1 解 设0a 为任一不为零的数，不妨设00>a 。取0>δ，使00>-δa 。下面证明积分I 在),(00δδ+-a a 内一致收敛。事实上，当∈a ),(00δδ+-a a 时，由于
2
210x
a a
+<
2200)(1x a a δδ-++<， 且积分
dx x a a ?
∞
+-++0
2
200)(1δδ
收敛，故由Weierstrass 判别法知积分
dx x
a a
?
∞
++0
2
21 在),(00δδ+-a a 内一致收敛，从而在0a 点一致收敛。由0a 的任意性知积分I 在每一
个0≠a 处一致收敛。
下面说明积分I 在0=a 非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域),(δδ-有：
0>?A ，有
)0(1120
22>+=+??
∞+∞
+a t
dt dx x a a
aA 。 由于
??
∞+∞
++→=
+=+02202
11lim
π
t dt t dt aA
a ， 故取2
0π
ε<
<，在),(δδ-中必存在某一个00>a ，使有
ε>+?
∞
+|1|2
aA
t dt
， 即
ε>+?
∞
+|1|2
200A
x
a dx
a
因此，积分I 在0=a 点的任何邻域),(δδ-内非一致收敛，从而积分I 在0=a 时非一致收敛。
2．解 当0≠y 时，被积函数是连续的。因此，)(y F 为连续函数。 当0=y 时，显然有0)0(=F 。
当0>y 时，设m 为)(x f 在]1,0[上的最小值，则0>m 。由于
y arctg m dx y
x y m y F 1
)(1
2
2?=+≥?
及
2
1lim 0
π
=+→y arctg
y ， 故有
02
)(lim 0
>≥
+→π
m y F y 。 所以，)(y F 当0=y 时不连续。
（三十三）数学分析试题（二年级第一学期）
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1叙述二重积分的概念。 2 叙述Gauss 公式的内容。 3 叙述Riemann 引理。
二 计算题（每小题10分，共50分）
1．求球面502
2
2
=++z y x 与锥面2
2
2
z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。
2．求平面0=z ，圆柱面x y x 22
2=+，锥面22y x z +=
所围成的曲顶柱体的体积。
3．计算三重积分
???++=V
dxdydz z y x I )(。
其中 10,10 ,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。
4 利用含参变量积分的方法计算下列积分
dx e x ?
+∞
∞
--2
。
5 计算
??
++M
dxdy z dzdx y dydz x ,3
33 其中M 为上半椭球面 ),0,,(0,12
2
2222>≥=++c b a z c z b y a x 定向取上侧.
三 证明题（每小题10分，共20分）
1．若1≥n 及,0 ,0≥≥y x 证明不等式.22n
n n y x y x ??
?
??+≥+
2．证明
dx x
xy
?
∞
+0
sin 关于y 在)0( ] ,[+∞<<
数学分析试题（二年级第一学期）答案
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1．设Ω为2R 上的零边界区域，函数),(y x f z =在Ω上有界。将Ω用曲线网分成n 个小区域n ?Ω?Ω?Ω,...,,21（称为Ω的一个分划），记i σ?为i ?Ω的面积，并记所有的小区域i ?Ω的最大直径为λ。在每个i ?Ω上任取一点),(i i ηξ，若λ趋于零时，和式 i
n
i i
i
f I σ
ηξ?=
∑=1
),(
的极限存在且与区域的分法和点),(i i ηξ的取法无关，则称)(x f 在Ω上可积，并称此极
限为),(y x f 在有界闭区域Ω上的二重积分，记为
i
n
i i
i
f d y x f I σηξσλ
?==
∑??=Ω
→1
),(lim ),(。
2．设Ω是3R 中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数
),,(z y x P ，),,(z y x Q 和),,(z y x R 在Ω上具有连续偏导数。则成立等式
?????Ω
?Ω++=????
????+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，
这里Ω?的定向为外侧。
3．设函数)(x ψ在],[b a 可积且绝对可积，则成立 ?=
+∞→b
a
p pxdx x sin )(lim
ψ0cos )(lim
=?+∞→b
a
p pxdx x ψ。
二 计算题（每小题10分，共50分）
1 求球面502
2
2
=++z y x 与锥面2
2
2
z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。
解 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=。它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：
,6=??x F ,8=??y F
,10=??z
F
,6=??x G ,8=??y G
,10-=??z
G 和
160),(),(-=??z y G F ， 120),(),(-=??x z G F ， 0)
,()
,(=??y x G F 。
所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：
5
12041603-=
-=--z y x ， 即
?
?
?==-+-.5,
0)4(4)3(3z y x 法平面方程为
0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ， 即
034=-y x 。
2 求平面0=z ，圆柱面x y x 22
2=+，锥面22y x z +=
所围成的曲顶柱体的体积。
解 其体积??
+=
D
dxdy y x V 22，其中x y x D 2 :22≤+。设??s i n ,c o s r y r x ==。
2
2
,cos 2 :π
?π
?≤
≤-
≤r D 。故
.9
32sin )sin 1(3
8 cos 3
8
22
2
2
2
3cos 20
22
2
2
2=-=
=
=
+=
?
??
?
??
-
-
-
π
ππ
π
?
π
π
???
??
d d dr
r d dxdy y x V D
3 解
????????????=+=++=++=++=++=++1010102
1
01
01
01
021
01
01
01
0.23)1(|]2)21[()21(|]2)[()()(dx x dx y y x dy y x dx dy z z y x dx dz z y x dy dx dxdydz z y x V
4 解： 首先，令dx e I x ?
+∞
∞
--=
2
，则dx e I x ?+∞
-=0
2
2，在积分dx e x ?+∞
-0
2
中，再令
ut x =，其中u 为任意正数，即得. 20
2
22
dx e u dx e
I t u x ??+∞
-+∞
-==再对上式两端乘以
du e u 2
-，然后对u 从0到∞+积分，得
??+∞
-+∞
-=0
2
.42
22
dt ue du e
I t u u
注意到积分次序可换，即得
.12440
2
)1(0
02
2
2
2
22
π=+===?
????∞+∞+∞
++-+∞
-+∞
-t
dt
udu
e dt dt
ue du e
I u t t u u
由于,0>I 故.π=I
5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为
.2
0,20,cos ,cos sin ,cos sin π
?πθ?θ?θ?≤
≤≤≤===c z b y a x
易得
,cos sin )
,()
,(2θ?θ?bc z y =??
,sin sin )
,()
,(2θ?θ?ac x z =??
,cos sin )
,()
,(2θ?θ?ba y x =??
因此
).(5
2
)cos sin sin sin cos sin (22234532
/0
20
453333c b a abc d ab c ac b bc a d dxdy z dzdx y dydz x M
++=++=++?
???πθ??θ?θ??ππ
三 证明题（每小题10分，共20分）
1．证明 考虑函数2
n
n y x z +=在条件)0 ,0 ,0( ≥≥>=+y x a a y x 下的极值问题，
设
).()(2
1),(a y x y x y x F n n
-+++=
λ 解方程组
?????
???
?=-+=??=+=??=+=??--002
0211
a y x F y n y F x n x F n n λ
λλ 可得.2a y x ==从而.222n
n
n n y x a y x ??
? ??+=??? ??≥+如果0==y x 时，则结论显然成立. 2．证明 首先证
dx x
xy
?
∞
+0
sin 在] ,[b a 上一致收敛. 由于 ], ,[ ,0 ,2
2)cos(1sin 0
b a y A a
y y Ay xydx A
∈≥≤≤-=
?
因而一致有界，而x /1是x 的单调减少函数且,01
lim
=+∞→x
x 由于x /1与y 无关，因此这个极
限关于y 是一致的，于是由Dirichlet 判别法知dx x
xy
?∞+0sin 在] ,[b a y ∈上一致收敛.
再证dx x
xy
?∞+0sin 在) ,0(∞+上非一致收敛. 对于正整数n ，取n y /1=，这时
.32
sin 32
/sin
sin
2/32/32/3π
π
π
π
π
π
π
π
=>=???n n
n n
n n
dx n x n dx x n x dx x
xy
只要取,32
0π
ε=
则对于任意,0A 总存在正整数n 满足,0A n >π 取n y /1=，这时成立 .32
sin
02/3επ
π
π
=>?n n
dx x xy 由Chauchy 收敛原理知dx x
xy
?
∞
+0
sin 在) ,0(∞+上非一致收敛.
（三十四）数学分析试题（二年级第一学期）
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1 叙述第二类曲线积分的定义。
2 叙述Parseval 等式的内容。
3 叙述以π2为周期且在],[ππ-上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。
二 计算题（每小题10分，共50分）
1．求?
+=l
ds y x I )( ，此处l 为联结三点 )1,1( ),0,1( ),0,0(B A O 的直线段。
2．计算二重积分
??Ω
+=dxdy y x I )(22。
其中 Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形。
3．一页长方形白纸，要求印刷面积占2 cm A ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为cm h ，左部与右部之和为cm r ，试确定该页纸的长)(y 和宽)(x ，使得它的总面积为最小。
4．计算三重积分
???
++=
V
dxdydz c
z b y a x I )(22
2222。 其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x 。
5．计算含参变量积分)0( 0>>-?
∞
+--a b dx x
e e bx
ax 的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）
1 已 知y x u arccos =，试确定二阶偏导数y x u ???2与x
y u
???2的关系。
2 讨论积分dx x x x
x q
p ?∞
++π
cos 的敛散性。
数学分析试题（二年级第一学期）答案
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1 设L 为定向的可求长连续曲线，起点为A ，终点为B 。在曲线上每一点取单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=，使它与L 的定向相一致。设
),,(z y x f =P ),,(z y x i +Q ),,(z y x j +R ),,(z y x k
是定义在L 上的向量值函数，则称
?=?L
ds f τ?++L
ds z y x R z y x Q z y x P γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(
为f 定义在L 上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。
2．函数)(x f 在],[ππ-可积且平方可积，则成立等式
()
?∑-
∞
==++π
ππ
dx x f
b a a n n n )(122
12
220。
3 若)(x f 是以π2为周期且在],[ππ-上可积的函数，则
?-
=π
ππ
nxdx x f a n cos )(1
),2,1,0(???=n
?-
=
π
ππ
nxdx x f b n sin )(1
),2,1(???=n 称为函数)(x f 的Fourier 系数，以)(x f 的Fourier 系数为系数的三角级数
∑∞
=++1
)sin cos (2n n n nx b nx a a
称为函数)(x f 的Fourier 级数，记为
∑∞
=++1
0)sin cos (2~)(n n n nx b nx a a x f 。
收敛定理：设函数)(x f 在],[ππ-上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则)(x f 的Fourier 级数在x 收敛于
2
)
()(-++x f x f 。
（1）)(x f 在某个区间)0](,[>+-δδδx x 上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。
（2）)(x f 在x 处满足指数为]1,0(∈α的Holder 条件。 二 计算题（每小题10分，共50分）
1。解 {}ds y x ds y x I l
BO
AB
OA
)()(+++=
+=?
?
?
?
。
在直线段OA 上dx ds y == ,0得
2
1)(1
=
=+?
?OA
xdx ds y x 在直线段AB 上dy ds x == ,1得
2
3)1()(1
=
+=+?
?AB
dy y ds y x 在直线段BO 上dx ds x y 2 ,==得
222)(1
==+?
?BO
dx x ds y x
所以 22+
=I 。
2．解
????
Ω
-=+=+a
a
y
a
y a dx y x dy dxdy y x
34222
2
14)()(.
3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>作
Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=λ则有
???
??=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L y x λ
λλ 由此解得
.1 ,1 ,1???
? ??+
-=+=+=
r Ah h
y r x λλλλλ
于是有
. ,h r
Ah
y r h Ar
x +=+=
并且易知它是极小值点.
4．解 由于 dxdydz c z dxdydz b
y dxdydz a x I V
V
V
???
??????
+
+=2
2
2
2
2
2
， 其中
??
?
???
-=D
a
a V
dydz dx a x dxdydz a
x 2
2
22
， 这里D 表示椭球面
22
22221a
x c z b y -≤+
或
1)
1()
1(222
2222
2
≤-+
-a
x c z a
x b y 。
它的面积为
)1()1)(1(22
2222a
x bc a x c a x b -=--ππ。
于是
abc dx a x x a bc
dxdydz a x a
a
V
ππ154)1(2
22
22
2
=-=?
???
-。
同理可得
abc dxdydz b
y V
π15
4
2
2
=???，
abc dxdydz c
z V
π1542
2=???
。
所以 abc abc I ππ5
4
)154(3==。
5．计算含参变量积分)0( 0>>-?
∞
+--a b dx x e e bx
ax 的值。
解 因为dy e x e e b a xy
bx ax ?---=-，所以dy e dx dx x
e e b a xy bx ax ??
?∞+-∞+--=-00 。
注意到xy e -在域：b y a ,0≤≤≥x 上连续。又积分dx e xy ?
+∞
-0
对b y a ≤≤是一致收敛的。事实上，
当b y a ,0≤≤≥x 时，ax
xy
e
e
--<<0，但积分
dx e
ax
?
+∞
-0
收敛。故积分
dx e xy ?
+∞
-0
是一
致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 dx e dy
dy e dx xy b a
b
a
xy ?
??
?
+∞
-+∞
-=0
。
从而得
a
b y dy dx e dy
dx x
e e b
a
b
a
xy bx ax ln 0
==
=
-?
??
?
∞
+-∞
+--。 三 讨论题（每小题10分，共20分）
1 当y x ≤<0时， y x u arccos
=y
x
arccos =。 y
x x
u
-
-=??11y
x 21?
=)
(21x y x --
，
y
x y u --=??11
????
?
??-2
32y x )(22
x y y x
-=， y
x u
???22
3)
(41x y x -=，
x y u
???2)
(412x y y x -=+
2
3
)
(4x y y x -2
3)
(41x y x -=
，
于是，当y x ≤<0时，y x u ???2=x
y u
???2。 当y x ≤<0时， y x u arccos
=y
x arccos =。 2．首先注意到
()
2)1()1(q
p q p q p x
x x q x p x x x +-+-='??? ??
+。 若1),max (>q p ，则当x 充分大时0<'
??
?
??+q p x x x ，从而当x 充分大时函数q
p x x x +是递减的，且这时
+∞
→x lim
q
p x x x
+0=。
又因
?A
xdx π
cos A sin =1≤（对任何π>A ）
，故dx x
x x
x q
p ?∞
++π
cos 收敛。 若1),max (≤q p ，则恒有0≥'??
?
??+q p x x x ，故函数q
p x x x +在π≥x 上是递增的。于是，?正整数n ，有
dx x x x
x n n q
p ?
+
+4
22cos π
ππ
2
2
>
dx x
x x
n n q
p ?
+
+4
22π
ππ
22>
4
π
πππ?
+?q p =
q
p
π
ππ
+?82=常数0>， 故不满足Cauchy 收敛准则，因此dx x x x
x q
p ?∞
++π
cos 发散。
（三十五）数学系二年级《数学分析》期末考试题
一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义:
1 二元函数),(y x f 在区域D 上一致连续 .
2 二重积分.
二． （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：
1 .),(2
y x y x y x f +-=
求),(lim lim 00y x f y x →→和),(lim lim 00y x f x y →→. 极限),(lim 0
0y x f y x →→是否 存在 ? 为什么 ?
2 ?????=+≠++=.
0 , 0 , 0 , ),(2
2222
2y x y x y x xy y x f 验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (处连续 ,
偏导数存在 , 但不可微 .
三． （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：
1 设函数),(v u f 可微 , ) , (xy x f z =. 求 22x
z
?? 和 22y z ??.
2 l yz xy x z y x f ,),,(2
2
++=为从点) 2 , 1 , 2 (0-P 到点) 2 , 1 , 1 (1-P 的方向. 求)(0P f l .
3 设计一个容积为34m 的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 . 4
??D
xydxdy , 3 , 1 , 2 , 2
1
:====
xy xy x y x y D . 5 求积分dx x x x I ?-=1
2
8 ln
. 6
??-D
y dxdy e
2
，其中D 是以点) 0 , 0 (、) 1 , 1 (和) 1 , 0 (为顶点的三角形域.
7 计算积分 ?
+
+L
dy y
x
dx y
x 2
cos
2
)2
sin
2(πππ. 其中L 为沿曲线1-=x e y 从
点) 0 , 0 (到点) 1 , ln2 (的路径 .
8 V :∑+≤≤+≤+ . )(2 , 22
2
2
2
2
2
y x z y x x y x 为V 的表面外侧.计算积分
dxdy z y x dzdx z y x dydz z y x )2
3()cos ()(2
3
223-++-++++??∑. 四． （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：
1 y x y
y x f +=
2),(. 证明极限),(lim 0
0y x f y x →→不存在 .
2 设函数),(y x u 和),(y x v 可微 . 证明 gradu v gradv u uv grad )(+=.
3 设函数f 在有界闭区域D 上连续 . 试证明: 若在D 内任一子区域D D ?'上 都有 ??'
=D dxdy y x f 0),(, 则在D 上0),(≡y x f .
（三十六）二年级 《数学分析》考试题
一 计算题 :
1 求极限
1
1)sin(lim
2
2
22)
0,0(),(-+++→y x y x y x .
2 ??
???=+≠+++=. 0 , 0, 0 , 1sin )2(),(22222
22
y x y x y x y x y x f
求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .
3. 设函数),(v u f 有连续的二阶偏导数 , ) , (2
2
y x xy f z +=. 求
x z ??、y
z ?? 和y
x z ???2. 4 3
2),,(z y x z y x f ++= , 点) 1 , 1 , 1 (0P , 方向) 1 , 2 , 2 (:-l . 求)(0P gradf 和f 沿l 的方向导数)(0P f l .
5 曲线L 由方程组
?????+==++
3 ,
932 2
222
22y x z z y x 确定 . 求曲线L 上点) 2 , 1 , 1 (0-P 处的切线和法平面方程 .
6 求函数xy y x f =),(在约束条件11
1=+y
x 之下的条件极值 . ( 无须验证驻点 满足极值充分条件 )
二. 证明题 :
1 2
42),(y x y
x y x f +=. 试证明在点) 0 , 0 (处),(y x f 的两个累次极限均存在 , 但
二重极限却不存在 .
2 ?????=+≠++=.
0 , 0 , 0 , ),(2
2222
2y x y x y x xy y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (处连续,
偏导数存在 , 但却不可微 . 3 设 ,ln
22y x z += 验证该函数满足Laplace 方程
02
222=??+??y
z
x z .
4 设函数),(y x f 在点) 0 , 0 (的某邻域有定义 , 且满足条件2
2 |),(|y x y x f +≤. 试证明 ),(y x f 在点) 0 , 0 (可微 .
（三十七）数学系二年级《数学分析》考试题
一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义:
1 二元函数),(y x f 在区域D 上一致连续 .
2 二重积分.
二． （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：
1 .),(2
y x y x y x f +-=
求),(lim lim 00y x f y x →→和),(lim lim 00y x f x y →→. 极限),(lim 0
0y x f y x →→是否 存在 ? 为什么 ?
2 ?????
=+≠++=.
0 , 0 , 0 , ),(2
2222
2y x y x y x xy y x f 验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (处连续 ,
偏导数存在 , 但不可微 .
三． （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：
1 设函数),(v u f 可微 , ) , (xy x f z =. 求 22x
z
?? 和 22y z ??.
2 l yz xy x z y x f ,),,(2
2++=为从点) 2 , 1 , 2 (0-P 到点) 2 , 1 , 1
(1-P 的方向. 求)(0P f l .
3 设计一个容积为3
4m 的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 . 4
??D
xydxdy , 3 , 1 , 2 , 2
1
:====
xy xy x y x y D . 5 求积分dx x x x I ?-=1
2
8 ln
. 6
??-D
y
dxdy e 2
，其中D 是以点) 0 , 0 (、) 1 , 1 (和) 1 , 0 (为顶点的三角形域. 7 计算积分 ?
+
+L
dy y
x
dx y
x 2
cos
2
)2
sin
2(πππ. 其中L 为沿曲线1-=x e y 从
点) 0 , 0 (到点) 1 , ln2 (的路径 .
8 V :∑+≤≤+≤+ . )(2 , 22
2
2
2
2
2
y x z y x x y x 为V 的表面外侧.计算积分
dxdy z y x dzdx z y x dydz z y x )2
3()cos ()(2
3223-++-++++??∑
. 四． （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题： 1 y x y
y x f +=
2),(. 证明极限),(lim 0
0y x f y x →→不存在 .
2 设函数),(y x u 和),(y x v 可微 . 证明
gradu v gradv u uv grad )(+=.
3 设函数f 在有界闭区域D 上连续 . 试证明: 若在D 内任一子区域D D ?'上 都有 ??'
=D dxdy y x f 0),(, 则在D 上0),(≡y x f .
（三十八） 二年级《数学分析Ⅱ》考试题
一 计算下列偏导数或全微分（共18分，每题6分）：
1 设y x xy y x f +=),(，求x f
??，y
f ??，y x f ???2；
2 设)cos sin(y x z
=，求全微分dz ；
3 求由方程02
2=-++xyz z y x 所确定的隐函数的偏导数
x
z
??，y
z
??。 二 求函数
y xe z 2=在点)1,1(P 处从)1,1(P 到)1,2(-Q 方向的方向导数。（12
分）
三 （14分）设
?????
=+≠++=.
0,
0;0,1sin ),(22222
2y x y x y
x xy y x f
1 求
)0,0(x f ，)0,0(y f ；
2 证明：),(y x f 在点（0，0）处可微。
四 求曲面0122322
=--+z y x
在点)2,1,1(P 处的切平面和法线方程。（16分）
五 证明：半径为R 的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。（14分）
六 （14分）计算下列重积分 ：
1、
??D
ydxdy x 2其中D 为直线2,1,1==-=x x x 及曲线2x y =围成的区域。 2、
???
Ω
xdxdydz 其中Ω为由曲面2
2y x z +=，三个坐标平面及平面1=+y x 围成的区域。
七 （12分）求函数
2
),,(z xy z y x f += 在约束条件
=++z y x 及
1222=++z y x 下的最大值和最小值。
（三十九）二年级《数学分析Ⅱ》考试题
一（15分）设
y x ,为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：
二 计算下列极限：（10分）
1
2
2
)
0,1(),()
log(lim
y
x e x y y x ++→ ；
2
4
2
)(lim
22)
0,0(),(y x
y x y x +→；
二 （10分）设隐函数
)(x y 由方程
定义，求 'y 及
''y 。
三 计算下列偏导数：（10分）
（1）xyz
e u =；
（2）
)arcsin(2
2221n x x x z +???++=；
四 计算下列积分（20分）： （1）??
+I
dxdy y x ,)sin( ;],0[2
π=I （2）
??+I
dxdy y x ,)( ;]2,0[2
=I
)
||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++x
y
x y arctan 2=)0(≠x
《数学分析III》期中考试试题及参考答案
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析华东师大反常积分
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积等于 V= ()??+β+αS ds r cos z cos y cos x 31其中αcos ,βcos , cpsr 为曲面S 的外法线方向余弦. 2.若S 为封闭曲面,L 为任何固定方向,则 ()??S ds L ,n cos =0 其中n 为曲面S 的外法线方向. 3. 证明 公式 ???V r dx dydz =()??S ds n ,r cos 21 其中S 是包围V 的曲面,n 为S 的外法线方向. r=222z y x ++,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=()(z y x 2yz ++,()z y 2x zs ++, ())z 2y x x y ++是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ()??++S ds z y x ,其中S 为上半球面 222z y x ++=2a 0z ≥; (2) () ??+S 22ds y x ,其中S 为主体1z y x 22≤≤+的边界曲面; (3) ?? +S 22ds y x 1,其中S 为柱面222R y x =+被平面Z=0,Z=H 所截取的P 分; (4) ??S xyzds ,其中S 为平面在第一卦限中的部分.
2.计算??S 2ds z ,其中S 为圆锥表面的一部分. S:?? ???θ=θ?=θ?=cos r z sin sin r y sin cos r x D:???π≤?≤≤≤20a r 0 这里θ为常数(0<θ<2 π). 3.计算下列第二型曲面积分 (1) ()?? -S dydz z x y +dzdx x 2+()dx dy x z y 2+,其中S 为x=y=z=0,x=y=z=a 平成所围成的正方体并取处侧为正向; (2)()()()??+++++S dxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点中心,边长为2的正方体 表面并取外侧正向; (3)??++S zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 表面并取外侧为正向; (4) ??S yzdzdx ,其中S 是球面,222z y x ++=1的上半部分并取外侧为正向; (5)?? ++S 222dxdy z dzdx y dydz x ,其中S 是球面()2a x - +()2b y -+()2c x -=R 2并取外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x 2+y 2 +z 2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=()??S dydz x f +()dzdx y g +()dx dy z h 其中S 是平行分面体(a x 0≤≤,b y 0≤≤,c z 0≤≤)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x 2+y 2 +z 2=a 2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) ??++S sydxdy zxdzds yzdydz ,其中S 为单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (2) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是立方体≤0x,y,z a ≤的表面取外侧; (3) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 为锥面x 2+y 2 =z 2与平面z=h 所围的空间区域(h z 0≤≤)的表面方向取外侧; (4) ??++S 332dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (5) ??++S dxdy 2ydzds xdydz ,其中S 为上半球面Z=222y x a --的外侧.
(完整word版)微积分(数学分析)练习题及答案doc
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 1. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ???? 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz 8. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. 9. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三）――参考答案及评分标准 一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限． 解: 11 (,)f x y y x = +=， 因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存 在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分） 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0数学分析试题及答案解析
2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不
相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x ==+ ，因此二重极限为0.……(4 分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是
_______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得 极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-， 则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最 大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得 极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______， 最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为
数学分析复习题及答案
数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)21(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B. 23 C. 32- D. 23- 3．? =dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．??? ????>+=<=0)1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义 五、计算题
1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++ ==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ，则31<?ε，? ?????=?10,1min εδ，当δ<-<20x 时，ε<-++53112x x
数学分析试卷及答案6套(新)
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=?
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11 (,)f x y y x = +=，因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν??+=???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
华东师大数学分析答案
第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71
数学分析习题及答案 (50)
习 题 12.5 偏导数在几何中的应用 1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1）?????+==.1,2x x z x y 在??? ??21,1,1点； （2）??? ? ??? =-=-=.2sin 4,cos 1, sin t z t y t t x 在2π=t 的点； （3）???=++=++.6, 0222z y x z y x 在)1,2,1(-点； （4）???=+=+. ,2 22222R z x R y x 在??? ??2,2,2R R R 点。 解 （1）曲线的切向量函数为2 1(1,2, )(1)x x +，在?? ? ??21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。于是曲线在?? ? ??21,1,1点的切线方程为 )12(41)1(2-=-=-z y x ， 法平面方程为 252168=++z y x 。 （2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2 t t t -，在2 π =t 对应点的切向 量为(1,1。于是曲线在2 π = t 对应点的切线方程为 22 2 112 -= -=+- z y x π ， 法平面方程为 (1)(1)2 x y z π - ++-+- =402 x y π ++- -=。 （3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为 (6,0,6)-。于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为
?? ?-==+2 2 y z x ， 法平面方程为 z x =。 （4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在?? ? ??2, 2 , 2 R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。于是曲线在?? ? ??2, 2,2R R R 点的切线方程为 2 22R z R y R x +-=+-=-， 法平面方程为 02 2 =+ --R z y x 。 2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。 解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设， 22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ?=++=， 由此解出1t =-或13 -，于是 )1,1,1(-- 和 )27 1 ,91,31(-- 为满足题目要求的点。 3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2 π =t 所对应的点处的切线的 方向余弦。 解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2 t π =代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。 4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1）3432y x z +=，在点)35,1,2(； （2）4e e =+z y z x ，在点)1,2ln ,2(ln ； （3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。 解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得
