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人教版第一章 1.1.1正弦定理学案(2)编号2

编号2 第一章 1.1.1正弦定理（2）

学习目标：

加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用预习导航：

要求：在上课前必须认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注 1．正弦定理有哪几种变形？

问题探究：

探究问题（一）三角形的解的个数

（1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则（） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定

（2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2 ，b=2，则

A 、有一解

B 、有两解

C 、无解

D 、不能确定

（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 2

，b=2，则（）

A 、有一解

B 、有两解

C 、无解

D 、不能确定

总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?

探究问题二利用正弦定理证明两个结论

1.关于角平分线

已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，求证：DC

AC AB =

2.在三角形中，角的大小和正弦值大小的关系

已知在△ABC 中.A ＜B,求证：sinA ＜sinB,反之，也成立

探究问题三利用正弦定理进行边角互化

3.已知在△ABC 中，a=5,b=3, 则sinA ：sinB=？

4.已知在△ABC 中，

B b A a cos cos cos ==,判断△AB

C 的形状

5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C ，试判断△ABC 的形状

6. 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin2A ＝sin2B ＋sin2C ，试判断△ABC 的形状．

变式练习若本例中的条件“sin A ＝2sin B cos C ”改为“sin2A ＝2sin B sin C ”，试判断△ABC 的形状．

练习1 在△ABC 中，求证：

0cos cos cos cos cos cos 2

22222=+-++-++-A

C a c C B c b B A b a

2. 在△ABC 中，求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a

课堂小结：1.这节课学到了什么, 2.各小组表现如何课后作业：

1、若sin B ＝2sin A cos C ，且sin2B ＝sin2A ＋sin2C ，试判断△ABC 的形状

2、在△ABC 中，已知 B A B

A b

a sin cos cos sin 22=,判断此三角形形状

3、在△ABC 中，已知B ac b B C A 求,,2

3cos )cos(2

正,余弦定理和差角公式练习

正，余弦定理和差角公式题组练习 1. sin47°－sin17°cos30° cos17° ＝( ) A ．－3 2 B ．－12 C.12 D.32 答案 C 解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12 . 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝( ) A.1 8 B ．－1 8 C.47 D ．－47 答案 D 解析 tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝ tan (α＋β)＋tan (α－β) 1－tan (α＋β)·tan (α－β)＝3＋5 1－3×5＝－4 7. 3．若cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( ) A ．－a 2 B.a 2 C ．－a D ．a 答案 C 解析 sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2α＝－a . 4．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1 答案 D

解析由题意知tan α＝2，tan β＝－1 3 . ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β＝2－13 1－2×(－13 ) ＝1. 5．在△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C 解析在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )， ∴cos A ＝－cos(B ＋C )．又∵cos A ＝2sin B sin C ，即－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C . ∴cos(B －C )＝0，∴B －C ＝π 2 ，∴B 为钝角． 6．已知sin α＝1213，cos β＝4 5，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( ) A.33 65 B.63 65 C ．－1665 D ．－5665 答案 A 解析因为α是第二象限角，且sin α＝12 13，所以cos α＝－ 1－144169＝－513 . 又因为β是第四象限角，cos β＝4 5，所以sin β＝－ 1－1625＝－35 . sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝33 65. 7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( ) A.π 3 B.2π3 C.π6 D.π4 答案 A

垂径定理学案1

AD=BD AC=BC 垂径定理学案学习目标：1，经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。学习重点：掌握垂径定理，记住垂径定理及推论的题设和结论。学习难点：对垂径定理及推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。学习过程：一，实践探究 1，活动一：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你能得到圆的什么特性？ 2,活动二（猜想）：当非直径的弦AB 与直径CD 有什么位置关系时，弦AB 有可能被直径CD 平分？ 3，活动三（实验）：如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．沿着直径CD 折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？ 4，活动四（证明）：已知：如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥ AB ，垂足为E. 求证：AE=EB ，证明：连结____________，则OA=OB ，即△AOB 是等腰三角形. ∵ CD ⊥AB, ∴ _____=_____（等腰三角形三线合一）. ∵∠AEO=∠BEO=RT ∠ ∴ 把圆沿着直径CD 对折时，射线EA 与射线EB 重合， ∴ 点_____和点_____重合， ∴ _____=_____ ， ______=______ 得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何描述：如图 ∵ CD 是直径, ________, ∴_____=____, _____=_____， _____ =_____．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。如图中，C 是 ACB 的中点，D 是AB 的中点。

高中数学 1.2余弦定理教学案新人教版必修5

授课类型：新授课【教学目标】 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。【教学过程】 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a A c B (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 2 22 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

初三数学寒假班第10讲-垂径定理(提高)-学案

初三数学寒假班第10讲-垂径定理（提高）- 学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第08讲-----垂径定理授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标深刻理解垂径定理及其推论的内容；熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论；应用垂径定理解决实际问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理二.知识概念垂径定理 1.内容垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2.逆定理平分弦不是直径的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3.推论弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4.使用条件一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论（1）平分弦所对的弧（2）平分

弦不是直径（3）垂直于弦（4）经过圆心考点一垂径定理及其推论例 1.下列说法不正确的是（）A圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B圆的半径.弦长的一半.弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C弦长相等，则弦所对的弦心距也相等D垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例 2.如图，AB是O的直径，CDAB，ABD60，CD2，则阴影部分的面积为（）ABC2D4例 3.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（0，0）B（1，1）C（1，0）D（1，1）例 4.如图，AB是O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交O于点D若OC3，CD2，则圆心O到弦AB的距离是（） A6B9CD253例 5.如图，O的半径为5，弦AB8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个A1B2C3D0考点二应用垂径定理解决实际问题例 1.李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据于是她从景点管理人员处打听到这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，ABCD40cm，BD320cm，且AB，

余弦定理教学案

余弦定理【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决解三角形问题．【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用. 【教学过程】一、复习回顾：正弦定理及其所解决的问题：二.课题导入思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？三.讲授新课余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．公式表达： 2a = ；2b = ；2c = . 推论： cos A = ；cos B = ；cos C = . 定理理解：（1）与勾股定理的关系：（2）余弦定理及其推论的基本作用为：【典型例题】例1、在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C =?．（1）求c ；（2）求sin A ．变式训练1：在ABC ? 中，若a =5b =，30C =?，则(c = ) A B ．C D 例2、已知△ABC 的三边长为3a =，4b = ，c =ABC 的最大内角．变式训练2：有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ，1m +，2m +，则实数m 的值为( ) A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ． 52 例3、在△ABC 中，已知3b = ，c =，0 30B =，求边a . 变式训练3：△ABC 中，0 120A =，5c =，7a =，则sin sin B C =____________. A B C b c a

例4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝ (a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式训练4-1：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．变式训练4-2：在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，确定△ABC 的形状．例5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b C a c =- +. （1）求B 的大小；（2 ）若b =，4a c +=，求a 的值．变式训练5-1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C =. （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c . 变式训练5-2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π 3 . （1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．

人教新课标版数学高二-人教A版数学必修5【作业】2 余弦定理

课时作业2 余弦定理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝4，C ＝30°，则c 2等于( ) A ．32－16 3 B ．32＋16 3 C ．16 D ．48 解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋42－2× 4×4×3 2＝32－16 3. 答案：A 2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝－3ab ，则角C ＝( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150° D ．30° 解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32. ∵0°

∴最小角为角C . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝3 2. ∴C ＝π 6，故选B. 答案：B 4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A.14 B.34 C.24 D.23 解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2 ＝3 4，故选B. 答案：B 5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152 B ．－152 C.1532 D ．15 解析：∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－1 2， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝5×3×(－12)＝－15 2，故选B.

正余弦定理学案

正弦定理学习目标：1 理解正弦定理并能证明 2 能应用正弦定理解三角形重点：应用正弦定理解三角形在任意的三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？学习任务：阅读课本P 2-4页，完成下列任务： 1.在直角三角形中，设a 、b 、c 为其三边，A ，B ，C 为其对应的三个角，有 B c B b A a sin sin sin ==成立。对于锐角和钝角三角形中，此关系式成立吗？试证明。 2.什么是解三角形？思考：正弦定理可以解决哪些解三角形的问题。 3.在⊿AB C 中，已知下列条件，解三角形（1）A = 45°，C = 30°，c = 10 cm （2）A = 60°，B = 45°，c = 20 cm 4.阅读例2，已知三角形的两边和其中一对角，计算另一边的对角。需要注意什么？请完成下列两小题：在⊿ABC 中，已知下列条件，解三角形 ①a = 20 cm ° ②c = 1 cm cm C = 60° 必做题：习题1.1 A 组 1、2. B 组 1. 选做题： 1. 在⊿ABC 中，B = 45°，C = 60°，c = 1，则最短边的边长为 . 2. 在⊿ABC 中，a =80 ，b = 100 ，A = 30°，则B 的解的个数为 . 余弦定理学习目标：1 理解余弦定理并能证明 2 能应用余弦定理解三角形重点：应用正弦定理解三角形用正弦定理我们可以解决两类解三角形问题：（Ⅰ）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（Ⅱ）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。对于已知两边和它们的夹角怎样计算出三角形的另一边和另两个角？学习任务：阅读课本5-7页，完成下列问题： 1. 请用向量的数量积推导余弦定理，还有其他证明方法吗？ 2. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，请写出余弦定理的变形（即推论） 3. 勾股定理与余弦定理之间有何联系？ 4. 阅读例3、例4，思考：余弦定理及推论，正弦定理可以解决哪些解三角形问题？必做题： P 8页练习 1、2. 习题1.1 A 组 3、4. B 组 2. 选做题： 1.在⊿ABC 中，B = 60°，b 2 = ac ，则⊿ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。

余弦定理及其应用

余弦定理及其应用【教学目标】【知识与技能目标】 (1)了解并掌握余弦定理及其推导过程． (2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）．【过程与能力目标】 (1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识． (2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．【情感与态度目标】通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．【教学重点】余弦定理的证明及应用．【教学难点】 (1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路．【教学过程】一、引入问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？答：222b a c += 问：若C ≠0 90，三边之间是否还满足上述关系？答：应该不会有了！问：何以见得？答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<；同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>．师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了．问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？答：有点象向量的加法或减法，→ → → +=a c b 或→ → → -=c b a ． A C B a b c A C B a b c

【探求】设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，由于→ → → +=BC AB AC B ac c a b a B ac c BC B B C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22)()(2222 22 02 22 -+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→ → → →→ → → → → → → → → → → → → 即即问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面：第一、左边是什么边，右边就是什么角；第二、左边有什么边，右边就没有什么边；第三、边是平方和，乘积那里是“减号”．师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=．【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题．板书课题余弦定理及其应用二、新课（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （二）余弦定理的另一种表述形式： bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= （三）归纳 1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； 2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个； 3. 当夹角为0 90（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)． A C B a b c

初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)

C B D O A 垂径定理导学案(一) 【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理. 2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。【导学过程】一．创设情景引入新课如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）二、新知导学（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。（二）探究二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。垂径定理：文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。（题设，结论）符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (三) 探究三：用垂径定理解决问题已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为。 (四) 探究四：垂径定理的推论文字语言：平分弦（）的直径_______，并且______ ______。符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______ ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (五)利用新知问题回解赵州桥AB=8，CD=2，求半径。书本82页例题三、巩固练习，拓展提高 1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD 2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。求证：AC ＝BD 3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、我的收获 C E D O

余弦定理教案完美版

《余弦定理》教案（一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r ()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

1正余弦定理及应用教案(精简版)

卓越个性化教案 GFJW0901 学生姓名年级授课时间教师姓名课时课题解三角形教学目标 1掌握正余弦定理及应用2 掌握三角形面积公式3解三角形重点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形难点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形【知识点梳理】 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式:111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： 222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二： 222cos 2b c a A bc +-=

222 cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2 =b 2 +c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况。作业【典型例题分析】【问题一：利用正弦定理解三角形例1】在ABC ?中，若5b =，4B π∠=,1 sin 3 A =，则a = . 【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

垂径定理学案、教学设计

24.1.2垂直于弦的直径导学案广水市实验中学张运才【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题．【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．【学习过程】【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题：（一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？（二）自主探究：先自主探究，后小组交流。探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？我发现：（1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆．（2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴．探究二：请同学们按下面的步骤做一做：第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足；第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？（2）你能用一句话概括上述结论吗？（3）请作出图形并用符号语言表述这个结论．练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论：（1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？（2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？思考：你能用一句话概括上述结论吗？推论：如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？发现：

余弦定理教案

1.设计意图:本节主要内容是对余弦定理的学习，学生之前已经学习了正弦定理和向量，已经知道了什么是解三角形，学生前面学习的知识是学习本节的基础。本教案引入分两个部分，首先，让学生回顾了正弦定理的内容及正弦定理的主要作用，主要目的是帮助学生巩固旧知识，有助于学生对前面学习的知识的掌握和理解，也为本节课的学习奠定了基础。其次，用一个例子让学生思考，引导学生用已学的知识来解决，结果学生发现无法用已掌握的知识来解决，从而激发学生探究新知识的欲望，进而可以很自然的引入本节内容。新课部分，主要借助向量证明了余弦定理，这样可以帮助学生复习向量的相关内容，同时向量方法是一种较简单的证明方法，学生较易理解和掌握。最后举了两个例子，让学生可以通过解题加强对知识的理解，从而将知识与实际相结合。 2.达到的预期目标：本节主要目标是让学生在掌握正弦定理的基础上达到对余弦定理的理解和掌握，明白正弦定理和余弦定理是解三角形问题的两种不同但又很类似的重要方法，从学生上课的反应和学生作业的情况，大部分学生对本节的内容已经基本掌握，但还不是很熟练。有待加强练习，已达到让学生熟练掌握的地步。 3.设计的优点和不足：优点：由一个学生用现在的知识无法解决的问题引出课题，激发了学生探索新知的欲望，同时也给本节课题的提出铺平了道路，很好的进行了知识点之间的过度，同时用向量的方法来证明定理，有助于学生的理解和掌握。不足：定理的证明虽然用了向量的证明，学生容易理解和掌握，

但没有很好的发掘学生的潜力，没有让学生思考还有没有其他证明的方法，还有例2的选择不是很好，数据太大，加大学生的计算难度。学生初中已学习过直角三角形的勾股定理，勾股定理其实是余弦定理的特例，本教案没有让学生思考勾股定理与余弦定理之间的关系。 4.如何改进：首先在证明定理时可以让学生思考有没有其他的方法可以证明，提醒他们利用建立平面直角坐标系把各点的坐标写出来和勾股定理（分钝角和锐角）这两种方法来证明，给学生提供一个思路，让他们课下自己证明。这样有助于打开学生的思路，培养他们的发散思维能力。例2可以换一个判断三角形形状的例题，同时数据可以弄的好算一些。可以设计一个思考，让学生思考余弦定理与勾股定理之间的关系，从而加深学生对新知识的理解，弄清知识点之间的联系。余弦定理三维目标（1）知识与技能：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。（2）过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。（3）情感、态度与价值观：从实际问题出发运用数学知

高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析

高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题 1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( ) A . π6 B . π3 C . π6或5π6 D . π3或2π3 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A . 518 B . 34 C . 32 D . 78 5．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝ 2a ，则 ( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 大小不能确定二、填空题 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________. 7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ________．三、解答题 9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .

余弦定理导学案

课题：必修5第二章1、2余弦定理学习目标： 1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法； 2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题课时安排：一课时教学过程：一、复习引入： 1正弦定理：在任一个三角形中，和比相等，即：（R为△ABC外接圆半径） 2正弦定理的应用：从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．已知：在三角形ABC中b=8.c=3.A＝600能求a吗？（用勾股定理来证明）二、自主探究： [问题]：思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？已知：在三角形ABC中，AB=c,AC=b和A求a 阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程：（用向量来证明）余弦定理： _____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 即：_________________________________________________ 推论：_______________________________________ [问题]1.你还能用其他的方法来推导余弦定理吗？ 2、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？ 3、观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三角形的问题。试试：（1）△ABC中，33 a=，2 c=，150 B=o，求b．（2）△ABC中，2 a=，2 b=，31 c=+，求A．三、展示点评例1.在△ABC中，已知3 a=，2 b=，45 B=o，求,A C和c．【思路探究】例2.在ΔABC中，已知a＝7，b=3，c＝5,求最大角和sinC。．【思路探究】四、总结提升 ※学习小结五、课后作业 .在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状。

垂径定理学案

B C= C D= D E (5题图） (1---4题图）D 圆的对称性（垂径定理）学习目标： 1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。 2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。 3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题。学习重点，难点：垂径定理及其推论的探索及应用。学习过程：一、上节知识回顾： 1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。图2 图1 2、如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。 3、如图2，在⊙O 中，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。二、学习（自学）过程： 1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习： 1. ∵ CD 是直径，C D ⊥AB ∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。 2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。 3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理及其推论可概括为：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。

余弦定理学案

余弦定理学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 第一章解三角形第二节余弦定理一、【教学目标】 1.掌握余弦定理的推导过程； 2.应用余弦定理解斜三角形； 3.利用余弦定理进行三角形中的边角关系的转换. 二、【知识梳理】 1.余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 形式一： a 2＝， b 2＝， c 2＝ . 形式二： cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝ . 2. 在ABC ?中，根据余弦定理：（1）如果22a b +=2c ，则∠C 为____角；（2）如果22a b +>2c ，则∠C 为____角；（3）如果22a b +<2c ，则∠C 为____角. 三、【典例剖析】（一）已知两边及一角解三角形例1:（1）在△ABC 中，(1)已知b =3，c =1，A=60°，求a ；（2）已知b =3，c B=30°，求a 变式练习：在△ABC 中，已知a =2，b =3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形. （二）、已知三边或三边关系解三角形。例2、（1）、在△ABC 中，如果sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，那么cosC 等于________ （2）、已知a =7，b =c 变式训练：1.在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求最大内角的余弦值. 2. 在△ABC 中，已知a =8，b ＝7，C ＝60°，求c 及S △ABC . 3.已知△ABC 中，a ，b ，B ＝45°，求c 及S △ABC .

垂径定理自主学习导学案

D 垂径定理【学习目标】 1．理解圆的轴对称性； 2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题； 3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力； 4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。【学习重点】理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。【学习难点】理解掌握垂径定理及其逆定理。【学法指导】通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。【学习过程】一、学前准备 1．我们学过哪几种对称性？什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。 3．圆的有关概念。（1）圆弧：（2）弦：

M C O A B 二、活动探究活动一：探究圆的对称性 1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？ 2．结论：_______________________，_____________________________。活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。 2．研究右图的对称性。并说出在已知条件下，可以发现哪些等量关系？并说明理由。 3．垂径定理：________________________________，________________________________。用符号语言表述： 4．巩固练习：（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。活动三：探究垂径定理的逆定理

余弦定理教学设计说明

数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）余弦定理一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节二、设计思想： 1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。 3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。 4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。三、教学目标： 1、知识与技能：理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题 2．过程与方法：通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。 3．情感、态度与价值观：探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。四、教学重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。五、教学难点：余弦定理的灵活应用六、教学流程： (一)创设情境，课题导入： 1、复习：已知A=030,C=045,b=16解三角形。（可以让学生板练） 2、若将条件C=045改成c=8如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等