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高考数学一轮总复习第一章集合及其运算

知识点最新考纲

集合

了解集合、元素的含义及其关系．

理解集合的表示法．

了解集合之间的包含、相等关系．

理解全集、空集、子集的含义．

会求简单集合间的并集、交集．

理解补集的含义并会求补集.

命题及其关系、充分

条件与必要条件

了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及

其相互之间的关系．

理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并

证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 表示

关系

文字语言符号语言记法

基

本

关

子集

集合A的所有元素都

是集合B的元素

x∈A?

x∈B

A?B或

B?A 真子集集合A是集合B的子A?B，且存在x0∈B，A B

系集，且集合B

中至少

有一个元素不属于A

x0?A 或B A

相等集合A，B的元素完

全相同

A?B，

B?A

A＝B

空集不含任何元素的集

合．空集是任何集合

A的子集

任意x，x??，??A ?

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集图形

语言

符号语言A∪B＝

{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝

{x|x∈A，且x∈B}

?U A＝

{x|x∈U，且x?A}

(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

(3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?．

(4)?U(?U A)＝A；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)；

?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()

(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()

(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()

(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．()

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×

[教材衍化]

1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则()

A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P

解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，

所以a ?P .故选D.

2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则?U (A ∪B )＝________．

答案：{x |x 是直角}

3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．

解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2

＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于

两点??

??22

，

22，????－22，－2

2，则A ∩B 中有两个元素．答案：2 [易错纠偏]

(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．

1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ?A ，则m ＝________．

解析：因为B ?A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.

答案：0或3

2．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ?M ，所以N ＝?或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝1

. 答案：0或1

3．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(?R A )∪B ＝________．

解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，

(?R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．

答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)

集合的含义

(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数

是( )

A ．1

B ．3

C ．6

D ．9

(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92

B ．98

C ．0

D ．0或9

(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝?

??0，b a ，b ，则b －a ＝________．

【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2. 故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98

(3)因为{1，a ＋b ，a }＝?

??0，b a ，b ，a ≠0，

所以a ＋b ＝0，则b

a ＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.

【答案】 (1)C (2)D (3)2

与集合中的元素有关问题的求解步骤

1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( ) A ．1或－1 B ．1或3 C ．－1或3

D ．1，－1或3

解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所

以m 的值为3或1.

2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且

2－x

∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为3

2－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值

分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.

答案：4

集合的基本关系

(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ?B ，A ?C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，

3，8}，则集合A 可以为( )

A ．{1，8}

B ．{2，3}

C ．{0}

D ．{9}

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________．

【解析】 (1)因为A ?B ，A ?C ，所以A ?{B ∩C }＝{1，8}，故选A. (2)因为B ?A ，

所以①若B ＝?，则2m －1

?2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.

解得2≤m ≤3.

由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)A (2)(－∞，3]

1．(变条件)在本例(2)中，若A ?B ，如何求解？

解：若A ?B ，则?????m ＋1≤－2，

2m －1≥5，

即?

????m ≤－3，

m ≥3. 所以m 的取值范围为?.

2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ?A ，

所以①当B ＝?时，即2m －1

②当B ≠?时，?????m ＋1≤2m －1，m ＋1>5

或?

????m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得?????m ≥2，m >4或?

???m ≥2，

m <－12

即m >4.

综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )

A ．P ?Q

B ．Q ?P

C ．?R P ?Q

D ．Q ??R P

解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以?R P ＝{y |y >1}，所以?R P ?Q ，选C.

2．(2020·绍兴调研)设A ＝{1，4，2x }，B ＝{1，x 2}，若B ?A ，则x ＝________．解析：由B ?A ，则x 2＝4，或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2.但当x ＝2时，2x ＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x ＝－2或x ＝0.

答案：－2或0

3．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

解析：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，

所以满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4

集合的基本运算(高频考点)

集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：

(1)求集合间的交、并、补运算；

(2)已知集合的运算结果求参数．

角度一求集合间的交、并、补运算

(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则?U A＝()

A．?B．{1，3}

C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}

(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，

?U A∩B＝()

0，1}，则()

A．{－1}B．{0，1}

C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}

(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1

【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，

所以?U A＝{2，4，5}．故选C.

(2)由题意可得?U A＝{－1，3}，则(?U A)∩B＝{－1}．故选A.

(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1

B＝{x|1

所以A∪B＝{x|－1

又因为A∩B＝{x|1

所以?U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．

【答案】(1)C(2)A(3)(－1，3)(－∞，1]∪[2，＋∞)

角度二已知集合的运算结果求参数

(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()

A．{1，－3} B．{1，0}

C．{1，3} D．{1，5}

(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x

A．－1B．0

C．1 D．2

【解析】(1)因为A∩B＝{1}，

所以1∈B，

所以1－4＋m＝0，

所以m＝3.

由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.

所以B＝{1，3}．

经检验符合题意．故选C.

(2)因为A∪B＝R，

所以m>1.

故m的值可以是2，故选D.

【答案】(1)C(2)D

(1)集合运算的常用方法

①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．

②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?R Q)＝()

A．[2，3] B．(－2，3]

C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，

?R Q＝{x|－2＜x＜2}，

故得P∪(?R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.

2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若?S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，?S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x ＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.

答案：4

核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题

以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．

对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数列”

为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0

(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；

(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99，E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．

【解析】 (1)由已知可得子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.

(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．

【答案】 (1)2 (2)17

解决集合新定义问题的方法

(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1

≤x ≤n }，且M ，N 都是集合

U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．

解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，

可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋3

4＝1时，M ∩N 的“长度”最小．