直线与平面的位置关系(垂直)

第二章 直线与平面的位置关系

一、平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为

A ∈L ，

B ∈L

=>L α

A ∈α，

B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。

5 注意点：

（1）直线所成的角θ∈(0， ]。

（2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

L A

·

α C ·

B ·

A · α P · α

L

β

共面直线

2

a αa∩α=A a∥α

2直线、平面平行的判定及其性质

2.1 线面平行的判定定理

1、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

2.2 平面与平面平行的判定

1、判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行则面面平行。

2、判定定理2:如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两

个平面平行。

3、判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行。

2.3 —2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、平面与平面平行的性质定理1：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线

平行。简记为：面面平行则线线平行。

3、平面与平面平行的性质定理2：如果两个平面平行，则在一个平面内的所有直线都平行

于另一个平面。

4、平面与平面平行的性质定理3：如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一

个平面也垂直于这条直线。

3直线、平面垂直的判定及其性质

3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

P

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学

思想。

3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

棱l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

3.3 —3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

线面垂直与面面垂直

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个

平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

线面垂直判定定理：

判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么

判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.

性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.

3.面面垂直的判定定理：

4.面面垂直的性质定理：

例1、.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面P AD.

(2)求证：MN⊥CD.

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

题型一、线面垂直的判定与性质

1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC

P 平面

求证：AC PBD

A

D

2已知，如图，四面体A-BCD 中，,,AB CD AD BC H BCD ⊥⊥V 为的垂心。 求证：AH BCD ⊥平面

题型二、面面垂直的判定与性质

3、如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上任一点，请写出图中互相垂直的平面，并说明理由。

4、已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 将BCD V 折起，使点C 移到点1C ，且

1C ABD O AB 在平面上的射影恰好在上。

11(2).BDC ⊥⊥1

1（）求证：AD BC 求证：面ADC 面

5、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。

（1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥;

B

C D

B

C 1

C

B

A

E

D

题型三、平行与垂直的综合题

(2)PDA=45.

PA ABCD CD

MN PCD ⊥⊥∠⊥。7、已知矩形所在的平面，M,N 分别是AB,PC 的中点。（1）求证：MN 若，求证：平面

8、如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60?，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．

（1）求证：BE ∥平面PDF ；

（2）求证：平面PDF ⊥平面P AB ；

9、如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB ∥CD,CD=2AB,AB ⊥平面PAD ，E 为PC 的中点． （1）求证：BE ∥平面PAD;

（2）若AD ⊥PB ，求证：PA ⊥平面ABC

N

D

C

M A P

10.如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =．

（1）求证：AB ⊥平面ADE ；

（2）求凸多面体ABCDE 的体积．

11如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2，

，

，

⑴求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1C ； ⑵求点B 到平面AB 1C 的距离。

A

B C

D E

图5

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?

高中数学§9.3.1直线与平面垂直的判定教案

§9.3.1直线与平面垂直的判定（2） 时间：2018、12、13 （总第69课时） 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 （1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计 （一）创设情景，揭示课题 1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。

直线、平面平行与垂直的判定及其性质 复习

直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平行.（a||b） 判定 文字描述直线和平面在空间永无交点，则直线 和平面平行（定义） 平面外的一条直线与平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 图形 条件a与α无交点 结论 a∥αb∥α

知识点二、直线与平面平行的性质 性质 文字描述一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面 相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 a∥αa∥α，a?β，α∩β＝ b 结论 a∩α＝?a∥b 线面平行，则线线平行 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通 过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行， 证得“线面”平行. 判定 文字描述如果两个平面无公共 点，则这两个平面平行一个平面内有两条相 交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面平行。 图形 条件 α∩β＝?a，b?β a∩b＝P a∥α b∥α l⊥α l⊥β 结论 α∥βα∥βα∥β

知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述如果两个平行平面同时和第 三平面相交，那么他们的交 线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形 条件α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β a?β 结论a∥b a∥α 直线、平面垂直的判定及其性质 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线l与平面互相垂直， 记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥b l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.图形

直线与平面垂直的定义及判定

直线与平面垂直的定义及判定 一、教学目标 1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容； 2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力； 3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一哲学理念； 4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣. 教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标. 二、教学过程 1.引言 我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例，…. 不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l ，将地面（也是许多事物的代表）看成平面α，今天就来研究直线l 与 平面α垂直的有关知识. 2.进行新课 如图1，直线l 代表旗杆，平面α代表地面，那么你 认为l 与α内的直线有什么关系？ 学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线l ，将地面看成平面α”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线l 看成旗杆，将平面α看成地面，意图是运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三角板来度量从而判断l 与α内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件. 反过来，如果l （旗杆）与α（地面）内的直线都垂直，那么l 与α是什么关系？ α

直线与平面垂直的判定经典例题

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、基础达标 1．下列说法中正确的个数是() ①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α. ②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α； ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B. 2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个 C．有一个或无数个D．不存在 答案 B 解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45° C．60°D．120° 答案 C 解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α

内的射影，则BC ＝1 2AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角． 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交 答案 C 解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C. 5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心 解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心． 6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________． 答案 4 解析 ? ??? ?P A ⊥平面ABC BC ?平面ABC ?

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两 面面垂直定

3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；

第2章习题课直线、平面平行与垂直分析

直线、平面平行与垂直 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用． a 、 b 、 c 表示直线，α、β、γ表示平面． 位置关系 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言) 直线与平面平行 a ∥b 且________?a ∥α a ∥α，________________?a ∥ b 平面与平面平行 a ∥α， b ∥α，且________________ ?α∥β α∥β，________________?a ∥b 直线与平面垂直 l ⊥a ，l ⊥b ，且________________ ?l ⊥α a ⊥α，b ⊥α?________ 平面与平面垂直 a ⊥α， ?α⊥β α⊥β，α∩β＝a ，____________ ?b ⊥β 一、选择题 1．不同直线M 、n 和不同平面α、β．给出下列命题： ① ?????α∥βm ?α?M ∥β； ② ? ??? ?m ∥n m ∥β?n ∥β； ③ ?????m ?αn ?β?M ，n 异面； ④ ? ????α⊥βm ∥α?M ⊥β． 其中假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( ) A ．4 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( ) ①a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ?b ∥α； ③a ∥α，a ⊥b ?b ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 4．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( ) A ．线段 B 1C

直线与平面垂直教学设计

课题：1.2.3 直线与平面垂直 【教学内容解析】 本节课是苏教版教材必修2中第一章第二节的内容，属于新授概念原理课.其中直线与平面垂直的概念、判定定理的形成是教学重点. 这是直线与平面垂直在本节中的位置.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.线面平行研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用. 通过本节课的学习研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义． 【教学目标设置】 1.学生通过对实例、模型的观察、抽象,概括出直线与平面垂直的定义，发现、猜想、归纳直线与平面垂直的判定定理． 2.在定义、定理的探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力． 3.学生运用特殊化、类比、化归等数学思想，体验了研究空间关系的一般方法. 4.在探究线面垂直的定义和判定的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体

验探究发现的乐趣，培养善于观察、勇于探索的良好习惯. 【学生学情分析】 1.学生已有的认知基础 学生能够感知生活中有大量的线面垂直关系，已经掌握了线线垂直、线面平行的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中化归的数学思想方法. 2.达成标所需要的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用类比、化归等数学思想，同时具备较好地观察发现、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. 我校为普通高中，招收的学生大部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养. 3.难点及突破策略 难点： 1.运用类比、化归等数学思想方法来研究直线与平面垂直的定义，突破“任意”的生成和理解. 3.探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化. 突破策略： 1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段． 2.引导学生经过直观感知、操作确认、思辨论证的过程形成线面垂直的定义和判定定理. 3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发. 【教学策略分析】 根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下：

(完整版)直线、平面平行与垂直的综合问题

第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一 立体几何中的探索性问题 [典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧?CD 所在平面垂直，M 是?CD 上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC . (2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． [解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM . 因为M 为?CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 因为DM ?平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点． 连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP . 又MC ?平面PBD ，OP ?平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练] 1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P -ABC 的体积； (2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM MC 的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3 2 . 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3 6 .

直线与平面垂直的判定练习题

直线与平面垂直的判定练习题 1.如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A.l ?α B.l ⊥α C.l ∥α D.l ?α或l ∥α 2.若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b 与α的位置关系是 （ ） A.相交 ∥α ?α ∥α，或b ?α ∥α，则a 平行于α内的( ) A.一条确定的直线 B.任意一条直线 C.所有直线 D.无数多条平行线 4.若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.平行.相交或在平面α内 5.下面各命题中正确的是（ ） A.直线a ，b 异面，a ?α，b ?β，则α∥β； B.直线a ∥b ，a ?α，b ?β，则α∥β； C.直线a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β； D.直线a ?α，b ?β，α∥β，则a ，b 异面. 6．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥?⊥ ②//,,//m n m n αβαβ??? ③//,////m n m n αα? ④//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ） A ．5 B ．52 C ．35 D ．45 8.以下命题正确的有（ ）． ① //a b b a αα??⊥?⊥?. ②//a a b b αα⊥???⊥?. ③,,l m l n l m n ααα⊥⊥? ?⊥????； ④ l m l m αα⊥? ?⊥?? 是平面内的任意直线． A ． ①② B ． ①②③ C ． ②③④ D ． ①②④

《平面上两条直线的位置关系》教学设计

《平面上两条直线的位置关系》 第1课时相交与平行 教学目标： 1.知识与能力： 了解同一平面上两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种， 理解平行线的概念. 2.过程与方法 经历探索平行公理及其直线平行关系的传递性的内容，理解并 掌握此内容.会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线. 3.情感态度与价值观 联系实际生活学习几何，感受几何知识的现实意义. 教学重点： 理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容 教学难点： 对平行公理及直线平行关系的传递性的理解. 教学过程： 一、快乐启航 1.经过一点可以画几条直线？经过两点呢？经过三点呢？ 2.线段AB＝CD，CD＝EF，那么AB与EF的关系怎样？ 3.同一平面内两条直线的位置关系有哪些? 二、我会自主学习 1.观察P72的图形 说出这些直线的不同的位置关系？相交、重合、不相交也不重合（平行） 平面内两条直线的位置关系可能相交，可能重合，也可能不相交也不重合.归纳 得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念. 关键：有没有公共点 2.平行线概念：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线。 3.直线AB与CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。

4.用三角板画平行线AB∥CD. 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行 线的问题． 方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）. 5.P72的注意内容. 6.说一说：生活中的平行线的实例. 三、我会合作交流探究 7.做一做 任意画一条直线a，并在直线a外任取一点A，通过点A画直线a的平行线，看 能画出几条？（学生画图，实际上只能画一条） 8.归纳：经过直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行 9.直线的平行关系具有传递性： 设a、b、c是三条直线，如果a∥b，b∥c,那么a∥c 因为如果直线a与c不平行，就会相交于一点p，那么过p点就有两条直线 与直线b平行，这是不可能的，所以a∥c 四、我会归纳总结 1.2.平行线：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线 3.基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4.平行的传性：平行于同一条直线的两条直线平行，如果b∥a，c∥a，那 么b 五、快乐摘星台 1下列说法正确的是（）

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

直线与平面垂直的判定说课稿

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 《直线与平面垂直的判定》说课稿 李凯帆 本节课是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第三节“2.3.1直线与平面垂直的判定”的第一课时。下面，我将分别从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计、教学反思五个方面对本节课进行说明。 一、教材分析 1．内容、地位与作用 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一． 本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线与平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。 其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！ 学好这部分内容，对于学生建立空间观念、实现从认识平面图形到认识 立体图形的飞跃， 是非常重要的． 2．教学目标

《数学课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．考虑到本校学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用．故而确立以下教学目标： （1）知识与技能 通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理， 并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 （2）过程与方法 通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。 （3）情感、态度与价值观 通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 3．教学重点和难点 根据教学大纲的要求以及学生的实际情况，确定如下： 重点：通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理 难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理 二、学情分析 学习本课前，学生已经通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线与平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。 高二年级的学生，已具有一定的想象能力和分析问题、解决问题的能力，但尽管思维活跃，敏捷，但却缺乏冷静、思考，因而片面，不够严谨。仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 三、教法与学法分析 本节课内容是学生空间观念形成的关键时期，课堂上充分利用现实情境，学生通过感知、观察，提炼直线与平面垂直的定义；进一步，在一个具体的数学问题情景中设想，并在教师指导下，动手操作，观察分析，自主探索等活动，切实感受直线与平面垂直判定定理的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法。 采用启发式、引导式、参与式的教学方法，引导学生进行自主尝试和探究；引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。 四、教学过程设计

空间直线和平面总结知识结构图+例题

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

《直线与平面垂直的判定》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。 直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理，本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方

法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。 本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。 二、学情分析 （1）学生的起点能力分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。 （2）学习行为分析 本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过

直线与平面、平面与平面的位置关系知识点

//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b

【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b

线面平行与垂直关系的转化

三垂线定理 一、温故 1.线面平行的判定及性质定理 2.线面垂直的判定及性质定理 3.求线面所成角步骤 二、探究 思考1：面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？ 例1：已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 例2.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 P B

例3.已知：点O 是ABC ?的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥ 例4.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例5.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 例6．已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a PO ⊥。 求证：a AO ⊥； P B 1 A C O D A C B P

例7．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 线面平行与垂直关系的转化 1.对于命题：①b a a b b a ⊥?⊥,//； ②αα//,b a b a ?⊥⊥； ③ c a b a c b a ////,,,?=???βαβα；④ c b a c a b ////,,,?=?=?=?ααγγββα，其中正确的命题个数是 2.若直线a ，b 没有公共点，则下列命题：①存在与a ，b 平行的直线；②存在与a ，b 垂直的平面；③存在经过a 而与b 垂直的平面；④存在经过a 而与b 平行的平面. 其中正确的命题序号是 3.已知a ，b 和平面α，下列推理：①α⊥a 且b a a b ⊥??；②αα⊥?⊥b a b a 且//；③b a a //b //??αα且；④ααα??⊥⊥a a b a 或且//b ，其中正确的命题序号是 4.下列说法：①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一组平行线垂直，该直线必在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线，其中正确的个数是 5.空间四边形ABCD 的四条边相等，则它的对角线AD 、BC 的关系是 6.对于命题：① αα⊥????⊥a b b a //；②αα////a b b a ?????；③αα⊥?? ?? ⊥a b b a //；④ αα//b b a a ?? ?? ⊥⊥其中正确的命题是 7.在正方体ABCD-A ?B ?C ?D ?中，边对角线BD ?的一个平面交AA ?于E ，交CC ?于F ， D A B C

直线与平面垂直

直线与平面垂直 教学目标：掌握直线与平面垂直的定义、性质；掌握直线与平面垂直的判断定理和性质定理的内容；能初步应用定义、性质、定理证题。 教学重点：直线与平面垂直的定义、性质、定理的应用。 教学过程： 一、问题情境： 观察圆锥SO,它给我们以轴SO垂直底面的形象。轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？ 二、建构数学 （1）线面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a垂直于平面α，并且记作a⊥α．直线a叫平面α的垂线，平面α叫直线a的垂面，垂线和平面的交点叫垂足． （2）线面垂直的性质 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）判定定理： 判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 已知：a∥b ，a⊥α，求证：b⊥α． （用线面垂直的定义） 本题结论限在填选题中用！ 判定定理2： ①内容：如果一条直线和一个平面内的两条相交 ．． 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 这里必须强调的是：相交两字． ②符号表示：若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n=A，则a⊥α． ③友情提示：用线面垂直判断定理证明线面垂直必须验证定理中五个条件！ （4）性质定理： ①内容：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． ②符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b． ③定理证明：（文字题应先写已知求证） 已知a⊥α，b⊥α，求证：a∥b． 证明：假设b不平行于a，设b∩α=O,

b ′是 经过点O 与直线a 平行的直线。 ∵a ∥b ′，a ⊥α ∴ b ′⊥ a ， 即经过同一点O 的两条直线b 与b ′都垂直于平面α，这是不可能的。因此，a ∥b ． （5）点面距： 过平面α外一点A 向平面α引垂线，则点A 和垂足B 之间的距离叫点A 到平面α的距离． （6）线面距（只有在线面平行时才可定义！） ①线面距的定义：如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。 ②定义的合理性： 已知：直线l ∥平面α . 求证: 直线l 上各点到平面α的距离相等. 证明：过直线l 上任意两点A,B 分别作平面α 的垂线AA ′, BB ′, 垂足分别记为A ′,B ′. ∵ AA ′⊥α , BB ′⊥α , ∴AA ′∥BB ′. 设经过直线AA ′和BB ′的平面为β， 则 β与α的 交 线 为A ′B ′. ∵ l ∥α, ∴l ∥A ′B ′., ∴四边形A ′B ′B A . 是平行四边形，∴AA ′＝BB ′. 即直线l 上各点到平面α的距离相等. 三、数学应用 例1 如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ?α，PB ⊥α， C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ．那么，动点C 在平面α内的轨迹是___________ 例2不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 __________个 例3 如图，在直．四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面