随机变量ｘ和ｌ，的联合分布密度为厂（ｘ，ｊ，），则有 Ｅ似ｘ２＋６ｙ２）＝Ｊ＋。Ｊ一。（口工２＋６ｊ，２）“ｒ，ｊ，）ｄ＿咖 ＝ｅ仁ｎｘ２ｆｌｘ，，Ｍｘｄｙ＋ｅ仁ｂ矿ｆＩｘ，ｙⅪｘｄｙ ，＋∞，＋∞ｒ十ｏ，＋∞ ＝ｎ＼一。＼一亭２ｆＩｘ，如ｄｘｄ，＋ｂ１．。１一。旷ｆＩｘ，，Ⅺｘｄｙ ＝口ｆ）２【ｅ№ｊ，）ｄｙ】ｄｒ拍ｅｊ，２【Ｃ“础）ｄｘ协 ＝口仁量２【ｅ，（Ⅵ）ｄｙＪｄｘ柏ｅｊ，２【Ｃ，（础）ｄｘ坳 ＝ｎ尽２以（ｒ）ｄｙ拍Ｄ２加）ｄｙ ＝口ＥＸ２＋西Ｅｙ２ 掣狮，＝∥茗引ｍ，＝驴㈣’翟引 求Ｅ伍２＋ｙ２）。 解：Ｅ（ｘ２＋ｙ２）＝Ｅｘ２＋Ｅｙｚ（南公式⑦） ＝Ｉ：一４ｒ３出＋炒．１２ｙ２（１＋ｙ）咖《 性质５设随机变量ｘ和ｙ卡Ｈ互独立，则有 Ｄ（ｘ的＝Ｄｘ?Ｄｙ＋（Ｅ幻２?Ｄｌ，＋（层ｙ）２?Ｄｘ⑧ 证明：ＯＤⅨｙ）＝层（ｘｙ）２一ＩＥ（ｘｙ）Ｊ２ ＝Ｅ（Ｘ２ｙ２）一（ＥＸ）２（Ｅ】，）２ 南公式⑤，所以 Ｄ（Ｘｎ＝ＥＸ２Ｅｙ２一（ＥＸ）２（Ｅ”２ ＝曰ｘ２Ｅｌ，２一（Ｅ的２ＥＰ＋（Ｅ的２（Ｅｌ，）２一（Ｅ抑２僻ｙ）２ ＝【层ｘ２一（ＥＸ）２】ＥＰ＋（Ｅｘ）２【（Ｅ】，）２一（日ｙ）２】 矗剪陋妒＋（雕净汗钮曙（联）辚苦帮 ＝ｎ碰Ｉｙ＋（ＥＹ）２Ｄｙ＋（Ｅｙ）２蹦 显然，若随机变量ｘ和ｙ独立，则可得Ｄ（ｘｎ＞Ｄｘ?Ｄｙ⑨例设随机变量ｘ和ｌ，相互独立，均服从Ⅳ（Ｏ，１）分布，ｆ＝ｘ—ｙ，叩＝ｘｙ，试求１）Ｄ叩；２）ｐ￡。。 解：１）方法一 ＯＸ和ｙ相互独立 ．‘．Ｄ即＝Ｄ（ｘｙ）＝Ｅ（ｘｌ，）２一【层（ｘ聊】２ ＝Ｅ（ｒ—ｌ，）２一（以Ｅ的２ ＝Ｅ舻ＥＰ（由公式⑤） ＝【脚“（Ｅ的２】【Ｄｙ；（Ｅ玢２】＝１ 方法二 ０Ｘ和ｙ相互独立 ．?．Ｄｑ＝Ｄ（ｘ】，）＝似Ｄｙ＋（Ｅ柳２Ｄｙ＋（目】，）２Ｄｘ＝ｌ（由公式⑧）２）ｏｐ。：』业 ｑ厩丽 又ＯｃｏＶ（ｆ，＇７）＝层【（ｆ—Ｅｆ）（＇７一露７７）ｊ ＝层（ｘ２ｙ）一Ｅ（ｘＰ）（把ｆ＝ｘ—ｙ，’７＝ｘｙ代人） 曲（南ｘ与ｒ鹃对称性）综上所述，本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质，结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数［字特征的问题。 参考文献： …盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社２００１．１２口 现代企业教育ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１１７　万方数据

离散型随机变量的期望与方差

开锁次数的数学期望和方差 例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差． 分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般． 解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ． Λ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(n n n n n n n n n P n n n n n n P n P =-?--?-=-?--?-===-?-=-?-====ξξξ n k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-?+-+---?--?-=+-?+----?--?-==ΛΛξ；所以ξ的分布列为： 2 31211=?++?+?+?=n n n n n E Λξ； n n n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222?+-++?+-++?+-+?+-+?+- =ΛΛξ ?? ?????+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1ΛΛ 1214)1(2)1()12)(1(611222-=?? ????+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键． 次品个数的期望

数学专业毕业论文

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数学专业毕业论文 目录 摘要 ......................................................................................................................................... I 1绪论 . (2) 1．1课题的研究意义 (2) 1．2国内外研究现状 (2) 1．3研究目标 (3) 2关于独立分布的中心极限定理的探讨 (4) 2．1中心极限定理的提法 (4) 2．2独立同分布情形的两个定理． (4) 2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理 (5) 2．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理 (6) 2．3独立不同分布情形下的中心极限定理 (7) 2．3．1林德贝格中心极限定理 (7) 2．3．2李雅普诺夫中心极限定理 (12) 2．4本章小结 (13) 3中心极限定理在商业管理中的应用 (15) 3．1水房拥挤问题 (15) 3．2设座问题 (17) 3．3盈利问题 (18) 3．4抽样检验问题 (19) 3．5供应问题 (23) 结语 (24) 参考文献 (25) 附录 (26)

中心极限定理探讨及应用 摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值． 关键词：弱收敛;独立随机变量;特征函数;中心极限定理．

数学方法论___论文

（关于“方差”的理解） 摘要：本文主要讲述概率统计中的方差以及其意义和方差在人们生活中的应用，同时还会介绍方差分析法，让大家更详细的了解方差，增加同学们对数学学习的兴趣。 关键词方差协方差方差分析法 1.方差简介 方差的定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X 的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，由方差定义的数学表达式可以看出，方差实际上是随机变量X与它的平均值E(X)离差平方的期望值，它的大小自然可以衡量随机变量的稳定状态，所以方差反映了随机变量的变异特征。对于一个随机变量来讲，方差D(X)是一个稳定常数，不再是随机的了。 由随机变量函数的数学期望计算公式可得: (1)若X为离散型随机变量，且X的概率分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则D(X)= E(X-E(X))2 (2)若X为连续型随机变量,X~ f (x),则D(X)= E(X-E(X))2 方差的性质： (1)如果C是一个常数，则D(X)； (2)如果C是一个常数，则D(X+C)=D(X)； (3)如果a是一个常数，则D(aX+C)=a^2D(X)； (4)设X与Y相互独立，则D(X+-Y)=D(X)+D(Y)； (5)设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；若X 的取值比较分散，则方差D(X)较大。因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。下面是一些概率统计中常见的随机变量的期望和方差随机变量X。【1】 X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p) X服从泊松分布，即X~ π(λ),则E(X)= λ，D(X)= λ X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12 X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2) X 服从正态分布，即X~N(μ，σ^2), 则E(x)=μ，D(X)=σ^2 X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1 2方差的应用 随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的十分重要的指标。例如某地区地震仪上描出的曲线如果起伏很大，这说明该地区地下活动异常，是地震的预兆；某天股市中股票价格出现异常波动，这就预示着社会经济将有重大事件发生；一台仪器在测量某一元件的某

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）

数理统计论文

数理统计在实际生活中的应用 摘要：数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。概率论作为一门研究随机现象统计规律的数学学科，已在包括控制，通讯，生物，力学，金融，社会科学以及其他工程技术等领域得到了广泛的应用。 关键词: 点估计;方差分析;假设检验; 1 绪论 数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和政治、经济与社会的不断发展而逐步扩大，但概括地说可以分为两大类：⑴试验的设计和研究，即研究如何更合理更有效地获得观察资料的方法；⑵统计推断，即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，当然这两部分内容有着密切的联系，在实际应用中更应前后兼顾。但按本专业的总体设计，我们的数理统计课程只讨论统计推断。数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。本课程的目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。掌握总体参数的点估计和区间估计。掌握假设检验的基本方法与技巧。理解平方差分析及回归分析的原理，并能运用其方法和技巧进行统计推断。 数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议. 数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作. 在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.

简述数学期望的性质及其应用

编号：08005110111 南阳师范学院2012届毕业生 毕业论文（设计） 题目：简述数学期望的性质及其应用 完成人：xxx 班级：2008-01 学制：4年 专业：数学与应用数学 指导教师：xxx 完成日期：2012-03-31

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 0引言 (1) 1 数学期望的定义 (1) 2 数学期望的性质 (1) 2.1一维随机变量数学期望的性质 (1) 2.2多维随机变量数学期望的性质 (3) 3数学期望的应用 (5) 3.1数学期望在农业中的应用 (5) 3.2数学期望在生活中的应用 (7) 3.3数学期望在经济中的应用 (9) 3.4数学期望在数学中的应用 (11) 参考文献 (12) Abst ract (12)

简述数学期望的性质及其应用 作者：xxx 指导老师：xxx 摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活. 关键词：随机变量；风险概率；数学期望 0引言 概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类 的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广 泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人 类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性 就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性 和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数 学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率 论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博 有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期 望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要 指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生 学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安 的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题. 1数学期望的定义 数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的 大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随 即变量，其定义如下： 广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值.

离散型随机变量的期望值和方差

离散型随机变量的期望值和方差 一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、 方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ） A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 解：选C 说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。 （2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。 解：含红球个数ξ的E ξ=0× 101+1×106+2×10 3=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本 题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。 例2、设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ 剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ。 解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以??? ? ???≤≤-≤=+-+11 2101212122 q q q q

应用统计论文

西安理工大学 研究生课程论文/研究报告 课程名称：应用统计 课程代号： 任课教师： 论文/研究报告题目： 陶瓷材料的切口强度的概率分布及其Weibull分布的统计性质完成日期：2013 年11 月25 日 学科： 学号： 姓名： 成绩：

摘要 陶瓷材料作为材料业的三大支柱之一，在日常生活及工业生产中起着举足轻重的作用。陶瓷又可分为结构陶瓷和功能陶瓷，结构陶瓷具有耐高温、耐磨损、耐腐蚀以及质量轻、导热性能好等优点;功能陶瓷在力学、电学、热学、磁光学和其它方面具有一些特殊的功能，使陶瓷在各个方面得到了广泛应用。但陶瓷存在脆性(裂纹)、均匀性差、韧性和强度较差等缺陷，因而使其应用受到了一定的限制。 氧化铝陶瓷是一种以氧化铝（AL 2O 3 ）为主体的材料，用于厚膜集成电路。氧 化铝陶瓷有较好的传导性、机械强度和耐高温性。需要注意的是需用超声波进行洗涤。氧化铝陶瓷是一种用途广泛的陶瓷。因为其优越的性能，在现代社会的应用已经越来越广泛，满足于日用和特殊性能的需要。 关键词：陶瓷, 弯曲强度, 切口强度, 统计特征参量, 概率分布，Weibull分布，最小二乘法

第一章绪论 金属材料是最重要的工程材料，而在金属材料中，90%为钢铁，钢铁是应用最多的工程金属材料，钢铁基复合材料的发展为现代钢铁工业注入了新的活力，研制开发性能优良、价格低廉的铁基复合材料备受瞩目。上世纪九十年代是铁基复合材料飞跃发展并走向实用化的关键时期，特别是铸造法及原位反应技术的迅速发展，使钢铁基复合材料走向工业化成为可能。低密度、高刚度和高强度的增强体颗粒加入到钢铁基体中，在降低材料密度的同时，提高了它的弹性模量、硬度、耐磨性和高温性能，在刀具行业、耐磨零件等工业领域应用十分广泛。在钢铁基复合材料中，基于复合材料高强度、高比刚度、耐磨性和高温性能等方面的考虑，主要采用的高强度、高硬度、高熔点、高模量、低密度及耐磨性能优越的陶瓷颗粒为增强体[1]。 钢铁基复合材料有各种分类方式，按照材料使用用途分为结构复合材料和功能复合材料；按基体分为Mg、Al、Ti、Cu、Pb、Ni、Fe基、金属间化合物基等复合材料；按增强体类型可分为连续纤维增强MMCs、非连续增强MMCs。连续纤维增强MMCs是将低密度、高强度、高模量的各种纤维增强体与金属基体结合起来，通过优化设计纤维的排布方向、含量、方式等来获得高性能复合材料。由于连续纤维价格昂贵，加工温度高，制备难度大，且性能不稳定，阻碍了其实际应用发展。非连续增强MMCs的增强体包括短纤维、晶须及颗粒，其中，颗粒增强金属基复合材料MMCp（(Particles Reinforced Metal Matrix Composite）因具有以下一些优势而逐渐受到关注：可采用传统金属加工设备完成制造，制备工艺相对简单，生产成本低廉；可设计性灵活，可以根据不同的使用性能要求来选择基体以及不同的颗粒作为增强体；所得的复合材料性能各向同性；当高强度、高熔点、低密度、细小的陶瓷颗粒弥散分布于金属基体中，在保证材料具有较好的韧性和高温性能的同时，可较大幅度地提高复合材料的强度、硬度和耐磨性能。可见，颗粒增强金属基复合材料在耐磨材料领域将会有很大的发展应用潜力。

概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析

白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布

统计学论文范文两篇

统计学论文范文两篇 统计学论文范文两篇 统计学论文范文两篇篇一摘要： 随着我国经济的发展，统计思想及统计工作在我国经济发展中的地位越来越重要。本文就统计思想体系及其在统计工作的指导意义进行了讨论。关键词： 统计思想；统计工作；影响在当前我国统计工作中，认清统计的真谛、领会统计思想，对统计本身来讲，有利于提高统计水平和统计工作者的整体素质；对外界而言，有利于树立别的工作及别的理论不能取代和比拟的统计权威。 一、统计思想简述统计思想是指统计工作中应树立的世界观和方法论。哲学上世界观和方法论是基础，是人们行动的指南，也是统计工作中应遵守的指南。这里统计思想是指统计不同于别的学科所特有的世界观和方法论，也是树立统计权威的基础。统计的总体思想使统计始终要站在研究对象的整体角度来看问题，形成了大量观察法和大数定律等一系列认识规律。所谓“站得高，看得远”、“把握大局”也是这种思想的体现。这要求统计工作者在工作中，做到万变不离其宗。因为，总体资料是由作为承担者的个体身上搜集后综合而来的，而个体资料千差万别，有些界限还不好判断。这时就需要站在总体的角度，看哪些符合总体要求，哪些不符合总体要求，避免“旁观者清，当局者迷”，避免偏离统计本身的功能。 二、统计思想的几个方面 1.均值思想。均值是对所要研究对象的简明而重要的代表。均值概念几乎涉及所有统计学理论，是统

计学的基本思想。它告诉我们统计认识问题是从其发展的一般规律来看，侧重点不在总规模或个体，体现了数量观和推断观。均值思想也要求从总体上看问题，但要求观察其一般发展趋势，避免个别偶然现象的干扰，故也体现了总体观。 2.变异思想。统计研究同类现象的总体特征，它的前提则是总体各单位的特征存在着差异。如果各单位之间不存在差异，也就不需要做统计，如果各单位之间的差异是按已知条件事先可以推定，也就不需要用统计方法。统计方法就是要认识事物数量方面的差异。统计学反映变异情况较基本的概念是方差，是表示“变异”的“一般水平”的概念。可以说，均值与方差这两个概念分别起到“隐异显同”和“知同察异”的作用。平均与变异都是对同类事物特征的抽象和宏观度量。 3.估计思想。估计以样本推测总体，是对同类事物的由此及彼式的认识方法。使用估计方法有一个预设： 样本与总体具有相同的性质，样本才能代表总体，但样本的代表性受偶然因素影响，在估计理论对置信程度的测量就是保持逻辑严谨的必要步骤。 4.相关思想。马克思主义哲学认为，事物是普遍联系的，在变化中，经常出现一些事物相随共变或相随共现的情况，总体又是由许多个别事务所组成，这些个别事物是相互关联的，我们所研究的事物总体是在同质性的基础上形成。总体中的个体之间、这一总体与另一总体之间是相互关联的。相关概念表现的就是事物之间的关系。 5.拟合思想。拟合是对不同类型事物之间关系之表象的抽象。任何一个单一的关系必须依赖其他关系而存在，所有实际事物的关系都表现得非常复杂，这种方法就是对规律或趋势的拟合。拟合的成果是模型，反映一般趋势，趋势表达的是“事物和关系的变化

期望 方差公式的证明全集

期望与方差的相关公式的证明 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑ ∞ =1 <∞时， 则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑ ∞ =1 =∞，则数学期望不存在。 [] 1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X

的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学

简述数学期望的性质及其应用

编号：08005110111 师学院2012届毕业生 毕业论文（设计） 题目：简述数学期望的性质及其应用 完成人：xxx 班级：2008-01 学制：4年 专业：数学与应用数学 指导教师：xxx 完成日期：2012-03-31

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 0引言 (1) 1 数学期望的定义 (1) 2 数学期望的性质 (1) 2.1一维随机变量数学期望的性质 (1) 2.2多维随机变量数学期望的性质 (3) 3数学期望的应用 (5) 3.1数学期望在农业中的应用 (5) 3.2数学期望在生活中的应用 (7) 3.3数学期望在经济中的应用 (9) 3.4数学期望在数学中的应用 (11) 参考文献 (12) Abst ract (12)

简述数学期望的性质及其应用 作者：xxx 指导老师：xxx 摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活. 关键词：随机变量；风险概率；数学期望 0引言 概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题. 1数学期望的定义 数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的