3.能控性与能观性分析
第3章 能控性与能观性分析
教材【1】：《现代控制理论》，俞立编著. 清华大学出版社，2007年4月 主要参考书：
【2】《现代控制理论简明教程》，许世范等，中国矿业大学出版社，1996年1月第1版；
【3】《现代控制理论与工程》，东南大学 王积伟 主编 高等教育出版社，2003年2月第1版，研究生用书。
作业：9087P P -习题3.1；3.3；3.4；3.11；3.12；3.13；3.14；3.25
现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出-输入关系分成两部分：
① 系统的控制输入)(t u 对状态)(t x 的影响—由状态方程描述； ② 系统输出)(t y 与状态)(t x 的关系—由输出方程描述。
1960年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。 ① 能控性：输入)(t u 能否通过“状态方程”引起系统任一状态)(t x i 的变化
)(t x
i ？能控性描述通过输入)(t u 对系统状态)(t x 的控制能力； ② 能观性：系统任一状态)(t x i 的变化能否通过“输出方程”引起输出)
(t y 的变化？或者由输出)(t y 的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状
态变量)(t x
i ，能观性描述通过输出)(t y 对系统状态)(t x 的测辨能力。 3.1 系统的能控性 3.1.1 能控性的定义和性质
系统能控性定义：在初始时刻0t t =时，对系统施加控制)(t u 使系统状态
)(t x 发生变化，并且输出)(t y ,)()()()()(t u t B t x t A t x
+= ，)()()(t x t C t y =，0t t ≥ 如果在有限时间T t t ≤≤0内存在容许（满足∞
t t t u 0
d )(2
）的控制向量
)(t u ，能使此系统从非0的初始状态)(0t x 转移到终态0)(=T x ，则称状态)(t x 在),(0T t 上是能控的，或称在时刻0t 上是能控的。若对系统状态的任一元素均能满足上述条件，则称系统在],[0T t 上是完全能控（简称能控）的。而由0)(0=t x 的0初态，在时间],[0T t 内转移到任意非0的终态0)(≠T x 称为能达性；
对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。（参见图3-1 ）
图3-1 能控性与能达性
系统能控性的基本性质：
状态方程的解 ?Φ+Φ=T
t u B T x t T T x 0
d )()(),(),()(00ττττ （3-1）
根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制)(t u ，使
0d )()(),(),()(0
00=Φ+Φ=?T
t u B T x t T T x ττττ
由此可反解出系统初态 ?ΦΦ-==-T
t u B T t T x t x 0
d )()(),(),()(0100ττττ
由于),(01t T -Φ与积分变量τ无关，可以放到积分号下
?ΦΦ-=-T
t u B T t T t x 0
d )()(),(),()(010ττττ
根据状态的反演性),(),(001T t t T Φ=Φ-和传递性),(),(),(00ττt T T t Φ=ΦΦ
???-=Φ-=-=Φ-T
t
t A t T
t u B u B t x t A 0
0)0(00d )(e d )()(),()(e
),(00τττ
ττττττ对线性定常系统 （3-2）
3.1.2 能控性判据
将τ
A -e
写成有限和形式∑-=-=1
)(e
n k k k A A τατ
代入（3-2）式可得(00=t )
k
T
k n k k T
A u
B A u B x βτ
ττταττ=-=-?∑?-=
?-=]d )()([d )(e
1
????
??
?
??==
---=∑11011
0)...
(n n k n k k
B A AB B
B A
x ββββ
记： ?-=T
k k u 0
d )()(ττταβ
若系统能控，上式就有解，所以对任意向量0x ，其充要条件是能控矩阵满秩。 )...(1B A AB B
n C -=Γ （3-3）
推论：系统是否能控只与输入矩阵B 有关，而与输出矩阵C 以及终端时间无关。 若系统在区间],[0T t 上是完全能控的，那么系统在区间],[T t t b >也一定是完全能控的。即在某一时间段完全能控的系统，在随后的时间段也一定是完全能控的。
线性代数中已经证明，)(rank rank T
C C C ΓΓ=Γ，对单输入系统，C Γ是方阵，而对多输入系统，)(T
C C ΓΓ才是方阵，所以，一个判断能控矩阵是否满秩的方法
是：检验“方阵”行列式C
Γdet 或0)det(??→?ΓΓT C C
如果0)det(≠ΓΓT
C C ，能控性矩阵满秩；
如果0)det(=ΓΓT C C ，则能控性矩阵不满秩。
例3-1(【1】72P 例3.1.3，35P 习题1.8) 判断二阶水槽系统的能控性。
???
?
?????? ??+???? ?????? ??--=???? ??2121
21211210
00
u u b b x x a b a x x 解： 1121111u b x b x a x
++-= 22222u b x a x
+-= 水槽1水位1x 的变化1x
由三个因素决定： 水槽1水位1x 、水槽2水位2x 和阀门1u ；
而水槽2水位2x 的变化2x
由两个因素决定：水槽2水位2x 和阀门2u 。 ???
?
??--==Γ222
211
110
00r a n k
)r a n k (r a n k b a b b b b a b AB B C 由此可见，只有当参数21b b 、都0≠，以上能控性矩阵才是满秩的。此时系统是完全能控的，即当水位高度偏离平衡位置时，可以通过调节两个阀门21u u 、调节水位高度回到平衡位置。故系统是能控的，说明水的输入量能够控制两个水槽的水位12x x 、的变化。
因为图中两个阀门，两个输入。若01=b （相当于01=u ）的同时，2x 对1
x 定理 3.1.1(70P )n 阶线性定常系统)()()(t u B t x A t x
?+?= 完全能控的充要条件是nm n ?能控矩阵n B A AB B
n C ==Γ-)...rank(rank 1满秩！该定理也
适合离散系统。
的影响也没有了，所以此时)(1t x 不能控；若02=b （相当于02=u ），所以)(2t x 不能控。
由上讨论可知：系统的能控性取决于系统的结构),(B A ，阀门的增加或减少
都是在改变系统的结构???
?
??=210
0b b B ，所以，当某个系统不能控，可以通过改变系统结构使系统变成可控的，给汽车增加方向盘和刹车，就是通过改变汽车的结构使汽车由不能控变成能控的。
例3-2(【1】72P 例3.1.4) 判断能控标准型u
x x x a a a x x x
????
? ??+????? ??????? ??---=????? ??10010001032121
321 是否状态完全能控？
解：????
?
??+---==Γ22122211
01
00
rank )rank(rank a a a
a B A AB
B
C
它是一个三角形矩阵，反对角线上的元素均为1，无论21a a 、取何值，矩阵行列式都不等于零，因此“能控标准形”系统总是状态完全能控的。这也可以由以下看出：
)()()()()(012t u t y a t y a t y
a t y +---= ，y x =1 ???
??+---======u x a x a x a y
x x y x x y x
32211033221 当0210===a a a ，仍然有123x
x x u ???→????→????→?引起变化
引起变化引起变化，所以系统状态全部能控！
对给定的)()()(t Bu t Ax t x
+= 状态空间模型，Matlab 给出了系统能控性矩阵的函数 ctrb （A,B ）
因此，对于单输入系统，可根据以下来判断系统的能控性；
det （ctrb （A,B ））0?
=
对于多（单）输入系统可用以下来判断系统的能控性。
det （ctrb （A,B ）*ctrb （A,B ）'）0?
=
此外，无论单输入还是多输入，都可直接用秩函数rank （ctrb （A,B ）判断。 例如，对73P 例3.1.5 执行以下m-文件，可得能控性矩阵的秩=2，小于系统的阶数3，故系统是不能控的。
3]10;022;03[1A =；1]-1;-11;1[2B =；
B))A,rank(ctrb( 2
ans =
线性时变系统的能控性判据
定义能控性Gramian 矩阵 ?ΦΦ=T
t T
T C t B B t T t W 0
d ),()()(),(),(000τττττ （3-4a ）
根据能控性定义，令 0d )()(),(),()(0
00=Φ+Φ=?T
t u B T x t T T x ττττ
上式左乘),(01t T -Φ- 即得：?Φ=-T
t u B t x 0
d )()(),(00ττττ （3-5）
又（3-4a ）两边右乘001),(x T t W C --，等式左边0x -=，右边考虑到001),(x T t W C --与积分变量τ无关可以放到积分号下，得到关系式
?-Φ-Φ=-T
t C T T x T t W t B B t x 0
d ]),(),()()[(),(001000τττττ （3-6）
比较（3-5）、（3-6）两式可得],[0T t 区间控制律为
0010),(),()()(x T t W t B u C T T -Φ-=τττ （3-7a ）
结果表明：
1) 系统],[0T t 能控的充要条件是存在),(01T t W C -，即0),(det 0≠T t W C 满秩； 2) 在时间],[0T t 内将不为0的初态0x 转移到0，所施加的控制，不但随时间而
变，显然控制)(τu 的大小还与初始时间0t 和终态时间T 有关。 对定常连续系统，转移矩阵 )
(00e
),(ττ-=Φt A t
?--=T
t t A
T t A C T
B B T t W 0
00d e )()(e ),()
()(0τττττ 书上74P （3.1.7） （3-4b ）
定理3.1.2（P74）线性连续时变系统)()()()()(t u t B t x t A t x += 、)()()(t x t C t y =在区间],[0T t 内，状态完全能控的充要条件是n n ?能控性矩阵
?ΦΦ=T
t T T C t B B t T t W 0
d ),()()(),(),(000τττττ为非奇异，即0),(det 0≠T t W C
所以，],[0T t 区间控制律为 001)
(),(e
)(0x T t W B u C t A T T ---=ττ 书上83P （3.1.8） （3-7b ）
对时变系统))(),((t B t A ，其能控性判别有几种（在代数上是等价的）。 小结：
1) 若系统是能控的，则对任意时间00>-=?t T t ，Gramian 矩阵（3-4）都是
非奇异的。
2) 若能控性Gramian 矩阵（3-4）是非奇异的，则系统是能控的，而且将闭环
系统的初始状态0x 转移到零状态的一个具体控制信号=（3-7）；进一步，理论上可证明控制律（3-7）是消耗能量最小的控制律。
3) 若系统是能控的，根据结论（2），对任意时间0>?t ，都存在控制信号=（3-7），
使系统从任意初态转移到零终态，其过程可“任意短”的时间内完成。
例3-3（1）判别系统u x x t x x
???
? ??+?
??? ?????? ??=???? ??010002121 的能控性；（2）设系统初始状态???
? ??=110x ，如果要使系统在1=t 时系统转移到0，求出控制律。
解：（1）可以证明，???
?
??=000)(t t A 转移矩阵为 ???
?
??-=
Φ202
21),(2020t t t t ???
?
??-=
Φ20221)0(2τ
τ， 则：能控性矩阵?ΦΦ=T t T T C t B B t T t W 0
d ),()()(),(),(000τττττ
?????
? ??
--=????
??--=???? ??-???? ?????? ??-=??
53
304220
2
22016
161d 224
41d 202)01(01202
41T T T T T T
τττ
ττττ]00[045
1),0(det 6
>≠=
T T T W C ，在区间能控。 （2）?
????
?
??=-T T T T T T W C 3
3561
616120145),0(，???? ??-=Φ20221),0(2
ττT
0335
6201
06
1612014520221)01(),0(),0()()(0x T T
T T T x T W B u C T T t ?????
? ?????? ??--=Φ-=-=ττττ
???? ??---=?????
? ??--=0201222245022425
)301053(4316
61201)2(245
x x T T T T x T
T T T τττ )310530(43)301053(43)(4222250201222245T T T T
x x T T T T u --+=???? ??---
=τττττ当1=T ， )1335(4
3
)(2-=ττu （一维输入，标量） 当1.0=T ，)9703005000(4
3
)(2-=
ττu ， 可见，控制时间↑↑↓)(τu T ，。 以下验证，在该)(τu 控制作用下，确实能使0)(=T x ！
?Φ+Φ==T
t u B T x T T x 0
00
d )()(),()0,()(0ττττ
?
--???
? ?????? ??--???
? ??=T
x T T T T T x T 0
02
222422502d )301053(0120283
20221ττττ ?
??
?
? ??+-+----???? ??=T
x T T T T T T T T T x T 0
04224422462
22245
02d 304010583602010683
20221τττττττ 02022120221833
408383202210202057
5
502≡???? ??-???? ??=?????
?
??-???? ??=x T x T x T T T T x T
由求解过程可知，若系统是能控的，则对任意不为0的0>T ，矩阵都是非奇异的，这意味着系统可以在任意不为0的短时间内，将系统非0初始状态转移到0状态：例如，将空调温度在任意短的时间内从38°调节到25°，一个水位系统可以在任意短的时间内从2米调节到1米等等。这在实际中是行不通的。由所求出的控制)310530(43
)(422225
T T T T
u --+=
τττ知，时间T 越小，要求控制信号的幅度越大，所消耗的能量也越大，而在实际控制过程中执行器的调节幅度（如电动机的功率，阀门的开度）总是有限的，此外还有执行器饱和特性现象。这种理论结果与实际应用有很大差异，具有较大幅值的控制信号在实际中不能得到完全实现，从而不可能使系统具有所希望的特性。正是这些问题的
的存在和提出，不断地推动着控制理论和技术的发展。 3.1.3 能控性的性质
定理3-3 若单输入系统),,(c b A S =是完全能控的，则一定存在一个非奇异变换
Tx x =使系统变为等价的能控标准形),,(c b A S =，且变换矩阵T 可通过下列方
法求得：设b 为n 行列矩阵。
① 先求出n n ?能控性矩阵)...()(1b A Ab b b n C -=Γ；
② 再求出它的逆)(1
b C -Γ（因为能控、满秩，所以有逆）；
③ 取)(1
b C -Γ的最后一行1T (n ?1行向量)构成变换矩阵??????
?
??=-1111n A T A T T T ，于是其
等价的能控标准形系统),,(c b A S =的矩阵分别为
11--===cT c Tb b TAT A
证明：状态方程两边同乘T ，并利用)(1x T x Tx x -==得：
u b x A x
Tbu x T TA Tbu TAx x
T x x
T x
T x +++=≡==
=-=-定义
11
，
x c x cT cx
y x
T x ==-==
-11
比较后面两个等式得： 11
--===cT c Tb b TAT A （3-8）
这种能将任一能控状态空间模型等价变换为“能控标准型”的方法在控制系统设计时很有用，因为这使我们在设计控制系统时，有可能只需考虑“能控标准型”状态空间模型的设计问题。
例3-4（【1】77P 例3.1.6）已知????? ??-=020113021A ，???
?
? ??=112B ，验证),(B A 是能控的，
并求出变换矩阵T ，能将),(B A 等价变换到“能控标准型”),(B A 。
解：矩阵A 的多项式为2920
113
21
3+-=--+---=-λλλ
λλλA I
????? ??==Γ12218611642)()(2b A Ab
b
b C ，????
? ??----=Γ-2010211641481)(1
b C
因为存在逆)(1b C -Γ，故系统满秩，能控。取)(1
b C -Γ最后一行)201(8
1
1-=
T ，
则变换矩阵???
?
? ??---=????? ??---=????? ??=25.05.0625.0025.0125.025.00
125.0245021201812111A T A T T T （书上结果）
????
?
??--=????? ??---=--12316124224502120181
1
T 经“非奇异矩阵T ”变换后，确实可以将系统变换为“能控标准型”：
????
? ??-=????? ??--????? ??-?????
??--==-3133100010
123161242020113021205021201811
TAT A ????
?
??=????? ???????
??---==10011224502120181Tb b ，该结果与书上结果不同，表明有多个结果。
对一个能控的连续时间状态空间模型，其离散化后的离散时间状态空间模型是否仍然保持能控呢？
例3-5（【1】78P 例3.1.7）考虑连续系统u x x x x ???? ??+???? ?????? ??-=???? ??1001021221ω ，判断该系统离散化状态空间模型的能控性。
解：由于连续模型是“能控标准型”的，故连续系统是能控的。
???
?
?
?
-=?????
?
??
++-++=???
? ?
?-=-=Φ-----t t
t t s s s s s s L s s
L A sI L t ωωωωωωωωωωωωcos sin sin cos 11])[()(222
2
2222211
2
1
1
1
设采样周期为T ，根据?==T
AT AT t B H G 0
d e e ，，可得离散化状态方程为
)(sin cos 11)(cos sin /sin cos )()()1(2k u T T k x T T T T k Hu k Gx k x ????
??-+???? ?
?-=+=+ωωωωωωωωωω 能控性矩阵 ???
?
??-+--==Γ)1cos 2(sin sin sin cos cos cos 11),(222T T T T T T T GH H C ωωωωωωωωωω
由此可见，当采样周期满足)21(2 ，，，，===k f
k T k T πω时，第2行全为0，这
表明当离散化状态空间模型的采样周期选择不当时，采样有可能破坏系统的能控性。然而，只要采样周期足够小max
max min 21
2f f k T =
<
采样，max 2f f >采样（香农采样定理：采样频率大于系统最高频率的2倍），就能够使得连续系统的性能得到较好的保持，从而也能保持原系统的能控性。 3.1.4 输出能控性
在控制系统的实际设计中，往往要求对输出实现控制，而状态完全能控的系统并非输出一定是能控的，以下讨论系统的输出能控性问题。 对线性定常连续系统或离散系统
???=+=Cx y Bu Ax x 或 ??
?=+=+]
[][]
[][]1[k Cx k y k Gu k Fx k x （3-9） 定义：如果存在无约束控制函数)(t u （或][k u ），能在有限时间间隔a t t t ≤≤0内（或nT kT ≤≤0），使系统的输出)(t y （或][k y ）从任意给定的初始输出)(0t y （或][k y ）转移到指定的最终输出)(a t y （或][nk y ），那么该系统为输出能控的。 定理3-4对连续线性定常连续系统或离散系统
???=+=Cx y Bu Ax x 或 ??
?=+=+]
[][]
[][]1[k Cx k y k Gu k Fx k x 定义输出能控性矩阵为
)...(1B CA CAB CB W n -= 或 )...(1G CF CFG CG W n -=
则系统输出完全能控的必要条件（并不是充要条件）是W 的秩等于输出变
量的维数p （行满秩）。 p W =rank
（3-10） 例3-6 （【1】79P 例3.1.8）试确定单输入1=m 、单输出1=p 线性离散定常系统的能控性与输出能控性。
)(1-0)()(2110
)1()1(2121k u k x k x k x k x ????
??+???? ?????? ??--=???? ??++，???
?
??=)()()01()(21k x k x k y 解：（1）系统状态能控性矩阵为???
?
??--==Γ1111][],[AB B
B A c ，由于两行成比
例，所以0]),[det(=ΓB A c ，故该系统是状态不能控的。 （2）输出能控阵的秩为p CFG CG
===1)1-1
rank()rank(，故该系
统也是输出能控的。由上可见，“状态能控性”与“输出能控性”之间没有必然的因果关系。 3.2 系统的能观性
能观性定义：系统S ：0)()()()()()()()(t t t x t C t y t u t B t x t A t x
≥=+= ，对初始时刻0t ，存在],[00∞< 如果系统))(),(),((t C t B t A S =，对任意初始时刻J t ∈0都是完全能观测的，则称系统S 是完全能观测的。 系统能观性的基本性质： 将系统状态方程的解 ?Φ+Φ=T t u B T x t T T x 0d )()(),(),()(00ττττ 代入系统输出方程，得到 ?Φ+Φ==T t u B T T C x t T T C T x T C T y 0d )()(),()(),()()()()(00ττττ 即 ?Φ-=ΦT t u B T T C T y x t T T C 0 d )()(),()()(),()(00ττττ （3-11） 对（3-11）式两边左乘)(),(0T C t T T T ?Φ得 ?Φ?Φ-?Φ== Φ?ΦT t T T T T T T u B T T C T C t T T y T C t T x t T T C T C t T 0 d )()(),()()(),()()(),(),()()(),(00000τ τττ 改写成： ?Φ?Φ-?Φ== Φ?Φt t T T T T T T u B t t C t C t t t y t C t t x t t t C t C t t 0 d )()(),()()(),()()(),(),()()(),(00000τ τττ 对上式再进行积分 ? T t t 0 d =Φ?Φ ?t x t t t C t C t t T t T T d ),()()(),(0 000 )](),([?00d d )()(),()()(),(d )()(),(000t u t y x T t t t T T T t T T t u B t t C t C t t t t y t C t t 记为????? ????Φ?Φ-?Φ=ττττ（3-12） 定义能观性Gramian 矩阵 ? Φ?Φ= T t T T O t C C t T t W 0 d ),()()(),(),(000τττττ （3-13a ） t u B t t C t C t t t t y t C t t T x T t t t T T T t T T d d )()(),()()(),(d )()(),()(?00000????? ????Φ?Φ-?Φ=ττττ （3-14） （3-14）第1项由)(t y 确定，第2项由)(t u 确定，故（3-14）是由)(t y 、)(t u 确 定的“列向量”，记为))(),((t u t y x 于是（3-12）可写成： )(?),(00T x x T t W O =?????→?非奇异 若),(0T t W O )(),(01 0T x T t W x O -= （3-15） 对定常连续系统，转移矩阵 )(00e ),(t A t -=Φττ ? --?= T t t A T t A O C C T t W T 00d e )()(e ),()() (0τττττ （3-13b ） （3-15）式【书上83P （3.2.6）】表明，只要可观性Gramian 矩阵),(0T t W O 是 非奇异的，初始状态0x 就可由))(),((t u t y x 所唯一确定，因此状态0x 就是在] ,[0T t 上能观测的。 线性时变系统的能观性判据 对时变系统))(),((t C t A ，其能观性判别有几种，他们在代数上是等价的。 例3-8 判别系统u x x t x x ???? ??+???? ?????? ??=???? ??010002121 ，??? ? ??=21)10(x x y 的能观性 解：已经求出，??? ? ??-=???? ??-+???? ??=Φ202210)(00 211001),(2022020t t t t t t ??? ? ??= Φ???→?==202 21)0(20 ,0τττ，t t 则能观性矩阵 ?ΦΦ=T T T O C C T W 0 d )0()()()0(),0(τττττ，， 定理3-6线性连续时变系统)()()()()(t u t B t x t A t x += ，)()()(t x t C t y =在区间],[0T t 内，状态完全能观的充要条件是n n ?能观性矩阵（Gramian 矩阵）?Φ?Φ=T t T T O t C C t T t W 0d ),()()(),(),(000τττττ为非奇异,即 0),(det 0≠T t W O ? ???? ? ??=???? ? ?=???? ?????? ????? ? ??=?? T T T T T T 43 2325141d 42241d 20221)10(1020221335 0224 22 τττττττ∴ ]0,0[045 1),0(det 6 >≠= T T T W O 在区间能观。 定理3-5表明：系统是否能观只与输出矩阵C 有关，而与输入矩阵B 和终端时间无关。 ◆ 推论：若系统在区间],[0a T t 上是完全能观的，那么对于系统在区间],[b a T t 也 一定是完全能观的。 例3-9（【1】82P 例3.2.3） 判断1312P P -倒立摆系统的能观性，kg M 1=，kg m 1.0=，2/81.9s m g =，m l 1=，此时倒立摆系统的状态空间模型参数矩阵为：# ?????? ? ??=θθ y y x ，???? ??? ??-=??????? ? ? ?+- =011001000 010000 1 00)(0 010******** Ml g m M M mg A ，?????? ? ??-=???????? ??-=10101010Ml M B ， 解：4=n ，)0001(=C u u x x x x u y u u x x y y y x x -=-====+-=+-=+====θθ θθθθθ1111-34433221 n CA CA CA C O ==???? ? ? ? ??--=??????? ??=Γ411 11rank rank rank 32 此系统是（完全）能观的。 ◆ 讨论1：由)0001(=C 知道，系统的测量信号是小车的位移)(t y ，通过 定理3-5(82P 定理 3.2.1)n 阶线性定常系统)()()(t u B t x A t x ?+?= ，)()(t Cx t y =完全能观的充要条件是能观性矩阵????? ? ? ??=Γ-1n O CA CA C （n pn ?矩阵）是满秩的。n O =ΓRank “有限次”测量不但可以直接测得小车的位移)(t y ，还可以测量出小车的速 度y 、加速度y 以及y 等，系统的能观性表明，此时可以由小车的加速度y 以及y 等确定摆杆的角位移u y +-= θ和角速度u y +-=θ等信息。 讨论2：现在重新指定角位移θ为系统的输出，此时观测矩阵C 阵变为 )0100(='C ，能观性矩阵为 211000********* 0100 rank rank rank 32=?? ? ? ? ? ? ??=??????? ??''''=ΓA C A C A C C O ，此时系统是不（完全）能 观的。)0100(='C 表示可通过直接测量得到小车的角位移)(t θ，以及 一系列的对小车的角位移)(t θ测量得到小车的角速度)(t θ ，但是通过测量小车的角位移)(t θ，只能得到小车的加速度u y +-=θ ，却不能得到小车的速度，更不能得到小车的位移y 。 由上讨论可知：系统的能观性取决于系统的结构),(C A ，选择不同的观测量，相当于改变系统的结构C ，所以，当某个系统不能观，可以通过重新选择观测量（或者改变系统结构）使系统变成可观的。又例如，给汽车增加里程表和油表，就是通过改变汽车的结构使汽车的行驶里程和油量由不能观变成能观的。 利用Matlab 求解系统的能控性与能观性（补充或自学） Matlab 提供了ctrb 函数求能控矩阵，提供了obsv 函数求能观矩阵。 函数 功能 句法 说明 ctrb 求能控矩阵 B)ctrb(A,M = ctrb(sys) M = A ：n n ?矩阵，B ：m n ?矩阵 )B A B A AB B (M 1n 2-= 若n =Rank(M)，则系统能控 obsv 求能观矩阵 C)obsv(A,N = obsv(sys) N = A ：n n ?矩阵，C ：n p ?矩阵 T )CA CA CA C (N 1n 2-= 若n =Rank(N) ，则系统能观 例3-10：判别线性连续系统x y u x x )01(101211=??? ? ??+???? ??--= 的能控和能观上述讨论表明，适当选取输出量，可以使系统既能控又能观。利用能观性理论可以指导工程实践问题，通过分析可以帮助人们合理、有效的安排系统的 输出量或观测点，以实现控制目标。 性。 解:(1)判别系统的能控性，在Matlab 中输入如下命令 >>；；；1][0B ]1,2;1,1[=--=A >>Rank(M)n B),ctrb(A,M == 得 =M 111 0- =n 2 可见，n M ==??? ? ??-=21110rank rank ，系统状态能控。 （2）判别系统的能观性，在Matlab 中输入如下命令 >>；；[1,0]C ]1,2;1,1[=--=A >>rank(N)rN C),obsv(A,N == 得 =N 110 1 =rN 2 可见，n N ==???? ??=21101rank rank ，系统状态能观。 3.3 能控性与能观性的对偶关系（略，参见补充资料） 3.4 基于传递函数的能控能观性条件 能控性能观性描述系统内部特性，传递函数描述系统外部特性。他们的关系如何呢？ 例3-12（【1】85P 例3.4.1）线性时不变系统，其能控标准形和能观标准形分别 为u x x ??? ? ??+???? ??--=103.14.010 ，x y )18.0(=； u x x ??? ? ??+???? ??--=18.03.114.00 ，x y )10(= 证明（1）能控不能观、（2）能观不能控，并解释这同一系统的不同状态空间模型描述所带来的能控性和能观性方面的显著差异的原因。 解：（1）是能控标准型，故是能控的，但05.04.018 .0det det =???? ??--=???? ??CA C ，故系统不能观； （2）是能观标准形，故是能观的，但()05.014.08.0det det =??? ? ??--=AB B ，故系 统不能控。 为什么同一系统的不同状态空间模型描述会出现能控性和能观性的显著差异？ )5.0)(8.0(8 .0103.14 .01)18.0()()(1 1+++=??? ? ????? ? ? ?+-=-=--s s s s s B A sI C s G )5.0)(8.0(8 .018.03.114.0)10()()(1 1+++=??? ? ??? ?? ? ??+-=-=--s s s s s B A sI C s G 注意到传递函数分子分母有一个公因式，出现了“传递函数的零极相消”现象，正是这种现象导致系统的能控性、能观性、或者能控能观性的缺失，至于缺失的究竟是能控性、能观性、或者能控能观性则取决于状态变量的选取。 ??? ? ??++=???? ????? ? ? ?+-=-=--s s s s s B A sI s G AB 1)5.0)(8.0(1 103.14 .01)()(1 1 ) 5.0()8.0() 8.018.0(3.14 .01)18.0()()(1 1 ++++= ??? ? ??+-=-=--s s s s s s A sI C s G CA 我们看到：“输入→状态”传递函数B A sI 1)(--不存在相消因子，能控；而“状态→输出”传递函数1)(--A sI C 存在相消因子8.0+s ，因而出现不能观。 对于S 系统： ??? ? ??++++=???? ??? ??? ??+-=-=--8.018.0)5.0()8.0(1 18.03.114.0)()(1 1s s s s s s B A sI s G B A ) 5.0)(8.0() 1(3.114.0)10()()(1 1 ++= ? ?? ? ??+-=-=--s s s s s A sI C s G A C 我们看到：“输入→状态”传递函数B A sI 1)(--存在相消因子8.0+s ，出现不能控；“状态→输出”传递函数1)(--A sI C 不存在相消因子，能观。 下面以对角标准形状态空间模型的特例进行分析。 x y u x x )(321 32132 1βββαααλλλ=??? ? ? ??+????? ? ?= （3-16） （1）“输入→状态”传递函数B A sI 1)(--出现零极相消-系统不能控。 对角矩阵之“逆”等于矩阵元之逆：???? ? ??=?? ? ? ? ??---1111 1n n a a a a ?????? ?? ? ??---=????? ????????? ?? ? ?---=--33 2 21132132 1111 1 )(λαλαλααααλλλs s s s s s B A sI （3-17） 要使21λλ，和3λ是传递函数（3-17）的极点，即传递函数（3-17）中不能存在零极点相消，当且仅当0≠i α。而系统（3-16）能控的充要条件是0≠i α，因此对角系统（3-16）是能控的充要条件是传递函数（3-17）中不存在零极点相消，反之，若传递函数（3-17）中出现零极点相消，则系统（3-16）就是不能控的。 （2）“状态→输出”传递函数1)(--A sI C 出现零极相消-系统不能观。 ??? ? ? ?---=????? ??? ? ? ?---=--332 2 1132 132 1111 1 )()(λβλβλ βλλλβββs s s s s s A sI C （3-18） 对角系统（3-16）是能观的充要条件是传递函数1)(--A sI C 中不存在零极点相消，当且仅当0≠i β。而系统（3-16）能观的充要条件是0≠i β，反之，若传递函数1)(--A sI C 中出现零极点相消，则系统（3-16）就是不能观的。 （3）“输入→输出”传递函数B A sI C 1)(--出现零极相消—不能控或不能观，或既不能控也不能观。 ∑=--= -=3 11 )()(i i i i s B A sI C s G λβα （3-19） 要使21λλ，和3λ是传递函数（3-19）的极点，即传递函数（3-19）中不存在零极 点相消，当且仅当0≠i α、0≠i β。而系统（3-10）能控的充要条件是0≠i α、能观的充要条件是0≠i β，因此对角系统（3-16）是能控、能观的充要条件是传递函数（3-19）中不存在零极点相消，反之，若传递函数（3-19）中出现零极点相消，则系统（3-16）就是不能控、不能观、或者不能控不能观的。 实验十 系统能控性与能观性分析 一、实验目的 1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解； 2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。 二、实验设备 同实验一。 三、实验内容 1. 线性系统能控性实验; 2. 线性系统能观性实验。 四、实验原理 系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。则称系统是能控的。 系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。 对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中 4 32 1R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量 i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。即系统能观的。 反之，当 4 32 1R R ＝ R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制， u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。 1.1 当 4 32 1R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ? ??? ? ??+? ??? ???????? ??+++-+- +- ? ?+- +- +++- =???? ??01)11(1)( 1 ) ( 1)( 14321434 3212 14 342 124 3432 121 (10-1) y=u c =[0 1] ??? ? ? ??c L u i (10-2) 由上式可简写为 bu Ax x += cx y = 式中???? ??=C L u i x ???? ?? ? +++- +-+- ? ?+-+-++ +-=)11( 1)( 1 )( 1)( 1 432 1434 3212 14 342 124 343212 1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A 实 验 报 告 课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 学号 同组人 实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌 握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结 果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 s s s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。 （d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。 []x y u x x 0525,100050250100010-=????? ?????+??????????-= 实 验 报 告 课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号 实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的最小实现； 3、进行状态反馈系统的极点配置； 4、研究不同配置对系统动态特性的影响。 二、实验内容 1.能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++= s s s a s s G ， 当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，?? ??? ?????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101 )(2 3++++=s s s s s G 的最小实现。 2.实验内容 原系统如图1-2所示。图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。 图1-2 系统结构图 试设计状态反馈矩阵 ,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求: (1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤20%，ts≤1秒。 (2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤5%，ts≤0.5秒。 状态反馈后的系统，如图1-3所示： 第五章能控性和能观性 5－1 离散时间系统的可控性 定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为： ……………………………………………………………（5－1） 其中 X(k)__n维状态向量； u(k) __1维输入向量； G__n×n系统矩阵； h__n×1输入矩阵； 如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。 定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵： 的秩等于n，即： ……………………………………（5－2） 【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解： ……………………………………………………（5－3） 因为X(n)＝0，所以： 写成矢量形式： …………………………………（5－4） 从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵 满秩，即 【例5－1】设离散系统状态方程为： 判断系统的可控性。 解： M是一方阵，其行列式为： 所以系统能控判别阵满秩，系统可控。 定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为： ………………………………………………………（5－5） 其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵 的秩等于n。 （证略）。 第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据 一：能控性概念 定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 二：线性定常系统能控性判据 设系统动态方程为： x 2不能控 y 2则系统不能控 ，若2121,C C R R ==?? ?+=+=Du Cx y Bu Ax x 设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得： 即： 由凯莱-哈密尔顿定理： 令 上式变为： 对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： ?-+=f t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ??---=--=-f f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0 1)()()()()()()0(τ ττφφτττφφ?--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1 )()(n k k k A A e τατφτ ∑??∑-=-=-=-=1 01 )()()()()0(n k t k k t n k k k f f d u B A d Bu A x τ τταττταk t k u d u f =? )()(ττταU Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k k -=???? ? ?? ?????????-=-=--=∑ 321121 ],,,[)0( 实验三利用Matlab分析能控性和能观性 实验目的：熟练掌握利用Matlab中相关函数分析系统能控能观性、求取两种标准型、系统的结构分解的方法。 实验内容： 1、能控性与能观性分析中常用的有关Matlab函数有： Size(a,b) 获取矩阵的行和列的数目 Ctrb(a,b) 求取系统能控性判别矩阵 Obsv(a,c) 求取能观性判别矩阵 Rank(t) 求取矩阵的秩 Inv(t) 求矩阵的逆 [abar,bbar,cbar,t,k]=ctrbf(a,b,c) 对系统按能控性分解，t为变换阵，k为各子系统的秩[abar,bbar,cbar,t,k]=obsvf(a,b,c) 对系统按能观性分解 2、利用Matlab判定系统能控性和能观性 A、求取判别矩阵的秩，而判别矩阵可用两种方法得到： M=ctrb(a,b) 或者M=[b,a*b,a^2*b,……] B、将系统变换为对角线型或者约当标准型，根据结果直接判断。化为标准型可以使用第 一次实验中介绍的ss2ss、canon等函数。 3、化为能控标准型和能观标准型 如：>> a=[1 0 1;0 1 0;1 0 0]; >> b=[0 1 1]'; >> c=[1 1 0]; >> m=ctrb(a,b) m = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 >> n=length(a);tc1=eye(n);tc2=eye(n); >> tc1(:,1)=m(:,3) tc1 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,2)=m(:,2) tc1 = 1 1 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,3)=m(:,1) tc1 = 1 1 0 1 1 1 1 0 1 >> qc=rank(m) qc = 3 >> den=poly(a) den = 1.0000 - 2.0000 0.0000 1.0000 >> tc2(2,1)=den(2) tc2 = 1 0 0 -2 1 0 0 0 1 >> tc2(3,2)=den(2);tc2(3,1)=den(3) tc2 = 1.0000 0 0 -2.0000 1.0000 0 0.0000 -2.0000 1.0000 >> tc3=tc1*tc2;tc4=inv(tc3); >> a1=tc4*a*tc3 a1 = -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 >> b1=tc4*b b1 = 0.0000 1.0000 >> c1=c*tc3 c1 = -2.0000 0 1.0000 参照该例，掌握其他标准型的求解办法。 4、系统的结构分解 A 、 找到变换矩阵c R 或者o R ，利用线性变换进行结构分解。 第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲) 内容介绍： 能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。 能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念， 是回答：“输入能否控制状态的变化”及 “状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。 换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。 能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。” 一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出） 若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系 统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。 这说明： 输入对状态的控制能力强，反之若 G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就 无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。 可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。 1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ ξ t t ,0）（0 t t ?ξ） 和定义在 []ξ t ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。 则称系统在时刻是状态能控的。 如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。 ()x u x 01011012=??? ? ??+???? ??-=考查能控性？ 状态变量图（信号流图）： y 2 由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。 某一状态不能控，则称系统不能控。 2．判据： u 1 ： y 1 ： 对线性定常系统=Ax+Bu ， 若对某一时刻能控，则称系统完全能控。 设： p 输出 n n A *、p n B *、n m C * 给出一定理： 由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为 下列n ×np 阵的秩等于n 。 =B AB ……B A n 1 -称为能控性阵。 换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。 定理证明可参考书。 状态完全能控称“（A ，B ）能控” 例： u x x ???? ??-+???? ??--=42314310 224310 ?? ??? ??--=A 则系统为二阶 ，n=2 B AB ……B A n 1 -=????? ?-AB )B (4231=??? ???---7114342 3 1 rankB AB]=2=n 4 231 ≠-有二阶子式 秩的确定：最高阶不为0子式的阶次 可知：系统的状态能控，称（A ，B ）能控 信号流图： 顺便： 计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便： rank()=rank(T c c Q Q )T c c Q Q 为方阵其秩计算较简单。 利用判定能控性方法被广泛采用。 新出现的PBH 秩检验法也可用于能控性判别。 =Ax+Bu y=cx 第三章 线性控制系统的能控性和能观性 注明：*为选做题 3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？ （1）系统如图所示。 题3-1（1）图 系统模拟结构图 （2）系统如图所示。 题3-1（2）图 系统模拟结构图 （3）系统如下式： 1122331122311021010000200000x x x a u x x b x x y c d x y x ?????-?????? ? ??? ? ?=-+ ??? ? ? ??? ? ?-?????? ??? ?????? ?= ? ? ????? ??? 3-2* 时不变系统： 311113111111x x u y x ? -????=+ ? ?-??????= ?-?? 试用两种方法判别其能控性与能观性。 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数,i i αβ。 （1）0∑()1201,,1101A b C αα????===- ? ????? （2） ()230021103,,001014A b C ββ???? ? ?=-== ? ? ? ?-???? 3-4* 线形系统的传递函数为： ()()32102718 y s s a u s s s s +=+++ （1）试确定a 的取值，使系统为不能控或不能观的。 （2）在上述a 的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。 （3）在上述a 的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 3-5* 试证明对于单输入的离散时间定常系统(,)T G h =∑，只要它是完全能控 的，那么对于任意给定的非零初始状态0x ，都可以在不超过n 个采样周期的时间内，转移到状态空间的原点。 3-6 已知系统的微分方程为： 61166y y y y u ?????? +++= 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 3-7 已知能控系统的状态方程A,b 阵为： 121,341A b -????== ? ????? 试将该状态方程变换为能控标准型。 3-8已知能观系统的状态方程A,b ，C 阵为： ()112,,11111A b C -????===- ? ????? 试将该状态空间表达式变换为能观标准型。 3-9 已知系统的传递函数为： 2268()43 s s W s s s ++=++ 3.1 线性定常系统的能控性 线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态 空间结构的关系。 第一节线性定常系统的能控性 能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）： 一、离散系统的状态可控性 引例设单输入离散状态方程为： 初始状态为： 用递推法可解得状态序列： 可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从 初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制， 便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。 设单输入离散系统状态方程为： (3-1) 式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其 幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩 阵：表示离散瞬时，为采样周期。 初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方 便，且不失一般性地假定。 单输入离散系统状态可控性定义如 下： 实验六 系统能控性与能观性分析 一、实验目的 1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解； 2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。 二、实验设备 同实验一。 三、实验内容 1. 线性系统能控性实验; 2. 线性系统能观性实验。 四、实验原理 系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。则称系统是能控的。 系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。 对于图6-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中 4 3 21R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。即系统能观的。 反之，当 4 3 21R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。 1.1 当4 321R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ??? ? ? ??+???? ??????????+++-+-+- ??+-+-+++-=???? ??01)11(1)(1) (1)( 143214343212 14342124343212 1 (6-1) y=u c =[0 1] ??? ? ? ??c L u i (6-2) 由上式可简写为 bu Ax x += cx y = 式中???? ??=C L u i x ???? ? ?? +++-+- +- ? ?+-+-+++-=)11(1)( 1)(1)(14321434 32121434212 4343212 1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A 信控学院上机实验 实验报告 课程自动控制原理实验日期12 月26 日 专业班级姓名学号 实验名称系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。 系统的能观测性、能控性分析；、12、系统的最小实现； 3、进行状态反馈系统的极点配置； 4、研究不同配置对系统动态特性的影响。 二、实验内容 1.能控性、能观测性及系统实现 （a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral； s?a?)G(s，）已知连续系统的传递函数模型，b（32?27s?18ss?10当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； 页共页第 信控学院上机实验 6.666?10.6667?0.33330?????????11A1?B0已知系统矩阵为（，，c）????????0121??????，判别系统的能控性与能观测性；21?C0s?1?s)G(的最小实现。）求系统（d 32?27s10s?s18? 2.实验内容是可以测量的状态变量。和原系统如图1-2所示。图中，XX21 图1-2 系统结构图 试设计状态反馈矩阵使系统加入状态反馈后其,: 动态性能指标满足给定的要求 (1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤20%，ts≤1秒。 (2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤5%，ts≤0.5秒。 状态反馈后的系统，如图1-3所示： 页共页第 信控学院上机实验 状态反馈后系统结构图1-3 图并检验系统分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，的动态性能指标是否满足设计要求。 三、实验环境台；1、计算机1套。MATLAB6.5软件12、 四、实验原理（或程序框图）及步骤、系统能控性、能观性分析1 设系统的状态空间表达式如下：?xBuAx???pnm Ryx?R?uR??DuCxy???（1-1）×为p×m维输入矩阵；C为×其中A为nn维状态矩阵；Bn 0。维传递矩阵，一般情况下为为n维输出矩阵；Dp×m(1-2)系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式所示：页共页第 信控学院上机实验 num((s)?1D?sI?(s)?A)B?C(G)sden((1-2) num)(s中，式(1-2)表示传递函数阵的分子阵，其维数是p×)(sden降幂排列的 后，各表示传递函数阵的分母多项式，按s；m 项系数用向量表示。系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。,1-1）系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（）内，t-t 若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（01，则称此状态)x(tx(t)转移至预期的终端能把任一给定的初态10是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。种：一般判别和直接判别法，后2状态能控性判别方法分为是对角标准形或约当标准形的系统，状A者是针对系统的系数阵态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。状态能控性判别式为： ??1?n BRankB?RankQABAn??c）（1-3,1-1）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（?的测量值，y(t)]上的t 第3章 能控性与能观性分析 教材【1】：《现代控制理论》，俞立编著. 清华大学出版社，2007年4月 主要参考书： 【2】《现代控制理论简明教程》，许世范等，中国矿业大学出版社，1996年1月第1版； 【3】《现代控制理论与工程》，东南大学 王积伟 主编 高等教育出版社，2003年2月第1版，研究生用书。 作业：9087P P -习题3.1；3.3；3.4；3.11；3.12；3.13；3.14；3.25 现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出-输入关系分成两部分： ① 系统的控制输入)(t u 对状态)(t x 的影响—由状态方程描述； ② 系统输出)(t y 与状态)(t x 的关系—由输出方程描述。 1960年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。 ① 能控性：输入)(t u 能否通过“状态方程”引起系统任一状态)(t x i 的变化 )(t x i ？能控性描述通过输入)(t u 对系统状态)(t x 的控制能力； ② 能观性：系统任一状态)(t x i 的变化能否通过“输出方程”引起输出) (t y 的变化？或者由输出)(t y 的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状 态变量)(t x i ，能观性描述通过输出)(t y 对系统状态)(t x 的测辨能力。 3.1 系统的能控性 3.1.1 能控性的定义和性质 系统能控性定义：在初始时刻0t t =时，对系统施加控制)(t u 使系统状态 )(t x 发生变化，并且输出)(t y ,)()()()()(t u t B t x t A t x += ，)()()(t x t C t y =，0t t ≥ 如果在有限时间T t t ≤≤0内存在容许（满足∞实验十 系统能控性与能观性分析
系统的能控性、能观测性、稳定性分析
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
能控性和能观性
(整理)控制系统的能控性和能观测性
实验三 利用Matlab分析能控性和能观性
能控性及能观测性
线性控制系统的能控性和能观性
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
指导书系统能控性与能观性分析
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置要点
3.能控性与能观性分析