高中数学(人教A版)必修5同步练习题：必修5 模块综合测评1

模块综合测评(一)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1b B.b a >1 C ．a 2

D ．ab

【解析】 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b

a <0，B 错；a 2＝

b 2，C 错． 【答案】 D

2．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2

D ．a 1＝3，d ＝－2

【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3，

∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10，d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 【答案】 A

3．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )

A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1

D ．2∶3∶1

【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°， ∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶1

2＝2∶3∶1. 【答案】 D

4．在坐标平面上，不等式组?

??

y ≥x －1，

y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为

()

A. 2

B.3 2

C.32

2D．2

【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B，C两点横坐标分别

为－1，1 2.

∴S

△ABC ＝

1

2×2×??

?

?

?

?

1

2－(－1)＝

3

2.

【答案】 B

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π

3，b＝1，△

ABC的面积为

3

2，则a的值为()

A．1 B．2

C.3

D. 3

【解析】根据S＝1

2bc sin A＝

3

2，可得c＝2，由余弦定理得a

2＝b2＋c2－

2bc cos A＝3，故a＝ 3.

【答案】 D

6．等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为()

A．3 B．4

C．5 D．6

【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，

则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，

又∵a2·a6＝a23，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，

∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3

a 2

＝3.

【答案】 A

7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈? ?

???0，12恒成立，则a 的最小值为( )

A ．0

B ．－2

C ．－5

2

D ．－3

【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈? ?

???0，12上恒成立?ax ≥－x 2－1?

a ≥????

??

－? ????x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－? ????

x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.

【答案】 C

8．已知{a n }是等差数列，公差S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )

A ．a 1d >0，dS 4>0 C ．a 1d >0，dS 4<0

【解析】 ∵a 31＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1

＋7d )，展开整理，得－a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2

＝－23d 2<0.

【答案】 B

9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )

A ．189

B ．186

C ．180

D ．192

【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n ， ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，

∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A

10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1

a＋

1

b＋

1

c，则()

A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0

【解析】法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，

则T＝－3

2<0，排除A，C，D，可知选B.

法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，

则T＝1

a＋

1

b＋

1

c＝

ab＋bc＋ca

abc＝

ab＋c(b＋a)

abc＝

ab－c2

abc.

<0，abc>0，故T<0，应选B.

的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b )

B．2

D．1

【解析】由正弦定理得：

a

sin A＝

b

sin B，

∵B＝2A，a＝1，b＝3，

∴

1

sin A＝

3

2sin A cos A.

∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.

∴cos A＝

3 2.

又0＜A＜π，∴A＝π

6，∴B＝2A＝

π

3，

∴C＝π－A－B＝π

2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.

【答案】 B

12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项

【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，

a 1q n －2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q

n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·q ＝64，即(a 2

1

q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.

【答案】 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，的面积等于3

2时，sin C ＝________. 【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.

1

2

14．若变量x ，y 满足约束条件???

x ＋y ≤4，

x －y ≤2，

3x －y ≥0，

则3x ＋y 的最大值是________．

【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．

由???

x ＋y ＝4，

x －y ＝2，

可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.

【答案】 10

15．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．

【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.

【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …

照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.

当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n

2×(3＋2n －1)2＝－

n (n ＋1)

2.

当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)

2.

综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)

2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)

2

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求B 的值．

【解】 由m ⊥n 得

(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，

18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6.

【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8， ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32， ∴b 6＝±4 2.

19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【解】 原不等式可化为

ax 2＋(a －2)x －2≥0?(ax －2)(x ＋1)≥0.

(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0?x ≤－1；

(2)当a >0时，原不等式化为? ??

??

x －2a (x ＋1)≥0?x ≥2a 或x ≤－1；

(3)当a <0时，原不等式化为? ??

??

x －2a (x ＋1)≤0.

①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2

a ； ②当2

a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2

a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为???

???－1，2a ；

当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2

2a ，－1；

当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；

当a >0时，原不等式的解集为20．(本小题满分所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2(1)求△ABC 的周长；(2)求cos A 的值．【解】 (1)∵×1

4＝∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝1

4，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－? ??

??

142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝15

8 ∵a

1－?

????1582＝7

8

. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －

1(n ≥2)．

(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴

a n ＋1＋2a n

a n ＋2a n －1

＝3(n ≥2)，

∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，

(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？

【解】 (1)设生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y

满足???

2x ＋y ≤14，

x ＋3y ≤18，x ≥0，

y ≥0，

作出可行域如图：

当直线5x ＋3y ＝z 过点B ? ????

245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，

B 产品22

5 t 时，可得最大利润．

(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，

又k AB ＝－2，k CB ＝－1

3，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得5

2≤m ≤15，

则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品24

5 t ，B 产品22

5 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品

6 t ，若B 产品利润低于5

2万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t ．