指数函数
在函数y=a^x中可以看到：
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a 不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于０函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凸的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过
指数函数
程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
底数的平移：
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
底数与指数函数图像：
指数函数
（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y
轴左边“底大图低”。（如右图）》。
幂的大小比较：
比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B 之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可
指数函数
以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：
<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.
〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；
⑵y=(1/4)^x
因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数
定义域：实数集
指代一切实数
R 值域：（0，+∞）
分式化简的方法与技巧
（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分
（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母
（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破.
指数函数
（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化
指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系
（1）曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）.
（2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠
指数函数
近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）
（3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0时，函数值y=a0（零次方）=1（a>0且a≠1）
（4）a>1时，曲线由左向右逐渐上升即a>1时，函数在（-∞，+∞）上是增函数；0 对数函数 对数函数 一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 目录 真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】 通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然 对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指 数间的关系： 当a 〉0，a≠ 1时，a^x=N→X=logaN。 由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 负数和零没有对数； loga 1=0 loga a=1 对数的定义和运算性质 一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的 对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 底数则要大于0且不为1 真数大于0 对数的运算性质： 当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） （4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1） (5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明： 设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) (6)对数恒等式：a^log（a)N=N; log（a）a^b=b 对数与指数之间的关系 当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N 对数函数 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们 互为反函数。 （1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。 （2）对数函数的值域为全部实数集合。 （3）函数图像总是通过（1，0）点。 （4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数， 并且下凹。 （5）显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质： 如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R） （4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 换底公式（很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数以e为底 e为无限不循环小数 lg 常用对数以10为底 对数函数的常用简略表达方式 （1）常用对数:lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义 对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 性质 定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是｛x ︳x>0｝，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx （2x-1）的定义域，需满足｛x>0且x≠1｝。 ｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1，即其定义域为｛x ︳x>1/2且x≠1｝值域：实数集R 定点：函数图像恒过定点（1，0）。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸； 0 奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。 周期性：不是周期函数 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正 底真异对数负 幂函数 幂函数 简介 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意[实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不[能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。 定义域 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的， 因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 第一象限 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a＞0时图象过点（0，0）和（1，1）（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）显然幂函数无界限。 （6）a=2,该函数为偶函数｛x|x≠0｝。 图像 第一章 基本初等函数 2 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1.理解指数函数的概念和意义. 2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象. 3.初步掌握指数函数的有关性质． 二、知识梳理 1．指数函数的定义 一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 性质 定义域R ，值域(0，＋∞) 图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数 在R 上是减函数 三、典型例题 知识点一 指数函数的概念 例1 给出下列函数： ①y ＝2·3x ；②y ＝3 x ＋1 ；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B 解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3 x ＋1 的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是 指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3 的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件． 跟踪演练1 若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值围为________． 答案 {a |a ＜4 3 ，且a ≠1} 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数第3课时指数与指数幂的运算（三） （一）教学目标 1．知识与技能： 能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法： 通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观 （1）培养学生观察、分析问题的能力； （2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. （二）教学重点、难点 1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. （三）教学方法 1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化. 2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程. （四）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意 图 复习引入复习 1.分数指数幂的概念. * (0,,) m n m n a a a m n N =>∈ * 1 (0,,) m n m n a a m n N a - =>∈ 2.分数指数幂的运算性质. (0,,) r s r s a a a a r R s R + ?=>∈∈ ()(0,,) r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,) r r r a b a b a r R ?=>∈ 师：提出问题 生：复习回顾 师：总结完善 复 习旧 知，为 新课作 铺垫. 应用举例 例1．（P56，例4）计算下列各式 （式中字母都是正数） （1） 2115 11 3366 22 (2)(6)(3) a b a b a b -÷- （2） 3 1 8 8 4 () m n- 学生思考，口答，教师板演、点 评． 例 1 （先由学生观察以上两个 式子的特征，然后分析、提问、解答） 分析：四则运算的顺序是先算乘 方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号的.整数幂的运算性质 及运算规律扩充到分数指数幂后，其 运算顺序仍符合我们以前的四则运 算顺序. 我们看到（1）小题是单项式的 乘除运算；（2）小题是乘方形式的 运算，它们应让如何计算呢？ 其实，第（1）小题是单项式的 乘除法，可以用单项式的运算顺序进 行. 第（2）小题是乘方运算，可先 按积的乘方计算，再按幂的乘方进行 计算. 解：（1）原式 = 211115 326236 [2(6)(3)]a b +-+- ?-÷- =0 4ab =4a （2）原式= 3 1 88 8 4 ()() m n- =23 m n- 通 过这二 个例题 的解 答，巩 固所学 的分数 指数幂 与根式 的互 化，以 及分数 指数幂 的求 值，提 高运算 能力． 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数与指数函数080612 一、考题选析： 例1、（07江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时， ()31x f x =-，则有（ ） Ａ．132323f f f ?? ???? << ? ? ??????? Ｂ．231323f f f ?????? << ? ? ??????? Ｃ．213332f f f ?????? << ? ? ??????? Ｄ．321233f f f ?????? << ? ? ??????? 例2、（07上海春）若21,x x 为方程1 1 )2 1(2+-=x x 的两个实数解，则=+21x x ； 例3、（05全国Ⅱ）设函数11 ()2 x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围． 例4、（05江西10）已知实数a , b 满足等式,)3 1()2 1 (b a =下列五个关系式 ①0， 225()()4 x g x a e =+ 。若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－ x , 由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3 －x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－ x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2.2指数函数地图像及性质
高一数学指数函数知识点及练习题
指数函数第3课时指数与指数幂的运算(三)
指数函数知识点总结
指数及指数函数知识点
指数与指数函数(3)
指数函数知识点汇总