推理与证明测试题(精.选)

推理与证明测试题

一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0分）

1.下列表述正确的是（ ）

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A ．②③④

B ．①③⑤

C ．②④⑤

D ．①⑤

2.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理

3.证明不等式

（a≥2）所用的最适合的方法是（ ）

A ．综合法

B ．分析法

C ．间接证法

D ．合情推理法

4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角

D ．没有一个内角是钝角

5.已知21

×1=2，22

×1×3=3×4，23

×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为（ ）

A ．24

×1×3×5×7=5×6×7×8

B ．25

×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9

C ．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10

D ．25

×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10

6.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y=cosx（x ∈R ）是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y=cosx（x ∈R ）是周期函数． A ．①②③

B ．②①③

C ．②③①

D ．③②①

7.演绎推理“因为

0'()0f x =时,

x 是f(x)的极值点.而对于函数

3

(),'(0)0f x x f ==.所以0是函数3

()f x x =的极值点. ”所得结论错误的原因是

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.大前提和小前提都错误 8.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A ．在数列{}n a 中111

11

1,()(2)2n n n a a a n a --==

+≥，由此归纳数列{}n a 的通项公式； B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

C ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则

180A B ∠+∠=o

D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。 9.用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2

+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A ．方程x 2+ax+b=0没有实根

B ．方程x 2+ax+b=0至多有一个实根

C ．方程x 2

+ax+b=0至多有两个实根 D ．方程x 2+ax+b=0恰好有两个实根 10.下列说法正确的有（ ）

（1）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于?60”时的假设是“假设三角形的三个内角都不大于?60；

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充要条件；

（3）用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n

n n n n n +++=-L L ····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为2（2k+1）；

（4）演绎推理是从特殊到一般的推理，其一般模式是三段论； A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

11.用数学归纳法证明不等式11113

(2)12224n n n n +++>>++L 时的过程中，由n k =到

1n k =+时，不等式的左边

（ ）

A ．增加了一项12(1)k +

B ．增加了两项11

212(1)

k k +++

C ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项1

1k + D ．增加了一项

12(1)k +，又减少了一项1

1

k +

12.已知数列、、、、、…根据前三项给出

的规律，则实数对（2a ，2b ）可能是（ ） A ．（

，﹣

） B ．（19，﹣3）

C ．（

，

） D ．（19，3）

13.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（ ）

A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85

14.把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )

A．27 B．28 C．29 D．30

15.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班;

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )

A、2日和5日

B、5日和6日

C、6日和11日

D、2日和11日

16.下面使用类比推理正确的是（）

A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则

B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b

C．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程

x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b

D．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2

17.已知,猜想的表达式

A. B. C. D.

18.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则

”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4

19.将正奇数按照如卞规律排列，则2 015所在的列数为

20.已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个数对是( )

A ．（3，8）

B ．（4，7）

C ．（4，8）

D ．（5，7）

二、填空题（本题共10道小题，每小题0分，共0分）

21.观察下列等式 23(11)21

(21)(22)213(31)(32)(33)2135

+=?++=??+++=???

……

照此规律，第n 个等式可为 ．

22.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f （x ），如果f′（x 0）=0，那么x=x 0是函数f （x ）的极值点；因为函数f （x ）=x 3

在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f （x ）=x 3

的极值点．”以上推理中

（1）大前提错误（2）小前提错误（3）推理形式正确（4）结论正确 你认为正确的序号为 _________ ．

23.给出下列三个类比结论：

①若a ，b ，c ，d ∈R ，复数a+bi=c+di ，则a=c ，b=d ，类比推理出：若a ，b ，c ，d ∈Q ，a+b =c+d ，则a=c ，b=d ；

②已知直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出，已知向量，若，，则；

③同一平面内，a ，b ，c 是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出：空间中，α，β，γ是三个互补相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 其中正确结论的个数是 ．

24.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影． 甲说：乙去我才去； 乙说：丙去我才去； 丙说：甲不去我就不去； 丁说：乙不去我就不去．

最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是．

25.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人是．

26.在△ABC中，D为BC的中点，则=（+）将命题类比到空间：在三棱锥A﹣BCD 中，G为△BCD的重心，则= ．

27.在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，

则．”

28.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的

二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W= ．

29.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则

，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，

外接球体积为V2，则= ．

30.一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：

●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○

若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2003个圆中，有个空心圆．

三、解答题（本题共2道小题,第1题0分,第2题0分,共0分）

31.已知数列

???+-??????,)

12)(12(1,,751,531,311n n ，计算321,,S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法给出证明.

32.一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为()f n ．

① ② ③ ④ （1）求出()2f ，()3f ，()4f ，()5f 的值；

（2）利用归纳推理，归纳出()1f n +与()f n 的关系式； （3）猜想()f n 的表达式，并写出推导过程．

试卷答案

1.B

考点：归纳推理；演绎推理的意义

2.A

【考点】演绎推理的基本方法．

【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．

【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中

所有金属都能导电，是大前提

铁是金属，是小前提

所以铁能导电，是结论

故此推理为演绎推理

故选A

【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．

3.B

【分析】欲比较的大小，只须比较，先分别求出左右两

式的平方，再比较出两平方式的大小．从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法．

【解答】解：欲比较的大小，

只须比较，

（）2=2a﹣1+2，

（）2=2a﹣1+，

只须比较，的大小，

以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．

故选B．

【点评】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析

4.C

【考点】反证法与放缩法．

【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可

【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”

故选C．

5.D

【考点】类比推理．

【分析】根据已知可以得出规律，即可得出结论．

【解答】解：∵21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，

∴第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10

故选：D

6.B

【考点】演绎推理的基本方法．

【专题】规律型；推理和证明．

【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”?“结论”，分析即可得到正确的次序．

解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”?“结论”可知：

①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；

②三角函数是周期函数是“大前提”；

③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；

故“三段论”模式排列顺序为②①③

故选B

【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．

7.A

8.C

9.A

【考点】反证法与放缩法．

【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．

【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，

∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．

故选：A．

10.B

11.C

12.D

【考点】归纳推理．

【分析】由已知中数列，可得数列各项的分母是2n，分子是，进而得到答案．

【解答】解：由已知中数列、、、、、…根据前三项给出的规律，

可得：a﹣b=8，a+b=11，

解得：2a=19，2b=3，

故实数对（2a，2b）可能是（19，3），

故选：D

13.D

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】本题考查的知识点是归纳推理，分析已知图形中座位的排列顺序，我们不难发现座位排列的规律，即被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，不难判断正确的答案．

【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，

可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，

由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，

分析答案中的4组座位号，

只有D符合条件．

故选D

14.B

试题分析：原来三角形数是从3开始的连续自然数的和．

3是第一个三角形数，

6是第二个三角形数，

10是第三个三角形数，

15是第四个三角形数，

21是第五个三角形数，

28是第六个三角形数，

…

那么，第六个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28

考点：数列的应用

15.C

提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天，显然，6号只可能是丙去值班了。

16.D

【考点】类比推理．

【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案．

【解答】解：对于A， =时，不正确；

对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；

对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；

对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得x2+y2+z2=r2，故D正确．

故选：D．

17.B

本题主要考查的是等差数列的性质和函数解析式的求法,意在考查学生分析问题和解决问题的能力.

由可得所以是为公差的等差数列,所以

,又所以即.故选B.

18.C

【考点】类比推理．

【专题】计算题．

【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．

设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，

所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，

则有r=，可求得r 即OM=

， 所以AO=AM ﹣OM=，所以 =3

故答案为：3

【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．

19.D

20.D

考点：归纳推理．

专题：计算题；规律型；推理和证明．

分析：根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第60对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可． 解答：解：（1，1），两数的和为2，共1个， （1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，

（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个， （1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个 …

∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，

∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）． 故选D ．

点评：本题是对数字变化规律的考查，规律比较隐蔽，观察出括号内的两个数的和的变化情况是解题的关键．

21.)12(5312)()3)(2)(1(-????=++++n n n n n n n

ΛΛ

试题分析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n 个等式的左边含有n 项相乘，由括号内数的特点归纳第n 个等式的左边应为：

（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ），

每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，

由此可知第n 个等式的右边为2n ?1?3?5…（2n-1）．

所以第n 个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ）= 2n ?1?3?5…（2n-1）． 故答案为)12(5312)()3)(2)(1(-????=++++n n n n n n n

ΛΛ 考点：归纳推理 22.（1）（3） 23.①③

考点： 类比推理．

专题： 计算题；推理和证明．

分析： 对3个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：①在有理数集Q 中，若a+b =c+d ，则（a ﹣c ）+（b ﹣d ）=0，易得：

a=c ，b=d ．故正确；

②=，满足，，但不一定成立，故不正确；

③同一平面内，a ，b ，c 是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出：空间中，α，β，γ是三个互不相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．正确． 故答案为：①③．

点评： 本题考查类比推理，考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

24.甲乙丙

考点：进行简单的合情推理． 专题：探究型；推理和证明．

分析：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，即可得出结论． 解答： 解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意 故答案为：甲乙丙．

点评：本题考查进行简单的合情推理，比较基础． 25.甲

考点：进行简单的合情推理． 专题：综合题；推理和证明．

分析：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．

解答： 解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过．

故答案为：甲．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

26.

（++）

考点：类比推理．

专题：综合题；推理和证明．

分析：由条件根据类比推理，由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题．

解答：解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，

由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=（++），

故答案为：在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=（++）．

点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题．

27.S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2

【考点】类比推理．

【分析】从平面图形到空间图形的类比

【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△

2．

BCD

故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．

28.2πr4

【考点】类比推理．

【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．

【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l

三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr 2，三维测度（体积）V=πr 3，观察发现V′=S

∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr 3

，猜想其四维测度W ，则W′=V=8πr 3

； ∴W=2πr 4

； 故答案为：2πr 4 29.

【考点】类比推理．

【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1，从而得出正四面体P ﹣ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2之比．

【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维， 可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1 故正四面体P ﹣ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2之比等于

==

．

故答案为：

．

【点评】主要考查知识点：类比推理，简单几何体和球，是基础题． 30.446

31.解：73751531311,52531311,31321=?+?+?==?+?==

S S S ……………2分 1

2+=n n

S n 猜想……………………………………………………………………4分

以下用数学归纳法证明这个猜想

时那么当1+=k n

1

)1(21

)32)(12()12)(1()32)(12(132)

32)(12(1

12)32)(12(12

1k +++=

++++=++++=

+++

+=+++

=+k k k k k k k k k k k k k k k k S S k

时猜想也成立1+=∴k n ……………………………………………………11分

成立）可知猜想对任意）（由（*21N n ∈………………………………12分

32.

（1）图①中只有一个小正方形，得f （1）=1；

图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f （2）=5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f （3）=13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f （4）=25； 图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f （5）=41；

（2）∵f （1）=1； f （2）=5；f （3）=13；f （4）=25；f （5）=41； ∴f （2）-f （1）=4=4×1； ∴f （3）-f （2）=8=4×2； ∴f （4）-f （3）=12=4×3； ∴f （5）-f （4）=16=4×4； …

∴f （n ）-f （n-1）=4×（n-1）=4n-4．

∴f （n+1）与f （n ）的关系式：f （n+1）-f （n ）=4n ． （3）猜想f （n ）的表达式：2n 2

-2n+1． 由（2）可知

f （2）-f （1）=4=4×1； f （3）-f （2）=8=4×2； f （4）-f （3）=12=4×3； f （5）-f （4）=16=4×4； …

∴f （n ）-f （n-1）=4×（n-1）=4n-4．

将上述n-1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1））=4×

=2n2-2n+1．

f（n）的表达式为：2n2-2n+1．

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推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

高考真题分类汇编——推理与证明 (5)

高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3

几何证明选讲(教师版)

B C D O A P 1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD= . 2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ， ,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________ 答案4 3．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。 解：依题意，BC =，∴AC =5，2 AD =.AB AC =15， ∴AD =15 4．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 . 解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠= ,∴120POD ∠= , 在 △ POD 中 由 余 弦 定 理 ， 得 2222cos PD PO DO PO DO POD =+-?∠=1 414()72 +-? -= ∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD AD=DC ，则 sin ∠ACO=_________ 解：由条件不难得ABC ?为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =， OC =

sin BCO ∠= = ，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=1010 6．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、 TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ， TE AD = ． ； 7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23； 8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设 COD θ∠=，则cos 2θ＝ ． 解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =， 22 2 37cos 22cos 12121525OD OC θθ???? =-=?-=?-=- ? ? ???? 9．如图，圆O 是 ABC ?的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。则BD 的长______________ ， AC 的长______________． 4，； 10．如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延 长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若CPA ∠=30°，PC = 。 解：连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠． ∵CPA ∠=30°，OC= 2AB =3， ∴0 3tan 30PC =，即PC= 11．如右图所示，AB 是圆O 的直径， AD DE =，10AB =，8BD =，则cos BCE ∠= ． 35 12．如图：PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线， P

推理与证明测试题

推理与证明测试题 一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0 分） 1?下列表述正确的是（ ） ① 归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ②③④ B .①③⑤ C .②④⑤ D .①⑤ 2?“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A. 演绎推理 B .类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 3?证明不等式丄 二 ■ ■- - - " L （ a > 2）所用的最适合的方法是（ ） A .综合法B.分析法C.间接证法D.合情推理法 4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） A .有两个内角是钝角 B .有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 5?已知2、仁2, 22X 1X 3=3X 4, 2、1 X 3X 5=4X 5X 6，…，以此类推，第 5个等式为( ) 4 5 A . 2 X 1 X 3X 5 X 7=5X 6 X 7X 8 B . 2 X 1 X 3 X 5 X 7X 9=5X 6X 7 X 8X 9 4 5 C. 24 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 D. 25 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 6.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 （） ① y=cosx （ x € R ）是三角函数； ② 三角函数是周期函数； ③ y=cosx （ x € R ）是周期函数. A .①②③ B .②①③ C.②③① D.③②① 3 7.演绎推理“因为f '（X o ） 0时，X 。是f （x ）的极值点.而对于函数f （x ） X,f'（0） 0.所以0是函 数f （x ） X’的极值点.”所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 大前提和小前提都错误 8.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； C. 两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 和 B 是两条平行直线的同旁内 角，则 31 1,3n A .在数列3 n 中 -)(n a n 1 2） ，由此归纳数列 3n 的通项公式;

推理与证明教案

推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件

高中数学选修 几何证明选讲相关知识点

高中数学选修4-4，几何证明选讲相关 知识点 相似三角形的判定及有关性质 知识点1：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理： 推论1： 推论2： 平行线等分线段成比例定理： 推论：(1) (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点2：相似图形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：

数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ． 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ； （3）相似三角形的面积比等于 ； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：

推理与证明测试题

推理与证明测试题 The manuscript was revised on the evening of 2021

推理与证明测试题 一、单选题 1．数列{}n a 的前n 项和()22n n S n a n =?≥，而11a =，通过计算234,,,a a a 猜想n a = ( ) A. ()22 1n + B. ()21n n + C. 221n - D. 221 n - 2．按数列的排列规律猜想数列2468,,,3579 --的第2017项是（ ） A. 20172018- B. 20172018 C. 40344035 D. 40344035 - 3．下列说法正确的是（ ） A. 类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理 B. 合情推理得到的结论一定是正确的 C. 合情推理得到的结论不一定正确 D. 归纳推理得到的结论一定是正确的 4．数列25112047x ，，，，，，…中的x 等于（ ） Ａ．28 Ｂ．32 Ｃ．33 Ｄ． 27 5．给出如下“三段论”的推理过程： 因为对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）是增函数，……大前提 而12 log y x =是对数函数，……小前提 所以12 log y x =是增函数，………………结论 则下列说法正确的是（ ） A. 推理形成错误 B. 大前提错误 C. 小前提错误 D. 大前提和小前提都错误 6．“ab C. a=b D. a≥b 7．证明不等式最适合的方法是（ ） A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 数学归纳法

8．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程()200ax bx x a ++=≠有有理根，那么a ， b ， c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A. 假设a ， b ， c 都是偶数 B. 假设a ， b ， c 都不是偶数 C. 假设a ， b ， c 至少有一个是偶数 D. 假设a ， b ， c 至多有两个是偶数 9．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10．设Q 表示要证明的结论， P 表示一个明显成立的条件，那么下列流程图表示的证明方法是（ ） A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 比较法 二、填空题 11．．甲、乙、丙三名同学只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下． 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话． 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ． 12．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的． 13．若不等式2b a a b +>成立,则a 与b 满足的条件是______________. 14．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． 三、解答题 15．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，n *∈N ，试猜想这个数列的通项公式． 16．（1）设实数a,b,c 成等比数列，非零实数x,y 分别为a 与 b ,b 与 c 的等差中项，求证:a x +b y =2. （2）用分析法证明：当x ≥4 >

推理与证明综合测试题

一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++，，∥．若 EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出： ma mb EF m m +=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △， OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之 比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ） Ａ．120mS nS S m n +=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+

几何证明选讲知识点总结

相似三角形的判定及有关性质一一备课人：李发 知识点1比例线段的相关概念 比例线段：对于四条线段a b c、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即- - b d （或a:b=cd ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位. ⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式. ⑶比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：b d c a 知识点2:比例的性质 基本性质：(1) a: b c: d ad bc；(2) a : c c: b c a b . 反比性质（把比的前项、后项交换）： a c b d b d a c b a d c a c a b cd 合比性质：?.发生同样和差变化比例仍成立.如： a c a c等等. b d b d a b c d a b c d o p p m八，，小、a c e m a 等比性质：如果一(b d f n 0)，那么 b d f n b d f n b 注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be,除 了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d , c: d a : b , b:d a : c , b:a d:c, c:a d:b, d : c b: a , d:b c:a. 知识点3:比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等?推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边?（三角形中位线定理的逆定理） 推论2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰?（梯形中位线定理的逆定理） 平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. （2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边. 知识点：4 :黄金分割 把线段AB分成两条线段AC,BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线 段AB的黄金分割点，其中AC AB 0.618AB . 2 知识点5:相似图形 1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫 做相似比（或相似系数） （1 ）相似三角形是相似多边形中的一种;

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23

高中数学-推理与证明单元测试卷

绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-

5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133

高考数学几何证明选讲

几何证明选讲 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝ CE BC ；(2) AD BE ＝ BC AF ；(3) CE DF ＝ AD BC ；(4) AF DF ＝ BE CE . 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已 知AD DB ＝ 2 3 ，则 S △ADE S 四边形BCED ＝ __________________________________________________________________. 3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋ FG AD ＝________.

4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________． 5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝ ________. 二、解答题(共42分) 9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC 的平分线，交AD于F，求证：DF AF ＝ AE EC .

《推理与证明测试题》

12、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 . 13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________________________. 三、解答题： 15、（12分）观察以下各等式： 2 2 3sin 30cos 60sin 30cos 604++= 202000 3sin 20cos 50sin 20cos504 ++= 2 2 3sin 15cos 45sin15cos 454 ++= ，

17、（10分）已知正数c b a ,,成等差数列，且公差0 d ，求证：c b a 1 ,1,1不可能是等差数列。 18、（14分）已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论。 高二数学选修2-2《推理与证明测试题》答案 一、选择题： DCABB CABBB 二、填空题： 11、14 12、

、 ； 15、猜想：4 3)30cos(sin )30(cos sin 22=++++ αααα 证明： 000 2 2 1cos21cos(602)sin(302)sin30sin cos (30)sin cos(30)222 ααααααα-+++-++++=++ 00cos(602)cos 2111[sin(302)]222ααα+-=+++-000 2sin(302)sin 30111[sin(302)] 222 αα-+=+++- 00 3113sin(302)sin(302)αα=-+++=

推理与证明

第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011?江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011?江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010?临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行 4、（2007?广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007?广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修 点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件 分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要 完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的 调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006?陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006?山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则 集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18

高考中的几何证明选讲

高考中的几何证明选讲 几何证明选讲是新课标新增内容，在我省高考中是选考内容，常以填空题的形式出现，难度不大，在备考中应从考纲入手，掌握考试要求，在平时训练中，熟练掌握多种题型，以不变应万变。 几何证明选讲常考内容有：平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.考题多数是以求角度，线段长度，面积，比值等。 类型一．求比值 例1.（2007湛江一模理）如图1，在△ABC 中，D 是AC 的中点， E 是BD 的中点，AE 交BC 于 F ，则=FC BF . 【解析】作DH//BC 交AF 于H ，则由D 为AC 中点知 1 2 DH FC =, 又DH//BF, E 为BD 中点，易知BF=DH, 所以,BF DH =所以：1 2 BF FC = 【命题意图】本题考查平行线分线段成比例定理。 例2．(2010天津理科)如图2，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长A B 和DC 相交于点P 。若 1 2 PB PA =，13PC PD =，则 BC AD 的值为 。 【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ， ∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ?∽PDA ?，所以 PB PD = PC PA =BC AD ，设PB=x ，PC=y ，则有32x y y x =，即62y x =， 所以 BC AD =3x y =66。 【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。 类型二. 求长度 例3. (2010湖南理科)如图3，过O 外一点P 作一条直线与O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________. 【解析】根据切线长定理2 2 16 ,82 PT PT PA PB PB PA == == 所以826AB PB PA =-=-= 【命题意图】本题考察切线长定理。 例4．（2010广东理科）如图4，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23 a ，∠OAP=30°，则CP ＝______. 【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP AB ⊥. 在Rt OPA ?中，3cos30BP AP a a ===. A B C D E F H 图1 图2 .O B T A 图3 O A P D C 图4

推理与证明测试题82471.docx

第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》 试卷满分100分，考试时间105分钟 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绛推理是由一 般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 （ ）? A. “若a ?3 = b ?3,则a 二b”类推出“若a ?0 = b ?0,则。=/?” B. “若（a + b ）c = ac + bc "类推出 “（a ? b）c = ac ? be ” C. “若（d + b ）c = ac + bc” 类推出“（ ^- = - + - （cHO ）” c c c D. “（b ） n = a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff 3、 有--段演绎推理是这样的：“直线平行于平而，则平行于平而内所有直线；已知直线 b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的，这是因为 （'） A ?人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时，反设正确的是（）o （A ）假设三内角都不大于60度； （B ）假设三内角都大于60度； （O 假设三内角至多有一个大于60度； （D ）假设三内角至多有两个大于60度。 5、 在I ?进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 （ ） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004 8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2?(2n -1) " ( n G )时, 9、已知料为止偶数，用数学归纳法证明 1 一严2 6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , （aHl, nGN ）”时，在验证n=l \-a 成立吋，左边应该是 （ ） （A ）l （B ）l+a （C ）l+a+a 2 （D ）l+a+a 2+a 3 7、 某个命题与正整数料有关，如果当n = k 伙wN+）时命题成立，那么可推得当n = k + \ 时命题也成立.现（2知当n = l 时该命题不成立，那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立 从“ /1 = ￡到n = k + \^时，左边应增添的式子是 A. 2k +1 B. 2(2￡ + 1) 2k + l ( ) D. 222