万有引力定律及其应用知识点与考点总结
万有引力定律及其应用
考点一：万有引力在天体上问题上的应用 一. 开普勒运动定律
1.开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
2.开普勒第二定律；对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相
等。 3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的长半轴的三次方跟周期的二次方的比值都相等，表达
式
k T
r =2
3
二.万有引力定律
1.内容：自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟着两个物体的质量的乘积
成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2.公式：12
2
G m m F r
=
其中G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2,叫做引力常量。 3.适用条件
两个可以视为质点的物体之间，或者是两个均匀球之间。 三.万有引力定律在天体运动中应用 基本思路：万有引力提供向心力 基本规律 ①由r
v m
r
Mm G
2
2
=可得：r GM v =
②由r m r
Mm G
2
2
ω=可得：3
r
GM =
ω
由r T m r
Mm G
2
2
2??
? ??=π可得：GM
r T 3
2
4π=
④由向ma r
Mm G
=2
可得：3
r
GM a =
向
由此可得，线速度、角速度、向心加速度与r 成反比，周期T 与r 成正比。 万能公式：2
R
Mm G
mg =得，
2
gR G M
=
考点二：万有引力在人类航天上的应用 1.第一宇宙速度（环绕速度）：
17.9km
v s =，是最小的发射速度，最大的环绕速度。
每个星球都有其自己的第一宇宙速度。
第一宇宙速度的算法：
2
2
GM m
v
mg m
r
r ==，r 为星球的半径，M 为星球质量
（1
）v =
2
）
v =注：星球第一宇宙速度相当于求解贴着星球表面飞行的卫星的速度。当7.911.2k m s v k m s <<时，卫星绕地球旋转，其轨道是椭圆，地球位于一个焦点上。
2.第二宇宙速度（脱离速度）：
211.2km
v s =，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，
当11.216.7km s v km s <<，卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗小行星。 3.第三宇宙速度（逃逸速度）：
316.7km
v s =，是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射
速度。当16.7v km s >时，卫星跑到太阳系以外的宇宙空间中去。
问题及方法
问题1：对近地卫星与同步卫星的理解方法
1.近地卫星的轨道半径近似等于地球的R ，其运行的速度
17.9km
v s =，是所有卫星的最大
绕行速度，运行周期85m in T =，是所有卫星的最小周期；向心加速度2
9.8a g m s ==，是所有卫星的最大加速度。 2.地球同步卫星的五定
（1）周期一定 T=24h
（2）角速度一定：其绕地运行的角速度等于地球自转的角速度。 （3）轨道一定
a. 所有同步卫星的轨道必在赤道平面内
b. 所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道运动，其确定的高度约为
4
3.5910km ?
（4）环绕线速度一定：线速度大小都为3.08km s ，环绕方向为地球自转方向 （5）向心加速度大小一定：其向心加速度大小都约为2
0.23m s
问题2：万有引力定律的解题方法 根据适用条件，用填补法
例1、 如图5-2所示，阴影区域是质量为M 、半径为R 的球体挖去一个小圆球后的剩余
部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是2
R ，求球体剩余部分对球体外
离球心O 距离为2R 、质量为m 的质点P 的引力.
练习 1.假设将质量为M 的铅球放在地心处，在地球内部的A 处挖去质量为M 的物体，
则铅球受到的万有引力大小？方向？（地球半径为R ，OA=R/2）
2.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A.R d
-
1 B.R d
+
1 C.2
)(
R d
R - D.2)(
d R R
-
问题3 ：天体的质量、密度的求解方法
通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T 、半径r,由万有引力等于向心力，即
r T m r
Mm G
22
2?
?? ??=π，得天体质量
23
24r
M G T π=. (1)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ=
3
2
33R
GT r
π
（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径r 等于天体的半径R,其周期为T,则天体
的密度2
3G T
πρ=
。
例题1．把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道，平均半径为1.5×108 km ，已知引力常量为：G ＝6.67×10-11 N ·m 2/kg 2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？(结果取一位有效数字)
2、已知月球的半径为R ，表面重力的加速度为g ，万有引力恒量为G ，忽略月球自转的影响，则月球平均密度的表达式为：
3．已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为________．
问题4．重力与万有引力的关系
（1）地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力是物体随地球自转所需的向心力。如图6-1-1所示。
（2）物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同： 两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即2
R
Mm G
mg =。
图6-1-1
赤道上：物体所受重力最小，2
2
自ωmR R
Mm G
mg -=
自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g 逐渐增大。
（3）一般情况下，由于地球自转的角速度不大，可以不考虑地球的自转影响，近似的认为2
R
Mm G
mg =
例题
已知火星的半径为地球半径的一半，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4/9倍，则火星的质量约为地球质量的多少倍？ 问题5 卫星的变轨问题
思考方法：卫星做匀速圆周运动，当速度增大时，卫星将做离心运动，当速度减小时，物体做向心运动
例题 如图所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：（ ）
A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的速度
B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度
C ．c 加速可以追上同一轨道上的b ，b 减速可以等候同一轨道上的c
D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
练习2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
（A ）在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
（B ）在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C ）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 （D ）在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
答案：ABC
问题5：天体问题中的多星问题的思考方法 （1）双星问题 a 两星的角速度相同
b 运动中各自的位置与它们的轨迹圆心三点共线，且向心力分别由对方的万
有引力提供
双星：两星相互环绕，万有引力作为每一个卫星环绕对方的向心力。
双星A 和B （如图6-2-1）有：
①线速度公式：
②角速度公式：
练习：两个星球组成双星，
同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量？
(2) 三星问题：除三星的角速度相同外，还应注意分析各星做匀速圆周运动的向心力的
大小以及轨道半径
例题：宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通
常可忽略其他星体对他们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式，一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行，另一种形式三颗星位于等边三角形三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为m
（1）试求第一种形势下星体运动的线速度和周期
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形势下星体之间的距离应为多少
r
r r B A =+B
B B
A
A A
B
A r v m r v m r
m m G 2
2
2
==ω
ω2
22
B B A A B
A r m r m r
m m G
==B A A B
A m r T m r
m m G 2
2
2 ??=??? ??=π
作业：1．经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离．所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，则行星B 运动轨道半径为（ ）
A
．R
R =．T
t t R R -=000
C ． 3
2
0000)
(T t t R R -= D ．3
02
0T t t R R -=
2．2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第
一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b （Kepler 一22b ），距离地球约600光年之遥，体积是地球的2．4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G 已知。根据以上数据可以估算的物理量有（ ）
A.行星的质量
B ．行星的密度
C ．恒星的质量
D ．恒星的密度
3．如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M>>m 1，M>>m 2）。在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ） A ．a 、b 距离最近的次数为k 次 B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次 C ．a 、b 、c 共线的次数为2k D ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2
4．2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量
（ ）
A ．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B ．该行星的自转周期与星体的半径
C ．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径
D ．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
5．质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知
月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的（ ）
A ．线速度
B ．角速度ω
C ．运行周期 D
．向心加速度
6．关于卫星绕地球做匀速圆周运动的有关说法正确的是（ ） A ．卫星受到的地球引力对其做正功 B ．卫星的轨道半径越大，其线速度越大 C ．卫星的轨道半径越大，其周期越小
D ．卫星受到的地球引力提供为圆周运动所需之向心力
7．未发射的卫星放在地球赤道上随地球自转时的线速度为v 1、加速度为a 1；发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为v 2、加速度为a 2；实施变轨后，使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动，运动的线速度为v 3、加速度为a 3。则v 1、v 2、v 3和a 1、a 2、a 3的大小关系是（ ）
A ．v 2>v 3>v l a 2>a 3>a l
B ．v 3>v 2>v 1 a 2>a 3>a l
C ．v 2>v 3=v 1 a 2=a 1>a 3
D ．v 2>v 3>v l a 3>a 2>a 1
8．2011年9月29日晚21时16分，我国将首个目标飞行器天宫一号发射升空．2011年11月3日凌晨神八天宫对接成功，完美完成一次天空之吻．若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是（ ）
A ．对接前 “天宫一号”的运行速率大于“神舟八号”的运行速率
B ．对接前“神舟八号”的向心加速度小于“天宫一号”的向心加速度
C ．“神舟八号” 先加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接
D ．“神舟八号”
先减速后加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接
9．已知某星球的平均密度是地球的n 倍，半径是地球的k 倍，地球的第一宇宙速度为v ，则该星球的第一宇宙速度为 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
v =
2T π
=2
Gm a R
=
v
k n v
k nk
v
n k
v
nk
10．嫦娥一号奔月旅程的最关键时刻是实施首次“刹车”减速．如图所示，在接近月球时，嫦娥一号将要利用自身的火箭发动机点火减速，以被月球引力俘获进入绕月轨道．这次减速只有一次机会，如果不能减速到一定程度，嫦娥一号
将一去不回头离开月球和地球，漫游在更加遥远的深空；如果过分减速，嫦娥一号则可能直接撞击月球表面．该报道的图示如下．则下列说法正确的是（ ）
A ．实施首次“刹车”的过程，将使得嫦娥一号损失的动能转化为势能，转化时机械能守恒．
B ．嫦娥一号被月球引力俘获后进入绕月轨道，并逐步由椭圆轨道变轨到圆轨道．
C ．嫦娥一号如果不能减速到一定程度，月球对它的引力将会做负功．
D ．嫦娥一号如果过分减速，月球对它的引力将做正功，撞击月球表面时的速度将很大． 11．设地球同步卫星离地面的距离为 R ，运行速率为 v ，加速度为 a ，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a ０，第一宇宙速度为 v ０，地球半径为 R 0．则以下关系式正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．来自中国航天科技集团公司的消息称，中国自主研发的北斗二号卫星系统今年起进入组网高峰期，预计在2015年形成覆盖全球的卫星导航定位系统。此系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成。现在正在服役的北斗一号卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地面36000km 的地球同步轨道上．目前我国的各种导航定位设备都要
靠美国的GPS 系统提供服务，而美国的全球卫星定位系统GPS 由
24颗卫星组成，这些卫星距地面的高度均为20000km ．则下列说法中正确的是（ ） A ．北斗一号系统中的三颗卫星的动能必须相等 B ．所有GPS 的卫星比北斗一号的卫星线速度大
C ．北斗二号中的每颗卫星一定比北斗一号中的每颗卫星高
D ．北斗二号中的中轨道卫星的加速度一定大于高轨道卫星的加速度
13．如图1－3－16所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方
a 0=
R R 0
a 0=R 0R v 0=R 0R +R 0
时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )
A．卫星运行的周期 B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量 D．地球的质量
14．嫦娥一号月球探测器发射时在绕地球运行中,进行了四次变轨，其中有一次变轨是提高近地点的高度，使之从距地200km，上升到距地600km，这样既提高了飞船飞行高度，又减缓飞船经过近地点的速度，于是增长测控时间，关于这次变轨说法正确的是（）A．变轨后探测器在远地点的加速度变大B．应在近地点向运动后方喷气
C．应在远地点向运动后方喷气D．变轨后探测器的周期将变小
15．飞船在轨道上运行时，由于受大气阻力的影响，飞船飞行轨道高度逐渐降低，为确保正常运行，一般情况下在飞船飞行到第30圈时，控制中心启动飞船轨道维持程序．则可采取的具体措施是（）
A．启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度增大
B．启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度减小
C．启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大
D．启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大
16．为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里。科学家控制卫星上的电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速度g=10m/s2，地球半径R＝6400km，地球自转周期为24h。某宇航员在地球表面用体重计称得体重为800N，站在升降机中，某时刻当升降机以加速度a＝10m/s2垂直地面上升，这时此人再一次用同一体重计称得视重为850N，忽略地球公转的影响，根据以上数据（）A．如果把绳的一端搁置在同步卫星上，可知绳的长度至少有多长
B．可以求出升降机此时距地面的高度
C．可以求出升降机此时所受万有引力的大小
D．可以求出宇航员的质量
17．2010年10月1日“嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100km
P 的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在
点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是（）
A ．卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长
B ．卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上短
C ．卫星沿轨道Ⅰ经点时的加速度小于沿轨道Ⅱ经点时的加速
度
D ．卫星沿轨道Ⅰ经点时的加速度等于沿轨道Ⅱ经点时的加速度
18．设一卫星在离地面高h 处绕地球做匀速圆周运动，其动能为1K E ，重力势能为1P E 。与该卫星等质量的另一卫星在离地面高2h 处绕地球做匀速圆周运动，其动能为2K E ，重力势能为2P E 。则下列关系式中正确的是（ ）
A ．1K E ＞2K E
B ．1P E ＞2P E
C ．2211P K P K E E E E +=+
D ．11K P
E E +＜ 22K P E E +
19.有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T1，B 行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（） A ．经过时间 t=T1+T2两行星再次相距最近 B ．经过时间 t=T1T2/(T2-T1)，两行星再次相距最近 C ．经过时间 t=(T1+T2 )/2，两行星相距最远 D ．经过时间 t=T1T2/2(T2-T1) ，两行星相距最远
20．】宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为
；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三
个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位
于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比.
P P P P 12
T T
3答案：1.A 2.C 3.D 4.CD 5.AC 6.D 7.A 8.D 9.C 10.BCD 11.C 12.BD 13.ABD 14.C 15.BD 16.ABD 17.AD 18.AD 19.BD 20.
【答案】
12
T T 【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有
2
22
2
2
1
4230m G
+G
=m
a a
T π?? ①
解得2
1T =
G m
②
对正方形模式，四星的
轨道半径均为
2
a ，同理有
22
2
2
2
2
42cos 452
m G
+G
a a
T
π?? ③ 图4
解
得2
3
2
2
4(4-7a
T =
G m
π ④
故12
T T
比的认识知识点
第四单元比的认识 （一）比的基本概念 1.两个数相除又叫做两个数的比。 比的前项除以后项所得的商，叫做比 值。2.比值通常用分数、小数和整数表示。3.比的后项不能为0。 4.同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商； 5.同分数比较，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。 6.比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。 7.分数的基本性质：分数的分子和 分母同时乘或除以相同的数（0除夕
卜），分数的大小不变。 8.商不变的基本性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 （二）求比值 1、求比值：用比的前项除以比的后 项 （三）化简比 1、化简比：是将不是最简整数比的比化成最简整数比的过程。（把比化成最简整数比叫做化简比。） 2.最简整数比指比的前项和后项都
是整数，并且是一对互质数，即比的前项和后项的最大公因数是1。 3.比值和化简比的比较它们的主要区别是什么呢？ (1)目的不同。求比值就是求比的前项除以后项所得的商；而化简比是把两个数的比化成最简单的整数比，也就是化简后的比要符合两个条件，一是比的前、后项都应是整数；二是前、后项的两个数要互质。 (2)结果不同。求比值的结果是一个数，这个数可以是整数，也可以是小数或分数。而化简比最后的结果仍然是一个比，要写成比的形式，不能
得整数或小数。比有两种书写形式如 6比4,可写作6: 4也写作。读作6 4 ，比4。 （3）读法不同。如6: 4 6 3 求比值是6: 4=6+ 4=4=-读作一分之三，还可写作1.5 （结果是一个数） 6 3、…一化间比是6: 4=6+ 4= 4= 2读作二比二，还可写作3: 2（结果是一个比） （四）比的应用 比的应用主要分为三类： 1、已知部分和，求各部分 2、已知部分差，求各部分
中考数学圆知识点归纳
圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距 离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； d = r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r 三、比和比的应用 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 15÷10= 2 3（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） ∶ ∶ ∶ ∶ 前项 比号 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系： 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： ①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （1） ②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。 ③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。 （2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。 如： 15∶10 = 15÷10 = 2 3 = 3∶2 5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 如： 已知两个量之比为:a b ，则设这两个量分别为ax bx 和。 6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5： 4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 （如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3） 曲线运动 1．曲线运动的特征 （1）曲线运动的轨迹是曲线。 （2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 （3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。） 曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 (2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 平抛运动基本规律 1．速度：0 x y v v v gt = ? ?= ? 合速度:2 2 y x v v v+ =方向： o x y v gt v v = = θ tan 2．位移 2 1 2 x v t y gt = ? ? ? = ?? 合位移：22 x x y =+ 合 方向： o v gt x y 2 1 tan= = α 3．时间由:2 2 1 gt y=得 g y t 2 =（由下落的高度y决定） 实用文档 比和比的应用知识要点第三单元（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫2做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。3：10 = 15÷10= 例如15 2∶∶∶∶比值前项比号后项（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系（同类量的比）。也3 可以表示两路程÷速度个不同量的比，得到一个新量（费同类量的比），例：时间。= 4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。5 、比和除法、分数的联系：6 比值后比号“：”项前比项商数法除被除数除号“÷”除分母分分数值分数线子分数“—”7、比和除法、分数的区别：）意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的（1 关 系。 实用文档 （2）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比。 （3）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出商；而分数本身就是一个数值，无需计算。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。（1）比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0. （2）比的后项相当于分数中的分母，因为分母不能为0，所以比的后项也不能为0. 特殊情况：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记 分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 除外），商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 商不变。0分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（分数的基本性质：除外），分数值不变。除(0比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。外)、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的2 比就是最简整数比。、根据 圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d 比和比的应用 一、本节学习指导 本节知识点比较多，不过“比”还算好理解，学习节时 需和分数除法联系起来。除外我们还要明白“比”的意义和 实际运用，平时多做练习。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号“：”前面的数叫做比的前项，比 号“：”后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的 商，叫做比值。比的后项不能为0，因为比的后项相当于除 法中的 除数，除数不能为0。 例如 15 ： 10 = 15÷10= 23 （比值通常用分数表示， 也可以用小数或整数表示） ∶ ∶ ∶ ∶ 前项 比号 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间。 4、求比值的方法：用比的前项除以比的后项。 5、区分比和比值 比：表示两个数的倍数关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。有比的前项和比的后项 比值：相当于商，是一个数，是一个结果，可以是整数，分数，也可以是小数。 6、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形 式。例如3：2也可以写成3 2 ，仍读作“3:2”。 7、比和除法、分数的联系： 8、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 9、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。注：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 第三单元 比和比的应用知识要点 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫 做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 15÷10= 2 3 ∶∶∶∶ 前项 比号 后项 比值 （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系（同类量的比）。也 可以表示两 个不同量的比，得到一个新量（费同类量的比），例：路程÷速度= 时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表 示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小 数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、比和除法、分数的联系： 7、比和除法、分数的区别： （1）意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 （2）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比 可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比。 （3）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出商；而分数本身就是一个数值，无需计算。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 （1）比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0. （2）比的后项相当于分数中的分母，因为分母不能为0，所以比的后项也不能为0. 特殊情况：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记 分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）， 商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外），分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： ①两个整数的比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （1） ②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小 公倍数，再按化简整数比的方法来化简。 ③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比，再化简。 （2 ）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。 比和比的应用知识要点按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。如：已知两个量为A、B， A 的 B 比为a:b，则总份数可以看做单位“ 1”=a + b ，A 是B的a，B是 A 的b，A 是单位“ 1”的（），B是单位“ 1”的（）。 ba 解题方法：（1）把比看作分得的份数，先求出每份是多少再解答：先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分对应的具体数量。（2）转化成分书问题来解决：先根据比求出总份数，再求出各部分占总量的几分之几，最后求出各部分的数量。基础练习：1．鸡的只数与鸭的只数比是4：7。 （1）鸡的只数是鸭的只数的。（2）鸭的只数是鸡鸭总数的。（3）鸭的只 数是鸡的只数的（）倍。 2. 故事书的本数是连环画的5。 12 （1）连环画的本数与故事书本数的比是。 （2）故事书的本数与这两种书的总本数的比是。 3. 小红看一本书，已经看的页数与未看的页数的比是5：3。 （1）已看的页数占未看页数的。（2）未看页数占已看页数的。 （3）已看页数占全书页数的。（4）未看的页数占全书页数的。 例1：一种混泥土搅拌的水泥、沙子和石子的比是2：3：5。其中水泥有32 吨，还需要沙子和石子各是多少吨？ （题型1：已知单位“ 1”中各部分的比和其中的一个分量，求另外几个分量）解析：这里把混泥土看作单位“ 1”，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的（），石子占混泥土的（），根据水泥有 2 吨和对应单位“ 1”的分率是（ ）， 根据“已知量÷已知量占单位“ 1”的几分之几=单位“ 1”的量”可以先求出这种混泥土的总数量，再求出沙子和石子的数量。 高中物理《万有引力定律》知识点 万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。物体的质量越大，它们之间的万有引力就越大；物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越小。 两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F＝Gmm/r^2,即万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位N·m2/kg2。为英国科学家卡文迪许通过扭秤实验测得。 万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：ω=2π/T 如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为mrω^2=mr（4π^2）/T^2 另外，由开普勒第三定律可得 r^3/T^2=常数k' 那么沿太阳方向的力为 mr（4π^2）/T^2=mk'（4π^2）/r^2 由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。从太阳的角度看， （太阳的质量m）（k''）（4π^2）/r^2 是太阳受到沿行星方向的力。因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k'包含了太阳的质量m，k''包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。 如果引入一个新的常数（称万有引力常数），再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为万有引力=Gmm/r^2 两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。 重力，就是由于地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。 任意两个物体或两个粒子间的与其质量乘积相关的吸引力。自然界中最普遍的力。简称引力，有时也称重力。在粒子物理学中则称引力相互作用和强力、弱力、电磁力合称 2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个) 圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)： P在⊙O外，POP在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO 2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 初中数学——《圆》 【知识结构】 ????? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????? ?? ????????? ?? ??侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含 内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆 一、圆及与圆相关的概念 二、圆的对称性 （1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。 三、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 知2推3定理：①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 知1推3定理： ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④弧BA=弧BD 五、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 2、推论： 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧是等弧； 2 对的弦是直径。 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 三角形。 六、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内 对角。 七、点与圆的位置关系 1、点在圆内? d r ?点A在圆外； 八、三点定圆定理——三角形外接圆 1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 九、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系： 设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R． (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）； 万有引力定律 1. 考纲要求 一 万有引力定律： 1. 开普勒行星运动定律 （1） 所有的行星围绕太阳运动的轨道是_____,太阳处在____上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。 （2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的____.这就是开普勒第二定律，又称面积定律。 （3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值____。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。 若用R 表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则k T R =2 2（k 是一个与行星无关的 量）。 2. 万有引力定律 （1） 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物理质量的乘积成____， 与它们之间距离的平方成_______. （2） 公式：_______________________________________, G 为万有引力常量。 G = _______________________ N.2 2 /kg m . （3） 适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算，当两个物体间的距离_______ 物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过r 应是________的距离。 （4） 两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小_______、方向______。 3. 应用万有引力分析天体的运动 （1） 基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由______ 提供。公式为： a )2( 2 2 2 2 m r T m r m r v m r Mm G ====πω 考纲内容 能力要求 考向定位 1．万有引力定律及其应用 2．环绕速度 3．第二宇宙速度和第三宇宙速度 1．掌握万有引力定律的内容，并 能够用万有引力定律求解相关问题。 2．理解第一宇宙速的意义。 3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度 万有引力定律是广东高考的必考内容，也是全国高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析卫星运动轨道等相关问题。 要理解环绕速度实际上是卫星在天体表面做匀速圆周运动时的线速度。 由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。 初中圆的知识点归纳 Prepared on 24 November 2020 《圆》章节知识点复习 一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 三、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 四、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ① AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相 B A D 等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 五、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 六、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=? B A B A O 比和比的应用知识要点 按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 如:已知两个量为A 、B, Ａ的B 比为:a b ,则总份数可以看做单位“１”=ａ + ｂ ,A 是Ｂ的b a ，B 是A 的a b ，A 是单位“１”的（ ），B 是单位“１”的（ ）。 解题方法：(1）把比看作分得的份数，先求出每份是多少再解答:先求出总份数，再求出每份是多少,最后求出各部分对应的具体数量。（２)转化成分书问题来解决：先根据比求出总份数，再求出各部分占总量的几分之几,最后求出各部分的数量。 基础练习: 1．鸡的只数与鸭的只数比是４：７。 （1)鸡的只数是鸭的只数的 ()()。（2)鸭的只数是鸡鸭总数的 () () 。(3)鸭的只数是 鸡的只数的（ )倍。 2．故事书的本数是连环画的 12 5 。 (1)连环画的本数与故事书本数的比是 ()() 。 （2)故事书的本数与这两种书的总本数的比是 ()() 。 3.小红看一本书,已经看的页数与未看的页数的比是５：3。 (１）已看的页数占未看页数的()()。(２)未看页数占已看页数的()() 。 (3）已看页数占全书页数的 ()()。（４)未看的页数占全书页数的()() 。 例１：一种混泥土搅拌的水泥、沙子和石子的比是2:3：5。其中水泥有3２吨，还需要沙子和石子各是多少吨? (题型1:已知单位“1”中各部分的比和其中的一个分量,求另外几个分量) 解析：这里把混泥土看作单位“1”，其中水泥占混泥土的（ )，沙子占混泥土的( ),石子占混泥土的（ ),根据水泥有２吨和对应单位“1”的分率是（ ),根据“已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量”可以先求出这种混泥 万有引力定律 一、开普勒行星运动定律 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的 基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 K值只取决于中心 天体的质量 通常椭圆轨道近似 处理为圆轨道 也适于用卫星绕行 星的运动 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连 线上，引力的大小及物体的质量m1和m2的乘积成正比、及它们之间距离 r的二次方成反比． 2．表达式：，G为引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/kg2. 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 三、环绕速度 1．第一宇宙速度又叫环绕速度． 得：＝7.9 km/s. 第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． 特别提醒: (1) 两种周期——自转周期和公转周期的不同 (2)两种速度——环绕速度及发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度 (3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同 四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题 1．近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较 ω3＝ω自 ＝ GM R＋h3 a3＝ω23(R＋h) ＝ GM R＋h2 五、天体的追及相遇问题 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。 图甲图乙 当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。 经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。 1. 两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…) 2. 两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)六年级比和比的应用知识点及相关应用
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