与自然对数的底e有关的问题
与自然对数的底e 有关的极限问题。
题1：回忆自然对数的底e 的定义，n
n n e ???
??+=+∞
→11lim :。证明 ∑=+∞→=n
k n k e 0!
1lim ，这里约定
1!0=。
注：在级数理论里，我们通常用记号
∑+∞
=0k k
a
（这个记号称作无穷级数）来表示部分和
∑=n
k k
a
的极限（当然假设极限存在），即
=∑+∞
=:0
k k
a
∑=+∞
→n
k k
n a
lim
。我们将在下个学期学习无穷级数理
论。本题的意思是，数e 可以用无穷级数来表示，即∑+∞
==
!1
k k e 。 证明：记∑==
n
k n k b 0!
1
:，则↑n b 严格。另一方面，容易看出序列}{n b 有界。这是因为 k
k k k k 1
11)1(1!1--=-≤，2k ≥?。 由此我们得到 ∑∑==<-+=??? ??--+≤=m
k n
k n n k k k b 20311211
1
2!1。根据单调有界收敛定理可知序列}{n b 收
敛。设b b n ↑。
我们再来考虑数n
n n e ??
?
??+=+∞
→11lim :。
记n
n n a ??
?
??+=11:。经二项式展开，n a 可以表示为
??
? ??--??? ??-++??? ??-??? ??-+??? ??-+
=n n n n n n n a n 1111!12111!3111!212 。 （*） 由此可知n n b a <，从而有b e ≤。 以下我们证明相反的不等式b e ≥。
根据上述不等式（*），我们不难看出，对于任意正整数2≥k 和k n >，我们有
??
? ??--??? ??-++??? ??-??? ??-+??? ??-+
>n k n k n n n a n 1111!12111!3111!212 。 于上述不等式中，令+∞→n 立刻得到 k b e ≥，2≥?k 。再令+∞→k 就得到b e ≥。 于是有b e =。结论得证。证毕。
题2：记∑
=-
=n
k n k e 0
!
1
:ε。证明1)!1(lim =++∞→n n n ε。
注：这道题的意思是，数e 和
∑=n
k k 0
!1
的误差大约是)!1(1+n 。更具体的误差估计见下题。 证明：我们将利用Stolz 定理（0/0型）证明1)!1(lim =++∞
→n n n ε。将)!1(+n n ε写作
)!
1(1
)!1(n
+=
+n n n εε。考虑分子与分母相继两项的差，以及所得差的商，我们就得到
11
2)!
2(1!）1n （1
）！2n （1-)!1(1-1n n →++=+++=+++n n n n n εε，+∞→n 。 因此1)!1(lim =++∞
→n n n ε。证毕。
题3：证明 n n k e n n
k !1
!
1)!1(10<
-<+∑=， 1≥?n 。 注：上述结论告诉我们，用和式
∑=n
k k 0
!1
来逼近数e 非常有效，且估计误差很容易。 证明：第一个不等式显然成立，因为
)!
1(1
！k 1!
1
1
n k 0
+>
=-
∑
∑
+∞
+==n k e n
k 。 对于任意n >m ，我们有
???
? ?
?++
++++++<+++++-n m n n n n m n n )2(1)2(1211)!1(1!1)!2(1)!1(12 n
n n n n n !1
1n )!1(22
111)!
1(1<
+++=
+-+<）（。 即对于任意n >m ，我们有
n
n n n n m n n !1
)1()!1(2!1)!2(1)!1(1<+++<+++++ 。
令+∞→m ，我们得到
n
n n n n k e n
k
!1
)1()!1(2！k 1!
1
1
n k 0
<
+++≤=-
∑
∑+∞
+==.
所证不等式成立。证毕。
题4：证明自然对数的底e 是无理数。
证明：反证。假设数e 是有理数，即e 可表为p/q =e ，其中q p,均为正整数。 根据题1知，我们可以将数e 表为
∑∑∑=+∞
+==+=+==q
k
q k
k k e q
p
1q k q
!1！
k 1!
1
ε，其中∑
=-=q
k q k q
p
!
1
:ε，如题2所定义。 于是，一方面根据等式
???
? ?
?-
=∑
=q
k q
k q p q q 0
!1!!ε 我们知道数q q ε!是正整数。但另一方面，根据题3中的结论，我们得到
q
q k e q q
k
!1
!1)!
1(1
q <
-
=<+∑=ε。 由此得
q
q q q 1
!11<<+ε。 数q e q !不是正整数。这就导出了一个矛盾。矛盾表明了
自然对数的底e 不是有理数，而是无理数。证毕。
注1：一个实数称作代数数，如果它是某个整数系数多项式方程的根。非代数数的实数称作超越数。显然，代数数包括所有有理数，以及许多无理数，例如2。因为2是方程
022=-x 的根。与代数数相比较而言，我们对于超越数有较少的理解和掌控。在题4
里我们已经证明了自然对数的底e 是无理数。进一步，我们还可以证明， 数e 超越数。这
是法国数学家Charles Hermite 于1873年完成的一项了不起的工作。 另注：圆周率π也是
超越数（德国数学家Carl Lindemann 于1882年证明）。这里老师向同学们推荐一本书，作者
William Dunham （美），英文书名：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to
Lebesgue. 中译本译名《微积分的历程》，人民邮电出版社出版，2010。书中有一章节专门
介绍代数数和超越数。这本书是学习微积分课程不可多得的补充读物。值得拥有。
注2：在习题1.4题17（课本第19页）中，我们遇到了另一个由极限式定义的常数γ
577.0ln 1211lim :≈???
?
??-+++=+∞→n n n γ。
数γ通常称作Euler-Mascheroni 常数。这是另一个重要的数学常数，出现在数学的许多地
方。相比较数e 和数π而言，我们对常数γ的了解更少。例如，迄今为止，我们还不知道
γ是否为无理数，虽然许多数学家相信，γ是个超越数。一般来说，证明某个数是超越数比
证明它是无理数要困难的多。如果哪位同学想将自己的名字留永久地留在数学史册上，那么
研究数γ可能是一个途径。
注3：关于Riemann-Zeta 函数在正整数点上的值。
Riemann-Zeta 函数）(z ?由无穷级数定义∑+∞
==
01
:）(k
z
k z ?。自变数z 通常取复数值。当今数学界最重要的猜想，即Riemann 猜想是关于Riemann-Zeta 函数）(z ?零点的分布问题。 关于Riemann 猜想有不少科普书，如《黎曼猜想漫谈》， 《素数的音乐》， 《素数之恋》，
《黎曼博士的零点》。
三百多年以来，人们对于）(z ?在正整数点 ，2 ,
1=z 上的值特别感兴趣。Bernoulli 兄弟于1689年就证明了 ∑+∞
==
01
）1(k
k ?发散到正无穷（例1.5.1，课本第21页）。Euler 于1734年以及稍后计算出了函数）(z ?在正偶数点上的值：
∑+∞
==
=
02
2
6
1
）2(k
k
π?
∑+∞==
=
4
4
90
1
）4(k k π?
∑+∞
==
=
06
6
945
1
）6(k
k π?
一般
∑+∞===
221
）k 2(k
k k k
r k π?，k r 为正有理数，可计算的。
由于π是超越数，根据Gelfond 的著名定理可知，函数）(z ?在正偶数点上的值均为超越数。
基于上述Euler 的工作，关于函数）(z ?在正奇数点上的值，人们有理由猜测以下结论成
立：
∑
+∞
=++==+0
121
211k 2(k k k k s k π?），k s 为正有理数。
对此Euler 保持了沉默。 整个数学界也都保持沉默直到1978年，法国数学家Apery 在这个研究方向迈出了真正的一步。他证明了∑+∞
==
31
3(k k ）?是无理数。至于上面所提到关于）12(+k ?值的猜测，今天看来，似乎在可见的将来看不到解决的希望。
自然对数底e的由来
自然对数底e的由来 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08-
自然对数底e 的由来 圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率π。可自然对数的底e 一直困扰着我们。高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中曾指出，如果底数是以e 为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少，e 似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e 是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e 与曾一个商人借钱的利息有关。 过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是元，一年后还=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？ 财主算了算，结算3次，利率为3 1 ，1元钱一年到期的本利和是：元 37037.23113 =??? ? ?+，
结算4次，1元钱到一年时还元 44140.24114 =??? ??+。 财主还想，一年结算1000次，其利息是： 1000100011??? ??+ 这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有： 元 71692.21000111000=??? ??+。 这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，n n ??? ??+11的值是随n 的增大而增大，但增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把n n ??? ??+11极限记作e ，e=…，即自然对数的底。
自然对数
自然对数 以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作lnN(N>0)。自然对数在物理学、生物学等自然科学中有重要的意义。 1数学表示方法 自然对数的一般表示方法为 数学中也常见以 表示自然对数。若为了避免与基为10的常用对数混淆，可用“全写” 2概念 它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值 有关概念 自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。我们定义：当n趋于无限时， e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。对数函数 当自然对数中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作 （x为自变量，y为因变量）. e的级数展开式 易证明：函数展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是 ； 特别地，当x=1时就得到了e的展开式
3意义 物理学意义 在热力学第二定律中，系统的宏观状态所对应的微观态的多少表现为宏观态的无序程度，同时也决定了宏观过程的方向性。看起来，一个宏观状态对应的微观状态的多少是个很重要的物理量，它标志着这个宏观态的无序程度，从中还可以推知系统将朝什么方向变化。物理学中用字母Ω表示一个宏观状态所对应的微观状态的数目。 为了研究方便，物理学家们用得更多的是一个与Ω相关的物理量，这就是今天常常听到的——熵（entropy），用字母S表示。玻尔兹曼在1877年提出了熵与微观态的数目Ω的关系，即S∝lnΩ，后来普朗克把它写成了等式S=klnΩ，式中k叫做玻尔兹曼常量。如前所述，既然微观态的数目Ω是分子运动无序性的一种量度，由于Ω越大，熵S也越大，那么熵S自然也是系统内分子运动无序性的量度。在引入熵之后，关于自然过程的方向性就可以表述为：在任何自然过程中，一个孤立系统的总熵不会减小。这就是用熵的概念表示的热力学第二定律。为此，不少人也把热力学第二定律叫做熵增加原理。 由熵的定义可以知道，熵较大的宏观状态就是无序程度较大的宏观状态，也就是出现概率较大的宏观状态。在自发过程中熵总是增加的，其原因并非因为有序是不可能的，而是因为通向无序的渠道要比通向有序的渠道多得多。把事情搞得乱糟糟的方式要比把事情做得整整齐齐的方式多得多。要让操场上的一群学生按班级、按身高，或按任何规则来站队都是比较麻烦的：每个学生都要找到自己的位置。但是要让已经站好队的学生解散，那就非常简单：每个学生随便朝一个方向跑去，队形就乱了。从微观的角度看，热力学第二定律是一个统计规律：一个孤立系统总是从熵小的状态向熵大的状态发展，而熵值较大代表着无序，所以自发的宏观过程总是向无序度更大的方向发展。 生物学意义 在连锁交换定律中，重组率或重组值是指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，即重组率=重组配字数/总配子数（亲组合+重组和）×100%，重组是交换的结果，所以重组率（recombination fraction）通常也称作交换率（crossing over percentage）或交换值。可是仔细推敲起来，这两个数值是不尽相同。 如果我们假定，沿染色体纵长的各点上交换的发生大体上是随机的。那么可以这样认为，如果两个基因座相距很近，由交换而分开较少，重组率就低；如果两基因座离开很远，交换发生的次数较多，重组率就高。所以可以根据重组率的大小计算有关基因间的相对距离，把基因顺序地排列在染色体上，绘制出基因图。生物学家就是这样做的。 如果有关的两个基因座在染色体上分开较远，举例说重组率在12%-15%以上，那么进行杂交试验时，其间可能发生双交换或四交换等更高数目的偶数交换，形成的配子却仍然是非重组型的。这时如简单地把重组率看作数交换率，那么交换率就要被低估了。因为遗传图是以1%交换率作为图距单位的，所以如交换率低 估了，图距自然也随之缩小了，这就需要校正。校正的公式较多，可根据自己得出的连锁与交换试验的结果，提出单是适用于某一生物的校正公式。一般来说，
用Mathematica研究自然对数的底数e
用Mathematica 研究自然对数的底数e 作 者：陈 龙 摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、 π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的 一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。 关键词：Mathematica ，e ，自然对数 一、引言 远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，π的近似值一直取为 3.14或 7 22() 742851.3 =。通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。 另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。 e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。e 、 π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文主要介绍e 的一些知识以及用 Mathematica 软件来计算e 。 二、欧拉数e 考虑数列{}n a ，n a = ∑=n i i 0 !1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231????- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。 定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。 首先，对n a = ∑=n i i 0 !1 ，显然{}n a 为单调递增数列。其次，1a =2，2a =25，而3≥n 时， n a =1+1+ n ???++??+?+ 321 432132121 <1+1+1322 1 212121-++++n = 1+2 11211-??? ??-n <3， 即数列{}a 以3为一上界。故有定理1知，数列{}a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许
高中数学拓展知识-e的来历
读读Euler，读读Euler，他是我们大家的老师。 P．S．Laplace e的来历 e是数学中最重要的数学常数之一，称为自然常数，是自然对数的底数。 它最先由瑞士数学家欧拉在1727年使用。 e进入人们的研究视野经历了一个漫长的过程。这个过程如下表： 表3-1 时间事件 1618年约翰?纳皮尔于出版的对数著作附录中的一张表 第一次提到常数e，但它没有记录这常数，只有由 它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是 由威廉?奥特雷德(William?Oughtred)制作。1683年雅各?伯努利(Jacob?Bernoulli) 第一次把e看为 常数 1690年和1691年莱布尼茨给惠更斯的通信中第一次用到常数e并 以b表示。 1727年欧拉开始用e来表示这常数 1736年e第一次在出版物用到是欧拉的《力学》 (Mechanica)。 1737年Euler基本证明了e和e2是无理数 1873年夏尔?埃尔米特(Charles?Hermite)证明e是超越 数。 e是什么？e是增长的极限！ 假设一个单细胞，每20分钟分裂一次。我们以20分钟为一个单位时间。 显然，这种细胞的数量增长如下表：
x0123… y1248… 因此，我们得到y=2x。 将上式改写为y=（1+100%）x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。 假设这种细胞10分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每10分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为50%。因此，20分钟后这种细胞的数量 y=（1+100% 2 ）2=2.25。 也就是说，20分钟后，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。 假设这种细胞5分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每5分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为25%。因此，20分钟后这种细胞的数量 y=（1+100% 4 ）4=2.44140625。 一般地，如果我们进一步假设，这种细胞分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么20分钟最多可以得到多少个细胞呢？ 实际上，这种细胞的数量y=（1+ 1 n ）n。 当n→+∞时，这个式子的极值等于e=2.718281828…。 即 1 (1)n n e n lim →+∞ +=。 因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
e是自然对数的底数
ln和e是什么关系? 对数和底数是干嘛的? 三角函数的画图? ln就是loge lne=logee=1 lne=1 他俩没啥关系一个是运算符号一个是自然数e的ln次方等于1 e^(ln3)=3 In=loge ln(1)=loge(1)=0 e=2.71多 e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数。e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。学习了高等数学后就会知道，许多结果和它有紧密的联系，以e为底数，许多式子都是最简的，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”，因而在涉及对数运算的计算中一般使用它，是一个数学符号，没有很具体的意义。其值是2.71828……，是这样定义的： 当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。 注：x^y表示x的y次方。 你看，随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.718281828……这个无限不循环小数1＋1/1!＋1/2!＋1 /3!＋1/4!＋……＋1/n!，当n趋近无穷时，其极限值就为e. 对数（Logarithm 若）。则b叫做以a为底N的对数，记作。当a=10时称作常用对数，当a=e时，称作自然对数。 我们知道，一般对数的底可以为任意不等于1的正数。即对数的底如果为超越数e(e=2.718)我们就把这样的对数叫作自然对数，用符号“LN”表示。在这里“1”是对数“logarithm"的第一个字母，“N”是自然“nature"的第一个字母，把两个字母合在一起，就表示自然对数。 “lg”才表示以10为底的对数！！！！ ln1=0 表示e的0次方=1 ln100=4.605170…… 表示e的4.605170次方=100
自然对数e的由来
自然对数e的由来 e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。 它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e，是约翰?纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉?奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各?伯努利(Jacob Bernoulli). 已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。 用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。 很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔?埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。 当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，即： lim（1+1/x）^x＝e （x趋于±∞） 实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。 以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，比如指数函数“e的x次方”对x的微分和积分都仍然是函数本身。后人把这个规律叫做“自然律”，其中e是自然律的精髓。因此，上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一，并且名列第二。 欧拉（Leonhard Euler 公元1707－1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰?伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748年）的精心指导。
e的来历
数学常数e的含义 e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。 它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？ 维基百科说："e是自然对数的底数。"但是，你去看"自然对数"，得到的解释却是："自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。"这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是很奇怪的事情吗？ 其实，什么是e呢？简单说，e就是增长的极限。下面就是它的解释。 （1）假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式： 上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样： 其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。 （2）我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。 因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。 当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1 个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。 如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。
那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。 很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？ 当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。 因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。 这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。 有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。 假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？ 回答就是271.828元，等于100个e。 但是，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利息率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢？ 为了便于思考，我们取n等于50：
数学中e的含义
数学中e的含义 就是以无理数e为底数的对数。 比如说10的自然对数，就是以e为底，10的对数。 写作ln10,大概等于 2.3e是一个无理数，大约等于 2.71828自然数~~ 2.71828很有用的一个数哦~~~~(1+1/x)的x次方,,,当x趋向无穷大的时候,那个式子就等于e在数学中，e是极为常用的超越数之一它通常用作自然对数的底数，即： In(x)=以e为底x的对数。 （1）数列或函数f(n)=(1+1/n)^n当n→∞时=e或g(n)=(1+n)^(1/n)当n→0=e 即(1+1/n)的n次方的极限值数列： 1+1，（1+ 0.5）的平方，（1+ 0.33…）的立方， 1.25^4， 1.2^5，…写成公式即（1-4）函数： 实际上，这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大。 （1-1）sum(1/n!)，n取0至无穷大自然数。 即1+1/1！+1/2！+1/3！+…（1-2）e^x=sum((1/n!)x^n)（1-3）[n^n/(n-1)^(n-1)]-[(n-1)^(n-1)/(n-2)^(n-2)]当n→∞时=e*（1-4）(1+1/n)^n当n→∞时=e（2）欧拉(Euler)公式：
e^ix=cosx+i(sinx)，cosx=(e^ix+e^(-ix))/2=Re(e^ix)，isinx==(e^ix-e^(- ix))/2=iIm(e^ix)，由此可以结合三角函数或双曲三角函数的简单性质推算出相对复杂的公式，如和角差角公式，等等，希望对朋友们学习和灵活应用它们有些帮助。 （2-1）e^x=coshx+sinhx即hypcosx+hypsinx，亦记作chx,shx.2chx=e^x+e^(-x),2shx=e^x-e^(-x)（3）用Windows自带的计算器计算： 菜单“查看／科学型“，再依次点击1 hyp sin + ( 1 hyp cos 1 )或用键盘输入 1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以从这里用ctrl+C复制，再切换到计算器，按ctrl+V （菜单“编辑/粘贴”），得到如下32位数值，以上是为了验证(2-1)。 简单地，可以点击1 inv Ln，或输入1in，实际就是计算e^1，也可得到： e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6（第31位小数四舍五入为7）2，尤拉的自然对数底公式（大约等于 2.71828的自然对数的底——e）尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。 数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。 尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。 尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。 只有那个大约等于 2.71828的自然对数的底，被他命名为e。 但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
自然对数的底e
自然对数的底e 徐厚骏 摘要：本文介绍了自然对数的底e 的定义、性质，介绍了e 近似计算的精确度的计算方法，以及在对数、指数和双曲函数中的应用，并介绍了在复数域中，双曲函数与三角函数的关系。 自然对数的底一般用e (也有用ε)表示，这是一个很特殊也非常有用的数，我们可以用极限概念来定义。 ㈠自然对数的底e 的由来 我们研究下列整序变量： n n n x 11(+=其中n 为正整数使用二项式定理可展开为 11()11(!1)11()11(!12111(!31)11(!2111121)1()1(121)1()1(1321)2)(1(121)1(1132n n n n n k n k n n n n n n n n n n k k n n n n n n n n n n n n x n k n ??…?+…+??…?++…+??+?++==??…??+?…?+…+??…??+?…?++…+?????+???+?+=如果使n 增大1，则等式左边变为x n+1，等式右边首先应该在最后加上第(n+2)项(正的)，而前面n+1项中的每一项也都增大了一些，因为在任一括号内的n s ?1型的因式都已换成较大的因式1 1+?n s 。由此必然有x n+1>x n 。
如果我们在x n 中略去一切括号内的因式，也会使x n 增大一些，因此 n n y n x =+…+++
自然对数的计算方法
自然对数的计算方法 作者：李治春指导老师：吴超云 摘要：本文介绍了自然对数的计算方法，包括自然对数底数e的由来、自然对数的幂级数计算方法、自然对数的连分数计算方法以及它们的比较与实现。自然对数的应用也相当广泛，它在数学、化学、物理等方面均有者重要的应用。本文根据对它最基本的元素e研究开始，逐步对其计算方法进行深入的研究。 关键词：e 幂级数连分数 1..引言 在这篇文章中，我们先从自然对数的底数e开始研究，了解它的背景，而引出自然对数，分析自然对数的计算方法，了解什么是幂级数和连分数，进而分析自然对数的幂级数计算方法和连分数计算方法，最后再比较它的计算方法，掌握它们在数学、化学、物理等方面的应用。 2.了解自然对数的背景 2.1 了解自然对数底数e的相关内容 e是一个数的代表符号。在高中数学里，我们都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm）。在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那麼是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。我们都知道复利计息是怎麼回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什麼状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。e的影响力其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关。 2.2 自然对数的由来与概念 例子：当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。 它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828... 它用ln a表示。a≠0。以e为底数的对数通常用于㏑。e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e 为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(a * b) = loga + logb 但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：1.所有乘数/被乘数都可以化到0.1-1之内的数乘
自然对数底e的由来
自然对数底e 的由来 圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率π。可自然对数的底e 一直困扰着我们。高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中曾指出，如果底数是以e 为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少，e 似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e 是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e 与曾一个商人借钱的利息有关。 过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？ 财主算了算，结算3次，利率为3 1 ，1元钱一年到期的本利和是：元 37037.23113 =??? ??+，
结算4次，1元钱到一年时还元 44140.24114 =??? ??+。 财主还想，一年结算1000次，其利息是： 1000100011??? ??+ 这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有： 元 71692.21000111000=??? ??+。 这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，n n ??? ??+11的值是随n 的增大而增大，但 增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把n n ??? ??+11极限记作e ，e=2.71828…，即自然对数的底。
数e 来龙去脉
数e 来龙去脉 李 忠 (北京大学数学科学学院 100871) 在中学里如何给学生讲述自然对数的底e ,是一大难题. 我国中学教材处理这个问题的办法历来是,不讲它的意义和定义,只告诉学生数e 是一个无理数, e = 2.71828 ??. 这使得数e 变得很神秘. 至于数e 和自然对数有何用处,学生们则更是茫然. 当然,讲清常数e 的意义,要比讲清圆周率π的意义困难得多. 圆周率π有明显易懂的几何意义:圆的周长与其直径之比;而数e 就似乎缺乏这样简单明了的解释与模型. 从历史上来看,数e 的出现要比π晚得很多。人们知道圆周率至少是在公元前200 多年前的事,而数e 的出现则在17 世纪. 本文将简要介绍发现数e 的历史, 除了讲述Euler 的贡献之外,还要重点解释Bernoulli 关于数e 模型以及Huygens 关于自然对数的几何模型. 最后讲讲数e 在分析学中的意义. 1 数e 的由来 历史上数e 的出现与关于对数的研究紧密相关. 17 世纪初,苏格兰数学家John Napier 等人发明了对数. 基于对数的理论,人们编制了对数表,制成了计算尺,使之成为数值计算的有效工具. 当时除了Napier 对数之外,还有一种自然对数. 在1618 年出版的Napier 的著作中, 就附录了一个自然对数的对数表. 尽管没有标明注明这张表的编制者,但后来人们几乎完全可以肯定它的编制者是William Ought red. 自然对数的出现是历史上第一件与数e 有关的事. 但是,当时人们并不知道自然对数的底———常数e. 这似乎让人感到有点奇怪:为什么当时有了自然对数的表, 却不知道它的底呢? 我们需要作一点必要的解释. 利用对数表或计算尺来计算大数的乘积和商,其基本原理是通过对数函数把两个数乘除运算化成了加减运算. 当时人们关于对数的思考,与现代的想法不同. 现代的做法是, 先给定某个数a ,把它作为底,然后根据方程y x a =,将x 的对数定义为y . 但那时人们考虑对数的办法并不是这样,而是直接从一个对数函数出发. 若一个函数f(x)在(0 , + ∞)上连续并严格单调, 且对于任意两个正数x 与y 都有:()()()f xy f x f y =+,则称之为对数函数. 对数函数不只一个, 人们可以用不同的方式构造这种函数. 一旦有了这样的函数(或相应的算法) 就可以利用它编制对数表. 1661 年, Huygens 作了一个重要观察:他考察了双曲线y = 1/ x 的下方的某种曲边梯形的面积,并发现这种面积与对数函数有关. 他的发现实际上给出了自然对数的一个几何模型. 后面我们还要详细介绍他的结论. 令人意外的是,不曾研究对数的数学家J acobBernoulli (雅可布·贝努力) , 却首次给出了数e 的定义. 他在1683 年研究复利时, 证明了当n 趋于无穷时,数列{(11/)}n n +有极限, 并且证明了这个极限介于2 与3 之间. 这个极限值就是后来人们称之为e 的数. 当然,Jacob Bernoulli 当时并没有认识到这个极限与
自然对数底e的由来
自然对数底e 的由来 圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率π。可自然对数的底e 一直困扰着我们。高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中曾指出，如果底数是以e 为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少，e 似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e 是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e 与曾一个商人借钱的利息有关。 过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？ 财主算了算，结算3次，利率为3 1 ，1元钱一年到期的本利和是：元 37037.23113 =??? ? ?+， 结算4次，1元钱到一年时还元 44140.24114=??? ??+。 财主还想，一年结算1000次，其利息是： 这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有：
元 71692.21000111000=??? ??+。 这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，n n ??? ??+11的值是随n 的增大而增大，但增加的数额极其缓 慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把n n ??? ??+11极限记作e ， e=2.71828…，即自然对数的底。
自然对数e
自然对数e e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。它就像圆周率π和虚数单位i，是数学中最重要的常数之一，也是第一个被获证为超越数的非故意构造的数。 第一次提到常数e，是约翰?纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉?奥特雷德制作。第一次把e看为常数的是雅各?伯努利. 已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e 来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。 相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：欧拉取自己名字的第一个字母e作为自然对数的底。其实欧拉选择e的理由，较为多数人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。 e就是欧拉通过极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，即：lim（1+1/x）
^x＝e（x趋于±∞） e也是“自然律”的一种量的表达。“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程，另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展的本质。“自然律”具有把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，在美学上有重要价值。 也许e还有更深入的秘密等着我们去发掘！
e最早的起源
e最早的起源 一、e最早的起源，复利问题 《威尼斯商人》里刻画了以贪婪和狠心而闻名的高利贷商人夏洛克。其实这个历史背景是地理大发现带给欧洲繁荣以后,金融业逐渐发展,高利贷引发了一系列的贷款问题。贷款自然会带来利息问题. 最简单的利息是单利：如果你曾经在银行办理过定期存款，那么你不难理解单利，假设三年期定期存款的利率为3.5%,你存入100元，那么三年后你取出来，利息是3.5%*3=10.5元。利息跟本金将一并支付给你。（这里讨论均不考虑利息税） 稍微复杂一点的是按一定期限计算利息的方式：目前我国七年期记账式国债的采用的是按年计算利息的方式，假设国债利率是3.5%，那么你买了100元国债，每经过一年，便支付3.5元的利息，到最后一年一并支付最后一次利息和本金。 乍看起来似乎一样，但是明眼人一下子就可以发现，后者的收益比前者高。因为后者的利息是按年支付的，当先收得利息之后，立刻就可以把利息拿来再次投资。投资之后仍然会产生利息。于是加起来，总收益比前者要高。 这样就产生了复利的计算方法，（我国民间叫“利滚利”），比如按10年放出6%利息的贷款，按年计算复利，那么对于每一元前，第一年末得到1+0.06，第二年末得到(1+0.06)*(1+0.06),第三年末总共得到(1+0.06)*(1+0.06)*(1+0.06),....不难看出，对于每一元钱，复利的计算公式是S=(1+i)exp(n)其中i是复利率，n是计息次数。 按这个公式计算，可以看到按6%这个利息率，按年收复利的话，十年前的1元钱会变成10年后的1.79元。 复利可以按年计算，也可以按月计算，甚至按天计算。如果年复利率不变，月利率就是年利率/12，日利率就是年利率/365.25 我们仍按上面公式计算一下，S=（1+5%%）^120=1.819 S=(1+0.0001644)^3652.5=1.822 总的趋势是：随着计息间隔的缩小，本利和在加大。那么，有些贪心的夏洛克就在想了，假如在理论上，我可以让复利的计息间隔缩短到1小时，1分钟，1秒种，甚至是每个瞬间，（理论上）的，那我会怎么样？ 我们可以得到一个对任意计息间隔适用的一般的公式： S=(1+i/t)^n*t => S=((1+i/t)^t)^n 在这里，t代表一年内计多少次利息？n代表经过多少年？i仍然代表年复利率。 (1+i/t)^t)这个式子不难用换元法转换到（1+1/x）^xi .....(x=t/i)的形式。 那么，关键是求出，当n趋向于无穷大时，y(x)=(1+1/x)^x是多少？它会是无限的吗？能填满大大小小的夏洛克们永不餍足的胃口吗？ 很遗憾，计算出来这个值，你也猜到了，就是我们的主角e,也就是说，复利并不会随着计息间隔的无限缩小而膨胀到无穷，而是会在某一点稳定下来，这个神奇的极限就是自然对数的底：e. 这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。这个e究竟是何方神圣呢？在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个e，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这麼奇怪的数，会有什麼故事可说呢？
数学常数e的含义(简明易懂)
1. e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。 它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？ 维基百科说： "e是自然对数的底数。" 但是，你去看"自然对数"，得到的解释却是： "自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。" 这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是很奇怪的事情吗？ 2. 昨天我读到一篇好文章，它把这个问题解释得非常清楚，而且一看就懂。 它说，什么是e？简单说，e就是增长的极限。 下面就是它的解释。 3. 假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。 那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：
上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样： 其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。 4. 我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。 因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。 当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。 如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。 那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。 很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？ 当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。 因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。 这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。 5. 有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。 假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？ 回答就是271.828元，等于100个e。 但是，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利息率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢？ 为了便于思考，我们取n等于50： 我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000所得到的值非常接近e： 因此，5%利息率就相当于e的20分之一次方：
自然对数底e的由来
自然对数底 e 的由来 圆周率n生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率n。可自然对数的底e一直困扰着我们。高中数学中，有以10 为底的对数，即常用对数。教材中曾指出， 如果底数是以e为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少， e 似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。 过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借 1 元，一年后利息是 1 元，即连本带利还 2 元，年利率100%。利息好多 喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是 1.5 元， 一年后还 1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次， 4 次，……，365次，……，岂不发
财了? 财主算了算，结算3次，利率为1, 1元钱一年到期的本利 3 3 1 一和是：1 — 2.37037 兀， 3 4 结算4次，1元钱到一年时还 1 1 2.44140 元。 4 财主还想，一年结算1000次，其利息是: 1000 1 1000 这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有: 1000 1 2.71692 1000 这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，1丄"的值是随n的增大而增大，但 n
增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次, 和不可能突破一个上限。数学家欧拉把1 e=2.71828…，即自然对数的底。连本带利的总 n 1 -极限记作e, n